CC BY
74
УДК 168 Вестник СПбГУ. Сер. 6. 2013. Вып. 4
И. Э. Егорычев
ВЫНУЖДЕНИЕ КАК ИСТИННОСТНАЯ ПРОЦЕДУРА
Философия, по мнению выдающегося современного философа Алена Бадью, не производит истин. «Специфическая цель философии — предложить единое понятийное пространство, в котором обретают свое место именования событий, служащих отправной точкой истинностных процедур... Она не устанавливает никакой истины, а предоставляет истинам место» [1, р. 17]. Однако для философии нужны условия, и таковыми для нее являются эти самые истинностные процедуры, которые могут иметь место только в четырех областях культурной действительности: в науке, политике, искусстве и любви.
Бадью отождествляет истинностную процедуру, случающуюся в реальности, с техникой форсинга, при помощи которой американскому математику Полу Коэну удалось доказать независимость континуум-гипотезы, — так весьма частный (хоть и значимый) результат в математической логике Бадью «подшивает» даже не к онтологии, а именно к культуре.
Важно при этом обратить внимание на то, каким образом Бадью решает вопрос об онтологическом статусе истин. Истины, по его мнению, именно потому принадлежат миру, являются истинами мира, а не вбрасываются в него по произволу субъекта, что необходимо должны быть согласованы с уже имеющимися в той или иной ситуации. И утверждение, противоречащее остальной части онтологии, не может стать ее истиной ни при каких обстоятельствах.
То есть, несмотря на то что все истины действительно производятся Субъектом, они остаются при этом истинами мира — действия Субъекта «вынуждают к истине» некоторые не-разрешимые в онтологии суждения. Принимая ничем не мотивированное с точки зрения того мира, в котором он живет, решение и продолжая иррационально верить в то, что событие все же имело место, «верный субъект» тем самым изменяет мир. Что же это за «вынуждение», с помощью которого философии, по сути, удается преодолеть постмодернистский гносеологический тупик, в котором «существуют лишь тела и языки» [2, с. 1]?
Одним из самых значительных результатов в теории множеств (и, что, пожалуй, еще важнее — в современной логике) стало доказательство в 1963 г. американским математиком Полом Коэном независимости континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств. Результат этот чрезвычайно значим по двум причинам: во-первых, независимость континуум-гипотезы означает, что мы в принципе не можем оценить количественно величину избытка частей бесконечного множества по отношению к его элементам. То есть присоединяя как саму континуум-гипотезу, так и ее отрицание к системе аксиом ZFC, мы получим непротиворечивую систему аксиом (в случае, если ZFC непротиворечива, что пока не доказано), а поскольку любое утверждение вида 2Ко = К,,,
Егорычев Илья Эдуардович — кандидат философских наук, старший преподаватель, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected] © И. Э. Егорычев, 2013
12
2Н° =К238 и т. п. отрицает гипотезу, то меру глубине пропасти, разделяющей мощность множества и мощность множества его частей, мы, по сути, всякий раз устанавливаем сами. И, во-вторых, метод форсинга (forcing), открытый Коэном, не только оказался чрезвычайно эффективной логической техникой и широко применяется в теории доказательств, но имеет еще и сугубо онтологические следствия1.
Постараемся разобраться, в чем же состоит техника форсинга, примененная Коэном в доказательстве независимости континуум-гипотезы.
Доказательство непротиворечивости той или иной теории часто состоит в построении модели, в которой выполнялись бы все ее аксиомы. Коэн поставил перед собой точно такую же задачу: найти модель, в которой бы были истинными аксиомы ZFC + -CH2. В 1940 г. модель, в которой континуум-гипотеза истинна, построил Курт Гедель3. Таким образом, ситуация оказалась бы в точности такой, как с неевклидовыми геометриями и независимостью пятого постулата: если бы Коэну удалось предъявить модель, в которой континуум-гипотеза ложна, то одновременное наличие обеих моделей доказывало бы ее независимость. Но результат Коэна оказался гораздо более фундаментальным.
Вначале разберемся с тем, что же такое «модель ZFC». Для некоей «онтологизации» теории удобно было бы ввести специальный термин — «универсум» — и в дальнейшем понимать под ним любую структуру, являющуюся моделью для ZFC. Тогда курс по теории множеств (которую в таком случае мы бы переименовали в «теорию универсума») можно было бы начать с определения: «Универсум — это множество М с заданным на нем бинарным отношением R такое, что в нем выполняются...» — и дальше перечислить все аксиомы ZFC. Тогда очевидно, что такой моделью был бы класс всех множеств V, но он, к сожалению, не является множеством. Вообще говоря, вторая теорема Геделя о неполноте убеждает нас в том, что средствами самой теории множеств мы такую модель не построим. Поскольку если бы это было возможно, то это означало бы, что внутри теории мы располагаем доказательством ее непротиворечивости4, а это, в свою очередь, доказывало бы противоречивость теории. Вместе с тем в настоящее время остается недоказанным тот факт, что у ZFC вообще нет моделей, поэтому в дальнейшем мы будем исходить из предположения, что модели такие существуют и что, таким образом, теория множеств непротиворечива. Другими словами, важно понимать, что все теоремы теории множеств доказаны лишь в предположении непротиворечивости самой теории множеств. Например, теорема Левенгейма — Сколема утверждает, что если теория вообще имеет модель, то она имеет и счетную модель. Этот факт, как мы скоро увидим, существенным образом используется Коэном.
1 Вот что об этом пишет сам Коэн: «Эта идея, в том виде, в котором она пришла ко мне, настолько отличалась от любого привычного способа думать, что я почувствовал: она должна иметь колоссальные последствия» [3, р. 1092].
2 Так сокращенно обозначают систему аксиом Цермело — Френкеля с присоединенным к ней отрицанием континуум-гипотезы.
3 Построенную им модель называют Геделевым универсумом или конструктивным универсумом L, поскольку в ней существование множеств тождественно возможности их построения с помощью какой-либо эксплицитно выраженной формулы из уже построенных множеств, и в этой модели верна так называемая гипотеза конструктивности: V = L (всякое множество является конструктивным). Гедель также доказал невозможность опровержения этой гипотезы. То есть она является аксиомой. Из этого, в частности, следует, что непротиворечиво существование модели ZFC, в которой гипотеза конструктивности неверна. Коэн существенным образом использует этот факт.
4 Это утверждение следует из теоремы о полноте.
13
Из соображений наглядности временно мы можем положить М = V и увидеть, что все аксиомы теории множеств обращаются в такой квазимодели в истинные утверждения. Важно понять, что, говоря о модели, мы тем самым ограничиваем действие кванторов, входящих в аксиомы, а с ним и самих аксиом, релятивизируем их. Рассмотрим в качестве примера некоторое множество S. Аксиома регулярности говорит, что в любом семействе множеств есть по крайней мере одно множество, каждый элемент которого не принадлежит данному семейству: Va: (a*0)^3ß(ße алßna = 0) . Но мы сузили наш универсум до размеров S, и поэтому «любое а» означает для нас теперь «любое
а из S», и аксиома примет вид высказывания: Va е S : (аФ0)^(3ße S (реалр^а = 0)) , что далеко не всегда так. (Достаточно положить S={{0}}, чтобы в этом убедиться.) Однако если мы дополнительно предположим, что S транзитивно (т. е. всякий элемент а есть также элемент S), то для «жителя» универсума S аксиома регулярности будет выполняться.
То есть нам нужна такая модель, которая бы наиболее полно отражала свойства универсума V и в то же время оставалась счетной5. С помощью специальных теорем рефлективности6 может быть показано, что существуют транзитивные счетные модели (CTM — countable transitive models), отражающие любое конечное число аксиом, и, следовательно, в них доказуемы любые математические утверждения, истинность которых на сегодняшний день установлена.
Итак, мы начинаем с некоторой счетной транзитивной модели М, в которой выполняются:
— все аксиомы ZFC, которые могут быть выражены одной формулой (пустого множества, экстенсиональности, пары, объединения, множества степени, бесконечности, регулярности и выбора);
— по крайней мере конечное число аксиом, выражающихся бесконечными сериями формул (выделения и подстановки);
— гипотеза конструктивности: V = L.
(Чтобы удовлетворить последнему требованию, Коэн во многом использует технику Геделя.)
Важно заметить следующее: некоторые формулы, будучи релятивизированы (сужены на М), изменяют свой смысл, в то время как другие его сохраняют, остаются абсолютными. Например, поскольку в М верна аксиома объединения, то для любого а е М в М существует иа — множество, образованное объединением всех элементов, принадлежащих элементам а. Но поскольку М транзитивно, то для любого а е М иа е М, т. е. как в смысле «жителя» М, так и в смысле «общеонтологическом» это одно и то же множество. В случае же множества подмножеств это не так, поскольку если мы находимся внутри М, то в него войдут только те части а, которые принадлежат М, в то время как находясь «снаружи», мы вполне могли бы различить такие части а, которые для «жителя» М просто не существуют. Именно потому, что свойство «быть несчетным» не является абсолютным, в счетных моделях существуют элементы, «несчетные в М», но «счетные для нас». Дело в том, что любая функция (как и подавляющее большинство математических объектов) может быть описана как множество, например как множество упорядоченных пар. И, следовательно,
14
Последнее требование, как вскоре выяснится, играет решающую роль. Подробно см.: [4, р. 133-141].
биекция между с07 и элементом у е М — это тоже некоторое множество, которого, как мы только что видели, вполне может и не быть в М.
Такие понятия, как, например, «пустое множество», «подмножество», «дополнение», «биекция», «ординал» и (что, пожалуй, самое удивительное) с , являются абсолютными. Это, в частности, означает, что ординалы в М и ординалы для нас — это те же самые ординалы. То же относится и ко всем конечным ординалам, т. е. натуральным числам. С другой стороны, Р(а), |а| и «а для а > 0 не являются абсолютными. Бадью пишет по этому поводу: «Природа, даже бесконечная, абсолютна: бесконечное количество относительно» [5, р. 362]8.
Таким образом, в самых общих чертах нам предстоит сделать следующее: как мы только что показали, в модели М должно существовать множество у, выполняющее
в ней роль С2 — обозначим его как ((. (Его мощность равна . Разумеется, оно
счетное, но в М нет биекции между ним и юМ .) Идея состоит в том, чтобы построить функцию G из множества у х С0 в {0, 1}, которая есть последовательность функций из
С0 в {0, 1}. Поскольку М (как и (() транзитивно и счетно, то мы всегда можем сделать так, что эти функции будут попарно различны, а так как каждая функция может быть отождествлена с каким-то подмножеством в С0, то из этого следует, что |Р(С0)|> у в М. И нам остается «только» присоединить элемент G к исходной модели, с тем чтобы получить большую модель М^], удовлетворяющую ZFC+ -СН9.
Вообще говоря, «присоединение» элемента к модели не является таким уж простым делом и чаще всего ломает модель. Как правило, очень скоро становится понятно, что необходимо соблюсти ряд достаточно жестких условий. В частности, оказывается, что любая расширенная модель не может содержать больше ординалов, чем их содержится в М (факт, доказанный Коэном [6, с. 110]). Но дело в том, что если мы произвольным образом выберем множество G с С0, которое не лежит в М, то это значит, что ему соответствует счетный ординал а0, также не входящий в М, и любая модель, содержащая такое G, должна была бы также содержать и а0, так как существование для каждого полного упорядочения соответствующего ординала является теоремой ZFC. Но Уа: а е М^^гапк а < а0, и поэтому а0 е М^] невозможно.
Поистине гениальная идея Коэна, таким образом, состояла в том, чтобы присоединенное множество G не содержало в себе абсолютно никакой информации ни о своих размерах, ни о размерах М, т. е. было бы абсолютно неразличимым10. Он предположил, что, хотя само множество будет существенным образом недоопределено, возможно сделать так, что все его свойства будут полностью определяться на основе максимально скудной информации о нем11. Множество, которое удовлетворяло бы всем перечислен-
7 Так в теории ординалов принято обозначать наименьший бесконечный ординал (порядковый тип), который изоморфен множеству натуральных чисел и поэтому также является счетным.
8 Поскольку онтология для Бадью совпадает с теорией множеств, то ординальная шкала есть «мера порядка природы».
9 Выше мы сказали, что результат Коэна более фундаментален. Это связано с тем, что данная техника позволяет, вообще говоря, выбирать элемент у неопределенной мощности.
10 Что было бы невозможно в М, где V = L.
11 «The set a will not be determined completely, yet properties of a will be completely determined on the basis of very incomplete in-formation about aa [4, c. 1092].
15
ным свойствам, Коэн предлагает называть «родовым» относительно М (М-generic), и все его желаемые свойства будут «вынуждаться»12 именно тем, что оно ведет себя как «родовое» в М. Возможность однозначного установления того, что некоторое суждение о G вынуждено (forced), играет решающую роль во всей конструкции. Расширенную модель, к которой бы удалось присоединить такое неразличимое, родовое множество, мы будем называть «родовым расширением» (generic extension) и обозначать M[G].
Задача теперь сводится к тому, чтобы в модели М выбрать некоторое особое множество Р, на которое будут возложены сразу две функции: с одной стороны, из его элементов будет состоять неопределяемое (неразличимое, родовое) множество G (из условий теоремы видно, что G — это часть Р); с другой стороны, эти же элементы будут выполнять роль условий, которым должно удовлетворять G и которые несут, таким образом, о нем информацию. Спрашивается, с помощью какой явной процедуры такой объект (всего лишь обусловленный, а не построенный явно) может быть присоединен к нашей модели? Опять-таки блестящее решение Коэна заключается в том, чтобы сконструировать из элементов М множества определенной структуры, которые будут функционировать как имена для каждого элемента в M[G]. В общем случае мы не будем знать, какой элемент каким именем назван. Более того, референт будет меняться в зависимости от конкретного G. Но в М гарантированно будут находиться имена для всех элементов M[G], которую с учетом сказанного можно определить как множество значений имен (для какого-то конкретного G). Манипулируя именами, мы сможем рассуждать о многих свойствах М^], поскольку, несмотря на то что G останется абсолютно неразличимым внутри М, его присутствие будет «оставлять след» самой своей невозможностью быть различенным!
Итак, условие — это определенного вида множество л е М, которое, возможно, принадлежит G и которое что-то нам о нем сообщает. Как может множество быть носителем информации? Это станет более понятным, если мы, размышляя об информации или смысле, будем иметь в виду их относительный, дифференцированный характер: будем говорить, что условие л2 является более строгим, или «богаче по смыслу», чем условие Лр если с л2. Предположим далее, что все условия — это вектора конечной длины, состоящие из 0 и 1. Они, безусловно, принадлежат М13. G будет состоять из множеств только такого типа. Пусть, например, <0, 1, 0> е G. Что бы оно ни сообщало нам о том, что такое G, вся эта информация также будет содержаться в условии <0, 1, 0, 0>, но последнее условие сообщает нам еще дополнительно (что бы это также ни значило), что на 4-й позиции стоит 0. Всякий раз, когда имеет место л с л2, мы будем говорить, что условие л2 доминирует и уточняет G.
Еще мы потребуем, чтобы условия были согласованы между собой — чтобы быть информацией об определенном неопределенном, они не могут быть противоречивыми. Поэтому G не могут одновременно принадлежать такие условия, как, скажем, <0, 1, 0> и <0, 0, 0>. Заметим, что условия обязательно будут согласованы, если они доминирова-ны каким-то условием.
И последнее. Условий должно быть достаточно, для того чтобы у нас всегда оставался выбор. Так, условие <0, 1, 0> может быть уточнено как условием <0, 1, 0, 0>, так
12 В оригинале: forced to hold. То есть «вынуждается истинность свойства (суждения)».
13 Вектора могут быть предствлены как упорядоченные n-ки, которые, безусловно, должны содер-
жаться в нашей модели, коль скоро она удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Модель
М — это, вообще говоря, само по себе «огромное» и довольно сложно устроенное множество.
16
и условием <0, 1, 0, 1> — и в этом смысле последние всегда будут несогласованными и будут обусловливать различные G. Всякий раз, когда имеет место п е G, мы понимаем не только то, что п представлено в G, но и то, что G таково, что ему принадлежит П — и это уже пускай и минимальная, но все же информация о G.
Так, вообще не касаясь содержания передаваемой ими информации, мы выделили три принципа, которым должны удовлетворять наши условия, — это порядок, согласованность и выбор.
Таким образом, мы можем на языке, абсолютно доступном «жителю» М (т. е. с помощью символов логики предикатов первого порядка с переменными и кванторами, область определения которых ограничена только элементами М), записать следующие правила:
R1. щ е g л п2 е g ,
R2. (п е g л п2 е g) п3 (п3 е g л пхсп3 лп2 с п3).
Из этих правил, разумеется, пока не следует, что так определенное g с P существует для «жителя» М (принадлежит М), но данное определение, которому, возможно, в М ничего не соответствует, вполне корректно.
Множество g будет различимо в М, если будет существовать некоторая явная формула Я (а) такая, что Va: а е g ^ Я (а). Пусть теперь корректное множество условий g с P различимо в М. Как корректное множество, оно удовлетворяет правилам R1 и R2. Более того, Vn: п е g ^ Я(п) . Заметим, что в Р для каждого п существует два несогласованных между собой условия п2 и п3, которыми оно доминировано, но одно из них (по правилу R2) не принадлежит g. Пусть это будет п2. Но тогда - Я(п2). Таким образом, если g различимо в М каким-то свойством Я, то Vn е g доминировано условием п2 таким, что - Я(п2).
Приведем пример. Пускай свойство Я будет таким: «состоять только из единиц». Для него в языке исчисления предикатов существует явная формула, и, следовательно, оно одно-значно выделяет во множестве Р подмножество условий <1>, <1, 1>, <1, 1, 1>... и т. д., причем это множество корректно (удовлетворяет правилам R1, R2). Отрицанием свойства Я будет «содержать по крайней мере один ноль». Очевидно, что любое условие, не содержащее нулей, всегда доминировано условием, содержащим по крайней мере один ноль. То есть в дополнении к g (P/g) всегда существует условие, доминирующее любой элемент из g. Таким образом, если Я выделяет корректное множество условий g с P, то Vftj е g 3п2: - п2 е gл п1 с п2 .
И теперь мы можем указать чисто структурный признак неразличимости, без всякого упоминания каких бы то ни было свойств Я, т. е. без отсылки к языку.
Будем называть доминацией D (domination) множество условий, таких, что: Vftj - (ftj е D) ^ 3п2(п2 е D л п с п .
Мы видим, что структурным признаком корректного множества условий g, которое было различено каким-то Я, является то, что P/g = D, и, следовательно, gnD = 0. Заметим, что D с Р и, значит, не все D принадлежат Р. Более того, Р(Р) не абсолютное свойство, поэтому, возможно, существуют какие-то подмножества, различимые «для нас», но также не принадлежащие М.
С учетом сказанного дадим следующее определение.
Множество G с P такое, что выполнено R1 и R2, будет родовым относительно М (М-generic), если V D е M GnD Ф 0.
17
Идея понятна: чтобы быть неразличимым, нужно иметь в себе «всего по чуть-чуть», какое бы свойство мы ни взяли, множество G с ним связано по крайней мере одним условием из тех, что определяют G. Это множество — всего лишь анонимный представитель частей множества условий Р. В результате о G оказывается невозможно сказать ничего, кроме того, что оно есть множество14.
Теперь настало время более подробно поговорить об идее имен. Мы хотим таким образом расширить язык «обитателей» модели М, чтобы они имели возможность сказать примерно следующее: если M[G] существует, то такое-то имя в М соответствует такому-то элементу в M[G]. Это не должно вызвать никаких проблем, так как в понятии «родового» использованы только ресурсы М. А для нас такое гипотетическое высказывание превратилось бы в истинное утверждение, поскольку существование G для нас несомненно (мы располагаем явной процедурой его конструкции), и поэтому референты имен, являющиеся для «жителя» М лишь объектами веры, для нас совершенно реальны. Имена устроены таким образом, что их референциальные значения в M[G], которые мы обозначим как val(x,G), вообще говоря, зависят от конкретного G. И тем не менее среди них есть такие, референциальные значения которых остаются постоянными для любого G. Такие имена Коэн называет каноническими.
Далее. Имя обозначает некий «возможный» объект в M[G] и приобретает свое зна-че-ние в зависимости от того, принадлежит ли некоторое условие п к G или не принадлежит. Таким образом, все сконструированные Коэном объекты абсолютно «прозрачны» для «жителя» М: G является для него формальным символом, именующим что-то для него «потусторонее», но именующим корректно, поскольку понятие «родового» ему также доступно. Имена принадлежат М, а их значения предписываются простой импликацией, зависящей исключительно от того, принадлежит условие предполагаемому родовому множеству или не принадлежит, которая поэтому не содержит в себе ничего, что бы могло вызвать затруднения.
Покажем, что G неразличимо в M[G].
Предположим противное. Это значит, что в M[G] должна существовать формула А(п, а1, ..., а) с параметрами а1, ..., а , принадлежащими M[G] и такими, что она однозначно выделяла бы в M[G] множество G, т. е. п е G ^ А (п, а1, ..., ап). Но тогда параметры а1, ..., ап не могут принадлежать М, поскольку если бы они принадлежали М, то указанная формула выделяла бы G и там, что невозможно, так как G — родовое. Это значит, что имена x1, ..., x , соответствующие этим параметрам в М, не являются каноническими и, следовательно, зависят от выбора G. И формула, которая, по нашему предположению, различает G в M[G], может быть переписана следующим образом: п е G ^ А (п, val(x1, G), ..., val(xn, G)) , так как все элементы M[G] — это значения имен. Но последние сами определяются тем, какие из условий п принадлежат G!15
Наконец, мы можем дать определение вынуждения (forcing).
Пусть п е Р и f(x, ..., xn) — некоторая формула, где x1, ..., xn — имена, принадлежащие М. Говорят, что условие п вынуждает ф (п ??? — ф), если и только если (V G с P п е G ^ А (val(x 1, G), ..., val(x , G))). Это означает, что если вынуждающее условие п принадлежит
14 Именно в этом смысле оно «родовое»: про него нельзя сказать ничего такого, что не было бы известно и о любом другом множестве, оно просто принадлежит к «роду» множеств.
15 Аналогичным способом доказывается, что в M[G] не появляется новых ординалов. Предполо-
жение о том, что такой ординал есть, приводит к тому, что его имя в М не может иметь ранг, меньший
ранга самого ординала.
18
G, то формула ф, построенная в М, превращается в истинное высказывание в М^] (т. е. когда входящие в нее имена заменяются своими значениями).
При помощи такой поистине виртуозной техники для любой формулы ф, выводимой в М, оказывается возможным установить, существует или нет вынуждающее ее условие п. Тогда, если такое условие принадлежит G, то ф истинна в М^]. И наоборот, если некоторая формула истинна в М^], то существует такое п, которое вынуждает ее в М. При этом возможны три случая:
— формулу вынуждает 0, и тогда она верна в любом М^];
— не существует условий, вынуждающих формулу, и тогда она неверна в любом МИ;
— формулу вынуждает условие, которое может принадлежать лишь некоторым G. В этих М^] формула оказывается верной. В других расширениях она неверна.
В последнем случае говорят о неразрешимости формулы или о ее независимости. Присоединяя как ее саму, так и ее отрицание к имеющемуся списку аксиом, мы в обоих случаях получим непротиворечивую систему аксиом.
Коэну удалось показать, что все аксиомы теории множеств, по крайней мере в той части, в которой их «отражает» модель М, вынуждаются 0 и тем самым остаются верными в любом родовом расширении М^]. При этом существование упомянутой нами биекции между произвольно выбранным кардиналом у из М произвольной мощности и множеством подмножеств С0 , а следовательно, и истинность - СН, вынуждается вполне конкретными условиями, т. е. зависит от выбора G.
В заключение покажем, как разобранные нами формально-логические результаты могут быть истолкованы онтологически.
Итак, мир есть множество «ситуаций». Ситуация — это некоторое общепринятое положение дел, исходя из которого образующие ситуацию элементы объясняют себе происходящее. В науке — это существующая на какой-то определенный момент научная картина мира, в политике — мыслимые системы отношений между членами общества, в искусстве — все то, что признается, скажем, музыкой, живописью и т. д. Каждой ситуации присущ свой собственный язык, и все, что в ней мыслимо, оказывается поименовано. Совокупность всего, что может быть сказано в ситуации, Бадью называет энциклопедией, в которой узнаваемо множество формул языка, задающих конструктивный универсум. Детерминантом энциклопедии называется подмножество ситуации, выделенное из нее какой-то конкретной формулой (аксиома выделения), и любой элемент ситуации, если он вообще существует, попадает под тот или иной детерминант. Чтобы мыслить новое, «неконструктивное», таким образом, необходима интервенция — любая процедура, утверждающая, что некоторое событие имеет место. Поэтому интервенция — это всегда также и ввод в язык означающего, для которого в ситуации не существует референта, имени события. Таким образом, несмотря на то что понятия события и верности событию уже не принадлежат онтологии, последняя все же располагает сугубо онтологическими средствами, с помощью которых мыслима бытийная возможность интервенции.
Хорошим примером того, о чем здесь говорится, будет фигура апостола Павла [2], чья деятельность в качестве субъекта начинается на пути в Дамаск с утверждения события: Христос воскресе. Здесь важно сразу указать на одно обстоятельство: имя события, как и определение родового множества, должно быть понятным изнутри модели — оба строятся исключительно за счет языковых ресурсов ситуации. В случае
19
с Христом это означает, что заявление Павла было бы не неразрешимым, а попросту ложным, если бы ветхозаветная община уже не ожидала прихода мессии — т. е. в какой-то иной ситуации, где сама постановка вопроса о том, действительно ли Иисус есть Христос или нужно продолжать ждать кого-то еще, была бы невозможной или абсурдной (например, в современном научном сообществе). Другими словами, высказывание «Иисус=Христос» является неразрешимым в совершенно определенном интеллектуальном топосе; и только в таком интеллектуальном топосе, где оно является неразрешимым, возможно «вынуждение» его истинности.
Бадью радикально разводит понятия истины и знания. Последнее принадлежит ситуации, точнее, ее энциклопедии. Истина же — это всегда «дыра» в знании, разрыв всех существующих порядков и классификаций. Оставаясь истиной ситуации, она, тем не менее, коренным образом преобразует ее. По этой причине она не может совпадать с существующим знанием, т. е. истина должна быть таким множеством, которое не подпадает ни под один энциклопедический детерминант ситуации. Знание «ничего не хочет знать» о событии и любые новообразования маркирует как «уже бывшее»: влюбленные — это также и граждане, а «рабочий класс» — это просто рабочие фабрик. Таким образом, силы знания оказывается достаточно, чтобы обесценить событие в любых его проявлениях, обнаруживаемых оператором верности: «...знание "бьет" верность своим безапелляционным "уже посчитано"» [2].
Нам остается лишь отметить, что субъект, по мнению Бадью, есть субъект истинностной процедуры, следовательно, он по определению действует в четырех упомянутых доменах — искусстве, науке, политике и любви. Это значит, что, скажем, философ не может быть субъектом. Тем не менее нам представляется оправданным увеличить число доменов истинностных процедур по крайней мере на один и добавить туда личность человека.
Человек, будучи конечным сущим, знание которого о мире существенным образом неполно, является в то же время изменчивым сущим. Причем, изменяясь, он тем самым изменяет и свое отношение к миру и с миром. Происходящие с ним изменения находят свое выражение по преимуществу в том, как человек высказывается, а способ высказывания, с одной стороны, свидетельствует о степени пластичности и динамичности его мировосприятия, а с другой — влияет на них. Другими словами, то, как выглядит лингвистическая картина мира, непосредственно указывает нам на уровень развития человека, но само развитие личности состоит главным образом в производстве истин о себе самом.
Литература
1. Аксиоматика теории множеств [Электронный ресурс]. URL: Ьир://га.^аЫре<11а.о^М1Ы/Теория_Цер-мело_—_Френкеля
2. Бадью А. Апостол Павел. Обоснование универсализма. М.: Университетская книга, 1999. 93 с.
3. Бадью А. Манифест философии. СПб.: Machina, 2003. 184 с.
4. Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах // Работы по теории множеств. М.: Наука, 1985. 429 с.
5. Badiou A. Being and Event. New York: Continuum, 2007. 526 р.
6. Badiou A. Logics of Worlds, Being and Event 2. New York: Continuum, 2009, 617 р.
7. Cohen P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. New York: Benjamin, 1966, 154 p.
8. Cohen P. J. The discovery of forcing // Rocky Mountain Journal of Mathematics Vol. 32, N 4, 2002.
9. Kunen K. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier, 2006. 313 р.
Статья поступила в редакцию 6 июня 2013 г.
20
