Вычисление постоянных интегрирования в задаче двух неподвижных центров Л. Эйлера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Приложения дифференциальных уравнений

УДК 521.13 С. В. Жуйко

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ Л. ЭЙЛЕРА

Получены соотношения для вычисления постоянных интегрирования в задаче двух неподвижных центров Л. Эйлера

Задача двух неподвижных центров была введена Л. Эйлером [1] в 1760 г. и до сих пор является одной из фундаментальных задач небесной механики. Рассмотрим ее постановку. Предположим, что на плоскости ОХУ находятся две неподвижные материальные точки (центры) Р1 и Р2 с массами т1 и т2, под действием ньютоновского притяжения которых в этой же плоскости движется материальная точка Р массы т. Длину отрезка [Рь Р2] будем считать равной 2с и для определенности положим, что т1 > т2.

Выберем прямоугольную систему координат ОХУ таким образом, чтобы центры Р1 и Р2 располагались на оси ОХ и были равноудалены от начала координат, т.е. их координаты были равны (-с, 0) и (с, 0) соответственно. Тогда величины г1 и г2, определяемые формулами

Г1 = д/(X + с)2 + у2 , Г2 = д/(X - с)2 + у2 и Р2 (см. рисунок).

Дифференциальные уравнения движения точки Р, притягиваемой центрами Р1 и Р2 с силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний, запишутся в следующем виде: й2 х

будут представлять расстояния точки Р от центров Р1

йі2 й2 у йГ

= - М

X + с

,„3

х - с

у

у

(1)

Схема к задаче двух центров

'1 '2

где / - гравитационная постоянная, а і - время.

Решение задачи двух неподвижных центров заключается в интегрировании этих уравнений, т.е. в нахождении координат (х, у) точки Р как функций времени, удовлетворяющих уравнениям движения (1) с заданными начальными условиями. После введения эллиптических координат

А = Г+2 2с

И :

2с

(2)

и произвольных постоянных а, у, а1, уь общий интеграл задачи можно записать в виде [2]

г- Г 12 й 1 Г

-Лг,- 1 -ггт+1

у[Щ } у/м (т)

С й 1 г

^ТЇ(Я) +^м (т)

— | = 1(Л) = (12 - 1)(ас2А2 + 2/сп11 - у); йт 0

г й тл2

= \/2 (і + о^);

йт

=м(т) = (т - 1)(ас2т2 + 2/сп2т - у).

Здесь коэффициенты п1 и п2 соответственно равны

т + т2

п\ = —1------ ; п2 =

(3)

22 а собственное время т связано с і уравнением

і = 1 с2(А2 - т2)йт.

(4)

3

Г

2

3

Обратимся теперь к задаче вычисления постоянных интегрирования в (3). Условимся точкой над соответствующей переменной обозначать ее производную по времени /. Положим далее, что для начального момента / = /о нам известны значения прямоугольных координат и их производных Хо, уо, Хо, у0.

С помощью выражений для взаимных расстояний

■\1(Х0 + с)2 + у02 , Г20 =

Г10 =

у](х0 - с)2 + Уо2

находим начальные значения эллиптических координат

До = ~(г10 + Г20) , то = ~(г10 - Г20)

2с 2с

и их производных - сначала по /:

Д = ^ ~12)) ётол/ДМх, + Д^1 -у 1, то = [д^1 -то2Хо -

с(Д - т )ё * 1 с(Д„ - т )ё

с(До- то) а затем по собственному времени т

У(Д2 - то2)

^йД4

йт

V

/о

72

й т йт

р

с2 (До2 - то2)

72

т&о.

'1о 2о

где/- гравитационная постоянная. Затем из интегралов (3) определяем значение у:

Теперь из интеграла энергии определяем постоянную а [2]:

1/2 2ч Лт т2

а = -(Хо + Уо) - /1 — + —

У =

1

(До2 -1)

й Д йт

2

'о

- ас2Д02 - 2/сп1Д0 =

1

(т» -1)

- а с2 т02 - 2 /сп2 т0.

Наконец, первые интегралы (3) позволяют вычислить постоянные а1 и у1:

“■ “ПТ И

д 2 й д + | т2 й т 1

72}{у/Щ ' 1,1т{’ У1 72}д^ТІсД) ' і./мст){'

й Д

но

1

й т I

Здесь Я1 и у1 - наименьшие корни полиномов Ь(Я) и М(у), отвечающие областям действительных движений [2].

Формулы решения задачи двух неподвижных центров являются параметрическими функциями координат от собственного времени т. Зависимость / от переменной т также задается одной из полученных функций /(т). Следовательно, в случае непрерывного изменения т можно найти соответствующие величины Я(т) и у(т) и отвечающие каждой точке траектории моменты времени /(т). Однако при необходимости иметь явные зависимости Я(/) и у(/) потребуется решить обратную задачу - найти по заданному времени /с соответствующее значение тс, т. е. решить трансцендентное уравнение (4):

/с - /(тс) = о. (5)

Тем не менее некоторые свойства функции /(т), при использовании приближенных методов решения уравнений, позволяют находить величину тс по заданному значению /с с любой степенью точности.

Из неравенства Я2 - у2 > о следует, что функция /(т) монотонно возрастает. Это позволяет для нахождения решения уравнения (5) использовать, например, метод дихотомии, обеспечивающий сходимость при любом начальном приближении. Можно применить и метод Ньютона, для сходимости которого необходимо, чтобы начальное приближение т(о) удовлетворяло соотношению

/ '(т "> )■ / (т ">) < / '(т <°> )|',

где /(т) = /(т) - /с. Облегчению выбора значения т(0), удовлетворяющего этому условию, способствует выявление того интервала т, в котором находится решение уравнения (5).

При ограниченных движениях, как показал анализ, изменению времени / в заданном интервале соответствует изменение переменной т в том же промежутке. Поскольку при таких движениях Я1 < Я < Я2 и < у2 < у22, то, полагая /(о) = о, можно записать неравенства

/ |(Д2 - т2)Лт < (Д2 2'') т; / > (Д2 - т22)т .

72

Поэтому искомое решение тс уравнения (5) ограничено интервалом

о

о

19о

■Jit yflt

c < тс <

1 - т2 1 - т!

где и следует выбирать начальное приближение.

При неограниченных движениях величина т задается конечным интервалом, который опре-

3 3

деляется формулой и, - — < т < u1 + —, где и, = т, + ю,, 3 = 1Ю, - н'1, при а > 0 и 3 = 1щ, при а=0 [3].

Полагая теперь ^и,) = 0, имеем следующее уравнение:

1 т

t (t)=-=j(i2 - m 2)dz.

VI и.

Таким образом, если заданное значение tс < 0, то тс < и,, а если tс > 0, то тс > и,. Поскольку в зависимостях к(т) для функции Вейерштрасса ^(г), полученных в [3], справедливо равенство р' (и, - т,) = йэ'(Щ) = 0 , то, очевидно, что в момент t = 0 переменная к достигает минимального значения к,. Так как и в неограниченных движениях у,1 < у2 < у22, то

1 2 2. , (11 - т22)(т - и,)

t = -=■ I (1 - т )3т > ——--------------—, если т> и,,

72 и, 72

(1,2 - и!){щ - т)

_ t > -1 при т < и,.

л/2

Из этих заключений следует вывод, что при tс > 0 начальное приближение следует взять в

интервале (и,, и2), а при tс < 0 - в интервале (и3, и,), где величины и2, и3, и4 соответственно

равны:

d

u. + —, u4

1 2 4

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

u.--------, u.

2 4

72/

яі - m2

1. EulerL. // Historie de L’Academie Royale des sciences et Belles-lettres (1760). 1767.V. XVI. P. 228-247.

2. ГерасимовИ.А. Введение в задачу Л. Эйлера о движении материальной точки в поле притяжения двух неподвижных центров. М.: Изд-во МГУ, 2004. l8o с.

3. Герасимов И.А. Классификация неограниченных траекторий в задаче двух неподвижных центров Л. Эйлера. // Труды ГАИШ. М.: МГУ. Т. 74.

Поступила 2.12.2003 г.