CC BY
128
УДК 519.87:004
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ УЧАСТКА ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОМАТИКИ
Игорь Георгиевич Вовк
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (383)343-18-53, (383)351-61-19
В статье обсуждается решение задачи вычисления площади участка физической поверхности Земли методом последовательных приближений. Приведены результаты вычислительного эксперимента, которые показали, что относительная погрешность вычисления площади по предлагаемой методике не превышает 0.001.
Ключевые слова: площадь участка физической поверхности Земли, вычислительный эксперимент, относительная погрешность.
CALCULATING THE AREA OF SOME EARTH'S PHYSICAL SURFACE PART IN APPLIED GEOINFORMATICS TASKS
Igor G. Vovk
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Pla-khotnogo St., Doctor of Sciences, Prof.., Chair of Applied Information Science and Information Systems, tel. (383)343-18-53, (383)351-61-19
This article offers a detailed study of the way to solve the tasks of calculating the area of some part of the Earth's physical surface using the progressive approximations method. Here are given the results of our calculation experiment which have demonstrated that relative area calculation deviation cannot exceed 0.001 in the case when the offered calculation method is followed.
Key words: the area of some part of the Earth's physical surface, calculation experiment, relative calculation deviation.
Задача вычисления площади поверхности земельных участков возникла довольно давно. Её решение необходимо в геодезии [1, 2], геодинамике [3, 4], геоинформатике [5, 6, 7], экономике [8, 9], геологии и геофизике [10, 11], и других областях человеческой деятельности.
Площадь - это одна из численных характеристик поверхностей [12, 13], ограничивающих системы естественного и искусственного происхождения. Интуитивно, для определения площади «кривую» поверхность моделируют поверхностью вписанного многогранника, и площадь исходной поверхности определяют, как предел площади этой многогранной поверхности при условии, что размеры всех граней многогранника стремятся к нулю. Однако в конце 19 столетия Шварц показал, что такой предел не существует даже для поверхности прямого кругового цилиндра [14].
Для вычисления площади измеряемая поверхность должна быть правильно параметризованной [15]. Поверхность называется параметризованной, если ра-
диус вектор г её текущей точки М определён как непрерывная функция двух параметров и, V, изменяющихся в некоторой области (сг )
г = г (и, V), (и, V) е (а*) (1)
При этом предполагается, что в каждой точке области (ак) частные производные Гц,^ непрерывны и неколлинеарные, т. е.
Ти хгл, ф 0 (2)
Уравнение (1) называется векторно-параметрическим уравнением поверхности. Если такое уравнение задано, то соответствующая ему поверхность определена и может быть построена по точкам (рис. 1).
Каждую пару значений параметров и, V рассматривают как пару декартовых координат на вспомогательной плоскости которая называется плоскостью параметров или фазовой плоскостью. Если между точками поверхности (а) и точками области (а ) установлено взаимно однозначное соответствие, то параметризацию называют правильной.
Площадь Б участка правильно параметризованной поверхности вычисляется по формуле [15, 16]
5 =Я|/и х (3)
а*1
На практике имеется необходимость вычислять площадь поверхности, аналитическое представление которой неизвестно, но заведомо известно, что в измеряемой области эта поверхность кусочно-непрерывна, имеет непрерывные производные ги и /V и границу, составленную из отрезков непрерывных кривых.
Вычисление площади таких поверхностей осуществляют методом последовательных приближений, следующим образом [12, 15]. Поверхность разбивают на части (порции); в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость и ортогонально проецируют рассматриваемую порцию на касательную плоскость поверхности в выбранной точке. Площади получен-
ных плоских проекций суммируют. Полученная сумма приблизительно равна площади исследуемой поверхности. Выполняя описанную процедуру для порций поверхности, размеры которых последовательно уменьшаются, получим числовую последовательность, составленную из приближённых оценок искомой площади. Предел этой последовательности при неограниченном уменьшении размеров порций поверхности рассматриваемого класса всегда существует и равен площади поверхности [12]. Изложенная процедура описывает вычислительный алгоритм определения площади поверхности.
В прикладной геоинформатике при решении различных задач [1, 2, 5, 7]. существует практическая потребность вычисления площади поверхностей указанного класса. Применим для этого изложенный вычислительный алгоритм. Разделим измеряемую поверхность на неперекрывающиеся части (порции) заданной формы. Наиболее просто эта задача решается, когда границами порций поверхности служат параметрические линии (рис. 2).
г
Рис. 2. Разбиение поверхности на порции системой параметрических линий
В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную непрерывной функцией:
2 = и2 + V2 . (4)
Площадь участка этой поверхности, вычисленная по результатам аналитического интегрирования равна S = 786.96 условных единиц. Результаты вычислений площади этого же участка поверхности (1) по изложенному вычислительному алгоритму приведём в графическом виде на рис. 3.
Рис. 3. Результаты вычисления площади заданного участка поверхности
На рис. 2 горизонтальная точечная линия соответствует значению площади 8=786.96, вычисленной интегрированием, кривая линия представляет график последовательности приближённых значений измеряемой площади. Относительная погрешность оценки площади не превысила 0.001. Полученные результаты свидетельствуют о хорошем совпадении значений площади участка заданной поверхности, вычисленных аналитическим интегрированием, и по изложенной методике.
Поверхности, площади которых требуется вычислять на практике, не имеют аналитического описания и определяются либо графически линиями равных высот (топографические карты), либо множеством точек с известными координатами (результаты аэрокосмических съёмок или лазерного сканирования). Вычислить площади таких поверхностей аналитически не представляется возможным. Однако применить изложенную методику для вычисления площади таких поверхностей, возможно. В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную графически линиями равных высот (рис. 4).
Рис. 4. Геометрическая модель поверхности, заданной линиями равных высот
Результаты вычислений площади этой поверхности по рассматриваемой методике в графическом виде приведены на рис. 5.
Рис. 5. Результаты вычисления площадь поверхности, изображённой на рис. 3.
Приведённые результаты свидетельствуют, что числовая последовательность, составленная из приближённых оценок искомой площади, довольно быстро сходится. Уже после 6 -7 итерации изменения её значений достаточно малы. Это позволяет с достаточной для практики уверенностью оценить значение искомой площади.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Обиденко В. И. Разработка и исследование специализированной программы для определения метрических параметров территории Российской федерации // Вестник СГГА. -2012. - Вып. 3 (19). - С. 18-29.
2. Обиденко В. И. Технология определения метрических параметров территории Российской федерации по геопространственным данным // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 3 (19). - С. 3-13.
3. Акимов В. А., Воробьёв Ю. Л., Фалеев М. И. Безопасность в чрезвычайных ситуацияч природного и техногенного характера. - М.: Высшая школа, 2006. - 592 с.
4. Ярославцева Т. В., Рапута В. Ф. Моделирование продуктов вулканического извержения // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 89-95.
5. Вовк И. Г. Определение геометрических инвариантов поверхности в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 59-69.
6. Вовк И. Г. Моделирование формы и оценка размеров систем в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 2(22). - С. 115-124.
7. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
8. Голиков Ю. А. Теория притяжения супермаркета // Вестник СГГА. - 2014. -Вып. 1 (25). - С. 114-125.
9. Сульгина Л. Ю. О возможности построения геоинформационной системы торговой сети поселения // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 94-106.
10. Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирёв Б. П. Теория фигуры Земли. - М.: Геодезиздат, 1961. - 256 с.
11. Гравиразведка. Справочник геофизика. - М.: Недра, 1981. - 397 с.
12. Виноградов И. Н. Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 4.- 1532 с.
13. Прохоров М. Ф. Советский энциклопедический словарь. - М.: Сов. энциклопедия, 1989. Т. 1. - 1632 с.
14. Фихтенгольц Г. Основы математического анализа. 3. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. Т. 2. - 465 с.
15. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. - 336 с.
16. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: «Мир», 1982. - 304 с.
© И. Г. Вовк, 2015
