CC BY
12
DOI 10.25987^Ш2019Л5.3.008 УДК 519.254
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ОЦЕНКИ РИСКОВ НЕСВОЕВРЕМЕННОГО ЗАВЕРШЕНИЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК
С.А. Олейникова, К.Е. Киселев, И.А. Селищев Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: объектом исследования в данной работе являются многостадийные системы со случайным временем выполнения отдельных работ. Предполагается, что процесс обслуживания заявки представляет собой выполнение множества последовательно-параллельных работ. Поскольку время обслуживания всей заявки является случайной величиной, предметом исследования является разработка математического аппарата, представляющего собой оценки вероятностей несвоевременного завершения обслуживания. Частично заданная задача уже была решена. В частности, был разработан метод Program Evaluation and Review Technic (PERT), позволяющий в том числе оценить закон распределения (с точностью до параметров) случайной величины, представляющей собой длительность обслуживания. Однако данный метод основан на предположениях, которые для реальных систем практически никогда не могут иметь место. В связи с этим возникает необходимость в проведении вычислительного эксперимента, позволяющего оценить точность существующих оценок, позволяющих определять вероятности несвоевременного обслуживания. В качестве исходных данных для эксперимента подаются взаимная зависимость и числовые характеристики работ, множеством которых задается заявка. На выходе получаем подтверждение или опровержение гипотезы о нормальном распределении выборки, каждый элемент которой описывает время выполнения всех работ. Результаты эксперимента свидетельствуют о необходимости получения более точных оценок для описания закона распределения соответствующей случайной величины
Ключевые слова: стохастические многостадийные системы, длительность обслуживания, PERT, функция распределения, плотность распределения, вычислительный эксперимент
Введение
Особенностью современных производственных и обслуживающих систем является точность, предъявляемая к составлению графика ее функционирования. Отклонение фактического времени начала работ от планового может повлечь целый ряд неблагоприятных последствий (штрафные санкции, ухудшение репутации компании и т.д.). В связи с этим практически значимой становится задача оценки рисков, связанных с несвоевременным обслуживанием поступающей заявки. Наличие эффективного математического аппарата позволит не только минимизировать риски, связанные с неблагоприятными ситуациями, но и иметь возможность составления более качественного расписания для последующих заявок с учетом наличия точной информации о занятости оборудования и специалистов.
Данная задача относится к классу задач сетевого планирования и управления (управления проектами). Среди методов ее решения можно выделить метод PERT, представляющий собой расчетные формулы расчета стохастических характеристик системы [1, 2].
© Олейникова С.А., Киселев К.Е., Селищев И.А., 2019
Однако те предположения, на которых данный метод основывается, являются недостижимыми для реально функционирующих систем. В частности, предполагается, что количество работ, стоящих на так называемом критическом пути заявки, очень велико (в идеале, стремится к бесконечности). Более того, желательно, чтобы все работы имели одинаковые параметры распределения случайной величины, которая описывает длительность обслуживания. Очевидно, что на практике ни одно из этих требований выполняться не будет. В связи с этим можно утверждать, что расчетные формулы PERT будут обладать некоторой погрешностью. Для оценки величины этой погрешности и анализа качества метода целесообразно проведение вычислительного эксперимента, позволяющего для каждой конкретной заявки (с заданной структурой и зависимостью между ее отдельными работами) оценить погрешность расчетов.
Целью работы является проверка возможности использования нормального закона распределения для оценки длительности обслуживания заявки. Данная проверка проводится с помощью критериев согласия, которые применяются к выборочным значениям, полученным экспериментальным путем. На вход эксперимента подается граф, описывающий заявку, и
числовые характеристики его отдельных работ. На выходе получаем экспериментальное значение по выбранному критерию согласия, примененному для данных выборочных значений.
Постановка задачи и особенности существующих подходов к ее решению
Исследуется работа многостадийной стохастической системы, процесс обслуживания в которой представляет собой множество последовательно-параллельных работ. Каждая работа задается своей длительностью, которая является случайной величиной, и взаимной зависимостью (множеством предшествующих или последующих работ). Подробно такие системы проанализированы в [3]. Требуется оценить закон распределения (функцию или плотность распределения) случайной величины, описывающей длительность обслуживания заявки.
Среди методов решения данной задачи следует выделить метод PERT (Program Evaluation and Review Technic), который позволяет описать случайную величину 4, характеризующую время завершения обслуживания заявки. Вероятность завершения проекта в срок определяется формулой [4] :
p(4< t )=
(x-a )2
42ж<7 -
dx.
(1)
Здесь a и с - параметры нормального закона распределения, представляющие собой математическое ожидание и дисперсию случайной величины Среди всех работ выделяются те, которые стоят на критическом пути (т.е. суммарное время выполнения которых определяет длительность обслуживания заявки). Тогда параметры a и с рассчитываются следующим образом [4]:
a = MÇ= M4 +...+ MÇk,
° = d^i +... + dÇk .
(2) (3)
Здесь - случайные величины, опи-
сывающие работы, которые стоят на критическом пути.
В частности, вероятность того, что длительность выполнения проекта будет лежать во временном интервале (я,Ь), определяется формулой:
P(a <4 < b) = jf (t)dt =F( (b)-Fs (a) . (4)
Вероятность несвоевременного завершения проекта будет определяться следующим образом:
p(4> t ) = 1 - f(t ).
(5)
В формулах (4) и (5) - плотность распределения случайной величины, представляющей длительность обслуживания заявки; F^(t) - плотность распределения данной случайной величины.
Как видно из данных формул, закон распределения является ключевым при оценках вероятностей несвоевременного завершения обслуживания. В связи с этим, особую актуальность приобретает выбор данного закона. Нормальный закон распределения итоговой случайной величины выбран на основании центральной предельной теоремы. Она утверждает, что сумма бесконечно большого числа одинаково распределенных случайных величин распределена нормально [4]. Однако для существующих обслуживающих систем такие положения являются практически недостижимыми. Во-первых, число работ, стоящих на критическом пути, как правило, невелико (даже для больших систем, в основном, не более десяти). Во-вторых, каждая из выполняемых работ индивидуальна, и, следовательно, индивидуальные характеристики соответствующей случайной величины. В связи с этим возникает задача проверки случайной величины, описывающей длительность обслуживания заявки, на соответствие нормальному закону распределения.
Экспериментальная проверка закона распределения длительности обслуживания заявки
Проведем следующий вычислительный эксперимент. На вход будем подавать комплекс взаимно-зависимых задач с длительностями, определенными по закону бета; на выходе необходимо получить результаты проверки гипотезы о законе распределения случайной величины, описывающей длительность обслуживания заявки. Подадим на вход следующий сетевой график (рис. 1).
a
T
1
2
e
Рис. 1. Пример сетевого графика
Пусть временные характеристики работ приведенного проекта будут иметь следующие значения (табл. 1).
Таблица 1 Временные характеристики работ
Собы- № Рабо- Длитель- Ран- Позд- Ре-
тие работы та ность нее начало нее начало зерв
1 1 1-2 10 0 0 0
2 1-3 9 0 4 4
2 3 2-4 12 10 15 5
4 2-5 15 10 10 0
5 2-6 10 10 13 3
3 6 3-4 14 9 13 4
7 3-5 8 9 17 8
8 3-6 7 9 16 7
4 9 4-7 9 23 32 9
10 4-8 11 23 27 4
5 11 5-7 6 25 35 10
12 5-8 13 25 25 0
6 13 6-7 16 20 25 5
14 6-8 15 20 23 3
7 15 7-9 15 36 41 5
8 16 8-9 18 38 38 0
Здесь первые четыре столбца являются исходными данными; столбцы, описывающие раннее, позднее время начала работ и резерв, рассчитаны по известным формулам метода СРМ.
Сначала исследуем случай, когда характеристики работ близки к условиям центральной предельной теоремы.
Таблица 2 Временные характеристики работ
Работа Мин. Макс. ожидание
1-2 9 11 10
1-3 8 10 9
2-4 11 13 12
2-5 14 16 15
2-6 9 11 10
3-4 13 15 14
3-5 7 9 8
Продолжение табл.2
3-6 6 8 7
4-7 8 10 9
4-8 10 12 11
5-7 5 7 6
5-8 12 14 13
6-7 15 17 16
6-8 14 16 15
7-9 14 16 15
8-9 17 19 18
Проверим гипотезу на нормальность распределения случайной величины, описывающей длительность обслуживания. Были использованы несколько критериев. Приведем примеры использования критерия Специфика этого критерия заключается в принятии гипотезы о законе распределения в случае, если экспериментальное значение итогового значения меньше критической величины, и отклонении гипотезы в противном случае. Экспериментальное значение определяется на основании выборочных значений по формуле:
О =
эксп
[п1 - пР1) пр1
(6)
Здесь п; - количество выборочных значений, попавших в интервал ;; р; - гипотетическая вероятность попадания в данный интервал (которая в данном случае основывается на предположении о нормальном распределении выборки); п - объем выборки.
Далее было сгенерировано несколько выборок, каждая из которых определяет определенную работу. Каждый элемент данной выборки ; описывает длительность выполнения > й работы. Он определяется путем генерирования случайной величины, имеющей распределение бета. Данный закон распределения имеет вид:
/((г ) = Ь(Р, д)(Ъ - а)Р
— (г - а)Р-1 (Ъ - г)"-\ а < г < Ъ,
(7)
10, г < а, г > Ъ.
Определение параметров р и д через математическое ожидание и дисперсию подробно описано в [5]. После этого определяется текущий элемент итоговой выборки на основании графа (для данного примера, представленного на рис. 1). Согласно критерию согласия экспериментальное значение в предположении о нормальном распределении выборки будет
16,523. При этом критическое значение равно 27.587.
Изменим теперь асимметрию лишь у двух работ, стоящих на критическом пути, а временные характеристики остальных работ оставим без изменения. При этом увеличим дисперсию вдвое.
Таблица 3
Исходные данные для эксперимента
События Мин. Макс. Ожидание
1-2 9 13 10
1-3 7 11 9
2-4 10 14 12
2-5 13 17 15
2-6 8 12 10
3-4 12 16 14
3-5 6 10 8
3-6 5 9 7
4-7 7 11 9
4-8 9 13 11
5-7 4 8 6
5-8 11 15 13
6-7 14 18 16
6-8 13 17 15
7-9 13 17 15
8-9 17 21 18
Получим экспериментальное значение 71.617. Если при этом изменить асимметрию у четырех величин, стоящих на критическом пути, то экспериментальное значение итоговой величины составляет 240.59.
ТСЬагг
Рис. 2. Гистограмма полученной выборки
Кроме данного критерия для проверки гипотезы о законе распределения использовался критерий Колмогорова-Смирнова с поправкой Лиллиефорса, а также критерий Шапиро-Уилка, который является одним из наиболее мощных критериев проверки нормальности закона распределения [6]. Выводы, полученные с использованием данных критериев, по-
казывают в среднем одинаковые результаты. Кроме перечисленных выше методов, воспользуемся известным методом Пирсона, позволяющим осуществлять подбор закона распределения по экспериментальным данным. Для этого рассчитывается асимметрия и эксцесс распределения, а также вспомогательный показатель % [6]:
Здесь А и Е - асимметрия и эксцесс распределения выборки. Если %=0, то данная кривая соответствует нормальному распределению; если %<0 - бета-распределению. Для описанного выше примера с характеристиками, представленными в табл. 2, получили значения показателя %, равные -0,0098, что соответствует бета-распределению, но может также быть оценено и нормальным законом. При увеличении асимметрии (в частности, как это представлено в табл. 3) величина % имеет отрицательный знак и растет по модулю, что говорит о целесообразности использования именно закона бета для оценки ее закона распределения.
Результаты экспериментального исследования
Представленный в предыдущей части пример, а также результаты многочисленных экспериментов позволяют сделать следующие выводы относительно закона распределения случайной величины, описывающей длительность обслуживания заявок в многостадийных системах. В случае если все работы, стоящие на критическом пути, имеют симметричный закон распределения и небольшую дисперсию, то случайную величину, как правило, можно описать с помощью нормального закона распределения. При увеличении дисперсии закон распределения уже не подчиняется нормальному закону распределения с точки зрения ряда критериев согласия. В случае же, если работы являются асимметричными, то отклонение экспериментального значения итоговой величины от критического значения крайне велико, что говорит о невозможности использования нормального закона в качестве предполагаемого распределения случайной величины.
Подбор кривых по экспериментальным данным позволил выдвинуть гипотезу о воз-
можном бета-распределении соответствующей случайной величины.
Выводы
Целью работы являлся анализ точности использования нормального закона распределения для оценки рисков несвоевременного завершения проекта. Для этого был проведен вычислительный эксперимент, позволяющий оценить правомерность использования нормального закона распределения для проекта, множество работ которого задано взаимной зависимостью, представленной тем или иным графом. Для проверки гипотез о законе распределения были использованы различные критерии согласия (%2, Колмогорова-Смирнова и другие). В результате можно сделать следующие выводы.
1. Нормальный закон распределения целесообразно использовать для оценки рисков несвоевременного завершения проекта лишь в случае, если все его работы, стоящие на критическом пути, имеют симметричный закон распределения с относительно небольшой дисперсией.
2. В случае, когда дисперсия работ велика или, по меньшей мере, одна из работ, стоящих на критическом пути, имеет асимметричный закон распределения, гипотеза о нормальном распределении длительности проекта не подтверждается.
Поступила 15.04.2019; принята к публикации 31.05.2019 Информация об авторах
Олейникова Светлана Александровна - д-p техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0333-2313
Киселев Константин Евгеньевич - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: bedrrin11@gmail.com
Селищев Иван Алексеевич - магистр, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: selishcheviv@gmail.com
COMPUTATIONAL EXPERIMENT FOR RISK ASSESSMENT OF UNTIMELY COMPLETION OF APPLICATIONS SERVICE
S.A. Oleynikova, K.E. Kiselev, I.A. Selishchev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: multi-stage systems with random execution times of individual works are the object of research in this paper. It is assumed that the process of servicing the application is the execution of a set of series-parallel work. Since the service time of the entire application is a random variable, the subject of the research is the development of a mathematical apparatus, which is an estimate of the likelihood of late completion of the service. Partially assigned task has already been solved. In particular, the Program Evaluation and Review Technic (PERT) method was developed, which allows, among other things, esti-
3. Исходя из данных эксперимента, использование нормального закона для оценки рисков несвоевременного завершения проекта нецелесообразно. Необходимо осуществить поиск такого закона распределения, который бы позволял принимать гипотезу о законе распределения для любых законов распределения длительностей отдельных работ (симметричных или асимметричных) и любых значений дисперсий. В качестве такого закона предлагается проверить закон бета.
Литература
1. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования. М.: Прогресс, 1968. 182 с.
2. Eric L. Demeulemeester, Willy S. Herroelen. Project Scheduling: A Research Handbook (International Series in Operations Research & Management Science) Hardcover. 30 Jun 2002. 684 p.
3. Golenko-Ginzburg D., Gonik A. Project planning and controlling by stochastic network models. Managing and Modeling Complex Projects, 17, 1997, pp. 21-43.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1999. 576 с.
5. Олейникова С.А. Вычислительный эксперимент для анализа закона распределения случайной величины, описывающей длительность проекта в задачах сетевого планирования и управления // Экономика и менеджмент систем управления. 2013. Т.9. № 3. С. 90-96.
6. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: Физматлит, 2006. 816 с.
mating the distribution law (up to parameters) of a random variable that represents the duration of the service. However, this method is based on assumptions that almost never can take place for real systems. In this connection, it is necessary to carry out a computational experiment, which makes it possible to evaluate the accuracy of existing estimates, which make it possible to determine the probabilities of untimely maintenance. As the initial data for the experiment, mutual dependence and numerical characteristics of the works, the set of which specifies the application, are submitted. At the output, we get confirmation or refutation of the hypothesis about the normal distribution of the sample, each element of which describes the time for all the work. The results of the experiment indicate the need to obtain more accurate estimates to describe the distribution law of the corresponding random variable
Key words: stochastic multi-stage systems, service time, PERT, distribution function, distribution density, numerical experiment
References
1. Kofman A, Debazey G. "Network planning methods" ("Setevye metody planirovaniya"), Moscow, Progress, 1968, 182 p.
2. Demeulemeester E. L., Herroelen W. S. "Project scheduling: a research handbook (International series in operations research & management science)", Hardcover, 30 Jun 2002, 684 p.
3. Golenko-Ginzburg D., Gonik A. "Project planning and controlling by stochastic network models", Managing and Modeling Complex Projects, 1997, 17, pp. 21-43.
4. Ventcel E.S. "Theory of probabilities" ("Teoriya veroyatnostey"), Moscow, Vysshaya shkola, 1999, 576 p.
5. Oleynikova S.A. "Computer experiment for the analysis of the distribution law of the random quantity that determines the duration of the project in problems of network planning and management ", Economics and Management of Control Systems (Ekonomika i menedzhment sistem upravleniya), 2013, vol.9, no. 3, pp. 90-96.
6. Kobzar' A.I. "Applied mathematical statistics. For engineers and scientists" ("Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov I nauchnyh rabotnikov"), Moscow, Fizmatlit, 2006, 816 p.
Submitted 15.04.2019; revised 31.05.2019
Information about the authors
Svetlana A. Oleynikova, Dr. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia) e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com
Konstantin E. Kiselev, Graduate student, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: bedrrin11@gmail.com
Ivan A. Selishchev, MA, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: selishcheviv@gmail.com
