Вычисление нормы симметричных ортогональных полиномов Лежандра - Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»



ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ СИММЕТРИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА - СОБОЛЕВА

Осиленкер Б.П.

Рассмотрим дискретное пространство Соболева с нестандартным скалярным произведением:

1 1

/, 8 >= - //(х)8(х)йх + М[/(1)8(1) + /(-1)8(-1)] + Щ/'(1)g'(1) + /'(-1)g'(-1)](М > 0,N > 0).(1)

2 -1

Обозначим через Вп (х) = Вп (х; М, N )(п е Z+) симметричные полиномы Лежандра - Соболева, ортогональные по отношению к скалярному произведению (1) и нормированные условием Вп (х; 0,0) = Рп (х), где Рп (х)(п е ) - классические полиномы Лежандра с Рп (1) = 1(п е Ъ+).

Эти полиномы являются частными случаями полиномов Гегенбауэра - Соболева (ультрасферических полиномов Соболева), введенных в [1], [2].

В последние годы они привлекают внимание в связи с рядом задач теории функций, функционального анализа, математической физики и вычислительной математики ( детали см.в [3] - [11] и литературу в них).

Важную роль дискретные полиномы Соболева играют в приложениях при исследовании нагруженных систем.

Несмотря на тесную связь с полиномами Лежандра (в которые они переходят в случае М = N = 0), полиномы Лежандра - Соболева обладают рядом существенно отличных свойств. Приведем некоторые из них.

1. Полиномы Вп (х) являются собственными функциями линейного дифференциального оператора десятого порядка в случае М > 0, N > 0, четвертого порядка-при М > 0, N = 0, и восьмого порядка, когда М = 0, N > 0 [12] (напомним, что классические полиномы Лежандра являются собственными функциями линейного дифференциального оператора второго порядка [13],[14].

2. Нули Вп (х) - вещественные и простые, при достаточно больших N полиномы Вп (х) имеют

два вещественных и симметричных нуля вне (-1,1) (остальные (п-2) нуля лежат в (-1,1)), в то время как все нули полинома Рп (х) - вещественные, простые и лежат в (-1,1) (13],[14]).

3. В случае N > 0 для полиномов Вп (х) не выполняется трехчленное рекуррентное соотношение (как для полиномов Лежандра ([13],[14]), а наименьший порядок рекуррентного соотношения для них равен семи [15].

Следующее представление, устанавливающее связь между классическими полиномами Лежандра и полиномами Лежандра -Соболева установлено в [1].

Лемма. Для симметричных ортогональных полиномов Лежандра-Соболева имеет место формула

Вп (х) = а (1 - х2)2Рп(4)(х) +

где

+Ъп (1 - х2)Рп (х) + СпРп (х),п = 0,1,...; В0(х) = 1, В,(х) = х, (2)

MN N N

а =-(п -1). Н--п(п + 1)(п = 2,3,...;а„ = 0, а = —),(3)

п 48 4 24 0 1 12

Ъп =-N(п-2)п(п + 1)(п + 3)-М^пе ,(4) N

Сп = 1 - — (п -2)6(п = 3,4,...;с, = С! = С2 = 1),(5) 24

и (а)к здесь сдвинутый факториал, определяемый по формуле

(а)к := а(а + 1)...(а + к - 1)(ае К,к = 1,2,...),(а)0 := 1.

В частности,

В0 (х) = 1, В1 (х) = х, В2 (х) = 3 (2М +1)х2 -1 (6М +1)х, В3 (х) =

= 5(6М + 6N +1)х3 -3(10М + 30N +1).(6) 2 2

Пусть В п (х; М, N) = В п (х)(п е Zt, х е [-1,1]) - ортонормированные полиномы Лежандра - Соболева 1

1 1

-1 Вп (х)Вт (х)йх+м [Вп (1)ВИ (1) + Вп (-1) Вт (-1)] + N [ В'п (1) В'т (1) + В'п (-1) В'т (-1)] = §п,т (п, т 6 ).

• -1 Тогда

„ (п) (п)

Вп(х) =ЛП Вп(х)(пег+ ),(ЛЯ )-2 =(Вп(х;М,N),Вп(х;М,Ю )(пе ).(7)

Теорема. [16](М=0),[17]^=0). Для нормы симметричных ортогональных полиномов Лежандра -Соболева справедливо следующее представление

< Вп (х; М, N), Вп (х; М, N) >= —Ц ^п (М, N)Пп+2 (М, N)(п б ), (8)

2п +1

где

MN N 2

^ (М, N) =-(п -1)п(п - 3)6 + — (п - 2)4(п2 - п - 3) + М (п -1)п +1(п ).(9)

48 6 12 4 +

Доказательство. Начнем со случая п=4,5,....

В силу (7) и [18],[7] (если

Имеем

(Л[п))-2 =< Вп (х), Вп (х) >= 2Мс1 + 2+ М(п -1)4]2 + [(п - 3)4 (п +1)4 а2п + (п - 1)з(п + 2)й2

2 4 2п +1

2(п - 3)6 а^п - 2(п - 1)пЬпСп + 2(п - 3)4 апсп ]. Применяя соотношения (3) - (5), получаем

< Вп (х; М, N), Вп (х; М, N) >= -^-{[-^(п - 3)8 (п -1)2 + М[(п - 2)6(п -1)4 (п4 + 2п3 - 7п2 - 8п - 6) +

2п +1 2304 288

— (п - 2)6 п(п + 1)(п4 + 2п3 - 7п2 -8п + 3)]N2 + [ — (п - 1)4(п2 + п + 9) + М(п -1)4 (5п4 + 10п3 + 31п2 + 2( 144 6 24 4 24 4

1 п(п + 1)(п4 + 2п3 + 11п2 + 10п - 6)^ + М2 (п -1)4 + 2М (п2 + п +1) + 1}(п = 4,5,...).

64

Положим по определению

Тогда

И

1 4(п2 - п - 3)

V п М) = --(п - 3)6 (п - 1)п[М + ( 3()( 2) ](п = 4,5,...).

48 (п - 3)(п - 1)п(п + 2)

М2 М

Уп (М)Vп+2(М) = —-(п - 3)8 (п -1)2 + — (п -1)6 (п -1)4 (п4 + 2п3 - 7п2 - 8п - 6) + 48 288

— (п - 2)6 п(п + 1)(п4 + 2п3 - 7п2 - 8п + 3)(п = 4,5,...). 144 6

пп) )"2 = Т^Т {уп (М )^п+2(М)N2 + [М— (п - 1)2(п2 + п + 9) + 2п +1 24

М (п -1)4 (5п4 + 10п3 + 31п2 + 26п + 24) +1 п(п + 1)(п4 + 2п3 +11п2 + 10п - 6)^ +

(п -1)4 [М +—Ц-][М +---1-—]}(п = 4,5,...).

п(п -1) (п + 1)(п + 2)

Нетрудно видеть, что выражение в квадратных скобках имеет следующие корни

МЛп-Ъп + 1 ы , . ... .. М(п + 1)(п + 2) +1 N1 (п) =--, N2 (п) = N1 (п + 2) = —

v„ (M)

v „+2(M)

Следовательно,

< Вп(х;М,N),Вп(х;М,N) п(М»п+2(М)[N + ][N + М(п + ^ +1 ]

2п +1 Уп (М) V п+2(М)

и соотношения (8) - (9) вытекают из определению чисел Теорема доказана в случае п=4, 5, 6,...

Покажем, что формула (8)-(9) справедлива также и при п=0,1,2,3. Действительно, из (9) при этих значениях п имеем

Ц,(М, N) = 1; Ц (М, N) = 1; 0.2(М, N) = 2М +1; (М, N) = 6(М + N) +1; 0.4(М, N) = 180MN + 12М + 90 N +1; Ц(М, N) = 2100MN + 20М + 510 N +1.(10)

С другой стороны, из соотношений (1),(6) и (10) вытекает

< В0(х),В0(х) >= 2М +1 =1 ^0(М,N2(М,N);

< В1 (х), В1(х) >= 2М + 2N +1 =1 Ц(М, N3(М, N);

2 24 2 14 11

< В2(х),В2(х) >= 72М2N + 72MN + 18N + — М2 + у М +- = -0,2(М,N4(М,N);

5280

< B3(x),B3(x) >= 1800MN2 + 1800M2N +

10,3(M, N )Q5(M, N),

что доказывает формулу (8)-(9) для п=0,1,2,3. Теорема полностью доказана. Следствие 1. [18], [7]( (а = 0))

MN +

3060

N2 +

120

M2 +

516

26

1

N + — M +- =

7

7

1

\Bn(x)| < C(1 -xV(-1 < x< 1,ne Z+)

2) maxi Bn (x )|< cV^

3) Bn (±1) = n 2

_ 7

4) B'n (±1) = n 2

Замечание. Отметим существенное отличие поведения ортонормированных

Лежандра - Соболева и их производных в концах промежутка ортогональности: для ортонормированных классических полиномов Лежандра справедливы асимптотики:

1 5

Pn (±1) = n2, P(±1) = n2

Это приводит к тому, что частные суммы ряда Фурье - Лежандра - Соболева лучше аппроксимируют функцию и ее производную, чем суммы Фурье - Лежандра. Введем определитель Турана

1 n+4 1 n+2

Gn (x) = — X {[ Bk (x)]2 - Bk _4 (x) BM(x)} - - X [ Bk (x) Bk+2(x) - Bk _2(x) B^x)].

16 k=n+1 4 k=n+1

7

7

7

7

Следствие 2. Для симметричных ортогональных полиномов Лежандра - Соболева равномерно на всех компактных подмножествах из (-1,1) справедлива следующая асимптотика определителя Турана

32 -

lim Gn (x)=—(i - x2)2 x 2(1 - 2x2). ff

Работа поддерживается РФФИ (проект 05-01-00192)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. H. Bavinck, H.G. Meijer. Orthogonal polynomials with respect to a symmetric inner product, Appl. Anal. 33 (1989), 103-117.

2. H. Bavinck, H.G. Meijer. On orthogonal polynomials with respect to an inner product involving derivatives: zeros and recurrence relations, Indag. Math., N.S., 1(1990), 7 - 14.

3. Ф. Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. Пер.с англ. -М.: Мир, 1968.

4. Р. Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики, Т. 1. Пер. с нем. - М.: Гостехиздат. 1951.

5. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. 2004

6. Е.Г. Дьяконов. Энергетические пространства и их применения. - М.:МГУ, 2001

7. A. Foulquie Moreno, F. Marcellan, B.P. Osilenker. Estimates for polynomials orthogonal with respect to some Gegenbauer-Sobolev type inner product, J. Ineq. Appl. 3(1999), 401 - 419.

8. А.А. Гончар. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных ункций, Матем. сб., 97(139), (1975), 607 - 629.

9. A. Iserles, P.E. Koch, S.P. Norsett, J.M. Sanz-Serna. Orthogonality and approximation in a Sobolev space, Algoritms for Approximations (J.C. Masson and M.G. Cox, Ets), Chapman and Hall, 1990, 117 - 124.

10. A.M. Krall. Hilbert Space, Boundary Value Problems and Orthogonal Polynomials, Operator Theory: Advances and Applications, V.133, Birkhauser, Basel, 2002.

11. Г. Лопес. Сходимость аппроксимаций Паде мероморфных функций стилтьесовского типа и сравнительная асимптотика для ортогональных полиномов, Матем. сб., 64(1989), 204-227.

12. H. Bavinck. Differential operators, having Sobolev-type Gegenbauer polynomials as eigenfunctions, J. Comp. Appl. Math., 118 (2003), 23 - 42.

13. Г. Сеге. Ортогональные многочлены. - М.: ГИФМЛ, 1962.

14. П.К. Суетин. Классические ортогональные многочлены. - М.: Физматлит, 2004.

15. W.D. Evans, Lance L. Littlewood, F.Marcellan, C.Markett, A.Ronveaux. recurrence relations for Sobolev orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 26(1995), 446 - 467.

16. Б.П. Осиленкер. Симметричные полиномы Лежандра-Соболева в пространствах Понтрягина-Соболева, Матем. физика, Анализ, Геометрия, 9(2002), 385-393.

17. Б.П. Осиленкер. Симметричные ортогональные полиномы в пространствах с индефинитной метрикой, в сб.: Вопросы математики и механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве, Сб. научных трудов, вып. 10, МГСУ, 2003, 39 - 45.

18. Ф. Марчелан, Б.П. Осиленкер. Оценки для полиномов, ортогональных по отношению к некоторому скалярному произведению Лежандра - Соболева, Матем. заметки, 62(1997), 871 - 880.

19. G. Szego. On an inequality of P. Turan concerning Legendre polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 401 - 405.

20. A. Mate, P. Nevai, V. Totik. Asymptotics for orthogonal polynomials defined by a recurrence relation, Constr. Approxim., 1(1985), 231 - 248.