Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трех тел. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36:521.135

Г. Д. Севостьянов

РАВНОБЕДРЕННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ В ПЛОСКОЙ

НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ. ЧАСТЬ 2.

В дополнение к работе [1], (где исследованы относительные траектории тел), изучены абсолютные траектории трех тел (относительно центра масс). Интеграл энергии записан в относительных скоростях.

Пусть три тела М0, М1? М2 (с массами т0,т1,т2) под действием гравитационных сил движутся в неподвижной плоскости около центра масс С, образуя равнобедренную конфигурацию (с постоянными боковыми сторонами Д01 = Д02 = а и переменными углами).

Такая конфигурация с постоянными углами сводится к равносторонней конфигурации Лагранжа (1772 г.) [2, гл. XXIX, с. 590]. Обзор и ме-

тоды решения задач даны в [2-7].

Для вектора GM0 = r0 имеем уравнение изотропного осциллятора

mr = ^ = fm (т1Дс1 + ™2До2) = -rnofcVo,

dro а3 ^

к2 = д = f (mo + mi + m2), а3

Mo

тром в G. Центр масс Г для тел Mi и M2 также движется по подобному эллипсу (гг = —Г = — то1г+°то2 r0). Так как

М0Г = Дг = m° + т\ + т2 ro, m1l1 = m2l2, m1 + m2

где l1 = ГМ1? l2 = ГМ^ Д = l1 + l2 = M1M2, то из теоремы косинуса

для ДM0ГM1 получим ( Д = 2аcos р ) ДГ = а2 — l1l2.

Тогда

li = А/—(а2 - ДГ), l2 = А/—(а2 - ДГ), а> тахДг. (2)

m1 г m2 г

Таким образом, задача определения положения тел M1 и M2 — гео-

а

тром в Mo и окружности радиуса l1(l2) с центром в Г).

При приближении по эллипсу тела М0 к О тела М1 и М2 удаляются друг от друга; при удалении Мо от О они сближаются. В барицентрической системе Оху тело М0(х0,у0) движется согласно уравнению (1) по закону изотропного осциллятора:

х0 = А Бт(Ы + а), у0 = В Бт(Ы + в), (3)

где постоянные А> 0 В > 0 а, в задаются.

При В = 0 Ш1 = т2 тело М0 совершает прямолинейное гармоническое колебание, а другие тела колеблются вдоль симметричных дуг (три тела имеют одновременную остановку, при некотором А тела М1 и М2 касаются).

Иногда одно из тел основания треугольника в общем случае может иметь точки "остановки"(рисунок).

МесЬ/веуовЪуапс^с!/г1б . рх^

Задача захвата третьего тела системой двух тел имеет свою историю (см. [3, с. 353]).

М1

М0

V2 - 2— < 0, — = ¡тю.

Г1

М1

М0

(V1 - V0)2 - 2-^< 0, — = f (т> + т1). (4)

В задаче трех тел запишем интеграл энергии при движении тел в барицентрической системе координат

T + П = Ео,

T =

moV 0 2

+

miV^ i m2V2

2

+

2

(5)

тт_ nfmomi mim2 m2m$

n = -4 + ^ +

0i

A

i2

A

20

Умножив интеграл энергии на 2(m0 + m1 + m2), обозначив m = = f (m0 + m1 + m2) и учитывая неподвижность центра масс G (m0 V0+ +m1 Vi + m2 V2 = 0), получим

m0m1

(Vi - Vo)2 - 2

A,

oi

+m2mo

(Vo - V2)2 - 2

+ mi m2 M

(V2 - Vi)2 - 2-

M

A

o2

Ai2

= 2(mo + mi + m2)Eo.

+

(6)

Три тела могут образовать при £ ^ систему в ограниченной области при отрицательности трех слагаемых в (6) в некоторый момент, когда Е0 < 0.

Условие выполнено, например, в случае равносторонней конфигурации Лагранжа (стороны постоянны).

Система (М0, М\) может захватить тело М2, (см. [6]), если в данный момент времени известны величины относительных скоростей, расстояния между тремя телами и некоторые условия. В случае т2 = 0 из (6) получим условие (4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Севастьянов Г. Д. Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трех тел //Математика. Механика : еб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 187-189.

2. Парс Л. Аналитическая динамика // пер. с англ. М. : Наука, 1971.

3. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М. : Наука, ГРФМЛ, 1968.

4. Абалакин В. К. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников М. : Наука, 1976.

5. Маршал А. Задача трех тел / Пер. с англ. М. : -Ижевск : Ин-т компьют. исслед. 2005.

6, Тхай В. Н. Исследование плоской неограниченной задачи трех тел / / МММ : 1996. Т. 60. вып. 3. С. 355-374.

7, Голубев В. Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М : Изд-во Моск. ун-та, 1985.

УДК 539.3

Н. В. Сергеева

АСИМПТОТИКИ КОРНЕЙ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО СЛОЯ

В работах [1-3] на примере упругого слоя и цилиндрической оболочки показана возможность построения дисперсионных кривых с помощью асимптотических приближенных теорий. В [4] приведено численное решение дисперсионного уравнения для наследственно-упругого слоя, материал которого описывается с помощью модели Работнова [5], и его анализ. Настоящая статья посвящена исследованию асимптотического поведения корней дисперсионного уравнения, приведенного в работе [4], при малых частотах.

Будем рассматривать распространение волн в бесконечном наследственно-упругом слое, ограниченном плоскостями г = ±Н7 в направлении оси х (рис. 1). Свойства материала будем описывать уравнениями состояния, взятыми в интегральной форме. В качестве ядра интегрального оператора возьмем дробно-экспоненциальную функцию Работнова [5]:

Рис. 1

э_ 2 (_в,г) = г^

=0 г

(_в )пгп

'и + Г

где в _ параметр материала, г — время.

При изучении собственных колебаний будем исследовать свойства тех мод, которые изменяются по времени по гармоническому закону и удовлетворяют уравнениям движения, уравнениям состояния, записанным в перемещениях и напряжениях, и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Тогда решение для перемещений V будем искать в виде