CC BY
38
КАРТОГРАФИЯ И ГЕОИНФОРМАТИКА
УДК 519.87.004 528.9
528.91:004;332
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ЛИНИИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ, В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКИ
Игорь Георгиевич Вовк
Новосибирский гуманитарный институт, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Советская, 23, доктор технических наук, профессор кафедры математики и информатики, e-mail: vovkig383@rambler.ru
Анна Андреевна Епифанцева
OOO «Экслинго», Россия, 630097, г. Новосибирск, ул. Романова, 39, старший преподаватель, e-mail: Anuta_m@rambler.ru
В статье излагается решение задачи вычисления длин линий на физической поверхности Земли. Приведены результаты вычислений длины дуги винтовой линии, линии, расположенной на поверхности сферы, и линии на физической поверхности Земли. Во всех экспериментах выполнено 10-12 итераций. Полученные результаты показали, что приближения сходятся достаточно быстро. Уже на 6-8 итерациях предельная относительная погрешность результатов не превосходит 0,03 для линий на гладкой поверхности и 0,06 для линии на физической поверхности Земли. На 10-й итерации эта погрешность не превышает 0,01 и при продолжении итеративного процесса может быть уменьшена. Такой точности вполне достаточно для большинства практических задач. Рассмотренный итерационный метод может быть применен для вычисления длин линий на поверхностях, информация о которых получена по данным аэрокосмических съемок или лазерного сканирования.
Ключевые слова: длина дуги кривой, оценка длины дуги «сверху», оценка длины дуги «снизу», предельная относительная погрешность, правильно параметризованное колебание.
CALCULATION OF THELENGTH OF A LINE PLACED
ON THE EARTH SURFACE IN APPLIED GEOINFORMATICS PROBLEMS
Igor G. Vovk
Novosibirsk Institute of Humanities, 630099, Russia, Novosibirsk, 23 Sovetskaya St., D. Sc., Professor of Department Matematics and Informatics, e-mail: vovkig383@rambler.ru
Anna A. Epifantseva
OOO «Exlinguo», 630091, Russia, Novosibirsk, 39 Romanova St., Senior lecturer, e-mail: Anuta_m@rambler.ru
This article presents the solution for the line length calculation problems. Results of calculations of a circular helix length, length of a line located on a sphere surface and a line placed on the Earth surface are provided in this article. In all the cases from 10 to 12 iterations have been run. The results showed that convergence is achieved with a limited number of iterations. Already with 6-8 iterations the limited relative error does not exceed 0,03 for the straight lines and 0,06 for the lines on the Earth surface. With 10th iterations the error doesn't exceed 0,001 and with a higher number of iteration it can be further reduced. This accuracy is enough for the majority of practical problems. This iteration method can be applied for the length calculations of lines with the data received from aerospace photography or laser scanning.
Key words: curve arc length, arc length calculation «from above», arc length calculation «from below», limited relative error, properly parameterized oscillation.
В задачах прикладной геоинформатики нередко возникает необходимость вычисления площадей участков физической поверхности Земли и длин линий на этой поверхности. Вычисление площади участка физической поверхности Земли рассмотрено в [1, 2]. Здесь рассмотрим вычисление длин линий на физической поверхности Земли. Решение этой задачи необходимо, например, при расчетах длин различных линейных сооружений (дорог, линий связи, газо- и нефтепроводов и т. д.) [3-8], определении протяженности границ территорий [9, 10], оценке безопасности пространственно-временного состояния систем [11, 4, 5, 12].
Как известно [13, 14, 8], длина L дуги кривой, заданной векторно- параметрическим уравнением
r = r(t), (1)
вычисляется по формуле
L = fa\r'(t)|dt. (2)
Практическое применение этой формулы возможно, если линия правильно параметризована, т. е. установлено взаимно однозначное соответствие между точками области изменения параметра t и точками измеряемой дуги кривой. Для примера вычислим длину дуги одного витка цилиндрической винтовой линии. Векторно-параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид [15, 14]
x(t) = R ■ cos(t); y(t) = R ■ sin(t); z(t) = с • t, (3)
а длина дуги (в радиусах цилиндра) одного витка этой линии при R = 1 и с = 2 в соответствии с формулой (2) равна
L = f 2V R2 + с2 dt = 14,196 294 621.
J0
На практике встречаются кривые, вычислить длину которых по формуле (2) аналитическим интегрированием не всегда представляется возможным. Тогда для вычисления применяют численные методы.
Как известно [13, 14], длина Ь дуги линии - это предел длины вписанной в нее ломаной, при условии, что число звеньев ломаной неограниченно возрастает, и предел их длин стремится к нулю. Основываясь на этом определении, алгоритм для вычисления длины дуги линии представляют следующим образом. Измеряемую дугу произвольным образом разделим на к частей точками Ык. Соседние точки соединим хордами и получим вписанную ломаную. Длина этой ломаной приблизительно равна длине измеряемой дуги. Увеличивая значения к и повторяя изложенную процедуру, получим числовую последовательность приближенных значений длины кривой линии. Для правильно параметризованной кривой предел этой последовательности существует и равен длине кривой [16, 14]. Применим этот алгоритм для вычисления длины Ь дуги одного витка винтовой линии и сравним с результатами аналитического интегрирования. Результаты приведем в графическом виде (рис. 1).
Рис. 1. Результаты вычисления длины дуги одного витка винтовой линии
На рис. 1 обозначено: Q - номер итерации, LN - оценка длины дуги «снизу»; LW- оценка длины дуги «сверху»; LL - среднее арифметическое из оценок длины дуги «сверху» и «снизу»; INT - длина дуги, вычисленная аналитическим интегрированием; dL - предельная погрешность оценки длины дуги, равная половине разности длины дуги «сверху» и «снизу». Приведенные результаты свидетельствуют, что процесс приближений сходится довольно быстро, уже после пятого приближения результаты с достаточной для практики точностью совпадают с результатами аналитического интегрирования.
Рассмотрим пример вычисления длины дуги кривой L(t), расположенной на правильно параметризованной поверхности (рис. 2).
Кривая, изображенная на рис. 2, расположена на поверхности сферы единичного радиуса. Вычислим длину дуги этой кривой при t е [0, 12]. Результаты вычислений в графическом виде приведены на рис. 3 в условных единицах (радиусах сферы). Умножив полученные результаты на длину радиуса в метрических единицах, получим длину кривой в этих же метрических единицах. Полученные результаты вполне согласуются с выводами, сделанными при анализе результатов вычисления длины одного витка цилиндрической синтовой линии.
Рис. 2. Исходная кривая на сфере единичного радиуса
Рис. 3. Результаты вычисления длины дуги кривой, показанной на рис. 2
(обозначения те же, что на рис. 1)
Применим изложенный алгоритм для вычисления длины дуги, расположенной на физической поверхности Земли (рис. 4).
Ы ,г Ы ,г
Рис. 4. Поверхность и измеряемая линия на поверхности
На рис. 4 слева поверхность изображена параметрическими линиями, а справа - линиями равных высот.
Результаты вычислений по изложенному алгоритму в условных единицах приведены на рис. 5 в графическом виде.
Рис. 5 Результаты вычисления длины кривой, изображенной на рис. 4 (обозначения те же, что и на рис. 1)
Приведенные результаты свидетельствуют, что числовая последовательность, составленная из приближенных оценок измеряемой кривой, довольно быстро сходится. Уже после 6-7 итераций изменения ее значений достаточно малы. Это позволяет с достаточной для практики уверенностью оценить значение искомой длины.
Таким образом, рассмотренный вычислительный алгоритм дает возможность с достаточной для практики точностью вычислять длину кривой, если эта линия правильно параметризована. Рассмотренный вычислительный алгоритм может быть применен для вычисления длин кривых линий, расположенных на поверхностях, заданных аналитически или линиями равных высот, или облаком точек, полученных аэрокосмическими методами или методами лазерного сканирования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вовк И. Г.Вычисление площади участка физической поверхности Земли в задачах прикладной геоинформатики // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2015. XI Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 13-25 апреля 2015 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. Т. 1. -С. 3-7.
2. Вовк И. Г. Вычисление площади участка физической поверхности Земли // Гуманитарные науки и образование в Сибири. - 2015. - № 3 (21). - С. 88-93.
3. Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирёв Б. П. Теория фигуры Земли. - М. : Геодезиздат, 1961. - 256 с.
4. Бугакова Т. Ю., Вовк И. Г. Математическое моделирование пространственно-временного состояния систем по геометрическим свойствам и оценка техногенного риска методом экспоненциального сглаживания // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 47-58.
5. Вовк И. Г. Вариации гравитационного поля при изменении уровня водохранилища // Геодезия и картография. - 1982. - № 9. - С. 12-15.
6. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
7. Вовк И. Г. Моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2011. -Вып. 1 (14). - С. 69-76.
8. Вовк И. Г. Определение геометрических инвариантов пространственной кривой в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 51-62.
9. Обиденко В. И. Разработка и исследование специализированной программы для определения метрических параметров территории Российской Федерации // Вестник СГГА. -2012. - Вып. 3 (19). - С. 18-29.
10. Обиденко В. И. Технология определения метрических параметров территории Российской Федерации по геопространственным данным // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 3 (19). - С. 3-13.
11. Белов П. Г. Системный анализ и моделирование опасных процессов в техносфере. -М. : Издательский дом «Академия», 2003. - 512 с.
12. Ярославцева Т. В., Рапута В. Ф. Моделирование продуктов вулканического извержения // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 89-95.
13. Виноградов И. Н. [ред.] Математическая энциклопедия. - М. : Сов. энциклопедия, 1977. Т. 4.
14. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. - М. : Наука, 1975. - 336 с.
15. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия : Введение. [ред.] Баяковский Ю. М. - М. : Мир, 1989. - 478 с.
16. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. - М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 465 с. Т. 2.
Получено 20.01.2016
© И. Г. Вовк, А. А. Епифанцева, 2016
