ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РАБОТ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.213.2

ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РАБОТ

С.А. Олейникова

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: объектом исследования в данной работе являются стохастические многостадийные системы, процесс обслуживания в которых представляет собой выполнение множества последовательно-параллельных работ со случайной длительностью обслуживания. В этом случае время обслуживания всей заявки является случайной величиной. Несомненный интерес представляет оценка числовых характеристик случайной величины, описывающей данную длительность. В настоящее время существует подход PERT, позволяющий получить искомые оценки. Однако предположения, на основании которых получены данные оценки, не для всех систем могут иметь место. Более того, в некоторых случаях эти предположения неправомерны. В связи с этим возникает вопрос о точности предлагаемых оценок метода PERT. Целью работы является оценка аналитических возможностей, позволяющих максимально точно оценить характеристики исследуемой величины. Анализ специфики исследуемых систем позволил аналитически описать искомую случайную величину как максимум из множества величин, представляющих собой длительности последовательности работ, стоящих на данном пути. В работе исследована возможность аналитического получения характеристик случайной величины, в результате чего сделан вывод о целесообразности подключения аппарата численных методов. Таким образом, проанализированы особенности оценки числовых характеристик случайной величины, описывающей длительность выполнения комплекса последовательно-параллельных работ

Ключевые слова: стохастические многостадийные системы, длительность обслуживания, PERT, математическое ожидание, дисперсия

Введение

Рассматривается процесс функционирования сложных обслуживающих систем, обеспечивающих возможность выполнения комплекса последовательно-параллельных работ для обслуживания заявки. Время выполнения каждой отдельной работы является случайной величиной. Необходимо оценить длительность обслуживания всей заявки.

Данная задача относится к классу задач сетевого планирования и управления (управления проектами). Для задач со случайной длительностью работ разработан метод PERT, позволяющий не только оценить время выполнения отдельных работ, но и длительность обслуживания всей заявки [1, 2].

Однако, как показали исследования, предположения метода не всегда имеют место в реальных условиях. В связи с этим формулы PERT также будут обладать некоторой погрешностью. Для минимизации данной погрешности необходима разработка нового аналитического аппарата, позволяющего оценить числовые характеристики искомой случайной величины с наивысшей точностью.

В данной работе описана постановка задачи; экспериментальным путем показана не-

© Олейникова С.А., 2018

точность оценок метода PERT, которая будет увеличиваться при наличии нескольких критических путей. Далее предлагается описание длительности обслуживания, которая есть максимум из случайных величин, каждая из которых представляет собой суммарное время выполнения работ, стоящих на определенном пути. Описав числовые характеристики данной случайной величины, проанализировали возможности для аналитического нахождения математического ожидания и дисперсии.

Постановка задачи и ее особенности

Рассматривается многостадийная система, на вход которой поступает поток заявок. Каждая заявка для своего обслуживания должна пройти множество взаимно зависимых (последовательно-параллельных) работ. Каждая работа задается своей длительностью, которая является случайной величиной, и взаимной зависимостью (множеством предшествующих или последующих работ). Требуется оценить числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) случайной величины, описывающую длительность обслуживания всего комплекса работ.

Проанализируем особенности данной задачи. В детерминированном случае, когда время выполнения каждой работы заранее из-

вестно и неизменно, значение длительности обслуживания можно оценить следующим образом:

Тфакт = ^Ч • Wk еК

Здесь К - множество работ, образующих критический путь, wk - очередная работа, принадлежащая критическому пути; ^ - длительность этой работы.

В стохастическом случае возникает неопределенность, связанная с возможностью изменения критического пути в процессе обслуживания. Поясним это на простом примере. Рассмотрим сетевой график, представленный на рисунке.

В:3

Пример сетевого графика

На данном рисунке буквами отмечены работы, а через двоеточие представлена их ориентировочная длительность (оценка математического ожидания). Как можно видеть из данного рисунка, критический путь составляют работы А, В и С. Однако если, например, работа С завершится на 2 единицы раньше, то критическими будут уже работы D и E. Таким образом, нельзя заранее однозначно определить ни критический путь, ни множество работ, лежащих на нем.

Кроме того, специфика длительности работ и их взаимной зависимости может быть такова, что у задачи может существовать два критических пути. В этом случае возникают определенные сложности с оценкой числовых характеристик искомой случайной величины.

Проанализируем наиболее распространенный метод решения данной задачи PERT. Его расчетные формулы для математического ожидания и дисперсии искомой длительности следующие:

M' = M' +... + M'k, (2)

D' = D' +... + D'k . (3)

Здесь £1,...,^ - случайные величины, описывающие работы, которые стоят на критическом пути.

Как было отмечено ранее, могут возникнуть случаи, когда сетевой график будет содержать два и более критических пути. В этом случае для расчета математического ожидания останется пригодна формула (2) (поскольку все критические пути будут иметь одно и то же математическое ожидание). Однако формула для дисперсии претерпит изменения. В [1] предлагается оценка дисперсии как максимума из всех дисперсий, каждая из которых будет рассчитана для своего критического пути:

= шахф^1,...„Б^п). (4)

Здесь £ - искомая величина; п- количество критических путей; Пь---, Пп - случайные величины, представляющие суммарную длительность всех работ, стоящих на пути 1,-..п соответственно.

Экспериментальные оценки длительности обслуживания

Проведем эксперимент, целью которого является оценка длительности обслуживания в случае, если необходимо выполнить множество последовательно-параллельных работ. На вход эксперимента будем подавать сетевой график, представляющий собой множество взаимно зависимых работ. Целью эксперимента является получение выборки, каждый элемент которой представляет собой длительность обслуживания заявки (при розыгрыше всех случайных величин, описывающих длительности отдельных работ). На основании этой выборки оцениваются такие числовые характеристики, как математическое ожидание (выборочное среднее) и дисперсия (выборочная дисперсия). Полученные результаты сравниваются с предполагаемыми аналитическими результатами, полученными по формулам (2) и (3) (или (4) при равенстве дисперсий).

Без ограничения общности приведем небольшой фрагмент результатов для тривиального случая, когда заявка задана множеством из двух параллельных работ. В частности, в случае одинакового ожидаемого значения данных работ результаты были следующими (табл. 1).

Таблица 1

Фрагмент результатов эксперимента для двух случайных величин

Исходные дан- Плановые Фактические

ные характери- характеристики

стики

M D: D2 M* D* M* D*

15 2,97 3,78 15 3,78 16,05 2,449

12 0,33 0,22 12 0,33 12,33 0,23

13 0,75 0,5 13 0,75 13,44 0,432

16 3 2 16 3 16,90 1,795

16 3 2 16 3 16,90 1,767

Из данной таблицы очевидно, что фактическое математическое ожидание оказалось существенно выше запланированного, а дисперсия - ниже.

Рассмотрим результат трех параллельных работ. Пусть из трех случайных величин одна имеет ожидаемое значение 5.5, а две остальные - 5. Согласно методу PERT, ожидаемое значение результирующей случайной величины будет равно 5.5. Представим фрагмент результатов опытов, каждый из которых отличается диапазоном определения случайных величин (табл. 2).

Таблица 2

Фрагмент результатов эксперимента для трех

случайных величин

Плановые харак- Фактические характе-

те ристики ристики

M* D* M* D*

5,5 0,6944 5,9454 0,6216

5,5 0,4444 5,7971 0,2345

5,5 1 6,0323 0,3399

5,5 1,7778 6,3417 0,9126

5,5 1 6,0089 0,472

5,5 0,6944 5,7223 0,2309

5,5 1 5,8526 0,4434

5,5 1 5,8805 0,2962

5,5 1,3611 6,0444 0,4638

5,5 1 5,9636 0,5404

Проведем эксперимент в абсолютно аналогичных условиях за исключением значений математических ожиданий случайных величин. Пусть теперь две случайные величины имеют математическое ожидание 5.5, а одна -5. Это будет аналогично случаю, когда сетевой график имеет два критических пути. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

Фрагмент результатов эксперимента для трех случайных величин

Плановые харак- Фактические характе-

те ристики ристики

M* D* M* D*

5,5 0,6944 6,113 0,5553

5,5 0,4444 5,9484 0,2081

5,5 1 6,177 0,3074

5,5 1,7778 6,5067 0,8757

5,5 1 6,1602 0,3931

5,5 0,6944 5,8768 0,3048

5,5 1 6,0245 0,3709

5,5 1 6,0634 0,3505

5,5 1,3611 6,2112 0,4066

5,5 1 6,1143 0,4878

По сравнению с предыдущим случаем можно видеть, что фактическое математическое ожидание увеличено, а дисперсия уменьшена.

Таким образом, на основании экспериментальных данных, фрагменты которых представлены в табл. 1, 2 и 3, можно сделать следующие выводы:

- оценка длительности обслуживания заявки, предлагаемая методом PERT, ниже, чем реальная длительность обслуживания;

- дисперсия случайной величины, описывающей длительность обслуживания, ниже, чем оценка, приведенная в методе PERT;

- с увеличением числа критических путей ожидаемое математическое ожидание случайной величины, описывающей длительность, растет (в отличие от метода PERT);

- с увеличением числа критических путей ожидаемая дисперсия случайной величины, описывающей длительность, уменьшается (в отличие от метода PERT).

Таким образом, необходима разработка математического аппарата, позволяющего получить более точные оценки по сравнению с методом PERT.

Аналитическое описание исследуемой случайной величины

Приведем аналитическое описание случайной величины, представляющей длительность обслуживания для стохастических систем. Для этого рассмотрим все пути сетевого графика (т.е. все цепочки, позволяющие перейти из начального в конечное состояние). Каждый путь будет определяться множеством работ. Пусть 2,!, i=1,...,n - случайная величина,

определяющая суммарную длительность всех работ, стоящих на пути 1. Тогда искомую случайную величину £ можно описать следующим образом:

| = шах& ,...,£,). (5)

С учетом данного выражения сформулируем следующую задачу. Пусть имеется множество случайных величин. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, которая задана формулой (5).

Аналогичные задачи рассмотрены в [3, 4]. Однако принципиальным отличием исследуемых задач, которые относятся к теории экстремальных значений, является идентичность случайных величин, входящих в формулу (5). Случай, когда каждая отдельная случайная величина имеет свой интервал распределения и свои параметры, до сих пор не исследовался. Рассмотрим частную задачу. Пусть

Л = га^ ^2). (6)

Случайные величины распределены в интервалах [а1, Ь1] и [а2, Ь2] соответственно. Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины (6). Согласно формулам теории вероятностей, получим

[5]:

Ъ1 Ъ2

м = 11 шах(х, у)/^ (х)Д2 (у)1хёу (7)

и

Ъ ъ,

°Л = 11 (шах(Х у))2 4 (х)/42 (у-

(8)

-(Мл)1

Известно, что интервалы [а1, Ь1] и [а2, Ь2] перекрывающиеся, т.е. Ь2>а1 и Ь1>а2. Без ограничения общности предположим, что а2<а1. Тогда:

Ъ Ъ,

Мл = 11 шах(х, у) Д (х)Д2 (у)1хёу

а^ а2 Ъ1 (а1

= I4(х) Iшax(x, у) -4 (у)лУ+

а-1 I а2

ъ, л

I шах(х у) (у)

йуйх

Далее необходимо определить функцию максимума:

I X, X > у

шах(х, у) =

у, X < у

(9)

и разбить интеграл на составляющие в зависимости от того, какой из аргументов больше.

Вместо формулы (9) для нахождения максимума можно воспользоваться следующей формулой:

шах х.

(Х у) =

X + у + х - у

(10)

В этом случае необходимо разрешать интеграл от модуля разности.

Перейдем к определению плотностей в формулах (7) и (8). Поскольку каждая случайная величина £ъ 1,2 представляет собой множество последовательных работ, то она будет определяться формулой:

£= £11+ £>,+-+ £>к . (11)

В [2] было показано, что сумма бета-величин может быть аппроксимирована бета-величиной. В частности, если £1,-..,£п имеют бета-распределение в интервалах [аь Ь1], [а2, Ь,], -.., [ап, Ьп] с параметрами (pl,ql), (p2,q2), -.., (pn,qn) соответственно, то итоговая плотность будет иметь вид:

Л(х) =

_ (х - а )

Р-1

(Ъ - х)д-1

(Ъ - а)м-1

(12)

В [3] найдены параметры р и q данной случайной величины, а также интервал [а,Ь], в котором она определена. Поэтому будем считать, что плотность распределения случайной величины (11) оценена с точностью до параметров.

Далее рассмотрим случай п различных путей. В общем случае пусть случайная величина £ это функция случайных величин £ь-.., £п. Будем предполагать на основании [2], что каждая из этих случайных величин имеет бета-распределение в интервале [а1,Ь1]. Тогда ее числовые характеристики будут определяться следующим образом [5]:

Ъ1 Ъп

М£, =|...|шах(х1,...,хп)/ (х)йх1...йхп (13)

и

Ъ Ъп

= I...|(шах(х1,...,хп))2 х

а ап

х х1,...,хп)^...^п - (М£)2

(14)

По сравнению с формулами (7) и (8), в п-мерном случае возникают следующие сложности:

- заметно усложняется (с точки зрения интегрирования) функция модуля от нескольких аргументов;

12

1 "2

1 п

- очевидно, что функция плотности станет более громоздкой.

Найдем плотность распределения случайной величины описанной формулой (5). Функция распределения £ будет иметь следующий вид:

РДХ) = Р(П< х) = Р(П1 < Х1,П2 < Ъ^Лп < Хп) =

= Р(^1 < Х,)Р(^2 < Х2)....Р(^п < Хп) =

= Р,(х1 )' Р(г (х2 )' ... • (ХП ) Взяв производную, получим:

/ДХ) = ^ (Х1 )• (Х2)•... • /^ (Хп) +

+ Р{2 (х)• 4 (х)•... • /п Х) +... (15)

+(хп )• 4 (х )•... • 4 (х-) Подставим в формулу (15) значения функции и плотности бета-распределения. Выпишем первое слагаемое:

(х1 )• /4г (х2 У-• /4„ (хп ) = 1

Pi +9i -1

(b1 - a1 )

:j(t - a1) pi-1 •(b1 -1 )qi-1 dt >

(16)

(x2 - a2 )P2 1 -(b1 - X2 )

q2 -1

(b2 - a 2 )

P2+q2-1

-• ...x

(xn - an )Pn-1 •(bn - xn )qn 1

(Ь2 - «2 )^ +9П-

Остальные слагаемые будут иметь аналогичный вид. Как видно из полученных результатов, аналитический подход к нахождению числовых характеристик случайной величины (5) сопряжен с целым рядом сложностей. Они вызваны, в частности:

- громоздкостью выражений (16) (как составляющих интегральных выражений (13) и

(14));

- сложностями, возникающими при интегрировании плотности (12);

- сложностями, возникающими при аналитическом описании функции максимума от п величин.

В связи с этим можно сделать вывод о том, что для нахождения числовых характеристик по формулам (13) и (14) необходимо подключать численный аппарат.

Выводы

Целью работы являлись описание случайной величины, характеризующей длительность обслуживания комплекса последовательно-параллельных работ, и нахождения ее числовых характеристик. В результате были решены следующие задачи:

1. C помощью вычислительного эксперимента проанализирован существующий подход к оценке числовых характеристик длительности обслуживания в стохастических системах. По сравнению с оценками метода PERT было выявлено, что фактическое математическое ожидание превышает предполагаемые оценки, а дисперсия, наоборот, меньше плановой оценки. Полученные результаты свидетельствуют о необходимости разработки собственных подходов для оценивания числовых характеристик длительности обслуживания, отличающихся повышенной точностью.

2. Предложено аналитическое описание исследуемой случайной величины, основанное на использовании аппарата теории вероятностей. В частности, было показано, что она может быть описана формулой (5).

3. Исследованы аналитические подходы к нахождению числовых характеристик описанной случайной величины. В общем случае они описываются с помощью формул (13) и (14). В результате сделан вывод о целесообразности поиска численных подходов (или комбинации численных и аналитических подходов) для решения данной задачи.

Литература

1. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования. М.: Прогресс, 1968. 182 с.

2. Oleinikova S.A., Kravets O.Ja. Approximation of the distribution law of the sum of random beta values // International Journal of Information Technologies and Security. 2017. V. 9. № 2. Pp. 53-64.

3. Олейникова С.А. Вычислительный эксперимент для анализа закона распределения случайной величины, описывающей длительность проекта в задачах сетевого планирования и управления // Экономика и менеджмент систем управления. 2013. Т. 9. № 3. С. 90-96.

4. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965. 452 с.

5. Невзоров В.Б. Рекорды: математическая теория. М.: ФАЗИС, 2000. 256 с.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1999. 576 с.

>

х

Поступила 10.05.2018; принята к публикации 16.07.2018

Информация об авторах

Олейникова Светлана Александровна - д-p техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com

NUMERICAL CHARACTERISTICS ESTIMATION FEATURES OF THE DURATION OF COMPLEX OF SEQUENCE-PARALLEL WORKS

S.A. Oleynikova

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: the object of the research in this paper is stochastic multi-stage systems, in which the process of servicing is the execution of a set of sequentially parallel works with a random execution time. In this case, the service time of the entire application is a random variable. The estimation of the numerical characteristics of a random variable describing a given duration is of undoubted interest. At present, there is an approach PERT that allows one to obtain the required estimates. However, the assumptions on the basis of which these estimates were obtained are not available for all systems. Moreover, in some cases, these assumptions are unjustified. In this connection, the question about accuracy of the proposed estimates of the PERT method is arises. The aim of the paper is to evaluate the analytical capabilities that allow one to estimate the characteristics of the investigated quantity as accurately as possible. The analysis of the specifics of the systems under study made it possible to analytically describe the unknown random quantity as a maximum of a set of quantities representing the duration of the sequence of works on the given path. In the article, the possibility of analytical obtaining of characteristics of a random variable was investigated. As a result, it was concluded that the apparatus of numerical methods should be connected. Thus, the features of an estimation of numerical characteristics of the random variable describing duration of performance of a complex of consecutive-parallel works are analyzed

Key words: stochastic multi-stage systems, service time, PERT, expected value, variance

References

1. Kofman A, Debazey G. "Network planning methods" ("Setevye metody planirovaniya"), Moscow, Progress, 1968, 182 p.

2. Oleynikova S.A., Kravets O.Ya. "Approximation of the distribution law of the sum of random beta values", International Journal of Information Technologies and Security, 2017, vol. 9, no 2, pp. 53-64.

3. Oleynikova S.A. "Computer experiment for the analysis of the distribution law of the random quantity that determines the duration of the project in problems of network planning and management", Economics and Management of Control Systems (Ekonomika i menedzhment sistem upravleniya), 2013, vol. 9, no. 3, pp. 90-96.

4. Gumbel E. "Statistics of extrems" ("Statistika ekstremalnykh znachenii"), Moscow, Mir, 1965, 452 p.

5. Nevzorov V.B. "Records: mathematical theory" ("Rekordy: matematicheskaya teoriya"), Moscow, FAZIS, 2000, 256 p.

6. Ventcel E.S. "Theory of probabilities" ("Teoriya veroyatnostey"), Moscow, Vysshaya shkola, 1999, 576 p.

Submitted 10.05.2018; revised 16.07.2018 Information about the author

Svetlana A. Oleynikova, Dr. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026 Russia), e-mail: s.a.oleynikova@gmail.com