Улучшение сходимости ряда Фурье для вынуждающего момента при оценке неравномерности установившегося движения машины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

h(u, v)= p{u, v)—r{u, v)

(3)

Рис. 2. Взаимное положение точек номинальной и реальной поверхностей

Далее из уравнения (2) находим значение функ-

Таким образом, теперь мы можем моделировать допустимые отклонения, связанные с изгибанием поверхности и искажением метрики, такие как

m = max|h(u, v), m+ = max(h(u, v)) (характеризует натяг), m = max (— h(u, v)) (характеризует зазор) и другие описанные в [6].

ции

Библиографический список

1. Funda J., Taylor R.H., Paul R.P. «On homogeneous transforms , quaternions and com-putational e-ciency», in IEEE Trans . Autom. And Robotics, Vol.6, 1990. Р.382-388.

2. Shoemake D., «Animating rotation with quaternion curves», in Computer Graphics Pro-ceedings, SIGGRAPH, p.245-254, July 1985.

3. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. № 4. С. 177.

4. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеров-ские чтения». 2004. С.62-64.

5. Гаер М.А. , Калашников А.С., Шабалин А.В. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения». 2004. С. 64-68 .

6. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков // Вестник ИрГТУ.2002. С.82-92.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 302 с.

УДК 681.532.55

УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ВЫНУЖДАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ОЦЕНКЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ

А

А.Н.Клепацкий1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается использовать методы улучшения сходимости ряда Фурье для периодической вынуждающей силы (момента) при интегрировании дифференциальных уравнений движения механической системы. В частности установлено, что расчеты не выявляют влияния саморегулирования на неравномерность установившегося движения машины с приводом от асинхронного электродвигателя переменного тока при кратковременно-повторной нагрузке.

Ил. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: неравномерность движения; саморегулирование; установившееся движение; ряд Фурье; сходимость; периодическая вынуждающая сила.

IMPROVEMENT OF FOURIER SERIES CONVERGENCE FOR A DRIVING MOMENT WHEN ASSESSING THE IRREGULARITY OF STEADY MOTION OF A MACHINE A.N. Klepatsky

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Ikutsk, 664074.

It is proposed to use the methods to improve the convergence of the Fourier series for a periodic driving force (moment) under the integration of differential equations of mechanical system motion. In particular, it is determined that the calculations do not reveal the influence of self-regulation on the irregularity of steady motion of the machine driven by an AC induction motor with intermittent load. 1 figure. 5 sources.

Key words: irregularity of motion; self-regulation; steady motion; Fourier series; convergence; periodic driving force.

1Клепацкий Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры общеинженерной подготовки Усольского филиала ИрГТУ, тел.: 89021724073, e-mail: [email protected]

Klepatsky Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of General Engineering Training of Usolsky Branch, tel.: 89021724073, e-mail: [email protected]

Разложение в ряд Фурье периодической вынуждающей силы (момента) применяется часто, но обычно мало говорят о характере его сходимости. Более того, как правило, либо ограничиваются использованием только первой гармоники, предполагая, что влияние остальных незначительно при выполнении некоторых наперед заданных условий, либо говорят, что влияние следующих гармоник можно учесть тем же способом, что и первой.

Если вынуждающая сила представляет собой периодическую кусочно-гладкую (непрерывную с кусочно-непрерывной производной) функцию, то коэффициенты ряда Фурье имеют порядок убывания 1/ N2, где N - номер гармоники [1], и ряд сходится довольно быстро, так что влиянием высших гармоник можно пренебречь. Но, например, для кусочно-непрерывных функций порядок убывания коэффициентов соответствует 1/N , так что влияние высших гармоник более существенно и поэтому неясно, в какой мере результат, полученный при использовании одной или нескольких гармоник тригонометрического ряда, представляющего вынуждающую силу, будет близок к действительному. «Достаточно одного скачка ..., чтобы ряд Фурье этой функции стал практически негодным для вычисления» [1, с. 495]. Это эмоциональное высказывание из классического курса высшей математики связано не только с тем, что в точках разрыва функции ряд не сходится к значениям функции в этих точках, но и с тем, что необходимо вычислять большое число членов ряда, не имея при этом возможности оценить точность представления функции в других точках: хотя члены получившегося числового ряда и имеют разные знаки, но ряд не является знакопеременным. Поэтому нельзя быть уверенным, что ошибка не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.

Для улучшения сходимости в [1] предлагается выделить из исходной функции / ) простую вспомогательную функцию ф0(/), имеющую те же разрывы,

что и / О):

I () = ¿(0 + ф0(г).

Тогда оставшаяся часть I) уже не будет иметь скачков и ряд Фурье для нее будет иметь коэффициенты порядка, по крайней мере 1/N2. В качестве вспомогательной функции ф0(() проще всего брать кусочно-постоянную функцию. Функцию I(£) можно найти вычитанием самих функций /(^) и ф0(/) или

их рядов Фурье.

Если дифференциальное уравнение, описывающее движение механической системы, является линейным, то частные решения можно искать по отдельности для каждой части функции с последующим суммированием.

При выполнении допущений, введенных в [2, с. 175], дифференциальное уравнение движения меха-

низма становится линейным и, таким образом, имеет смысл применить указанный прием для определения коэффициента неравномерности движения машины в том случае, когда вынуждающий момент является кусочно-непрерывной функцией.

Простейшей иллюстрацией применения указанного способа является нахождение коэффициента неравномерности движения для машин с приводом от асинхронного электродвигателя переменного тока, имеющих постоянный приведенный момент инерции машины [3]. Приведенный момент сил полезного

сопротивления Ми = —М также считался постоянным и действующим в течение времени хТ по отношению к периоду работы машины Т, где х < 1.

Ряд Фурье для М

М =

1 " sm(2лNx) ,дг . —Мх + ~Е \ 7 со&фа^) +

к N=1 N

1 " 1 — сов(2КУх) .

+-Е-^—)§1П( ()

к N

(1)

очевидно, имеет коэффициенты порядка 1/N и поэтому плохо сходится.

Поскольку Ми уже представляет собой кусочно-

постоянную функцию, то интегрирование по участкам дифференциального уравнения движения машины со спрямленной статической характеристикой электро-

двигателя

( — ( ( = М -- + М„

(2)

позволило получить выражение для коэффициента неравномерности движения машины

5 = -

1 — s

■ I (х, К)

и установить, какую часть полного оборота составляет угол поворота рабочего вала (рм за время действия момента полезного сопротивления:

А =

(м

2к

где I (х, К) = 2КМ

1 5

- X — 5 +- I(х, К)

1 — 5 [_ ХК

(1 — е - ^ )(1 — е-К(1—х))

1 — е-К '

К =

3 (X1 —

5 =

Пс —

П„

- сме-

щение электродвигателя. При ( « ан оно связано с коэффициентом саморегулирования [2] простым соотношением к «1 — 5 . Здесь Мн — значение движущего момента на рабочем валу при номинальном значении момента на валу электродвигателя; ан,(— угловые скорости рабочего вала, соответствующие номинальной пдв и синхронной пс частотам вращения вала электродвигателя.

г

Расчеты проводились при условии оптимального выбора электродвигателя, когда среднее значение момента на его валу равнялось номинальному моменту (при этом средняя частота вращения его вала равна номинальной), для заданных значений шс, Мн, Jп, х. При этом модуль импульса момента полезного сопротивления МТх принимался одинаковым, так что для каждого х использовались разные значения

М = Мн/х.

Аналогичные расчеты были проведены без учета саморегулирования для тех же значений исходных данных.

Относительное значение угла поворота рабочего вала за время действия этого момента А для упрощения расчетов оказалось удобнее вычислять, чем задавать, несмотря на то что на практике известно именно А исходя из конструкции исполнительного механизма и размеров обрабатываемой детали, а не х. При вычислениях выяснилось, что А возрастает вместе со смещением в в пределах:

0,499, 0,996, 0,099.

при х = 0,5 А = 0,498 при х = 0,1 А = 0,982 при х = 0,01 А = 0,098 Так что можно считать, что А « х.

В частности, влияние саморегулирования оказалось заметным для достаточно больших углов поворота рабочего вала ри за время действия момента полезного сопротивления. На рис. 1,а видно, что для угла рм «180° саморегулирование проявляется при скольжении s < 0,06, что соответствует коэффициенту саморегулирования k > 0,94. Для угла рм «36° (рис. 1,б) это отмечается при s < 0,04 или при k > 0,96.

При малых углах ( саморегулирование неожиданно оказалось практически незаметным (рис. 1,в для рм = 3,6°). Нагрузку в этом случае можно считать ударной, т.к. время ее действия в 100 раз меньше периода.

А « 0,5; М = 200 Нм

0,045

0,035

0 х

са к

го s

О. X

О) О)

1 X

t £

-& 0,025

о

о

0,015

2

Л

о;

о х m го

О. X

О) (D * *

. S -О- D

t4

о $

0,08 0,07 0,06 0,05

0,02

0,08

0,04 0,06

Смешение s

А « 0,099; М = 1000 Нм

0,1

0,02 0,04 0,06 0,08 Смешение s

А « 0,01; М = 10000 Нм

0,1

о х

ш к

го s

Ср х

<u <u

. S

о ш

t * m о

0,085

0,075

0,065

> 1

0

0,02

0,08

0,1

0,04 0,06

Смещение s

Рис. 1. Влияние саморегулирования на коэффициент неравномерности движения машины при 3П= 10 кгм2, Мн = 100 Нм, Шс = 30 рад/с: 1 - с учетом саморегулирования; 2 - без учета саморегулирования

а

0

б

0

в

Если бы мы в соответствии с рекомендациями, данными в [2], стали проводить эту работу для достаточно большого числа гармоник ряда (1), отмечая влияние саморегулирования для каждой из них, то нет уверенности в том, что, просуммировав полученные решения, мы пришли бы к установленному результату, полученному прямым интегрированием уравнения (2). Так что при использовании в расчетах статической характеристики электродвигателя саморегулирование проявляется не для всякого вида нагрузки. Не исключено, впрочем, что оно окажется заметным при применении динамической характеристики электродвигателя [4].

Отмечена также тенденция к увеличению коэффициента неравномерности движения при уменьшении времени действия момента полезного сопротивления (или угла ( ) как при учете саморегулирования, так и без него даже при неизменном импульсе этого момента 5м = -хТМ (или работе

=—М(м&—200к Дж). Следуя [1], можно таким же образом улучшить ряд Фурье для производной функции, если она окажется кусочно-

непрерывной: I (г) = / (г) = /2 (г) + ф (г), где

ф(г) - вспомогательная кусочно-постоянная функция. Тогда после интегрирования получится представление для исходной функции

I (г) = ф^)+¥г(г) + ),

где ^(г) = | I (г)&,, Ф(г) = \ф(г)& - первооб-

разные. Оно включает ряд Фурье для ^(0 с коэффициентами, имеющими порядок убывания не ниже 1N . Постоянная интегрирования является нулевым его членом и находится обычным способом:

С = ^ = 2

1 т 1 т

-1 Фг (г )Л = - (г) — фо (г) — ^ (г )}л. т о т о

Правда, ф (г) будет уже кусочно-линейной функцией. Так что при последовательном применении этого метода вместе с улучшением сходимости тригонометрического ряда усложняются вспомогательные функции, что может вызвать затруднения с интегрированием дифференциальных уравнений.

Таким образом, если не обеспечена малость влияния высших гармоник ряда Фурье, в который разложено входное (внешнее) воздействие на механическую систему: оно предполагается близким к синусоидальному или передаточная функция системы «гасит» высшие гармоники [5], - то надо внимательно отнестись к характеру этого воздействия. Если оно представляет собой разрывную периодическую функцию, то необходимо улучшать сходимость ее ряда Фурье описанным выше способом, иначе результаты, полученные при использовании одной или нескольких первых гармоник ряда, могут оказаться ошибочными.

Библиографический список

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики: учеб. для вузов. М.: Наука, 1974. Т. 2. 656 с.

2. Фролов К.В. Теория механизмов и машин: учеб. для втузов. М.: Высшая школа, 1987. 367 с.

3. Клепацкий А.Н. Оценка влияния саморегулирования на неравномерность движения машин с кратковременно-повторным действием сил полезного сопротивления // Акту-

альные вопросы прикладной науки и образования: сборник. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. С. 33-40.

4. Коловский М.З. Динамика машин. Л.: Машиностроение, 1989. 263 с.

5. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физ-матгиз, 1960. 791 с.

УДК 621.81

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

А

А.А.Кудрявцев1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена задача трехмерной стационарной теплопроводности с решением на основе метода конечных элементов (МКЭ). Представлена блок-схема алгоритма решения задачи стационарной теплопроводности на основе МКЭ с программированием на языке Фортран. Приведено сравнение результатов с теоретическим решением. Предложено разработать комплексную математическую модель для решения контактной задачи теплонапряжен-ности сборных конструкций. Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: теплопроводность; метод конечных элементов; программирование.

1-

Кудрявцев Александр Александрович, старший преподаватель кафедры самолетостроения и эксплуатации авиационной техники, тел.: (3952) 405133, 89021786789.

Kudryavtsev Alexander, Senior Lecturer of the Department of Aircraft Construction and Operation of Aircrafts, tel.: (3952) 405133, 89021786789.