CC BY
18
3. http://ppt4web.ru/informatika/chto-takoe-internet.html (дата обращения 12.12.13).
4. Barabasi A.L. Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks. Science 286(5439):509-512 (1999).
5. Ripeanu M., Foster I. Mapping the Gnutella Network: Properties of Large-Scale Peer-to-Peer Systems and Implications for System Design http://arxiv.org/pdf/cs/0209028.pdf (дата обращения 12.12.13)
6. Pedro O.S. Faloutsos F., Antonio A.F. Human Dynamics in
Large Communication Networks.
http://siam.omnibooksonline.com/2011 datamining/data/papers/2 12.pdf (дата обращения 12.12.13).
7. Haibo H., Xiaofan W., Evolution of a large online social network http://arxiv.org/pdf/0908.2163.pdf (дата обращения 12.12.13).
8. Hopcroft J., Khan O., Natural communities in large linked networks KDD '03 Proceedings of the ninth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining, 2003, р.541-546
9. Tunc I., Shkarayev M.S. , Shaw B.H., Epidemics in Adaptive Social Networks with Temporary Link Deactivation, Journal of Statistical Physics, том 151, р. 355-366, 2013.
10. Tong H., Prakash B.A., Tsourakakis C., Eliassi-Rad T., Faloutsos C., Chau D.H. On the Vulnerability of Large Graphs. http://www.cs.cmu.edu/~badityap/papers/netshield-icdm10.pdf
11. Википедия http://en.wikipedia.org/wiki/Netflix_Prize
12. Leskovec J., Kleinberg J., Faloutsos С. Graphs over Time: Densification Laws, Shrinking Diameters and Possible Explanations by. ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD), 2005, р.324-329.
13. Leskovec J., Dynamics of large networks , PhD Dissertation, Machine Learning Department, Carnegie Mellon University, Technical report CMU-ML-08-111, 2008.
14. Википедия
http://en.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Messenger_service
15. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/ MIMD.svg/400px-MIMD.svg.png (дата обращения 12.12.13).
16. Brandes U., Batgelj V., Efficient Generation of Large Random Networks http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/ publica-tions/bb-eglrn-05.pdf (дата обращения 12.12.13).
17. Chakrabarti D. R-MAT: A Recursive Model for Graph Mining https://www.siam.org/proceedings/datamining/2004/dm04_043c
hakrabartid.pdf (дата обращения 12.12.13).
18. Yoo A., Henderson K., Parallel Generation of Massive Scale-Free Graphs http://arxiv.org/pdf/1003.3684.pdf (дата обращения 12.12.13).
19. Leskovec J., Chakrabarti D. Realistic, Mathematically Tractable Graph Generation and Evolution, Using Kronecker Multiplication. http://www.cs.cmu.edu/~jure/pubs/kronecker-pkdd05.pdf (дата обращения 12.12.13).
20. Википедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/Произведение_Кронекера.
21. Alamyz M., Madhav V. Distributed-Memory Parallel Algorithms for Generating Massive Scale-free Networks Using Preferential Attachment Model http://staff.vbi.vt.edu/maleq/ pa-pers/ppa.pdf (дата обращения 12.12.13).
22. Herrera C., Zufiria J. Generating Scale-free Networks with Adjustable Clustering Coefficient Via Random Walks http://arxiv.org/abs/1105.3347 (дата обращения 12.12.13).
23. Seunghwan Myeong, Younghoon Choi. Effects of Information Technology on Policy Decision-Making Processes: Some Evidences Beyond Rhetoric . Administration & Society 42(4) 441 -459 http://intlaas.sagepub.com/content/42/4/441.full.pdf (дата обращения 12.12.13).
24. Тихомиров А.А., Труфанов А.И. Новые сетевые модели для совершенствования процессов государственного регулирования URL: http://www.pitt.edu/~super1/lecture/lec43841/ index.htm (дата обращения 12.12.13).
25. A. Tikhomirov, A. Trufanov, A. Caruso, A. Rossodivita, E. Shubnikov, R. Umerov. Networks and Their Role in Counteracting Contemporary Global Threats: A New Model. NATO Science for Peace and Security Series - E: Human and Societal Dynamics, Volume 100: Handbook for Pandemic and Mass-Casualty Planning and Response. IOS Press, 2012. P. 217-225.
26. Кинаш Н.А., Наджи А.А.А., Тихомиров А.А., Труфанов А.И. Социальные и технологические проблемы дистанционного образования в Йеменской республике: интерпретация в сетевой модели // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. №11. С.225-229.
27. Тихомиров А.А., Труфанов А.И., Носырева Л.Л., Носыре-ва Е.В. Математическое описание стволовых сетей: труды XVII Байкальской всерос. конф. Иркутск, 2012. Т.3. С.149-153.
УДК 681.53
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РАЗРЫВНОГО СИГНАЛА, ПРОХОДЯЩЕГО В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ, С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕЩАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
л
© А.Н. Клепацкий1
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Предлагается способ представления периодического разрывного сигнала (воздействия), подаваемого на вход линейной динамической системы или возникающего после прохождения нелинейности, в виде части гармонического ряда. Разрывная функция заменяется мало отличающейся от нее непрерывной функцией, которая и разлагается в ряд Фурье. Исследованы свойства коэффициентов ряда и получена оценка погрешности, позволяющая найти число членов ряда для получения гарантированной точности вычислений.
Ил. 4. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: ряд Фурье; разрывная функция; сходимость; суммирование; замещающая функция.
1 Клепацкий Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры общеинженерной подготовки филиала ИрГТУ в г. Усолье-Сибирское, доцент, тел.: 89021724073, e-mail: klepatski@inbox.ru
Klepatsky Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of General Engineering Training of ISTU, Usolsky Branch, Associate Professor, tel.: 89021724073, e-mail: klepatski@inbox.ru
SUBSTITUTE FUNCTION-BASED COMPUTATION OF DISCONTINUOUS PERIODIC SIGNAL IN DYNAMICAL
SYSTEM
A.N. Klepatsky
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article proposes a method of representing a periodic burst signal (impulse) applied to the input of a linear dynamical system or arising after the non-linearity passing as a part of harmonic series. The discontinuous function is replaced with a very similar continuous function, which can be expanded in a Fourier series. The properties of series coefficients have been studied and the error estimation allowing to find the number of series members for known precise computations has been obtained.
4 figures. 2 sources.
Key words: Fourier series; discontinuous function; convergence; summing up; substitution function.
При исследовании влияния периодического сигнала или воздействия (динамического или кинематического) на линейные динамические системы различных видов (механические, электрические и т.д.) часто используют его разложение в ряд Фурье. При этом обычно суммируют несколько первых членов ряда, отбрасывая остаток. Если сигнал (воздействие) представляет собой разрывную функцию, то погрешность может оказаться значительной и не поддающейся оценке, т.к. коэффициенты ряда для такой функции убывают медленно (порядок их убывания соответствует 1/Л).
Кроме этого в окрестностях точек разрыва уже для числа членов ряда n = 5 проявляется дефект сходимости частичных сумм ряда, называемый явлением Гиббса [2, с. 494 - 497], заключающийся в том, что около точек разрыва разница между значениями исходной функции и частичных сумм ее ряда Фурье не только не уменьшается с увеличением n, но даже увеличивается, превышая 15%. В результате тригонометрическое представление входного воздействия может заметно отличаться от реального. Тем более не предсказуема ошибка при расчете выходных переменных (обобщенных координат, выходного сигнала) системы.
Похожая ситуация возникает при наличии в динамической системе нелинейностей, не поддающихся линеаризации (реле, устройства с сухим трением и т.д.). Входное моногармоническое воздействие после прохождения нелинейности преобразуется в разрывный сигнал, который для расчета выходных переменных оставшейся линейной части системы также представляют рядом Фурье.
Ш) t
О 2л 4л 6л д-
Рис. 1. График исходной разрывной функции
Для повышения точности вычислений и для возможности оценить погрешность предлагается заменять разрывную функцию f(x), имеющую кусочно-непрерывную первую производную, мало отличающейся от нее непрерывной функцией fi(x), например, так как это делается в [1, с. 289]. В данном примере (рис. 1) выражение для замещающей функции в пределах одного периода (рис. 2):
( /(х) при 0 < х < 2П - а,
/(х) = , , /(2 л) - /(2 л - а), „ ^ „ ...
/( 2 л) Н----------------(х - 2 л) п р и 2 л - а < х < 2л.
Здесь /( 2 л) = 1 im /(х).
х->2тг+0
Эта функция отличается от исходной только в малых окрестностях точек разрыва. С одной стороны, это вносит дополнительную, но зато известную погрешность Дх = |/(х) - /(х)|. С другой стороны порядок убывания коэффициентов ряда Фурье для такой функции соответствует 1/k2 и оценку погрешности (хотя и завышенную) при отбрасывании остатка ряда можно получить, поскольку члены тригонометрического ряда не превосходят членов сходящегося ряда:
1А(х)1тах ^ 2.
к=1
Рис. 2. График замещающей функции
Как известно, остаток ряда
к=1
можно оценить с помощью интегрального признака сходимости:
00
If
к=1
одимос
сю
Z1 Г dx 1
/с2 < J х2 n + 1.
к=п+1 п+1
Таким образом, при удерживании п членов ряда Фурье для замещающей функции имеем оценку погрешно-
сти
Д <
|/1(х)|та;с
1 |А1(х)|т аж
к2 П + 1 '
( )
к=п+1
которая позволяет найти число членов ряда для получения гарантированной точности вычислений. Если функция f(x) имеет разложение в ряд
у+!к со s( С х) + bfc s i n( С х)],
к=1
то коэффициенты ряда Фурье для функции f1(x)
^ к = —J /(х)5in С^х = bfc— J /(х)5in Ь^х + — J /(х)5тС^х =
7TJ 7Г J 7Г J
1 Г 1
= bfc — I /(х)5mkхdх + —
7Г J 7Г
27Т-Е
2 л/(2 п - а) - (2 п - а)/( 2 п) cosfc а - 1
sin ks
+
/(2 п) - /(2 п - а) (2п - a)cos Са - 2 п + —
(* = 1, 2, ...).
Применим для интеграла теорему о среднем для непрерывной функции:
2п
1 С ^ ; £/(0™^
— | /(Х)5 1П ПАХ = -----------
7Г ; П
27Т-Е
где 27Г - £ < ( <2п.
Используя правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей в квадратных скобках, можно убедиться, что
при
Аналогично получаются остальные коэффициенты:
1
% ,к = ак+-п
а/(^)сохСс^
sin С а /(2 п) - /( 2 п - а) 1 - cos Са
/(2 п - а) —-—Н ——-—'------------------------------------
к к1 е
( )
dm = an +-
( ) ( )
-/(О
и также при
Нетрудно установить, что при малых значениях кг (это справедливо для первых коэффициентов ряда) разности к - ak, к - Ьк являются величинами порядка г, и, таким образом, первые коэффициенты рядов для исходной и замещающей функций мало отличаются. Это означает, что первые коэффициенты рядов Фурье для разрывной функции f(x) и близкой к ней непрерывной функции fi(x) имеют одинаковый порядок убывания 1/k и число их зависит от г.
Рассмотрим конкретный пример разрывной функции f(x) = x в пределах одного периода (рис. 3). На этот раз, желая сохранить максимальное значение функции, построим замещающую функцию, изменяя исходную функцию на всей области определения (рис. 4):
2 пх
при 0 < X < 2п - £,
Л 00 =
2л - £ 4тт2 - 2пх
при 2п - £ < X < п.
Коэффициенты ряда Фурье для исходной функции:
для замещающей
(k = 1, 2, ...),
При £ —— 0 a i к ~— 0 ,
Л ,к
2
->-------.
к
ак =0, Ьк =
47Г cosk£ - 1
С2 £(2 7Т - £) '
ап = £.
Кк = -■
47Г sink£
2п - £ £к2
( )
Рис. 3. График исходной разрывной функции
Рис. 4. График замещающей функции
Для первых членов ряда при малых ке, разлагая тригонометрические функции в ряды Маклорена и отбрасывая члены выше первой степени, получим
2п£ 47Г 1
к ~ ---------Г, ъ,
(2 7Т - £) ' 1 ,к 2 7Т — £ к'
Получается, что и в этом случае, несмотря на то что коэффициенты ряда Фурье для замещающей функции в точных формулах (2) содержат в знаменателе к2, при малых значениях ке первые члены ряда имеют порядок
убывания 1/k (а коэффициенты ак вообще не убывают, они и так малы - имеют величину порядка г), т.е. эта часть ряда сходится медленно и поэтому в решении необходимо учитывать все ее члены.
Подобными способами можно конструировать непрерывные замещающие функции для периодического сигнала (воздействия), имеющего в одном периоде несколько точек разрыва первого рода и определять необходимое число n членов ряда Фурье для обеспечения заданной точности вычислений при суммировании. При этом надо просуммировать все члены ряда, для которых кг остается малым, и в том случае, когда их число превышает п, полученное из оценки (1). Таким образом, чем меньше г и, следовательно, чем меньше замещающая функция отличается от исходной, тем большее число членов ряда необходимо суммировать.
Библиографический список
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики: учеб. для вузов. М.: Наука, 1974. Т. 2. 656 с.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 3. 656 с.
УДК 004.94
МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКОГО КВАЗИГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ АДАПТАЦИИ ПРОГНОЗИРУЮЩИХ МОДЕЛЕЙ © И.А. Серышева1, Ю.П. Хрусталёв2
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматриваются проблемы адаптации прогнозирующих моделей временных рядов (моделей АРСС), которые используются в задачах оценивания состояния динамических систем. Необходимость адаптации вызвана, в частности, ограниченной длиной временных рядов, по которым находятся первоначальные оценки параметров моделей. Предлагается для построения адаптивных процедур использовать метод обобщенного стохастического градиента. Показано, что применение данного метода обеспечивает хорошую сходимость процессов подстройки параметров.
Ил. 5. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: недоопределенные системы; идентификация; прогнозирующие модели; процессы авторегрессии; критерии адекватности; временные ряды; оптимизация.
METHOD OF STOCHASTIC QUASIGRADIENT IN THE PROBLEM OF PREDICTIVE MODEL ADAPTATION I.A. Serysheva, Yu.P. Khrustalev
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The paper considers the adaptation problems of time series predictive models (autoregression moving average models) that are used in the estimation problems of dynamical system state. The need for adaptation is caused, in particular, by the limited length of the time series, which are used for finding the initial estimates of model parameters. It is proposed to use the method of generalized stochastic gradient for building adaptive procedures. The application of this method is shown to ensure good convergence of parameter adjustment processes.
5 figures. 10 sources.
Key words: underdetermined systems; identification; predictive models; autoregression processes; adequacy criteria; time series; optimization.
Практически все измерительные процедуры основаны на операции сравнения измеряемой величины с некоторой эталонной величиной или мерой. При этом в соответствии с основным положением метрологии, всегда имеет место погрешность измерения. В результате мы можем в процессе обработки измерительной информации найти некоторую оценку измеряемой величины. Как правило, речь идет о нахождении в некотором смысле оптимальных оценок.
Для обеспечения единства измерений физических величин в стране создана система эталонов и существуют так называемые поверочные схемы, определяющие способы доведения точностных характеристик эталонов до потребителей. Верхним звеном поверочной схемы являются эталоны (первичный и вторичные). Таким образом, точность измерения той или иной физической величины определяется точностью эталонов.
1Серышева Ирина Анатольевна, старший преподаватель кафедры автоматизированных систем, тел.: (3952) 405164, e-mail: sia_cyber@mail.ru
Serysheva Irina, Senior Lecturer of the Department of Automated Systems, tel.: (3952) 405164, e-mail: sia_cyber@mail.ru
2Хрусталёв Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники, тел.: (3952) 405107, email: khrustalev@istu.irk.ru
Khrustalev Yuri, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computing Machinery, tel.: (3952) 405107, e-mail: khrustalev@istu.irk.ru
