CC BY
72
¡Выпуск 4
5. Исмайылов Г. Х. Исследование водного баланса речных бассейнов: основные проблемы и возможные решения / Г. Х. Исмайылов, В. М. Федоров // Тр. VI Всесоюз. гидрологического съезда. Секция 3. — Л.: Гидрометеоиздат, 2008. — Ч. 1.
6. Оппоков Е. В. Осадки, сток и испарение в бассейне Днепра выше Киева (по новейшим данным) / Е. В. Оппоков // Исследование рек СССР. — 1935. — Вып. 7. — С. 38-54.
УДК 539.3 Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, профессор, СПГУВК
АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВОДОУДЕРЖИВАЮЩЕЙ ОБШИВКИ СЕГМЕНТНОГО ЗАТВОРА В ГИДРОТЕХНТЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЯХ
ANALYTICAL CALCULATION OF A WATER-RETAINING COVERING OF A SEGMENT LOCK OF HYDRAULIC ENGINEERING CONSTRUCTIONS
Водоудерживающая обшивка сегментного затвора моделируется пологой цилиндрической оболочкой, подкрепленной стрингерами. Получено аналитическое решение задачи деформирования поперечной нагрузкой пологой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости вдоль образующей. Решение основного разрешающего уравнения теории ребристых пологих оболочек относительно комплексной функции представлено в виде ряда по комбинациям регулярных и специальных разрывных функций, что приводит к быстро сходящимся рядам и простому вычислительному алгоритму.
The water-retaining covering of a segment lock is modeled by the flat cylindrical cover supported with stringers. The analytical solution of a problem of deformation is received by cross-section loading of the flat cylindrical cover supported with edges of rigidity along forming. The solition of the basic equation of the theory offlat shells with ribs concerning complex function is presented in the form of a series from combinations of regular and special discontinuous functions. This solution leads to quickly converging series and simple computing algorithm.
Ключевые слова: теория пологих ребристых оболочек, цилиндрическая оболочка, разрывные функции.
Key words: theory offlat shells with ribs, cylindrical shell, discontinuous functions.
1. Введение. На рис. 1 приведен вариант конструктивной схемы сегментного затвора с ис-
пользованием выпуклой цилиндрической обшивки. Аналогичная конструкция исследовалась при проектировании конструкции сегментного затвора для нижней головы судоходного шлюза гидроузла № 10 «Тришин» (Республика Беларусь) в связи с необходимостью замены старого затвора.
Материал металлоконструкции сегментных ворот — сталь 09Г2С, имеющая следующие характеристики согласно [1]: модуль упругости E = 2,1 • 105 МПа; коэффициент Пуассона v = 0,3.
Сегментный затвор представляет собой сложную пространственную конструкцию, напряженно-деформированное состояние которой можно определить в настоящее время (в связи с широким внедрением в инженерную практику вычислительной техники) эффективным приближенным методом решения задач механики — методом конечных элементов (МКЭ).
На обшивку затвора действует гидростатическое давление; треугольная эпюра интенсивности этого давления схематично показана на рис. 1 для напора h = 5,5 м. В расчетной схеме МКЭ цилиндрическая поверхность обшивки заменяется ломаной поверхностью с прямолинейными участками между соседними узлами обшивки по высоте затвора. Соответственно треугольная
эпюра гидростатического давления заменяется ступенчатой эпюрой с прямоугольными участками между соседними узлами по высоте. Интенсивности давлений на плоских участках обшивки вычисляются как средние значения между соседними узлами по треугольной эпюре гидростатического давления.
Рис. 1. Схема сегментного затвора
В данной работе предлагается другая математическая модель, основанная на аналитических решениях краевых задач теории ребристых оболочек.
2. Математическая модель. Рассмотрим пологую цилиндрическую панель, подкрепленную ребрами жесткости вдоль образующей. Будем считать, что оболочка имеет размеры в плане
0 < x < a, 0 < у < Ь. Стрингеры расположены вдоль линий у = у і = 1, 2, ..., M (рис. 2).
[23
Рис. 2. Цилиндрическая панель, подкрепленная стрингерами
В основе исследования лежит основное разрешающее уравнение теории ребристых пологих оболочек в комплексной форме [2], которое для цилиндрической оболочки радиуса R имеет вид
Выпуск 4
¡Выпуск 4
У4¥ +
г'п д2л¥ _ <7 уі I іпЕи
И~д^~Ъ + Ь\~Eh~
+ -
Ек дх
Ек
Ек
с^_^и^2р а2рЛ “ дх2 Ек
|2тЛ
д ¥ д*¥
ду1 дх2
Уіі +
V-
ду дх у
гу£ьЛб2 XV дх2
Ь"(.У~Уі)+ 8 (У-И)!
где
Х¥{х,у)^^{х,у)-1^¥{х,у), п =
М17),
=7=ї.
(2)
Здесь приняты обозначения: Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона и к — толщина гладкой оболочки (обшивки), В — цилиндрическая жесткость оболочки; Е, Е, 8, / ( = 1, ..., К) — модули Юнга, площади поперечных сечений, статические и осевые моменты инерции поперечных сечений ребер, расположенных вдоль оси Ох; w(x, у) — функция нормального прогиба; Е (х,у) — функция усилий; q (х,у) — функция заданной поперечной нагрузки; 5 (у,у.), 5" (у,у ) — 5-
функция Дирака и ее вторая производная, сосредоточенные вдоль линий у = у. ; V4 — бигармони-
74 = V2 V2 '
Введем обозначения
д2 д2
ческий оператор (V = V V ), V2 = — оператор Лапласа.
/и(х>у)= §и(х>у) =
Тогда уравнение (1) примет вид
і*
Д дх2 £>
"ад, (д2¥ д2¥л -V—— -Е,^и д2 XV
Ек 9» к дх2
"ВД (д2¥ а2^ - V—г- -К.Б,. д2 XV
Ек [д/ дХ2 ; дх2
(3)
д2/у , ¿V д2ёи, дх2 п дх2
(4)
3. Построение решения задачи. Станем рассматривать следующие представления функ-
ций:
кг (•Х’У)= (уЖ“».*) ёи (*>>0 = 0>ІП(ат*}
т=1 т=1
00 СО
Р(Х’У)= (.У>іп(атх) ™(х,>>)= ^шу 0>ш(аих}
(5)
где ат =
тп
Пользуясь принципом суперпозиции, общее решение уравнения (4) запишем в виде 4>(х,у)='¥д (х,^)—¿8т(атх)|^Д,^ (у)+
т=1
к=1
1 *1 +—У
а„
С {уГ)+Т^ ІУі’) 00 + г (Уї Ж«. (у)
П
П
Здесь ¥ (х, у) — какое-нибудь частное решение уравнения
тд2^а а
Я дх2
Б
(6)
(7)
Это решение можно взять, например, в следующей форме
а-=~> р«=у,
а
(8)
где
=-
£>
К+Й?-^а
Функции 'Р‘, (у\ 'Р* Гу) — частное решение и его вторая производная уравнения
М ' ' м ' '
V4 'Р*, а2хР*, =5(у-у.Л V4 =
о-щ 1ат £ ТП г а„ ^ V/ /У /? Уат
г а2 Л
ау
2 ат
(9)
Частное решение уравнения (9) легко находится методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Будем иметь
вО’-у,)
„2 -г2
2 “21
вЬ (г2 (у - у,)) вИ (г, (у - ^ ))
т2 т2 22
где 9 (.У-}>,)=•! — единичная функция Хэвисайда, а 2 22 — корни характеристического
1 2
уравнения:
Хл-2а1Х2 +
г 4 2 Я 2 Л
а--------а
/я о
к
- 0, А,12 - ±Г1>1Я, Я,3>4 - ±г21
4а1-24//4а2--
Функции к = 1, 2, 3, 4 — фундаментальные решения однородного уравнения (9).
Они имеют вид
2<хт1 0)= сЬ(21,тУ) ^а„2 0) =
га„з 00= сЬ(22ту), гат4 (у)= 8Ь(г2 тУу
С учетом формул (3) и (5) будем иметь
« ,
где введены обозначения:
V2 Е (у)=^ Рту^ + \а2Р (у)’ а„ ж>> V/ / 7.2 т ту V Р
ту ’
2 а
•42 = - / Уу (*>т(атх>т(а^)Л:
а о
^(0 = 21 (ам^)81П
ф2
¿Г
Выпуск 4
¡Выпуск 4
*«=- г
1Ш I п •>
2 • / л • / ч г
а о Ек
Общее решение (6) содержит неизвестные константы: Атк — произвольные константы интегрирования; /т (у. ), gm1’I (у. ) — значения сингулярных функционалов. Для определения этих констант вычисляем коэффициенты Фурье полученного общего решения и используем условия непрерывности функций и граничные условия задачи.
Коэффициенты Фурье решения имеют вид
^)=П>)-1е4А.»00+
к=1
1 *1 +—У
а„
/ту (У( )+ —ёту (У? ) Х’ат (у)+~ ёту (Уг )%*„ О)
Здесь используются представления
ч?(х>у)= 1Уту 0>1п(аих), Ч>9 (х,у)= (>>>т(атх):
ТП—\
т=1
2 г.
00= Ч(х,уУт(атх)ск, 00= а о а •
Кроме того, потребуются еще формулы
00=(у)- ^ 00+
^=1
1 ^
+—у
£>П
а.
п
Нормальный прогиб оболочки ^(х, у) и функция усилий Е(х, у) выражаются через действительную Яе['Р (х, у)] и мнимую 1ш[р (х, у)] части функции ¥ (х, у) по формулам
ЕЛ, п
’'V (х,у)=Яе(х,у)], Б(х,у) = -—1т[Ч/ (х,у)].
Введем обозначения для числовых констант
4) = Ке[’Р^()],^) = ]т[у^(у1)]),- = 11 2, ...,^,5 = 1, 2, ....
(10)
Тогда значения сингулярных функционалов выразятся через эти константы по формулам
/;ч>о=Ё
у«)а^0)_ ^(Ч/М
та 8 81 ¡гт 81
П
ЕЫ5® а2Д(1) - — Е(1)/(1)
1ШС с СТ 1И»С С1
Таким образом, для определения констант (10) будем иметь следующие группы линейных 20^ алгебраических уравнений:
1
+—У
^=ке [П. (у,)] - -I£ 4, ке [2„., (у,)]+
8^М
(у* )Ке['Р‘а„ (у,)] + (у, )]
, т = 1, 2, t = \, (11)
(у,)] - Ел, (у,)] +
и=1
“X ЫН^?«. О’.Я+^^Ьп^ч^ (л)]
(12)
»1 = 1, 2, ..., / = 1, 2, ...,.й:1.
Здесь введены обозначения
<„ (у^^Ду^а^ (у).
К выписанным группам уравнений (11), (12) необходимо добавить группы уравнений, построенные по граничным условиям. Выписывать их не будем. Отметим только, что форма решения (6) позволяет удовлетворить практически любым граничным условиям.
4. Числовой пример. Приведем результаты расчета пологой оболочки с размерами в плане
гЬ
а * Ь, а = 8 м, Ь = 6 м; стрингеры расположены вдоль линий у = у1 =-, / = 1, 2, ..., М, М = 10.
М +1
Сечения стрингеров приняты:
— вдоль линий у и у9: гнутые профили 600*150*12 мм;
— вдоль линий у у7 и у6: гнутые профили 500*100*10 мм;
— вдоль линий у1 ^ у5: прокатные неравнобокие уголки 160*100*10 мм.
Радиус кривизны оболочки Я = 5 м; в качестве граничных условий принимались условия шарнирного опирания контура оболочки.
Поперечная нагрузка — гидростатическое давление, полный напор 6 м. В рядах удерживалось М = N = 27 членов.
Ниже приведены эпюры прогибов, изгибающих моментов и напряжений. Все расчеты выполнены в системе СИ: длина — метры; сила — Ньютоны; напряжение — Паскали.
Рис. 3. Изгибающий момент в сечении х = 4 м
а
Рис. 4. Изгибное напряжение в сечении х = 4 м
Выпуск 4
¡Выпуск 4
Прогиб оболочки, х = 4, М = N = 27
0.004-
0.003-
0.002-
0.col-
о.545 1.091 1.636 2.1S2 2.727 3.273 3.S1S 4.364 4.909 5.454
У
Рис. 5. Прогиб водоудерживающей обшивки в сечении x = 4 м
Рис. 6. Прогиб стрингера у = 2,18 м
5. Заключение. Первоначально задачи механики решались аналитическими методами. Непрерывное совершенствование вычислительной техники на некоторое время отвлекло исследователей от развития аналитических методов. Численные методы фактически вытеснили из практики аналитические методы решения технических задач.
Ситуация в корне изменилась с появлением и доступностью персональных компьютеров, а самое главное, с появлением мощных систем аналитических вычислений. Пожалуй, в наибольшей степени изменился характер и повысилась производительность умственного труда. В настоящее время все инженерные, конструкторские, экономические задачи можно решать на компьютере, причем в большинстве случаев совершенно нет необходимости заниматься программированием в традиционном смысле. Например, в системе аналитических вычислений Maple [3-5] пользователь имеет возможность выполнить все расчеты так, как он выполнил бы их на бумаге, причем все рутинные и трудоемкие вычисления (а главное, без ошибок и в формульном, аналитическом, виде!) берет на себя система Maple. Системы аналитических вычислений могут в корне изменить отношение к «забытым» аналитическим методам.
Как известно, реализация многих аналитических методов на цифровых компьютерах приводит к вычислительной неустойчивости большинства из них. Это связано с накоплением ошибок округления, возникающих при работе на множестве действительных чисел с ограниченным числом значащих цифр в мантиссе, которые реализуются на цифровых компьютерах. Простейший выход из подобной ситуации — увеличение количества значащих цифр, с помощью которых представляются числа на компьютере, но это дорогостоящая операция, которая в ближайшее время, по всей видимости, решена не будет.
Выход из такого затруднительного положения уже сейчас видится в использовании для некоторых числовых расчетов систем аналитических вычислений, в которых проблемы с ограниченным количеством значащих цифр в мантиссе действительного числа не существует [6, с. 14-21; 7, с. 8-15]. Например, в системе Maple можно осуществлять расчеты на множестве действительных чисел, имеющих до 500 значащих цифр в мантиссе своего представления. Это, естественно, скажется на скорости вычислений и потребует использования более мощного компьютера. Однако для многих аналитических алгоритмов, учитывая их простоту, увеличение времени расчета не играет большой роли, так как порядок разрешающей алгебраической системы уравнений во многих случаях не превышает 1000, позволяя получить удовлетворительный для практики результат.
Расчеты по данной работе выполнялись в системе аналитических вычислений Maple. В приведенном примере решалась система, состоящая из 540 алгебраических уравнений; в мантиссе числа удерживалось 45 знаков. Для сравнения, например, расчет такой конструкции МКЭ требует использования 2155 конечных элементов, расчетная схема содержит 1941 узел. Но, конечно, главное преимущество предлагаемой математической модели — получено аналитическое решение задачи в виде формулы, что позволяет легко и быстро просчитывать различные варианты конструкции, нагрузок и закреплений, то есть проводить оптимизацию конструкции.
1. Строительные нормы и правила СНиП II-23-81. — Ч. II: Стальные конструкции.
2. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры. — СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006. — 271 с.: ил.
3. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.: БХВ-Петербург, 2001. — 528 с.
4. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов. — СПб.: Питер, 2004. — 540 с.
5. Голоскоков Д. П. Практический курс математической физики в системе Maple: учеб. пособие для вузов. — СПб.: OOO «ПаркКом», 2010. — 643 с.
6. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании // Журнал университета водных коммуникаций. — 2011. — Вып. 2 (10).
7. Матросов А. В. Расчет балочных перекрытий численно-аналитическим методом // Журнал университета водных коммуникаций. — 2012. — Вып. 1 (13).
Список литературы
Выпуск 4
