CC BY
55
УДК 516.6:539.3:519.635:626 А. В. Васин,
канд. физ.-мат. наук, доцент, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
О. А. Тимофеева,
аспирант,
ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ЗАТВОРЫ ОБХОДНЫХ ГАЛЕРЕЙ CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODEL OF THE DYNAMIC LOADS ON HYDRAULIC LOCK BYPASS GALLERIES
Исследуются деформации плоских гидрозатворов водопропускных галерей шлюзов. Математическая модель гидродинамических нагрузок на гидрозатворы построена на основе исследования нелинейной задачи Лаврентьева-Шабата отрывных течений несжимаемой жидкости. Для решения последней применяется метод аппроксимаций линейными разрывными задачами. Напряженно-деформированное состояние гидрозатворов моделируется задачей изгиба пластины, подкрепленной перекрестной системой ребер жесткости.
The deformation of flat water seal culvert of bypass galleries is investigated. Mathematical model of hydrodynamic loads on the hydraulic locks is based on the study of Lavrentiev-Shabat nonlinear problems of separated flow of an incompressible fluid. To solve the latter problem we use the method of linear approximations with linear discontinuous problems. The stress-strain state of the water seal is modeled by the problem of bending plate supported by cross-bracing system.
Ключевые слова: сопряжение вихревых течений, задача Дирихле, изгиб ребристых пластин.
Key words: conjugation of vortex flows, Dirichlet problem, bending of ribbed plates.
Введение. При обтекании затвора в водопропускной галерее под ним происходит сжатие потока. В сжатом сечении струи скорость потока повышается, достигая максимума, а давление уменьшается. На самом деле, сжатие потока не всегда влечет увеличение скоростей. Например, в теории мелкой воды к увеличению скоростей приводит расширение потока. В любом случае модель, которую приходится рассматривать, должна соответствовать практическим наблюдениям. Из моделей идеальной жидкости приемлемым вариантом является модель Лаврентьева-Шабата [1] склеивания вихревых течений. Вихревые течения, возникающие из-за вязкости, за затвором влекут существенные изменения абсолютных скоростей, которые, в свою очередь, приводят к сложной меняющейся динамической нагрузке на гидрозатворы водопропускных галерей. Тем самым задача исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) гидрозатвора существенно усложняется. В настоящей работе авторы рассматривают гидрозатворы в рамках теории пластин с перекрестной системой ребер жесткости [2, с. 150-162; 3]. Влияние ребер учитывается в соответствующих уравнениях в виде дополнительных слагаемых, содержащих дельта-функции и ее производные в смысле теории распределений. Результаты расчета при различных режимах открытия затвора представляют математическое моделирование явления вибрации гидрозатвора. Данное явление наблюдается экспериментально [4], но при моделировании только гидростатических нагрузок или потенциальных моделей жидкости не подтверждается.
1. Моделирование по схеме Лаврентьева-Шабата. В работах [1; 5] рассматривается математическая модель Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости, а в работах [6, с. 320-
Выпуск 3
Выпуск 3
321; 7, с. 262-266] — непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика. Математическая постановка задачи заключается в том, чтобы определить дважды дифференцируемую функцию у в области, удовлетворяющую уравнению
со смешанными граничными условиями (на части границы заданы значения Дирихле, а на части границы — условия Неймана). В работе [6] для решения задачи (1) используется метод непрерывной аппроксимации. Аппроксимирующая задача получается из исходной возмущением спектрального параметра и представляет собой нелинейное эллиптическое дифференциальное уравнение с краевым условием. Нелинейность в аппроксимирующем уравнении непрерывная и зависит от малого параметра. В пределе при стремлении параметра к нулю получается разрывная нелинейность. Отметим, что разрывные нелинейности довольно часто возникают как идеализации непрерывных нелинейностей, имеющих участки быстрого роста по фазовой переменной. В отличие от [7], применяется несколько другой метод аппроксимации линейными разрывными задачами. Этот метод по своей сути ближе к исходным исследованиям Гольдштика [1; 5] и удобнее для численной реализации, поскольку на каждом итерационном шаге предполагается решение линейного уравнения Пуассона. Для решения уравнения Пуассона применяется метод граничных интегральных уравнений без использования каких-либо развитых пакетов на основе метода конечных элементов типа ANSIS или Flow 3d.
Рассмотрим модель затопленной водопроводной галереи, осевой разрез которой имеет вид, представленный на рис. 1. Для плоскопараллельного течения идеальной жидкости модель Лав-рентьева-Шабата [1; 5] заключается в склеивании вихревого течения за затвором и потенциального — в остальной области. Потенциальное течение в области D1, ограниченной стенками камеры, линиями входа и выхода потока и струей у срывающейся с нижнего края затвора; вихревое течение с постоянной завихренностью -ю, ю > 0 в области D0, дополняющей D1 до всей камеры.
Кривая у не задается, ее надо подобрать так, чтобы она была линией тока и чтобы поле скоростей оставалось непрерывным всюду в камере. Функция тока у должна удовлетворять уравнению (1). Метод аппроксимации задач с разрывной нелинейностью линейными разрывными задачами сводится к итерациям уравнения Пуассона с изменяющейся областью интегрирования. В известных работах по склеиванию вихревых и потенциальных течений большое значение имеет знание явного вида функции Грина для задачи Дирихле, в частности в [1] представлена модель вихревого течения в полуплоскости, моделирующего отрывное течение в бесконечно глубоком бассейне. Некоторые задачи подобного рода допускают применение техники конформных отображений, в частности формулу Кристофелля-Шварца [5]. При использовании схемы склеивания течений с различными завихренностями в реальных водопроводных галереях будем конструктивно строить оператор Грина, а по сути — численно решать граничные интегральные уравнения. Данная схема применялась в камерах другой формы в [8, с. 8-13; 9, с. 42-47], где определена область отрывных течений. Суть схемы заключается в следующих построениях. Определим функцию
V|/(z) > 1, \|/(z)<l
(1)
ц
Рис. 1. Участок обводной галереи
Vi
где О — функция Грина задачи Дирихле для области Д а интегрирование совершается по площади. В области функция у удовлетворяет уравнению Пуассона, а в области Д гармонична, кроме того, функция у непрерывно дифференцируема, удовлетворяет граничным условиям. Линия раздела областей О0 и Д должна быть линией тока, поэтому найдем ту линию уровня функции у, где она равна известному расходу жидкости. Эта линия уровня ограничивает некоторую область Д. Далее итеративно определим последовательность функций
Последовательность функции уп сходится, как доказано в [6; 7], к непрерывно дифференцируемой функции у, а последовательность областей Dn сходится к области D, для которых выполняются условия задачи Гольдштика. Технические трудности в данной задаче заключаются в численном определении оператора Грина.
2. Расчет гидродинамических нагрузок на плоский затвор. Алгоритм решения был реализован в математическом пакете Maple [10] при следующих исходных данных: высота камеры равна 3 м, общее количество точек границы области равно 220, на нижней стенке функция тока ун = 0, на верхней стенке функция тока ув = 12, на входе/выходе функция тока меняется линейно у = 2,4y, средняя скорость на входе и на выходе равна 2,4 м/с, затвор поднят на 30 %. Максимально допустимая погрешность значения функции тока на линии раздела є = 0,001. Исходная величина завихренности ю = 10, в процессе итераций данная величина изменилась до ю = 5,66. С другой стороны, знание картины течения позволяет вычислить скорости за затвором и перед ним, что дает возможность определить величину гидродинамического давления на затвор. Для определения результирующей силы гидродинамического давления на затвор водопроводной галереи воспользуемся интегралом Бернулли для установившегося течения. В таком случае на одном уровне для разности давлений с двух сторон затвора получим
ґ
Ьр = Рг~Рх =Р'
.2 Л
V J
где p1 — давление жидкости перед затвором; v1 — скорость течения перед затвором; р2 — давление жидкости за затвором; v2 — скорость течения за затвором.
На рис. 4 изображен график результирующей силы давления на затвор для различной высоты поднятия затвора для полученного течения. Максимальное значение результирующего давления за затвором составляет Ар = 24,34 кПа.
ґ Г max ’
Максимальное значение результирующего давления перед затвором составляет Ар = 8,15 кПа. Эти максимальные дав-
max
ления с разных сторон затвора приложены в разных точках, поэтому требуется принимать в рассмотрение не только абсолют- <3 ные величины давлений, но и моменты сил -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 давлений. Анализ результатов показывает
7—/7 =0,5;2—/7 =0,4:3 —/7 =0,3;-/ — h =0.2:5 —/7 =0,1 (Рис- 4)> 4X0 наибольшее результирующее
z ’ 7 z’7 z 7 7 z 7 7 z 7
давление перед затвором сосредоточено на Рис. 2. Результирующее давление на затвор уровнє середины затвора и возникает в мо-
Выпуск 3
Выпуск 3
мент открытия затвора. С другой стороны, наибольшее результирующее давление за затвором сосредоточено на нижней кромке и увеличивается по мере открытия затвора. В данном опыте можно считать, что движение жидкости стационарно, поскольку скорость перемещения затвора во много раз меньше, чем скорость движения жидкости. Скорость на входе в галерею в пределах 3-5 м/с, а скорость подъема затвора не больше 1 м/мин.
Отметим, что найденные величины давлений достаточно велики для учета нагрузок на гидрозатвор, поскольку наибольшие результирующие давления соизмеримы по величине с гидростатическими нагрузками на гидрозатвор. С другой стороны, в затопленной галерее гидростатические давления с разных сторон на затвор уравновешиваются, поэтому важным является расчет именно динамических нагрузок на затвор. Представленная неоднородность распределения давлений приводит к вибрациям при подъеме затвора и подтверждается при исследовании НДС затвора.
3. Математическая модель напряженно-деформированного состояния плоского затвора водопропускной галереи. Пусть затвор имеет вид прямоугольной пластины (0 < x < a, 0 < у < b), которая нагружена поперечной нагрузкой q(x, у) и подкреплена ребрами, расположенными параллельно осям у и x по линиям x = x = const и у = у = const. Будем учитывать только изгибные жесткости ребер, которые считаем постоянными. Основное разрешающее уравнение относительно функции прогиба w(x,y) имеет вид [11; 12]
где A.J, * = 1’ •••’ ^i’ ^2j - 2J , j -1> —,К2; w(x, у) — прогиб; D — цилиндрическая жест-
кость пластины; Eu Ju, E J2j — изгибные жесткости ребер, расположенных в направлениях x и у
соответственно; 5(у) — 5-функция Дирака. Граничные условия могут быть любыми. Конструкция гидрозатвора предполагает, что две параллельные вертикальные кромки пластины являются шарнирно опертыми, а другие две (горизонтальные) — свободными. Полное решение рассматриваемой задачи, обладающее всеми нужными особенностями в зоне всех ребер, имеет вид [11; 12]
Tv(x,y)= Wq (х, у )- ¿sin(p „ j){XCfe,ZM (*) + fc^k (*)1 -
П=1 к=1 j=1 J
“Е sin(amx)|^ Пыгатк (у) + ^К°1^ (уі )Ха. (У )
т=1 k=1 i=l
где Ckn, Dkm — произвольные константы интегрирования, w0(x, у) — решение для «гладкой», не подкрепленной пластины (удобно взять в форме решения Навье):
'i'k 00 = 9 2Р _сЬРи _*;)“ shp« (х-*;)},
00 = К О - У і )ch a- O' - у Уsh a- (у - У■/)} ’
т
|Z|j k(x)},{Za А(_у)— фундаментальные системы решений соответствующих однородных уравнений [11; 12]. Рассматриваемая задача является хорошей расчетной моделью плоского стального затвора гидротехнических сооружений (ригельного либо стоечного типов). В п. 3 авторы показали, какого типа нагрузки могут действовать на плоские гидрозатворы во время открытия. В следующем пункте применим развитую технику к расчету НДС при различных режимах открытия затвора.
4. Численные результаты и выводы. Приведем результаты расчета НДС прямоугольных пластин, подкрепленных перекрестной системой ребер жесткости параллельно сторонам пластины.
Будем считать, что материал пластин и ребер жесткости — сталь с модулем Юнга Е = 2х105 МПа и коэффициентом Пуассона V = 0,3. Прямоугольная пластина, подкреплена двумя горизонтальными и двумя вертикальными ребрами жесткости. Обшивка пластины имеет постоянную толщину И = 0,012 м. Размеры в плане — по оси х: а = 3 м, по оси у: Ь = 3 м (рис. 5).
Рис. 3. Эпюры давления в Па
0.0000 -0.0002 -0.0004 -0.0006 -0.0008 И/, метры -0 0010 -0.0012 -0.0014 -0.0016 -0.0018
0 ІЛ \ 1 Б /1 5 і
/
1
1
1
1
/
'
0.00150
0.00125
0.00100 И/, метры 0 00075
0.00050
0.00025
0
-0.00025
-0.00050
-0.00075
-0.00100
/ /
/
/
/
/
/
X 0 5 \ 1 5 / 2 5 :
Рис. 4. Прогибы в пластине на уровне х = 1,5 м и у = 1,5 м; количество удерживаемых членов ряда М = 15, N = 15
0.0045
С
Рис. 5. Прогибы в пластине на уровне х = 2,5 м и у = 2,5 м
Выпуск 3
Выпуск 3
Список литературы
1. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 416 с.
2. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Механика твердого тела. — 1970. — Вып. 4.
3. Михайлов Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. — Л.: ЛГУ, 1980. — 196 с.
4. Бутин В. П. Повышение эффективности эксплуатации судоходных шлюзов на основе исследований, разработки и внедрения новых технических и технологических решений: дис. ... д-ра техн. наук / В. П. Бутин. — СПб.: Изд-во СПГУВК, 1995. — 248 с.
5. ГольдштикМ. А. Вихревые потоки / М. А. Гольдштик. — Новосибирск: Наука: Сиб. отделение, 1981.
6. Вайнштейн И. И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М. А. Гольдштика / И. И. Вайнштейн // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. «Математика и физика». — 2011. — № 4 (3).
7. Потапов. Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика / Д. К. Потапов // Математические заметки. — 2010. — Вып. 2, Т. 87.
8. Васин А. В. Нахождение линии раздела областей с потенциальным и вихревым течением / А. В. Васин, О. А. Тимофеева // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2012. —
9. Васин А. В. Математическое моделирование опыта Н. Б. Городенского о вихревых течениях в шлюзовых камерах / А. В. Васин // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2012. —
10. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе MAPLE / Д. П. Голоскоков. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.
11. Голоскоков Д. П. Математическое моделирование упругих тонкостенных систем / Д. П. Голоскоков, А. А. Грищенков. — СПб.: СПГУВК, 1999. — 149 с.
12. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры / Д. П. Голоскоков. — СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006. —
Вып. 2 (14).
Вып. 3 (15).
271 с.
УДК 556.512
З. К. Иофин,
канд. географ. наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный технический университет»
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЛИНЕЙНО-КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МОДЕЛИ ВОДНОГО БАЛАНСА
THEORETICAL GROUNDS FOR LINEAR-CORRELATION MODEL OF WATER BALANCE
В статье рассматривается метод линейно-корреляционной модели водного баланса, который позволяет с достаточной для практики точностью аналитически выполнять оценку ряда водно-балан-
