Асимптотики корней дисперсионного уравнения в случае наследственно-упругого слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

6, Тхай В. Н. Исследование плоской неограниченной задачи трех тел / / МММ : 1996. Т. 60. вып. 3. С. 355-374.

7, Голубев В. Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М : Изд-во Моск. ун-та, 1985.

УДК 539.3

Н. В. Сергеева

АСИМПТОТИКИ КОРНЕЙ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО СЛОЯ

В работах [1-3] на примере упругого слоя и цилиндрической оболочки показана возможность построения дисперсионных кривых с помощью асимптотических приближенных теорий. В [4] приведено численное решение дисперсионного уравнения для наследственно-упругого слоя, материал которого описывается с помощью модели Работнова [5], и его анализ. Настоящая статья посвящена исследованию асимптотического поведения корней дисперсионного уравнения, приведенного в работе [4], при малых частотах.

Будем рассматривать распространение волн в бесконечном наследственно-упругом слое, ограниченном плоскостями г = ±Н7 в направлении оси х (рис. 1). Свойства материала будем описывать уравнениями состояния, взятыми в интегральной форме. В качестве ядра интегрального оператора возьмем дробно-экспоненциальную функцию Работнова [5]:

.трд£

Рис. 1

э_ 2 (_в,г) = г^

=о г

(_в )пгп

'и + 1

где в ~ параметр материала, г — время.

При изучении собственных колебаний будем исследовать свойства тех мод, которые изменяются по времени по гармоническому закону и удовлетворяют уравнениям движения, уравнениям состояния, записанным в перемещениях и напряжениях, и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Тогда решение для перемещений V будем искать в виде

V = Уг(г — (а + гх)х), (1)

где ^ — частота, х ~ волновое число, а > 0 — коэффициент затухания, определяющий убывание амплитуды волны с увеличением координаты х.

Рассмотрим случай симметричного по нормальной координате НДС, когда перемещение VI и напряжения ац, а33 являются четными по нормальной координате функциями, а vз, а13 — нечетными. В этом случае приходим к следующему дисперсионному уравнению

74 совЬ(а)^ — а2х2^^^ есвЬ(Ь) = 0, (2)

02

где 72 = х — у, ¿х = а* + гх*, а* = Ьа, х* = «2 = х — &2 =

Х2 02 К2 = 1 — 2у* 02 = ш2 2(1 + V*) ш = с = I Е х — =2-2^' 0 = ш (1 + V)Еш* = = V '

^ = V + 1 0 > ЕР = 1 — о ' = \ в* =

__2 в* + Vгш* р* + Vгш* V с2

—в к — параметр материала, р — плотность материала. В дальнейшем С2

звездочки опускаем.

Дисперсионное уравнение (2) было решено численно в [4] методом математического микроскопа [6]. Кроме того, был проведен анализ полученных численных решений при различных значениях параметров материала. В данной статье получены асимптотики корней дисперсионного уравнения для малых ш .

Анализ уравнения и численного решения показал, что один корень при ш ^ 0 ведет себя как О(ш), а остальные имеют порядок 0(1). Поэтому асимптотики корней при ш ^ 0 ищем в виде

то то

х1 = ^2 С1тШ42 , а1 = ^2 ^1тШт , (3)

т=1 т=1

то то

т

Сптш 2 , ап "пи I "пт1

т=1 т=1

хп = Сп0 + СптШ 2 , ап = + ^ "птШ 2 , П > 1. (4)

Найдем сначала коэффициенты формул (3), для этого подставляем (3) в уравнение (2) и раскладываем функции а, Ь гиперболические синусы и косинусы от них в степенные ряды по степеням д/ш, группируем

элементы с одинаковыми степенями ш. Поскольку получившийся степенной ряд по л/ш равен нулю тождественно только в том случае, когда равны нулю все его коэффициенты, то получаем бесконечную систему зацепляющихся уравнений для определения искомых коэффициентов разложения. Решая полученную систему, находим следующие асимптотики корней для первых мод в окрестности нулевой частоты с точностью 0(ш2):

XI = с\2ш + С13Ш2 + 0(ш2), «1 = 3 + 0(ш2), (5)

где с12, с13, ¿13 — функции, зависящие от V к в-

Подставляя (4) в уравнение (2), получим бесконечную систему зацепляющихся уравнений для определения искомых коэффициентов разложения, из которой имеем следующее уравнение для определения нулевых приближений спо, (по рядов (4):

(2 (Спо + г(по)) + (2 (спо + г(по)) = 0.

(6)

Решая уравнение (6) асимптотическим методом, получаем выражения для коэффициентов разложения спо, (по в виде

11 /, ч 7 1п (4пи)

спо = ~ 1п (4пи) , йпо = —ти----.

2 4 4пи

Подставляя спо, (по в следующее уравнение системы, находим сп1, (п1 и т.д. Асимптотики коней при и > 1 примут вид:

Хп = спо + сп1ш2 + О(ш), ап = (по + (п1ш1 + О(ш),

(7)

где сп1, (п1 — функции, зависящие от V к, в? причем сп1 << 1, (п1 << 1.

При к = 0 асимптотика корней дисперсионного уравнения, соответствующая первой моде, совпадает с аналогичной асимптотикой, полученной в [1] для случая упругого слоя.

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 2 приведены проекции на плоскость (ш,х) ветвей дисперсионного спектра и асимптотик корней для нескольких первых мод для случая v = 0.3, k = 0.53, в = 1- Асимптотики корней изображены серыми линиями. Численные решения представлены черными линиями. На рис. 3 приведены проекции на плоскость (ш, а) ветвей дисперсионного спектра и асимптотик корней для нескольких первых мод для того же случая.

Из графиков видно, что численные и асимптотические решения хорошо совпадают па интервале 0 ^ ш ^ 0.4. А с увеличением номера n наблюдается расширение интервала совпадения асимптотик с численным решением.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожанова, Т. В., Коссович Л. Ю. Дисперсионные уравнения Релея — Лэмба", Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 21 с.

2. Kapïunov J. D., Kossovich L. Ju., Nolde E. V. Dinamics of Thin Walled Elasfie Bodies Jan Diego : Academic Press, 1998. PP. 226.

3. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев : Наук, думка, 1981. 284 с.

4. Анофрикова Н. С., Сергеева Н. В. Гармонические волны в наследственно-упругом слое: случай симметричного по нормальной координате НДС //Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 119-122.

5. Работное Ю. И. Элементы наследственной механики твердых тел. Наука. 1977. 384 с.

6. Верезин В. Л., Харитонова К. Ю. Применение метода математического микроскопа при решении трансцендентных уравнений //Проблемы точной механики и управления : Сб. науч. тр./ Институт проблем точной механики и управления РАН. Саратов. 2004. С. 119-122.

УДК 532.5:533.6.011.5

И. А. Чернов

ОБ УЧЕТЕ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ВЗРЫВЕ С ОБРАЗОВАНИЕМ ПУСТОТЫ В ЦЕНТРЕ ВЗРЫВА

Л. И Седов и независимо от него Тейлор [1] показали, что при сильном точечном взрыве в случаях показателя адиабаты 7 > 7 в центре взрыва (ЦВ) возникает пустота, граница которой движется от ЦВ. В статье приведены детали двух типов (с- и без каверны) таких течений в автомодельной постановке, дано обсуждение задачи об учете противодавления для течения с каверной и расчет поправки к автомодельному течению. Обширная библиография по задаче о точечном взрыве есть в [2].