CC BY
34
УДК 519.2
ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ПУАССОНОВСКОГО ПОТОКА МОМЕНТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
И.Г. Устинова
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Получены оценки тренда дисперсии в явном виде при пуассоновском потоке моментов измерений. Рассмотрены частные случаи тренда: линейный, квадратичный и в виде сплайна первого порядка. Исследованы статистические характеристики полученных оценок Показана их несмещенность, найдена ковариационная матрица оценок параметров тренда.
Ключевые слова:
Тренд дисперсии, сплайн первого порядка, пуассоновский поток, оценки параметров, статистические свойства оценок Key words:
Dispersion trend, first-order spline, Poisson current, parameter estimations, estimations statistical properties.
Целью работы является нахождение оценок параметров тренда дисперсии случайного процесса, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности Я, и исследование их статистических характеристик.
Постановка задачи
Рассмотрим случайный процесс х (/). Обозначим х(1,)=х;, 1=\,Ы независимые случайные величины, распределенные нормально с Ж[х;]=0 и Б[х]=БЩ. Моменты измерений /;, г=1,N образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности Я. В качестве модели неизвестной дисперсии предлагается к
использовать -0[^.] = Ев5^ ), где %(/;) - некото-
5 = 0
рые известные функции времени, а 08 - неизвестные параметры. Оценки неизвестных параметров
N
в,,5=0,к будем искать в виде в5 = Е х2(?,.)^5 (/,.), где
I=1
функции %(/;), s=0,k выбираются таким образом, чтобы выполнялось условие: М[в5]=в5.
Оценки неизвестных параметров тренда
Найдем оценки в, ¿=0,к, исходя из условия:
q-xê *?* с, )
min
в *
методом наименьших квадратов [1]. Из условия = 0 получаем систему к+1 линейных уравне-
дв 5
ний с к+1 неизвестными:
дв=Е I х2 -Ев ^ ^ )=°;
дво I=1 I 5=о )
=Е (х2 - Ев ^ ^)=0
дв 1 I=1 I 5=о J
в= Ë \ х2 ~Ёв s?*(t,) к(t,)=°-
дв k i
Перейдем к матричным обозначениям: >°(0 V(0 - Vk (O' V°(tl) Vl(t2) - Vk (t2)
Ф =
V°(tN ) V1(tN )
Vk (tN ).
Y =
Ë x2(t, )V°(t,) i=1
N
Ë x2(t, )Vi(t,)
1 Х2(Г; )% ^ )
_ 1 = 1 _
в = [(9 о в 1 ... в к ]Г.
В матричных обозначениях система (1) будет иметь вид: ФгФв=У. Обозначим ФГФ через X, тогда
Хв = У. (2)
Заметим, что матрица
NN N
Е%2(^) м<х-) ••• )?ко?)
1=1 1=1 1=1
NN N
Х = Е%(^ М<Х) ) ••• )9к(?)
Е%(^Ж($■) Е^ЙМ01) ••• Е^к2(?)
_1=1 1=1 1 = 1
есть матрица со случайными элементами. Нахождение обратной матрицы - сложная задача, а нахождение обратной матрицы к случайной - практически неразрешимая. Поэтому для нахождения оценок неизвестных параметров в, л=0,к перейдем от матрицы X к матрице X, усреднив матрицу X по моментам измерений (4 /=1Д}, применяя технику усреднения [2]
^ ^(и^и ЛГ ^0(м)ф1(и)^М ... £ р0(и)рк(и)^и
^ р0(и)р1(и)^и ЛГ Р]2(и)^и ... ЛГ ^(и)^(и)йМ
X = я
(1)
ЛГ v°(u)Vk (u)du Jt v1(u)Vk (u)du — | vk2(“)du
Обозначим
X = AX0,
(3)
где
Х„
_[Г%2(“)Л {^o(“)^i(“)d“ ■■■ j[ Po(“)Pi(“)d“
^0(и)p1(u)du j[ ^2(u)du ... j[ p1(u)pk(u)du
J0 %(«ж(u)du {%(“)%(u)du ■ J2 ?k2(u)du
тогда (2) перепишем в виде IX0*=Y и, следователь
но,
* -IХЛ
(4)
что и дает явное выражение для оценок неизвестных параметров.
Найдем аналитическое выражение для неизвестных функций р Д), s=0,k.
* s -Xx.Vs )’
(5)
Введем обозначения:
WO Woitl) ■ • W 0 (tN ) ' x2ft)'
Y- W1W W1(t2) ■ • W1 (tN ) , X2 - X2(t2)
Wk (О Wk (t2 ) ■ • Wk (tN ) _ _X2(?N ) .
тогда (5) будет иметь вид: в=YX2.
Для нахождения выражений для функций р, (г) л=0,к потребуем, чтобы выполнялось условие М[в]=в,
тогда
M
X-1Y
- M[YX2] или - X01Y -YХ2, I
откуда получаем
Y- — X-1® [ I 0
(6)
где X0 - это матрица из (3).
Свойства оценок параметров
Найдем статистические характеристики полученных оценок.
M [в ] - M
- - X01M[Ф [Ф]в -в , (7)
I
и следовательно полученные оценки являются несмещенными.
Найдем теперь ковариационную матрицу оценок в. Имеем
У[в] = М[((в -в)(в -в)Г] =
-M
X-1Y - M
X-1Y
х| -X-1Y-M
-X -1Y
I 0
-I X-1V[Y](X-1)[
(8)
Здесь
V[Y]=M[YY [ ] - M[Y]M[Y[ ]=
N N N
- 2 N
E dc2 E dca • •• X dcb
i-1 i-1 i-1
NN N
E dca E da2 ••• E dab
E dcb E dab ... E db2
_ i=1 i=1 i=1
a = Ф1(^), b = ft ft), С = ^0(t), d = D2(i-). (9)
При вычислении V[Y] воспользуемся тем фактом, что M[x*]=3D1(t).
Рассмотрим теперь следующие частные случаи.
Линейный тренд дисперсии
Предположим теперь, что тренд дисперсии хорошо апроксимируется прямой, т. е.
D[ti] - a+[| t- -1.
В данном случае в -
, причем сами оценки,
как и прежде, доставляются выражением (4). В данном случае функции рД), д=0,1имеют вид:
Тогда матрица X -1[
Убедившись, что определитель, соответствующий матрице X, отличен от нуля, нетрудно найти
1 0"
0 12
В соответствии с равенством (6)
- h_ 1
[ 2
0"
1
12 _
---1 1
обратную матрицу X - —
IT
Y- — I
1 0 0 12
Ф[
где матрица Ф - матрица размерности Nx2 вида
1 ^ -1 T 2
Ф
1 А. -1 [ 2
1 і -1
Г 2 _
Зная ¥, записываем явное выражение для оценок неизвестных параметров:
i-1
¿*2а.) а
/=1 . В данном случае в = Ь
12| ^1Г - 2) с
1
ЯГ
Исследуем статистические характеристики полученных оценок:
М [а ] = М
1 "
ЯГ X* 2(0
ЯГ /=1
= Я Хм [ х ^)].
ЯГ /=1
Усреднение по величинам х приводит к выражению
Полученное выражение усредним по величинам г , применяя методику [2]
яГ ялг( а+ь (г- 1 В а=“•
таким образом, имеем М[а]=а.
Аналогично показываем несмещенность оценки параметра Ь.
Ковариационная матрица оценок неизвестных параметров а, Ь задается выражением (8), в котором матрица У[У] задается выражением (9). В данном случае матрица У[У] будет иметь вид:
N N ( ; 1
^2(0 (^ - -
У[У] = 2 N
_Т° {(‘][Г 2| Т^ (?)^Г 2
Тогда ковариационная матрица оценок параме тров тренда дисперсии представляет собой
2 N
/ = 1
N
Г 2 1
У[в ] =
£^,.) 12]^ 2(^.) [ %-1
Я2Г2
N
/=1
N
Г 2
_12Е °2('1) (Г-2] 144Е °2(') [Г- 2,
Найдем М[У[в]]. Для этого усредним элементы матрицы У [в] по величинам г, тогда
М[У[в ]] =
2 N ЯГ
12
2аЬ
2аЬ 12а2 + - Ь2
5
Так как параметры а, Ь нам неизвестны, а известны лишь их оценки, то в последнем выражении заменим неизвестные параметры на их оценки.
Квадратичный тренд дисперсии
Пусть тренд дисперсии хорошо апроксимирует-ся параболой Б[г]=а+Ы+сг2.
Задача выделения тренда в этом случае заключается в нахождении оценок неизвестных параметров а, Ь, с.
, и сами оценки, как и
прежде, доставляются выражением (5). Функции р(г), 5=0,2 будут иметь вид: ^(0=1, ^(0=;, р2(г,)=г,2. Тогда матрица
X = ЯГ
1
Г
2
ГІ
3
Г
2
ГІ
3
Г3
4
ГІ
3
ГІ
4
5
= ЯГХ0,
где Х0 =
Г
2
ГІ
3
Г
2
ГІ
3
ГІ
4
Г_
3
Г3
4
Г 4
5
Убедившись, что определитель, соответствующий матрице X,), отличен от нуля, находим обратную матрицу
X-1 =
720
¥
1 720
ЯГ Г4
Г 4 Г3 Г2 "
80 20 24
Г3 4Г2 Г
20 15 4
Г2 Г 1
24 4 4
равенством (6)
Г 4 Г3 Г2 "
80 20 24
Г3 4Г2 Г
20 15 4
Г2 Г 1
24 4 4
ФГ
где ФГ =
1 1
¿1 ^2
^2 ¿2 ¿1 ¿2
Зная матрицу ¥, записываем явное выражение для оценок неизвестных параметров:
N ( у уЗ Т--2 Л
ЕС ——1^+—?-2Iх2(^)
1=1, 80 20 1 24 ' )
720
ЯГ5
4Г2
Т----------+--------------I х2(?,.)
£ ^ 20 15 1 4 ' )
^ (Г" Г 1 2 Л 2 / Л
Т-------------+ -?2 I х 2(?,.)
1=1 ^24 4 ' 4 ' ) У '}
Исследуем статистические характеристики полученных оценок.
х
720 N
М [а ] = Я[Г5 Е М
I 80 20 ' 24
■¿' +--------1х (¿')
Усреднение по величинам х; приводит к выражению
720 N (Г4 Гз ^2
/20
ЯГ5 11
-------? +—?2 I ) =
80 20 ' 24 ' 1
/20 = ЯГ? 1:1
^ Г 4 г 3 Г 2
------------? +-------?2 I (а + 6? + с?2).
80 20 ' 24 11 '
Полученное выражение усредним по величинам г, применяя методику [2]
720 . гг (Г4 Г3 Г1 2 Л . 2Ч>
—-Я I-----------и +-и 1(а + 6и + см )ам = а.
ЯГ5 -0 ^ 80 20 24 ,
Аналогично показываем несмещенность оценок параметров Ь и с.
Ковариационная матрица оценок неизвестных параметров а, Ь, с задается выражением (8), в котором матрица У[У] задана выражением (9). В данном случае матрица У[У] будет иметь вид
Матрица X=M[X] будет иметь вид
X = Ях
Г т
|(1 - а)2& |а(1 - а)& ...
0 0
т> Г0 2 Г0
|а(1 - а)Л |а2 Л + | (2 - а)2Л ...
| (а - к +1)2 Л
(к-1)Г,
Вычислив интегралы, входящие в матрицу X, получим
_ 2 1 ...
1 4 ...
X=ЯГ0 6
0 0
N Ел 2[?' ] '=1 N Ел 2[?' ]?' '=1 N Ел 2[? ]?2 '=1 Пусть " 2 1 . . 0"
У[У] = 2 N N Ел2[?' ]?' '=1 N Ел 2[? ]?2 '=1 N ]?3 '=1 . Х0 = 1 4 . . 0
N Ел2[?' ]?2 _'=1 N ]?3 '=1 N ]?4 '=1 _ 1 0 0 . 2
Выделение тренда дисперсии в виде сплайна первого порядка
Уточним поставленную задачу для случая, когда функции р(г;), д=0,к - заданные функции времени. Разобьем весь отрезок наблюдений [0;7] на части: [0;7,0],[7,0;2Г0],...,[(к-1)7,0;к7,0]. На каждом таком отрезке тренд оценивается в виде полинома первой степени. На границах отрезков эти полиномы сшиваются так, чтобы получилась непрерывная кривая, которая и называется сплайном. Пусть, как и прежде, тренд дисперсии в момент времени ¡1 мок
жет быть представлен £[?'] = Е0р (?)• где рД),
5 = 0
д=0,к - это функции из [3], проиллюстрированные
на рисунке. ____
Оценки неизвестных параметров 0, 5=0, к в данном случае задаются выражением (4). Для нахождения Xв-1 выражения (4) рассмотрим
X = ФТФ =
1 —-• если ?' е [0; Г0],
Г0
0, если ? £[0; Г0],
— +1 - если ?' е[(5 -1)Г0; ^Г0],
5 +1---- • если ? е[5Г0;(5 +1)Г0], 5 = 1, к-1,
Г0
0, если ? £[(5-1)Г0;(5 +1)Г0],
Рк (? ) =
— - к +1, если ? е[(к-1)Г0; кГ0], Г0
0, если ? £[(к-1)Г0; кГ0].
Е(1 - а)2 Е а(1 - а)
?=1 ?=1
Г0 Г 2Г0
Е а(1 - а) Е а2 + Е (2 - а)2
Е (а - к +1)2
?=(к-1)Т+1
х
а
а
Для нахождения Х0 1 воспользуемся алгоритмом
[4].
В соответствии с этим алгоритмом элемент матрицы Х0-1 (обозначим его z^) задается выражением
где
в* = Тогда
(ИГ7 в, -А - ,+р ^ |(-1)7-і ву-1в*-,+1,
(2 + ^3)* + (2 -->/3)*
если і < 7, если і > 7,
, О = 2вв -в -1.
X-1 =— х
йвк
-в0вк-1
вк-1 вхв*-1
Н)-* (-1)1-к Р0Р1
(-1)-к (-1)1-к Р0Р1
ввк
Таким образом, 0=X 'У дает выражение для оценок неизвестных параметров. Здесь
У =
X х 2(?)
Г=1
Г0
'1 Л
Г
V Г0у
Xх2(0:г + X х2(0
0 ¿=Г0+1
2 - ±'
Г
V Г0у
X *2(^)
(=(*-1)Г0+1
Г
V Г0
--к +1
Исследуем статистические характеристики полученных оценок. Несмещенность полученных оценок вытекает из выражения (7). Ковариационная матрица оценок параметров тренда дисперсии, доставляемая выражением (8), зависит от неизвестных параметров 0, ^=0,^ Поэтому заменим неизвестные параметры 0, ^=0^ на их оценки. Знание матрицы вариаций позволяет обычным способом строить доверительные интервалы для неизвестных параметров.
Выводы
Таким образом, в результате проведенных исследований:
1) на основе метода наименьших квадратов получены оценки параметров тренда дисперсии при пуассоновском потоке моментов измерений;
2) рассмотрены следующие частные случаи: линейный тренд, квадратичный и в виде сплайна первого порядка;
3) исследованы статистические характеристики полученных оценок.
2і/ =
х
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1964. - 576 с.
2. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Изв. вузов. Физика. - 1999. - Т. 42. - № 4. - С. 11-16.
3. Константинова И.Г. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений сплайнами первого порядка //
Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика / под ред. А.М. Горцева. - Томск: Изд-во ТГУ, 1999. -С. 81-88.
4. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. - М.: Наука, 1985. - 208 с.
Поступила 06.11.2012 г.
