Выделение информативных компонент сигнала с использованием вейвлет-представления Текст научной статьи по специальности «Физика»

ленного изменения алгоритмов программного управления для достижения самонастройки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронин В.А., Тарасов С.П., Куценко Т.Н.. Исследование характеристик параметрических антенн с многоканальным сигналом накачки в задачах идентификации объектов // Известия ТРТУ. 2001. № 1/ Материалы научной конференции. С.101 - 104.

2. Сурков М.Н., Покровский Ю.О., Мардер М.М.. О построении цифровых синтезаторов сетки частот равномерно-темперированной шкалы // Синтезаторы частот/ Тезисы докладов третьего семинара молодых ученых. Ноябрь 1979. М.: Изд-во ВНТ межотраслевой информации, 1979. С. 2.

3. Рыжков А.В., Попов В.Н.. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. М.: Радио и связь, 1991. 264 с.

4. Нестеров В. С. Вопросы синхронизации в гидроакустических телеметрических системах // Труды Всесоюзной научно-технической конференции по системам синхронизации М. - Горький, 1979.; М: Сов. радио. С.41-42.

5. Нестеров В.С. Адаптация и описание функционирования гидроакустических систем на основе нелинейной фильтрации // Модели, алгоритмы, принятия решений / Труды 2-го Всесоюзного акустического семинара. Л: Из-во ЛИАП, 1988. С.26-27.

6. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигнала. М: Сов.радио, 1975.

7. Цифровые системы фазовой синхронизации/ Под ред. Н.И. Жодзишского, М: Сов.радио, 1980. 208с.

8. Г. Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции: В 3 т. М.: Сов.радио, 1975. Т.2

А.С.Черепанцев

ВЫДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ КОМПОНЕНТ СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Одним из активно развивающихся направлений в теории ортогональных систем, временных рядов и обработки сигналов является использование функций с ограниченным носителем или вейвлет-функций (Wavelets) для представления, фильтрации, сжатия сигналов.

Целью данной работы является лишь постановка задачи и представление некоторых модельных результатов по использованию функций с ограниченным носителем для выделения дополнительной информации при работе с гидроакустическими сигналами. Основная идея метода заключается в следующем.

Одним из наиболее широко применяемых методов анализа произвольного сиг-налаf(x) является линейное разложение по заданным базисным функциям:

f (x) = X ср, (x) .

i

Выбор в качестве базисных дельта-функций

И 1 = х,

Si(X) Ч0 ■

[0, 1 Ф х

дает полную информацию о временном поведении сигнала и его разрешении во временной области и не дает никакой информации о частотной характеристике сигнала. С другой стороны, выбор гармонических функций в качестве базисных дает, наоборот, информацию только о частотной характеристике сигнала.

Компромисс между двумя крайними представлениями сигнала лежит в задании базисных функций {р.}, имеющих конечного размера носитель как во временной, так и в частотной областях.

Основная идея вейвлет-анализа заключается в многомасштабности анализа сигнала, т.е. задание базисных функций с различной длиной носителя позволяет, с одной стороны, функциям с широким носителем получить информацию с высоким разрешением низкочастотных компонент, а с другой - функциям с коротким носителем получить информацию с высоким временным разрешением.

В основе анализа лежит преобразование, определяемое как свертка анализируемой функции со сдвинутой на х и растянутой в £ раз базисной вейвлет-функцией:

^(х,8) = (^)' £ (1 )*. (!)

Как следует из (1), варьируя масштаб 8 и сдвигая его по локальному временному индексу п можно получить изображение, показывающее одновременно амплитуду отдельной гармоники, соответствующей масштабу 5, и то, как эти амплитуды изменяются во времени. Хотя можно вычислять вейвлет-преобразование непосредственно по (1), однако это делается более быстро в спектральной области.

Вейвлет преобразование есть обратное преобразование Фурье произведения спектра исходного сигнала и комплексно сопряженного значения спектра вейвлет-функции:

N-1

^^) = ХХкР*(8Юк) • е—, (2)

к=0

где N - число точек во временной серии, X - Фурье преобразование временной

серии, Р - преобразование Фурье вейвлет-функции, юк - угловая частота.

Более удобна для сравнительного анализа нормированная функция, представленная как

( 81 )

Р0(8“к) = [ ) Р(8“к). (3)

В общем случае вейвлет-преобразование (1) является комплекснозначным -его можно разбить на вещественную и мнимую части, определив его амплитуду и фазу.

С целью повышения удобства сравнения вейвлет-спектров различных реализаций сигналов имеет смысл провести общую нормировку. С учетом того, что

N-1

^|Р0(8юк)| = N - среднее значение по выборке величины |^п (5)|2 равно наблю-

к = 0

денному N раз значению величины |Хк|2. Среднее значение этой величины для модели белого шума равно с2/, где ст2 - дисперсия. Таким образом, для белого шума

среднее значение квадрата вейвлетспектральной функции равно ^п(8)|2 =с2. Поэтому нормализованный вейвлет-спектр мощности |^п С?)2/ с2 дает меру мощности

относительно белого шума.

Выделим несколько основных факторов выбора вейвлет-функции Р0 (п):

1. Использование ортогональных либо неортогональных вейвлетов. В ортогональном вейвлет-анализе число операций свертки на каждом масштабе 8 пропорционально ширине базиса вейвлета на данном масштабе. Это дает вейвлет-спектр, который состоит из дискретных "блоков" вейвлет-спектров и наиболее полезен для задач обработки сигналов, т. к. дает наиболее компактное (сжатое) представление сигнала. Неортогональный же анализ эффективен на больших масштабах, когда вейвлет-

спектр на малых временных интервалах высоко коррелирован. Неортогональное преобразование наиболее эффективно в анализе временных серий, когда наблюдаются сглаженные, продолжительные вариации в спектре;

2. Использование комплексных или вещественных вейвлетов. Комплексная вейвлет-функция выдает информацию как об амплитуде, так и о фазе и лучше приспособлена для описания колебательного поведения сигнала;

3. Ширина вейвлет-функции. Разрешающая способность вейвлет-функции определяется балансом между шириной вейвлета во временной области и шириной в спектральной области;

4. Форма вейвлет- функции. Вейвлет-функция должна отражать особенности процесса. Для временных серий с резкими выбросами или меандрами выбирается обычно ступенчатая функция, например, Хаара, а для сглаженных вариаций во временной серии предпочтительно использование сглаженной функции, например, затухающей косинусоиды.

Обратимся к функции неопределенности вейвлет-сигнала. Рассмотрим вопрос о разрешающих свойствах по дальности (по времени) и по скорости (частоте) при использовании сигналов в виде вейвлет-функций, а также при построении вейвлет-преобразования исследуемого сигнала. Для этого построим функцию неопределенности вейвлет-функций. Наиболее просто рассчитать функцию неопределенности вейвлета- Морле с учетом определений:

1 да

(4)

Хо(т, ®) = -—1---------j P(t - x)9*(t)e1Mtdt,

j|p(t)|2dt

где (p(t) есть огибающая сигнала вида

1/2 i/4

s П

(5)

Проинтегрировав (4), для значения функции неопределенности вейвлета-Морле получаем несколько видоизмененное значение известной функции неопределенности импульсного сигнала с колоколообразной огибающей:

|Хо(Т ю)| = exp

22 + ю2 • s2

В данном соотношении, принят единичный интервал дискретизации сигнала. Сечение функции неопределенности на уровне 0,5 для значений масштабов s=1, 2, 4 представлено на рис.1.

Полученный результат может служить дополнительной иллюстрацией факта трансформации разрешений по дальности и скорости при изменении масштаба при вейвлет-преобразовании.

Рассмотрим далее функцию неопределенности вейвлета, основанного на негармонической функции. Для этого выберем вейвлет-DOG2 (Mexican Hat), являющегося второй производной гауссиана. Учтя, что спектральное представление DOG2 может быть записано как

Рис.1

2

s

у(8га) = ■

а функция неопределенности задана как

. 2п

Хо(Т 0) =■

-(8И)2_

2

||у(га)|^га

| га - — ]у* I га + — ]е1гаМга

О

путем взятия интеграла, для функции неопределенности вейвлет-функции БОв2 получается выражение

Хо№ *-

3-1 ОУ + зК ] +

1_

4-82

Г

д

На рис.2а изображена контурная поверхность данной зависимости при 8=1, а на рис.2б - сечение плоскостью 0=0 - автокорреляционная функция сигнала. Как следует из приведенной зависимости, для негармонической формы сигнала возникает неоднозначность в интерпретации полученной функции неопределенности, связанной прежде всего с некорректностью определения огибающей такого рода сигналов, используемой в задании функции неопределенности.

Рис. 2

В соответствии с представленными рисунками возникает парадоксальная ситуация, при которой функция БОв2, будучи более сконцентрированной на временной оси, чем, например, функция Морле, за счет наличия обратной корреляции имеет необоснованно заниженное значение разрешения по времени (по дальности).

Такая ситуация возникает в связи с некорректностью выделения связи для сигналов, имеющих негладкую форму, работать с которыми имеет смысл не в частотной области, а в масштабной. Именно так осуществляется работа по вейвлет-преобразованию с помощью такого рода функций. Данный подход диктует необходимость задания видоизмененной функции неопределенности, которая бы была более адекватна сущности вейвлет-идеологии.

Замена в определении (4) функции неопределенности частоты га, являющейся по смыслу сдвигом в частотном диапазоне сигнала для анализа его связи со своей нездвинутой копией, изменением масштаба 8 в вводимой вейвлет-функции неопределенности может быть записана так (при этом временой сдвиг в функции неопределенности остаются неизменными):

1

'Л

2

2

8

8

б

а

Хо(т,£0 = -

I ф[ |ф (1)Л

(5)

Так, определенная функция представляет собой более общую запись функции неопределенности. При этом привычное определение является частным случаем при

„ -1®

Б = е .

Рассмотрим использование вейвлет-анализа для выделения когерентной компоненты сигналов. Как было сказано выше, именно непрерывный вейвлет-анализ имеет целью исследование временных вариаций сигнала неизвестной природы путем разложения его на отдельные масштабно-временные компоненты в максимально широком (по сравнению, например, с Фурье-анализом) диапазоне масштабных и временных участков.

Рассмотрим задачу возможности выделения когерентной составляющей в принятых сигналах в пространственно разнесенных точках приема. Данная задача представляется актуальной при лоцировании источников звука, находящихся на разных

относительных удалениях от

И.1

И.2

И.3

Пр.1

V

Пр.2

V

812-''

822.*^

,^з:

Рис.3

элементов протяженной приемной антенны. Схематически это можно изобразить условной схемой рис. 3.

Пусть даны произвольно по глубине расположенные излучатели И1 , сигналы от которых принимается группой приемников Пр^ расположенных на различном удалении от источников. Так как разность хода волны от одного и того же источника до приемников зависит как от координат излучателя и приемников, так и от акустических свойств среды распространения, то когерентные компоненты от различно расположенных излучателей будут иметь отличные значения разности хода. Выделение в принятых сигналах локальных участков, имеющих общую структуру сигнала от единого источника и задержку друг относительно друга, может дать существенную информацию о расположении и свойствах источников, образующих реальное акустическое поле.

В модели рассмотрена группа импульсов с гауссовой огибающей, имеющих случайную, нормально распределенную несущую частоту и нормально распределенный масштаб каждого импульса. В соответствии с рис. 3, источники имеют постоянный шаг по глубине, а расстояние до двух приемников определяется для простейшей

модели однородной среды распространения: ^ ] • ДИ)2 + Я2 , где ДИ - расстоя-

ние по глубине между соседними источниками, а Щ - расстояние от вертикальной оси расположения источников и]-м приемником. В нашем случае Я1 =5-ДИ, Я2=2 Я1.

Вид принятых сигналов представлен на рис. 4 и указывает на наличие участков наложения сигналов от приближенных к поверхности источников. При этом, как следует из формулы для разности хода, сигнал, принятый на удаленном приемнике, имеет меньшие разности хода импульсов по сравнению с более близкорасположенным, и первые три импульса практически неразделимы.

1

Т---------------1--------------1---------------1--------------1---------------г

Рис.4

Использование аппарата вейвлет-анализа для решения поставленной задачи представляется обоснованным, т. к. одной из главных целей применения вейвлет-анализа является выделение нестационарных характеристик процесса, к которым можно отнести и выделение когерентных компонент сигналов, присутствующих лишь на отдельных временных участках (в случае работы по выделению сигналов от движущихся объектов такая же задача может быть поставлениа и для масштабной области ввиду полного равноправия этих областей).

Рассмотрим функцию следующего вида:

1 п , -

ф(*> т)=-Ё ¥ *(+х,8])-

п ]=1

Данная функция представляет собой усреднение произведения вейвлет-спектра мощности сигнала X на сдвинутый интервал времени т по всем масштабам разложения сигналов & Значок указывает на комплексное сопряжение. При наличии во временной области когерентных составляющих сигнала модуль функции Ф, подобно функции взаимной Рис.5. корреляции, достигает экстремума.

На рис.5 представлен |Ф| как функция времени и временного сдвига. Области повышенной яркости на графике указывают на характерные временнные участки сигнала, имеющие подобные по форме фрагменты во втором сигнале. Проведенная кривая через данные области согласуется и с известными значениями задержек в принятых импульсах. Накладывающаяся сетчатая структура на рис.5 указывает на временной характер последовательности импульсов, близкий к кратному.

Замечание._Подобная же функция может быть построена и для усреднения во временной области,. и для выделения когерентных частотных компонент, сдвинутых в частотной области (за счет, например, движения лоцируемого объекта).

т

200-

С.С. Коновалова

ИЗМЕРЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТА ОБРАТНОГО ОБЪЕМНОГО РАССЕЯНИЯ В ОКЕАНЕ С ПОМОЩЬЮ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИДРОЛОКАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Экспрессные дистанционные методы исследования океана, в которых получение информации о свойствах среды обусловлено характером рассеяния акустиче-