CC BY
41
Вычисление цен опционов в моделях со стохастической волатильностью
Аннотация: В статье мы предлагаем новый эффективный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях со стохастической волатильностью, которые могут допускать скачки. Мы используем условие «локальной согласованности» для аппроксимации процесса вариации конечной, но достаточно плотной цепью Маркова. В результате, мы получаем модель Леви с переключением режимов по волатильности, размерность соответствующей задачи снижается на единицу и сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Мы применяем метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для эффективного решения полученной системы. Метод может быть применен для случая моделей Хестона, Бейтса и других моделей Леви со стохастической волатильностью. Численные эксперименты показывают, что предложенный метод на примере модели Хестона хорошо согласуется с гибридными конечно-разностными схемами и методом симуляций Монте-Карло.
Ключевые слова: математическое моделирование, опционы, численные методы, марковские цепи, стохастическая волатильность, модель Хестона
Адекватное моделирование финансовых рынков является одной из приоритетных задач финансовой математики. В качестве главного недостатка модели геометрического броуновского движения или более общей экспоненциальной модели Леви можно назвать постоянную дисперсию приращений за фиксированный промежуток времени. В связи с этим в последние годы все чаще внедряются модели со случайной волатильностью [1,2,3]. В указанных моделях волатильность представляет собой диффузионный процесс, коррелированный с базисным процессом.
Первые общие модели со стохастической волатильностью, обобщающие геометрическое броуновское движение, появились в конце восьмидесятых (подробнее, см. [4]). Рассматривая случайную волатильность, можно объяснить эффект "улыбки волатильности" невозможный в классической модели Блэка-Шоулса. Вместе с тем, инфинитезимальный оператор соответствующего процесса становился уже двумерным. В результате, базовые задачи в этих моделях, такие как вычисление
2
1 2 П.А. Лужецкая , О.Е. Кудрявцев
1 Донской государственный технический университет Ростовский филиал Российской таможенной академии
2
безарбитражных цен европейских опционов, сводились к численному решению трёхмерного уравнения с частными производными, не имеющего явных формул для решения.
В более поздних работах предлагалось рассматривать модель, в которой базовый актив и волатильность не коррелируют, и использовать осреднение классической формулы Блэка-Шоулса по траекториям волатильности. Однако отсутствие корреляции не позволяет описать важные эффекты асимметрии распределений, наблюдаемые на финансовых рынках.
Основополагающей в практическом и теоретическом плане можно считать работу [5], в которой была построена популярная до сих пор модель Хестона (Heston model). В этой модели цена базового актива St коррелирует с волатильностью, которая следует процессу квадратного корня —Vt , использовавшемуся в [6]. Таким образом, мы получаем два стохастических дифференциальных уравнения:
^ = rd t + JVtdWt\ (1)
d Vt = kv (0v - Vt) d t + av -V dWt2, (2)
где Vt - процесс вариации (дисперсии), ку - скорость возврата к среднему, 0у- долгосрочная вариация, r - безрисковая процентная ставка, оу -волатильность вариации, а винеровские процессы и имеют
коэффициент корреляции .
Согласно эмпирическим наблюдения за финансовыми рынка, волатильность обладает свойством возврата к среднему (англ. "mean reversion"), т.е. имеет тенденцию возвращаться к среднему значению после достижения экстремума. Это свойство учтено в модели Хестона, (см. (1)-(2)).
Однако, модель Хестона не решала проблему непрерывных траекторий. В 1996 г. в работе [7] было предложено добавить к модели со стохастической
волатильностью [5] пуассоновский процесс с нормально распределёнными скачками. Так появилась не менее популярная модель Бейтса (Bates model).
В связи с двухмерностью инфинитезимального оператора такой модели, возрастает и размерность соответствующих задач. С целью снижения размерности ряд авторов (см., напр., [8]) предлагают использовать марковскую цепь с непрерывным временем для аппроксимации процесса волатильности. В результате, мы получаем модель Леви с переключением режимов по волатильности. Наряду с указанной аппроксимацией, можно учитывать корреляционную структуру и включить зависимость скачков от волатильности.
Аппроксимация диффузионных процессов с помощью марковских цепей подробна описана в работе [9]. Марковская цепь с непрерывным временем строится так, чтобы вероятности перехода из каждого состояния сохраняли соответствующие мгновенные снос и волатильность. При этом, для каждого выбранного состояния только соседние состояния могут быть достигнуты, по аналогии с триномиальным деревом.
Опишем схему аппроксимации на примере общего процесса со стохастической волатильности и скачками вида:
d\ogSt = \i(Vt)dt + o(Vt)dW^ + dXt,
d Vt = a (Vt) d t + p (Vt) d Щ, (3)
где Vt -процесс вариации, / ( Vt) и a ( Vt) - снос и волатильность диффузионной части процесса соответственно, зависящие от вариации
- чисто негауссовский процесс Леви, коэффициент корреляции и равен .
Пусть процесс аппроксимируется марковской цепью ,
принимающей значения в дискретном подмножестве вещественной оси
, где - длина шага между соседними состояниями, -
и
число состояний. Обозначим через Л = (А*) - матрицу интенсивностей данной марковской цепи, которая должна удовлетворять условию локальной согласованности (подробнее см. [9]). Приведем одну из таких приближенных схем, где матрица Л имеет трехдиагональный вид со следующими элементами:
А**- 1 =
**.* = —рР №)24 I «№) I ,
где , а
Первое и последнее состояния выберем отражающими, чтобы вариация не оставалась в пограничных состояниях.
Заметим, что все элементы вне главной диагонали матрицы Л должны быть неотрицательными, а диагональные элементы удовлетворять соотношению: * — — И } Ф
Отметим, что вероятность перехода из состояния , соответствующего моменту времени в состояние , соответствующее моменту времени равна
Р(Х2 = У'К = к) = {ехр(а2 -
Таким образом,
Afc;■Лt + о(Д£), к Ф 1 + А^ДГ + о(Д£)Д =
и
Согласно \citefCh1}, процесс (3) может быть приближённо описан с учётом корреляционной структуры моделью с переключением состояний V,?1 следующим образом. Пусть текущее состояние V/1 = УД тогда
+• а ( У/) й^ + р + ^ (4)
где - стандартное броуновское движение, а процесс изменения состояния Л V р- задаётся формулой:
с вероятностью Хкк+1& + —1г, с вероятностью Хкк_г(11 + о{(И), О, с вероятностью 1 + Afc fcdt + о((И).
Таким образом, процесс Л^ равен нулю за исключением случаев, когда марковская цепь для волатильности меняет состояние.
Инфинитезимальный оператор ¿у процесса (4) при условии, что 1 о = х, а имеет вид:
( г „л <*№)а№)\
L;f(xJ) = Xjjf(x,j) + (^(V/1) - Р +
+ i(l - р2) • С72(У/) d2xf(x,j) + XjJ+1f (х + P^^hJ + l) +
( \ +Xjij_1f - р~1) +
где - инфинитезимальный оператор процесса Леви .
В статье мы предлагаем новый эффективный метод вычисления барьерных опционов для широкого класса моделей со стохастической волатильностью. Для определенности рассмотрим опционы put с ценой исполнения K, барьером снизу и сроком . Обозначим цену такого опциона в модели (1) в момент времени t при условии, что 1 о gSt/ Н =
x, Vt = г, через F ( t,i, p) . Мы используем условие локальной согласованности для приближения процесса волатильности конечной, но достаточно плотной описанной выше марковской цепью. Таким образом, мы получаем приближенную модель (4) с переключением состояний В
результате размерность задачи снижается на единицу и сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений:
(dt + Lj - r)V(t, x,j) = 0, t < T, x > О, V(T,x,j) = (K-Hex)+,x> О, V(t,x,j) = 0,t < T,x < 0. Здесь Ly обозначает инфинитезимальны генератор, соответствующий состоянию процесса вариации (4), а .
Для решения полученной системы можно применить любую из стандартных конечно-разностных схем, но при наличии скачков этот подход может встретить определенные трудности, связанные с аппроксимацией нелокальной интегральной части. Вместо этого, мы предлагаем воспользоваться алгоритмом приближенной факторизации, который применим для вычисления барьерных опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса (см. [10]). Мы решаем полученную систему, применяя экстраполяцию Ричардсона по количеству дат мониторинга пересечения барьера.
В качестве примера рассмотрим модель Хестона со следующими параметрами: начальная вариация скорость возврата к среднему
ку = 2 . 0 , долгосрочная вариация ву=0.01, безрисковая процентная ставка r=9.53%, волатильность вариации оу = 0 . 2 , коэффициент корреляции р = 0 . 5 .
В таблице №1 представлены цены барьерного опциона put с барьером снизу и ценой исполнения при деньгах и вне денег,
рассчитанные тремя численными методами: методом Винера-Хопфа, методом деревьев [11] и оптимизированным методом Монте-Карло [12].
Таблица № 1
Цены барьерного опциона put с барьером снизу в модели Хестона
Цена акции Цена опциона
Метод Винера-Хопфа Метод деревьев Метод Монте-Карло
S=$100 0.328340 0.323404 0.306392
S=$105 0.101631 0.106371 0.100328
S=$110 0.028335 0.030285 0.028897
Как видно из таблицы № 1, что все методы хорошо согласуются. В
деньгах наш метод лучше согласуется с методом деревьев [11], а вне денег -
с методом Монте-Карло [12].
Благодарность. Исследование выполнено при финансовой поддержке
РФФИ, проект № 18-01-00910A.
Литература
1. Cont, R. and P. Tankov, 2004. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall/CRC.
2. Гречко А.С., Кудрявцев О.Е. Методы анализа волатильности российского финансового рынка для широкого класса моделей // Инженерный вестник Дона, 2016, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3924.
3. Мисюра В.В., Мисюра И.В. Обработка и фильтрация сигналов. Современное состояние проблемы // Инженерный вестник Дона. 2013, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2130.
4. Hull, J.C., 2012. Options, futures, and other derivatives. Prentice Hall.
5. Heston, S.L., 1993. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6: 327-344.
6. Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross, 1985. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 53: 385-408.
М Инженерный вестник Дона, №5 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2020/6496
7. Bates, D.S., 1996. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutshe Mark Options. Review of Financial Studies, 9: 69-107.
8. Chourdakis, K., 2005. Levy Processes Driven by Stochastic Volatility. Asia-Pacific Finan. Markets, 12: 333-352.
9. Kushner, H.J., 1990. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time. SIAM Journal of Control and Optimization, 5: 999-1048.
10.Кудрявцев О.Е. Быстрый и эффективный метод оценивания барьерных опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2010. №1 (93). С. 136-141.
11.Briani, D.M., L. Caramellino and A. Zanette, 2017. A Hybrid Approach for the Implementation of the Heston Model. IMA Journal of Management Mathematics, 4: 467-500.
12.Alfonsi, A., 2010. High order discretization schemes for the CIR process: application to affine term structure and Heston models. Mathematics of Computation, 79: 209-237.
References
1. Cont, R. and P. Tankov, 2004. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall/CRC.
2. Grechko A.S., Kudryavtsev O.E. Inzenernyj vestnik Dona, 2016, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3924.
3. Misyura V.V., Misyura I.V. Inzenernyj vestnik Dona, 2013, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2130.
4. Hull, J.C., 2012. Options, futures, and other derivatives. Prentice Hall.
5. Heston, S.L., 1993. Review of Financial Studies, 6: 327-344.
6. Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross, 1985. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 53: 385-408.
М Инженерный вестник Дона, №5 (2020) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2020/6496
7. Bates, D.S., 1996. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutshe Mark Options. Review of Financial Studies, 9: 69-107.
8. Chourdakis, K., 2005. Levy Processes Driven by Stochastic Volatility. Asia-Pacific Finan. Markets, 12: 333-352.
9. Kushner, H.J., 1990. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time. SIAM Journal of Control and Optimization, 5: 999-1048.
10.Kudryavtsev O.E. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Informatika. Telekommunikatsii. Upravleniye. 2010. №1 (93). pp. 136-141.
11.Briani, D.M., L. Caramellino and A. Zanette, 2017. IMA Journal of Management Mathematics, 4: 467-500.
12.Alfonsi, A., 2010. High order discretization schemes for the CIR process: application to affine term structure and Heston models. Mathematics of Computation, 79: 209-237.
