Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка при случайном числе измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

И. Г. Константинова, А.Ф. Терпугов

ОЦЕНКА СПЕКТРА МОЩНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА СПЛАЙНАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИ СЛУЧАЙНОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассматривается задача оценивания спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка при случайном числе измерений. Исследуются статистические характеристики полученных оценок.

Спектр мощности S(w) наряду с функцией корреляции R(x) является важнейшей характеристикой второго порядка стационарного случайного процесса, так как его знание позволяет производить спектральный анализ процессов.

Постановка задачи

Полагаем, что значения процесса y(t) измеряются на отрезке времени [0, 7]. Разобьем этот отрезок на части [О, 7о], [Го, 2Г0],..., [(ЛГ- 1)Г0, ЛТ0]. Наблюдение в момент времени = i-T0, i = 0,N представимо в виде у, =

= —£.У/(,), где и, - случайные величины, распреде-

П, 1=1

ленные по закону Пуассона с параметром X. Моменты измерений /„ i = 0,N известны точно. Полагаем у,(У> = =y(t,) + , где у(1,) одно и то же для одного измере-

ния; % - 0 , / = 1, п, - случайная погрешность, причем

M[y(tt )] = 0,А/[^'>] = 0,

D[^')] = a2,A/[y(r,)] = 0, M[y{tJ)y{t, )] = *[/,-/, ].

Полагаем, что £,(/) для различных / независимы, т.е. у, =—]Tyj n=y(t, )+—YA !'*■ По результатам наблюде-

Л, ;-1 П, м

ний y,,i = 0,N надо построить оценку S(w) спектра мощности S(w).

Алгоритм решения задачи

1. Разобьем всю ось частот w на отрезки [О, Q] [О, 2Q], [2Q, 3Q] и т.д.

2. На отрезке [(A-l)Q, Ю] функция 5(и’) предста-

„, ч Q kfl-w а w-(k-1)Q

вима в виде S(w)=0t,-------+ 0*------------, т.е.

Q * П

она является сплайном первого порядка.

3. Из формулы Винера-Хинчина [1] находим корреляционную функцию

R, (t)=JS’(w)cos(wt)</w, (1)

о

*,(т>4е*Ф*(т). (2)

4=о

4. Находим оценки 0* параметров0*, к=0,п.

5. Зная оценку корреляционной функции в виде (2), находим с помощью формулы Винера - Хинчина [1] оценку спектра мощности, исходя из соотношения

5(м>) = - (t)cos(wt)</c.

я о

Оценка параметров спектра

Вычисляя корреляционную функцию (1) и сопоставляя полученный результат с (2), находим функции cpt (т), к=0,п в виде

<P*(t) =

l-cos(Qx) Пт3

,если к=О,

2cos( Ют)-----------, если \<к<п-\,

Пт2

sin( w£>c) cos(rt£}r)-cos[(n-l)QT] + ———- ,

Т От2

если к=п.

(3)

Оценки 0* неизвестных параметров 0* корреляционной функции Ryiт), представленной выражением (2), будем искать методом наименьших квадратов [2], исходя из условия:

Q= Е "i”j tr, (tj-ti )]2=>min.

i,j=0,t*j 4=0 e4

Продифференцировав (4) no 04, k=Q,n, получим систему я+1 линейных уравнений с и+1 неизвестными

SQ

30о SQ ■ 50,

2 Е ninjlyiyj-Е0*ф*)1фоО)-*')=0*

t 4=0

2 Е ninj\.y, У)-Е9*Ф* МЧ>1 ) = 0>

l,J=0,i*J 4=0

(5)

dQ

A

4-0

83

Перейдя к матричным обозначениям 0 = [0о>®1>"*>®я]Г

N

£и/Фо 1>/Я,Фо )Ф„ )

N

ъ

/.7=®;'*7

N N

V, 2><я7Фо(^“/*)Ф|(^“//)- ISi»j9l(tj-t,)vAtj-ti)

2Pl”jVo )ф„ Oj-t, ) ... Ё«,Л;ф' )

,/.7=о;/*7 /.7=0. "7

систему (5) перепишем в виде

У=Ж (6)

‘ N N

Еф®('7-'/) ЕФо('7~'

, У=

ЪП1П)У, У) Фо )

М=о.Ч/

*_________

Е"/"; У/ yjViOj-ti)

t.n.nj у< yjVnOj-ti)

L'.7=®./*7 .

Усреднив элементы матрицы X по п„ получим М[Х] = Х2Х, где

Х=

/J=o,i*7

/,у=0;/*7

'.7=®;/*7

Еф® (',-'/ )ф, (tj-t,) £ф? ••• Еф1 itj-h )фЛ^-', )

Еф® Oj-t, )Ф. ('7-'/ ) Еф. Ог*1 >ф» )■•

itj=0;i*j i,j=Q,l*j

Еф»

Заменив матричное уравнение (6) на Y=X2XQ,

« 1 - I

получаем 0 = —X У. С учетом (3), получим матрицу X2

2 1000...ООО 1 4 1 00...000 О 1 4 1 0...000

(7)

Х=60лТ

О 0000...141

О 0000...012

где элемент матрицы X (обозначим его х) с индексами к, I

N

** = Еф*('у-*,)ф/(*у-*|)"

тт ___

« Jjcpj (и-у)ф, (u-v)dudv, k,l=Q,n. оо

Статистические характеристики полученных оценок

Для доказательства несмещенности полученных оценок перепишем матричное уравнение (7):

N______

Х>7 У, «уЛ/Ф, ) =

<• >0; 1*7

=*2£ё* Еф* )ф, ('7-', )> (8)

*=0 l,J=0,t*J

где 1=0, п. Найдя математическое ожидание от левой и

правой частей (8), получим, что £/фу-т, ]ср, (tj-t, )=

1.7=0./*7

» А N

=Е^[9* 1 Еф* )Ф/(',-', )• Учитывая (2),

Сделав замену переменных и поменяв порядок интег- имеем £0* ]£ф4 (/у)<р/ (ту-г() = £м[0* ]х

рирования, от исходного двойного интеграла перехо- *=® /.7*®» *=®

г Ы *

дам к однократному вида Т- f(l----)<р* (г)ф, (z)dz. х Еф* )ф/ )» откуда следует несмещен-

г /.7=®;/*;

носгь оценок при условии, что - невырожденная матриц а.

Найдем ковариационную матрицу оценок:

V [ 0 ]=М [(0-0 X 0-0 )г ]=М [(\х Y-M [ \х •' Г ])х

X X2

-7*

В асимптотике при Т->оо получим т1 121 ®

/(1-^г)ф* (*)ф, (z)dz* j/p* (г)ф,(2)оЬ.

Тогда вычисление элементов матрицы X сводится к вы-

OD ___

числению интегралов вида J<p* (г)ф, {z)dz, к,1=0,п.

__ у.(\х-'у-м[\х-'уът ]=-!-*-'К[ У К*"1 У ,

Обратная матрица к X была найдена в [3] и имеет вид

м„ -р0р„_, ... н)-р; '

х~'=-

1

6Qn 7У„

-РоР*-, Р,Р»-, ••<-1),"’Р,Ро

(-1)"’Ро(-1)"ИР1Ро- Р„Ро

. (2 + т/3)' + (2--/з)’ — , „

W Р,=--------------------,s=0,n,d„=2$n-$„_x

По Х~' мы найдем явный вид оценок 0*, к=0,п.

X2 X2 X2

где V[Y]=M\YYT}-M[Y\M[YT]. Для нахождения матрицы У[0] необходимо вычислить V[Y]. Усреднив векторстолбец У последовательно по , y(tj), л,, получим

£л[/у-/,]ф0(ту-т,)

>о./*;

£л[/у-/,]ф,(/у-о

А/[УН2

Uj-0,1* J

./,7=0,<*7

84

Элемент матрицы YYT с индексами ег0 отдельно: /, ,У,(/| ,./| = 0,л) обозначим через уу,^ и выпишем

1=0

т=0

ХУи,={ В Я|Л^(Л)Я^) + ЯуУ(^)&/{,> + и^(Л)&у">+£§<>">&|,)}<Р|| Uj-t, )}х

t,j=0\i*J 1=0 т=0 т=0 ‘ "

»/

Б

/=о

х{ )y(ts)+npy(tpmir)+nsy(t')6(/>+&i,)в';’]<ру, а,-*,)>•

р, х*0; р** г=0 9=0 г=0 f=0

Усреднив элемент >y(i7| последовательно по у(/,), л,, получим

M[*y/|7l ]- Е Ф/, > Еф* {tp-ts)E, где

/, ^=0; i*j р, 5=0,

А.3 (Х+1){2Л[/у-Г# Щг,-/, ]Ка2А.3Л[/(-/, },ecmj=p,i*s,

A.3 (k+l){2R[tJ-ti ]R[tj-tp }*R[0]R[t-t, ]}+o2X3R[t-tp ],если j=s,i*pt A-3 (X+l){2F[f,-f, ]+/?[0]Л[Гу-/,, ]}+a2XiR[tJ-tp ],если j*p,i=s,

X3 (X+l){2F[/,-f, ]+F[0]A?[/;-f, ]}+a2X2R[tj-t, ],если j*s,i=p,

X2(X+1)2 {2R2[tj-ti ]+/?2[0]}+2X2 (Х+1)<т2/?[0],если j=p, i=s{Jj=s, i=p,

X4 {R[tj-t, ]/?[*,-/, b-R[tt-t, ]R[tj-tp YrR[t,-tp ]R[tj-ts ]},если j*p, j*s,i*p,i*s.

N N ___

Тогда матрица V[Y] будет состоять из элементов вида ф, (tj-t,) ]ГфУ[ (*p-ts)U, где /,,у,=0,п;

i,j=Q,i*J р, 5=0, p*s

(Х4+2Х3 )R[tj-t, ]R[tj-ts ]+Х3 (Х+1)Л[0]Л[^-/, ]+о2Х3Я[/(-/, ], если j=p,i*s;

(X4 +2X3 )R[trt, ]R[tj-tp ]+Х3 (Х+1)Л[0]/?[/,]+о2 X3/?[>,-/, ],если и_ (X4 +2X3 )R[tJ-ti ]R[t-tp ]+Х3 (Х+1)Л[0]/?[Гу}нзгХ2 R[t ,-t р ],если j*p, i=s;

(X4 +2X3 )/?[*,-/, ]R[t,-ts ]+Х3 (Х+1)Л[0]Л[/,-/, ]+о2Х3Л[/,-/, ], если j*s,i=p;

X2 (Х2+4Х+2)Л2 [tj-t, ]+Х2 (Х+1)2 R2 [0]+2Х2 (Х+1)сг2Л[0],если j=p,i=AJj=s,i=p\

У ]R[*j-tp frR[t,-tp ]},если j*p, j*s,i*p,tes.

Найдем V\Y\ для случая, когда j*p, j±s, tep, i*s с учетом формул (3). Для этого выпишем отдельно элемент этой матрицы с индексами /ьу'ь где /, ,у',=0,л:

Е Ф„ Oj-t,) Ефп (tp-t, )Х4 {*[/,-/, ]R[trtp YR[t-tp }R[tj-ts ]}-

t,)=Q,i*J /»,5=0,/w

TTTT

“‘X* JJJJ<P., (“-у)ф;, {x-y){R[v-y]R[u-x}¥R{vx]R[u-y]dudvdxdy.

0000

2X4 У и jdv jja jq>(| (и-v+a-P)/?[ a ]/?[Р]<ф-

0 0 v •

Поменяв порядок интегрирования, приходим к сумме интегралов:

а+7

2Х4 { |Л[а]</а |/?[Р]ф J<A< j(p(i (и-у)фУ1 (и-v+a-p ) </v+

-Г -Г 0 0

г о р+г г

+J/?[a]</a J/?[Р]с/р jdu \ф(| (и-у)фУ1 (и-v+a-P )Л+

О -Г О а

О Г Т я+Т

+ pj[a]da J/?[P]</p ji/и Jip(i (w-v)cp;i (и-v+a-p)dv+

-T 0 0 0

+p?[a]da р?[р]ф feu Jip(i (w-v)<pyi (и-v+a-p)dv}.

0 0 t a

Устремив 7—>00 во всех внутренних интегралах ственные интегралы, окончательно получаем предыдущего выражения, вычислив полученные несоб-

Разбив на сумму двух интегралов, сделав замену переменных в обоих интегралах и учитывая четность функций ф* (т), к=0, л, имеем

О О Р+г

Е Ф/, > ЕФу, О,-*. )*-4 Wj-tp 1 +

i,j=Oti*j p,s=0,p*s

+R[t-tp]R[tJ-tI)*2X4T J/?[a]rfa p?[P]F<i;i (а,р)ф,

-00 —00

85

_ 1 f . , „, , _ с использованием преобразования Фурье. Оконча-

где '.у,а-Р)-2Я,'|И (и у+а_Р) • Функции Тельно имеем, что V[Y]~ это трехдиагональная матри-

FliJi (а, Р), /,, у, = 0, п достаточно легко вычисляются ца со следУющими элементами.

у01 =Х*пС1Т

у„,=ХАжПТ

СВ СО л

f/?[а]f/?[p]-----------{О(а-р)-8т[О(а-Р)]}ф,если/=0;

-i -i П3(а-Р)

]я[а]</а]л[Р]——1-------{2sin[ П ( а~Р )]-Q (а-р )-

-i -i Q3 (а-p)3

-Q(a~P)cos[Q(a-P )]}*ф, если /=I;

О, если/>2;

0,если/<л-1;

Jj?[a]<fa]j?[p} "

О, если /=и; ]*[a]<fa]j?[p}

уи=Х*пС1Т

Л2(а-Р)2 2

со5[(и-1)П(а-Р)]ф,если l=n-1;

-{Q (а~Р )cos[/Q (а-р) In-

ti (а~Р)

+sin[( /-1) П (а-Р)]—sin[( /+1) Q (а-Р)]}, если к=1;

]я[а]£Йх J^tP]—^^-------r{-fi(a-p)cos[wQ(a-p)]

-«о . Q (а—р)

-2sin[( m-\) Q (а-Р )}+2sin[ mCl ( a-P )}--Q (a-P )cos[( m-1) fi ( a-p)]}, если | k-l |=1, m=max( k,l); О, если |A—/1>1;

где Л=1,я-1; /=0,л-1; и, наконец,

Укп=х\о.т

О, если к<п-\,

|Л[а]</а Jj?[p]^—pp-cos[(zz-l)fi(a-P)]^, если к=п-1,

О, если к=п.

Знание матрицы К[0] позволяет обычным образом параметров, вычислять доверительные интервалы для неизвестных

ЛИТЕРАТУРА

-СО

1. Максимов Ю.Д. Теория и упражнения по случайным процессам. Л: Изд-во ВКАС.1972. 314 с.

2. Вентцепъ Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 576 с.

3. Константинова И.Г. И Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С. 81-87.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 18 декабря 1999 г.

86