Сеточные аналоги двух гармонических на плоскости с разрезом функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.624.2

И.Г. Белухина

СЕТОЧНЫЕ АНАЛОГИ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ НА ПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗОМ ФУНКЦИЙ1

(лабораторияразностных методов факультета ВМиК, e-mail: belukh@cs.msu.su)

Введение. В данной работе найдено интегральное представление и асимптотическое разложение на бесконечности сеточных аналогов на квадратной сетке двух гармонических функций, являющихся мнимой и действительной частью функции ^z2 In z комплексной переменной z = х iy. Показано, что сеточные аналоги отличаются от самих функций на величину 0(h2). Одновременно тот же результат получен и для соответствующих решений сеточных задач Дирихле и Неймана в полуплоскости и квадранте.

Сходимость со скоростью 0(h2) сеточного решения задачи Дирихле в прямоугольнике в предположении, что граничная функция непрерывна в углах и имеет ограниченные производные на сторонах, доказана в [1]. Для задачи Неймана в предположении, что нормальные производные непрерывно дифференцируемы на каждой стороне прямоугольника, в [2] доказана сходимость со скоростью 0(h2 In h).

Для построения решений используется обобщенное сеточное преобразование Фурье (см., например, [3]). В исследовании применяется методика, развитая в [3-6].

1. Постановка задачи. Основные результаты. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости, разрезанной вдоль отрицательной полуоси Ох. Задача I.

Av(x,y) = 0, {(ж, у)\ 0 < Г < ОО, -7Г < (р < 7г}, (1)

v(x, +0) = —2х2, v(x, -0) = 2ж2, ж ^ О, (2)

lim (v/r3) = 0. (3)

г—»oo

Решение этой задачи определяется с точностью до (произвольных) гармонических многочленов вида ау + ßxy.

Зададим дополнительные условия (значения решения в двух точках)

u(l,l) = an, и(0,1) = а12. (4)

При

2

ац =--In 2, ai2 = 1 (5)

7Г

решением задачи (1)-(4) является гармоническая функция — ^ Im z2 In z, где z = x iy.

Аналогично функцию — Re z2 In z можно рассматривать как решение следующей задачи. Задача II. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа (1) на плоскости, также разрезанной вдоль отрицательной полуоси Ох, растущую медленнее г3 (3) на бесконечности и удовлетворяющую условию Неймана на границе

dv , dv ,

— (ж +0) =-4ж, — (ж,-0) = 4ж, ж < 0, (6)

ду ду

с дополнительными условиями

ü(0,0) = a2O, ü(0,2) = a21, ü(2,0) = a22, (7)

при значениях

4 4

а20 = 0, а21 =--In 2, а22 = — In 2, (8)

7Г 7Г

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00267).

2 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

исключающих другие возможные составляющие решения гармонические многочлены вида у + 8х + + в(х2 -у2).

Введем на плоскости Оху квадратную сетку с шагом h > О

= {(ж, у) | х = rnh, у = nh] h > О, m,n£ Z}.

Обозначим при 0 < v ^ 1 множество узлов сетки Q, расположенных в угле vir, через

= {(х, у) £ 0 < г < оо, 0 < (р < vir},

где (г,<~р) — полярные координаты. Пусть Ти = {(ж, у) £ Q, 0 < г < оо, 0 < <~р = г/7г} — множество узлов сетки, лежащих на стороне угла. Разрежем плоскость Оху вдоль отрицательной полуоси Ох и обозначим через Ti = {(ж, у) £ Q, ж < 0, у = +0} множество узлов сетки попавших на верхний берег разреза, а через Г_1 = {(ж, у) £ ж < 0, у = —0} множество узлов, попавших на нижний берег. Определим также сеточную область = {(ж, у) £ Q, 0 < г < оо, — тг < <у5 < 0} и сеточную область = U iii U Го, соответствующую разрезанной вдоль отрицательной полуоси Ох плоскости Оху. На сетке £}2 рассмотрим две сеточные задачи.

Задача Ih. Найти сеточную функцию и(х,у), которая на сетке является решением сеточного уравнения Лапласа

Ли(ж, у) = ихх + Uyy = 0, (ж,у)£^2, (9)

удовлетворяет граничным условиям на Ti и Г_1

и(ж,+0) = -2ж2, и(х, —0) = 2ж2, ж ^ 0, (10)

условию на бесконечности

lim (и/г3) = 0 (11)

г—>оо

и дополнительным условиям

u(h,h) = Au, u(0,h) = A12. (12)

Задача Ii'4. Найти функцию и(ж, у), которая на сетке является решением сеточного уравнения Лапласа (9), на Ti и Г_1 удовлетворяет граничным условиям

л + h

Х^и = иу + -ихх = -4ж, у =+0,

^ 0, (13)

А и = -иу + -ихх = —4ж, у = -0,

к 2

условию на бесконечности (11) и дополнительным условиям

и(0,0) = А20, и(0,к) = А21, и(к,0) = А22. (14)

Основные результаты работы заключены в следующих трех теоремах.

Теорема 1 (интегральное представление). Каждая из задач (9) —(12), П'* (9), (11), (13), (14) имеет единственное решение щ (и2), при

А12 = к2 (А22 = -/г21п/г+-/г2(тг/4+3-1п2-С)) (15)

7Г 7Г

задаваемое соответственно формулами и\ (mh, nh) =

-h2 Im f In * /2) {e^q"(0-mnq(0e^} d£-o

— h2 (m2 — n2) + Ацтп, n ^ 0, — u\(mh,\n\h), n ^ 0,

u2 (mh, nh) =

2-h2 Re/ln(ctg(e/4)) {F(0 (e^qn(0 - 1 )}"4" о

-2h2mn +A20 + A2i(n2 - m2), n ^ 0,

И2 (mh, \n\ h), n ^ 0,

(16)

(17)

где

9(0 =

1 + 8ш2(е/2)-|8т(е/2)| , (18)

2 1

П0=1 + со8'К/2) ^ + ^(¿/2)' (19)

а С — постоянная Эйлера.

Теорема 2 (асимптотическое разложение). Для решения задач (9)—(12) и П'* (9), (11), (13), (14), удовлетворяющих (15) и задаваемых формулами (16) и (17) соответственно, при (то2 + га2) —> —т- оо имеют место асимптотические разложения (3 = то + ¿га)

2 4 щ (то/г, га/г) ~--/г21т {321п 3)--/г2тога(С + 2 — 3/21п 2) + Ацтп +

7Г 7Г

2,9 Г, /5т\ 1 1 ¿га] л / /г2 \ И—/г 1т < 1п 3 (--—---1+0 _ 20

I \2 3 / З2 63/ \131 /

2 1

и2 (то/г, га/г)--/г2 11е {321п 3} + /г2 (то2 - га2)(21п2 + С)--/г2 + А2о + А21(га2 — то2) +

7Г 47Г

+ -/г2 11е <! 1п з

7Г

9 1 /га2 5¿ra

Тб " 2 + Т

1 1 / ¿га 1 1 | ^ .

? + . (21)

Теорема 3 (точность). Решения задач V1 (9)—(12) и П'* (9), (11), (13), (14) при выполнении (15) приближают решения задач (1)-(4), (5) и (1), (3), (6), (7), (8) соответственно с точностью 0(/г2)

Щ (хт,уп) = VI (хт,уп) + О (/г2), и2(хт,уп) = у2(хт, уп) + 0(/г2)

как при то2 + га2 —т- оо, так и при конечных то, га, если положить, кроме того, в (12)

а в (14)

4 4 Ап =--/г21п/г+ -Ь2 {С + 2 - 3/21п 2),

7Г 7Г

2 2 2 А20 = —/г2 (3/2 + 1/21п 2 + 7г/4), А21 =--/г21п /г + -/г2 (21п 2 + С).

7Г 7Г 7Г

Доказательству этих теорем и посвящена настоящая работа.

2. Единственность решений. Связь с решениями других задач. Имеет место

Лемма. Если решение задачи (9) —(12) (П'* (9), (11), (13), (14)) существует, то сто единственно.

Доказательство проведем от противного. Предположив существование двух решений каждой из интересующих нас задач, для их разности II = и'1' — и'2' в каждом случае получим соответствующую однородную краевую задачу с однородными соответствующими дополнительными условиями; как можно показать аналогично [7], такую же однородную краевую задачу, но с условием роста на бесконечности г° будем иметь и для функции Тогда, воспользовавшись леммой 2.3 из [3] для

первой из задач и проведя аналогичные рассуждения для другой, получим, что функция иххХ = 0. Тогда функция II, являющаяся решением уравнения (9) для каждой из задач, в силу условий (11) может быть только гармоническим многочленом степени не выше второй, а в силу однородных граничных и дополнительных условий все коэффициенты такого многочлена равны нулю, что и завершает доказательство леммы.

Для нахождения решения задач и П'* рассмотрим еще две сеточные задачи, представляющие, впрочем, и самостоятельный интерес.

Задача Ш'*. Найти сеточную функцию и(х,у), которая на сетке является решением уравнения (9), удовлетворяет граничным условиям на 1\/2 и Го

и(0, га/г) = 0, га ^ 0, (22)

и(то/г, 0) = то2/г2, то ^ 0, (23)

растет на бесконечности согласно (11) и принимает заданное значение в узле (к, к)

и(к,к) = А. (24)

Задача ГУ'1. Найти сеточную функцию и(ж,у), которая на сетке ^1/2 является решением уравнения (9), удовлетворяет граничным условиям на 1\/2 и Го

к

Аи = их + ~иуу = 0, х = 0, га ^ 0, (25)

Х+и = 2тк, га = 0, то ^ О, (26)

растет на бесконечности согласно (11) и принимает заданное значение в узлах (0,0) и (О, И)

и(0,0) = Ао, и(0, К) = А\. (27)

3. Нахождение решения задач в квадранте и полуплоскости. Продолжим решение задачи III'4 нечетным образом через границу Г^2 на сеточную область и рассмотрим следующую задачу.

Задача \h. Найти сеточную функцию и(ж, у), которая на сетке является решением уравнения (9), удовлетворяет на границе этой области Г_1 U Г1 U {(0, 0)} граничным условиям

u(mh,0) = —m2h2, то ^ 0, га = 0, (28)

u(mh, 0) = m2h2, то ^ 0, га = 0, (29)

растет на бесконечности согласно (11) и принимает заданное значение А в узле (h,h) (24).

Продолжим также решение задачи IV'1, но уже четным образом через границу 1\/2 на сеточную область и рассмотрим следующую задачу.

Задача Vl'1. Найти сеточную функцию и(х, у), которая на сетке является решением уравнения (9), удовлетворяет на границе этой области Г_1 U Г1 U {(0, 0)} граничным условиям

Х+и = —2mh, га = 0, то ^ 0, (30)

X+u = 2mh, га = 0, то ^ 0, (31)

растет на бесконечности согласно (11) и принимает заданное значение в узлах (0,0) и (0, h) (27).

Если мы найдем решение (ж, у) задачи \h, то, очевидно, будучи функцией нечетной по ж, при х ^ 0, у ^ 0 эта функция будет и решением задачи III'4. В то же время функция у) — (то2 — n2)h2,

принимающая значение нуль при х ^ 0, у = 0, продолженная нечетным образом через Го на сеточную область будет очевидным образом единственным (по доказанному в лемме) решением задачи lh. Аналогично если uq(x,ij) — решение задачи VIh, то, очевидно, будучи функцией четной по ж, при х ^ 0, у ^ 0 эта функция будет и решением задачи IV'1, а функция Иб(ж,у) — 2тога/г2, сеточная производная которой, определяемая (13), обращается в нуль при ж ^ 0, у = 0, продолженная четным образом через Го на сеточную область будет также очевидным образом решением задачи II'*.

Таким образом, для решения поставленных в п. 1 задач V1 и II'* достаточно построить решения задач \н и Vl\

Найдем решение задачи Yh. Для этого применим обобщенное сеточное преобразование Фурье (см., например, [3]). Сделаем преобразование Фурье уравнения (9) по переменной хт при у„ ф 0 и граничного условия (10). Обозначим преобразование Фурье функции и(жт,0) через йо(£). Тогда, согласно [3], растущее по закону (11) решение задачи (9)—(11) можно записать в виде

u{mh, nh) = — [ й0(0ч"(0 e'mS ~ 1 - m(eli - 1) - ^^-^-(е* - I)2

27Г I °

2

+ [tt0g"]0 + тА[й 0qn]0 + ^Л2[й0д"]0. (32)

т{т-1) 2

Здесь определено (18), [/]т обозначает сеточную функцию — обратное преобразование Фурье функции /(£), = АД'0-1, Аит = ит+1 — ит. Выражение (32) можно несколько преобразовать:

и(т1г, га/г) = — / й0(0

*9"(0 - 1 - ш(в* - 1) - п(9 - 1) - ТО(ТО2 1}(е* - I)2-

га(га — 1)

(9 - I)2 - гага(д - 1)(ег? - 1)

+ п[й0д]о - (га - 1)[йо]о + тА[и0]0 +

га(га - 1) , —Ц---А [и0]о+

га(га — 1) от га(га — 1) Н----[щд ]о - п(п - 1)|и0д]0 Н----|и0_|о + гагаД|и0д]0 ~ гагаД|и0]0. (33)

Используя представление Ак[/]т1 приведем (33) к виду

и(га/г, га/г) = — / й0(0

*9"(0 - 1 - ш(в* - 1) - п(д - 1) - ТО(ТО2 1}(е* - I)2-

га(га — 1)

(д - I)2 - тп(д - 1)(ег? - 1)

га (га — 1) га(га — 1) га + га — 1-----гага

- га(га + га - 2)[и0д]о +

_ 1 )

---[йод2]о - "г("г + га - 2)[гь0]1 + гага[и0д]1 +

га(га — 1)

[ио]о-

[йо]2. (34)

Найдем функцию йо(£). Принимая во внимание [8, с. 48], находим, что

„о(0= £ га2/г2е'т^ = 2г/г2 ^ га2 8т га^ = 2г/г2 (-/^1) • (35)

т= —оо т = 1 '

Подставим найденное значение йо(0 (35) в (34) и заметим, что интеграл в этом выражении существует в обычном смысле. Принимая во внимание нечетность йо(0 (35) и четность 9(£) (18), получим

и(га/г, га/г) =--/г21т

сое

(е/2) \

48т3(£/2)У

егт?д"(0 - 1 - т(ег« - 1) - га(д - 1)-

т(т — 1) . ¡е П(П — 1) . ,, . . . :с

—^-- I)2 - 1 2 '{д - I)2 - тп(д - 1)(ег« - 1)

га(га — 1) га(га — 1) га + га — 1-----гага

[йо]о - п(т + П - 2)[и0д]0 +

га(га - 1) 2

- га(га + га - 2)[гь0]1 + гага[и0д]1 Н----[и0]2. (36)

Учитывая граничные условия (28), (29) и нечетность и(га/г, га/г) по га, после трехкратного интегрирования по частям (при котором образующиеся подстановки либо обращаются в нуль, либо действительны) выражение (36) можно записать в виде

7Г

и5 (га/г, га/г) = -^Д21т J 1п 281п|^2) " тга9(£)е*]"'<г£ + Агага. (37)

о

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция (37) удовлетворяет граничным условиям (28), (29).

Используя формулу (34), аналогичным образом найдем решение задачи VI'1. Нужно только заметить, что для этого случая функция йо(0 получается из преобразования Фурье граничного условия (30), (31), что приводит к выражению

йо(0 =

40

д- 1-28т2(е/2)'

где — преобразование Фурье сеточной функции 2\т\к — правой части (30), (31). Это снова обобщенная функция (см., например, [8, с. 48])

к2

що = —?—•

^ 48т2(е/2)

Поэтому для задачи функция йо(£) в формуле (34) имеет вид

МО =__= н' х лп(о,

4ап2({/2) |вшК/2)| у/1 + вш2({/2) 8вш К/2> 18ш({/2)|

где -Р(^) определено (19). Далее, воспользовавшись представлением (35), проведя аналогичные случаю задачи рассуждения и принимая во внимание четность йо(£), а также соотношение

l + cos2(e/2) 8sin3(Ç/2)

= (ln ctg(£/4))"',

понимаемое в смысле обобщенных функций, придем с учетом четности решения задачи по т к следующему представлению этого решения:

7Г

и6(тк,пк) = J 1п^ё(е/4)[,Р(0(егт?д"(0 - 1)]"'^ + А0 + Аг(п2 - т2). (38)

о

Для завершения доказательства теоремы 1 теперь остается проверить условие (11) роста соответствующих решений на бесконечности. Это будет проверено одновременно с доказательством теоремы 2 об асимптотическом разложении этих решений.

4. Асимптотические разложения. Точность. Заметим, что в формулах (37), (38) интегралы от входящих в эти выражения слагаемых существуют, а потому необходимо найти только асимптотики от слагаемых, содержащих множитель , остальные же интегралы просто вычисляются. Как и в [3], можно показать, что существенный вклад в асимптотику на бесконечности интегралов

7Г 7Г

Im I ln 2sin|e/2)[g"(Oe""g]"4, Re I lnctg(Ç/2)[F(0ç"(0erai]"4, о о

где <?(£), определены (18), (19) соответственно, вносят лишь интегралы по малой окрестности

точки £ = 0. Используя более или менее стандартную, но очень трудоемкую технику асимптотического анализа, следуя [3-6], приходим к следующему асимптотическому разложению решений (37), (38):

u5(mh,nh) ~ - —h2 Im jj2 ^ln 3 - y^j j - -h2mn(C + 2 - 3/2 ln 2) + Amn +

2,9 (, (b in\ 1 lin] „ , ч

u6(mh,nh) ~ —h2 Re I32 (ln 3 - — J 1 + h2 (m2 - ra2)(21n2 + C) - —h2 + A0 + Ai(ra2 - m2) + 7Г IV 2/1 47Г

2

+ -h2 Re < ln 3

7Г

9 lin 5 in

.16 2 Va2 + 3

1 1 (in 1

Формулы (39), (40) получены для а следовательно, и для щ, щ в случае га ^ 0. Нетрудно

проверить, что разложения (39), (40) справедливы для щ, щ и при га < 0. Для этого заметим, что — щ^т, |га|) = —щ^т, —га), И2(то, |га|) = И2(то, —га), и в формулах (39), (40) для этого случая вместо 3 следует использовать 3 и а^з = — а^з. Далее непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости (39), (40) для га < 0, что завершает доказательство теорем 1, 2.

Выбор постоянных А = Ац, Ао = А02, А\ = A\i в соответствии с теоремой 3 очевидным образом доказывает утверждение о точности сеточных решений щ, а следовательно, и щ, щ, что завершает доказательство теоремы 3.

Замечание. Формулы (37), (38) при т ^ 0 дают решения задач III'4 и lVh соответственно, а (39), (40) — их асимптотические разложения.

Автор выражает искреннюю признательность В.Б. Андрееву, работы и советы которого использованы при написании статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wasow W. On the truncation error in the solution of Laplace's equation by finite differences //J. Res. Nat. Bur. Standarts. 1952. 48. P. 345-348.

2. Giese J.H. On the truncation error in a numerical solution of the Neumann problem for a rectangle // J. Math, and Phys. 1958. 37. N 2. P. 169-177.

3. Андреев В. Б. Краевые задачи для сеточного уравнения Лапласа в угле // Вычисл. методы и программирование. 1983. Вып. 39. С. 82-145.

4. Андреев В. Б. Смешанная задача для сеточного уравнения Лапласа в полуплоскости // ДАН СССР. 1977. 234. № 5. С. 997-1000.

5. Андреев В. Б. Смешанная задача для сеточного уравнения Лапласа в полуплоскости // Вычисл. методы и программирование. 1981. Вып. 35. С. 82-136.

6. Андреев В. Б. Асимптотика решения сеточного уравнения Лапласа в угле // ДАН СССР. 1977. 244. № 6. С. 1289-1293.

7. Бе л ухи на И. Г. Асимптотика решения первой краевой задачи для сеточного уравнения Лапласа в угле 5тг/4 // Диф. ур-ния. 1996. 32. № 7. С. 902-911.

8. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.

Поступила в редакцию 12.01.07

УДК 519.63

Н. С. Удовиченко

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРА В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

(кафедра вычислительных методов факультета ВМиК, e-mail: nudovichenko@mail.ru)

1. Введение. Устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности

ди д2и

т = м> 0<ж<1' i>0'

и(х, 0) = Uq (ж) , 0 ^ ж ^ 1, (1)

ди . ди . .

с параметром у £ (0,1] в нелокальном граничном условии изучалась в работах [1-5]. Было замечено, что при 0 < 7 < 1 спектр пространственного оператора является простым и только в случае 7=1 переходит в кратный. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем по начальным данным и по правой части в некоторой специальным образом построенной энергетической