CC BY
20
УДК 531.36:521.135
Г. Д. Севостьянов
РАВНОБЕДРЕННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ В ПЛОСКОЙ
НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ. ЧАСТЬ 2.
В дополнение к работе [1], (где исследованы относительные траектории тел), изучены абсолютные траектории трех тел (относительно центра масс). Интеграл энергии записан в относительных скоростях.
Пусть три тела М0, М1? М2 (с массами т0,т1,т2) под действием гравитационных сил движутся в неподвижной плоскости около центра масс С, образуя равнобедренную конфигурацию (с постоянными боковыми сторонами Д01 = Д02 = а и переменными углами).
Такая конфигурация с постоянными углами сводится к равносторонней конфигурации Лагранжа (1772 г.) [2, гл. XXIX, с. 590]. Обзор и ме-
тоды решения задач даны в [2-7].
Для вектора GM0 = r0 имеем уравнение изотропного осциллятора
mr = ^ = fm (т1Дс1 + ™2До2) = -rnofcVo,
dro а3 ^
к2 = д = f (mo + mi + m2), а3
Mo
тром в G. Центр масс Г для тел Mi и M2 также движется по подобному эллипсу (гг = —Г = — то1г+°то2 r0). Так как
М0Г = Дг = m° + т\ + т2 ro, m1l1 = m2l2, m1 + m2
где l1 = ГМ1? l2 = ГМ^ Д = l1 + l2 = M1M2, то из теоремы косинуса
для ДM0ГM1 получим ( Д = 2аcos р ) ДГ = а2 — l1l2.
Тогда
li = А/—(а2 - ДГ), l2 = А/—(а2 - ДГ), а> тахДг. (2)
m1 г m2 г
Таким образом, задача определения положения тел M1 и M2 — гео-
а
тром в Mo и окружности радиуса l1(l2) с центром в Г).
При приближении по эллипсу тела М0 к О тела М1 и М2 удаляются друг от друга; при удалении Мо от О они сближаются. В барицентрической системе Оху тело М0(х0,у0) движется согласно уравнению (1) по закону изотропного осциллятора:
х0 = А Бт(Ы + а), у0 = В Бт(Ы + в), (3)
где постоянные А> 0 В > 0 а, в задаются.
При В = 0 Ш1 = т2 тело М0 совершает прямолинейное гармоническое колебание, а другие тела колеблются вдоль симметричных дуг (три тела имеют одновременную остановку, при некотором А тела М1 и М2 касаются).
Иногда одно из тел основания треугольника в общем случае может иметь точки "остановки"(рисунок).
МесЬ/веуовЪуапс^с!/г1б . рх^
Задача захвата третьего тела системой двух тел имеет свою историю (см. [3, с. 353]).
М1
М0
V2 - 2— < 0, — = ¡тю.
Г1
М1
М0
(V1 - V0)2 - 2-^< 0, — = f (т> + т1). (4)
В задаче трех тел запишем интеграл энергии при движении тел в барицентрической системе координат
T + П = Ео,
T =
moV 0 2
+
miV^ i m2V2
2
+
2
(5)
тт_ nfmomi mim2 m2m$
n = -4 + ^ +
0i
A
i2
A
20
Умножив интеграл энергии на 2(m0 + m1 + m2), обозначив m = = f (m0 + m1 + m2) и учитывая неподвижность центра масс G (m0 V0+ +m1 Vi + m2 V2 = 0), получим
m0m1
(Vi - Vo)2 - 2
A,
oi
+m2mo
(Vo - V2)2 - 2
+ mi m2 M
(V2 - Vi)2 - 2-
M
A
o2
Ai2
= 2(mo + mi + m2)Eo.
+
(6)
Три тела могут образовать при £ ^ систему в ограниченной области при отрицательности трех слагаемых в (6) в некоторый момент, когда Е0 < 0.
Условие выполнено, например, в случае равносторонней конфигурации Лагранжа (стороны постоянны).
Система (М0, М\) может захватить тело М2, (см. [6]), если в данный момент времени известны величины относительных скоростей, расстояния между тремя телами и некоторые условия. В случае т2 = 0 из (6) получим условие (4).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Севастьянов Г. Д. Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трех тел //Математика. Механика : еб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 187-189.
2. Парс Л. Аналитическая динамика // пер. с англ. М. : Наука, 1971.
3. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М. : Наука, ГРФМЛ, 1968.
4. Абалакин В. К. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников М. : Наука, 1976.
5. Маршал А. Задача трех тел / Пер. с англ. М. : -Ижевск : Ин-т компьют. исслед. 2005.
6, Тхай В. Н. Исследование плоской неограниченной задачи трех тел / / МММ : 1996. Т. 60. вып. 3. С. 355-374.
7, Голубев В. Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М : Изд-во Моск. ун-та, 1985.
УДК 539.3
Н. В. Сергеева
АСИМПТОТИКИ КОРНЕЙ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО СЛОЯ
В работах [1-3] на примере упругого слоя и цилиндрической оболочки показана возможность построения дисперсионных кривых с помощью асимптотических приближенных теорий. В [4] приведено численное решение дисперсионного уравнения для наследственно-упругого слоя, материал которого описывается с помощью модели Работнова [5], и его анализ. Настоящая статья посвящена исследованию асимптотического поведения корней дисперсионного уравнения, приведенного в работе [4], при малых частотах.
Будем рассматривать распространение волн в бесконечном наследственно-упругом слое, ограниченном плоскостями г = ±Н7 в направлении оси х (рис. 1). Свойства материала будем описывать уравнениями состояния, взятыми в интегральной форме. В качестве ядра интегрального оператора возьмем дробно-экспоненциальную функцию Работнова [5]:
Рис. 1
э_ 2 (_в,г) = г^
=0 г
(_в )пгп
'и + Г
где в _ параметр материала, г — время.
При изучении собственных колебаний будем исследовать свойства тех мод, которые изменяются по времени по гармоническому закону и удовлетворяют уравнениям движения, уравнениям состояния, записанным в перемещениях и напряжениях, и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Тогда решение для перемещений V будем искать в виде
