Сходимость и суммируемость рядов Фурье - Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Б.П. Осиленкер

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ — СОБОЛЕВА

Пусть {¿¡п(х)}(п = хе(-1.1)) — система многочленов степени п, ортонормирован-ных относительно континуально-дискретного скалярного произведения Соболева <1 д> с континуальным весом ш(х). Каждой функции f е [-1,1] поставим в соответствие ряд Фурье — Соболева

f (х) ~ £;=0с* (f)(х). ^ ^)=<f, ¿¡к >(к = о,1,...).

С помощью регулярной по Теплицу треугольной матрицы вещественных чисел

| 4п),0,1.....п 1

\п +1; 1п) = 1,1П+1 = 0; п = 0,1,2, образуем последовательность

Л-среднихУг (Г;х;Л) = Ш (*)(* = 0. \2....; х е [-1,1]).

В работе анонсирован ряд результатов о сходимости и Л -суммируемости (равномерно и почти всюду на промежутке (-1, 1) рядов Фурье — Соболева. Следствием этих результатов является усиление и обобщение соответствующих утверждений для рядов Фурье — Гегенбауэра — Соболева.

Ключевые слова: ортогональные многочлены, ряды Фурье — Соболева, пространство Соболева, условие Дини — Липшица, класс Липшица, линейные методы суммирования, сходимость рядов Фурье, многочлены Гегенбауэра — Соболева, ряды Фурье — Гегенбауэра — Соболева.

Рассмотрим континуально-дискретное пространство Соболева Н со скалярным произведением

< /,8 >={-,/(^)Я(х^(х)йх + Д/(1)Я(1) + В/(-1)Я + А2/'(1)Я'(1) +

+ В2/'(-1) 8'(-1) , (1)

где V (х) — весовая функция (положительная почти всюду в промежутке (-1,1) интегрируемая функция); А , В , А , В2 — неотрицательные вещественные числа.

Пусть {Чп (х) = (¡п (х, А;,В;, А2,В2)}(п = 0,1,...; х е (-1,1)) — система многочленов степени п, ортонормированных в Н:

< Чп, Чт Чп (х) дт (х) V (х) йх + А^п (1) дт (1) + В^п (-1) дт (-1) + А2<?п (1) & (1) + + В2Чп (-1) Чт (-1) = 8т,п (т,п = 0,1, 2, .; А, > 0, В, > 0,4 > 0, В, > 0),

где 8тп — функция Кронекера.

Скалярное произведение (1) и многочлены Чп (п = 0, 1, 2, ...) возникают в ряде задач теории функций, функционального анализа, математической физики, квантовой механики и вычислительной математики (см., например, литературу в [7], а также [1— 10]). В прикладных задачах они имеют прямое отношение к важным и часто решаемым на практике типам задач с сосредоточенными нагрузками и моментами. Например, в

задаче о колебании неоднородной струны с грузом на конце, крутильных колебаний стержня со шкивами на концах, в задаче о распространении тепла в стержне, на концах которого помещены сосредоточенные теплоемкости и т.д. [7].

Ортонормированные многочлены qn (x) (n = 0, 1, 2, ...) удовлетворяют рекуррентному соотношению

(x 3 - 3x) qn (x) = а+з q'„+з (x)+Pn+2 q'„+2 (x)+Yn+iqn+i (x)+Mn (x)+Ynqn-i (x) +

+МП-2 (x)anq'n_, (x) (n = 0,1,2,...; x e[-1,l]). (2)

Каждой функции f e LLw [-1,1], для которой существуют коэффициенты Фурье

с, (f) = J-1 f (x) qk (x) w (x) dx + Af (1) qk (1) + Bf (-1) qk (-1) + A2 f' (1) q' (1) +

+B2f '(-1)q'(-1) (k = 0,1,2, ...) , (3)

поставим в соответствие ряд Фурье — Соболева

да

f (x) ~ £ ck (f) q* (x). (4)

k=0

Обозначим через Sn (f; x) = £П=о °k (f) qk (x) частные суммы ряда Фурье — Соболева (3), (4) и рассмотрим вопрос о поведении Sn (f; x).

Модулем непрерывности функции f (x)(x e[-1,1]) называется вещественная функция ra(t, f), заданная на промежутке [0, да) равенством ю (^ f) = suP| ^ - |S( \f (*1)- f (^2 )|.

Непрерывная функция f (x) (x e [-1,1]) удовлетворяет условию Липшица порядка а,0 <а<1 на промежутке [-1,1]. Пишем f eН^а)[-1,1], если существует постоянная C > 0, такая, что для любых x1, x2 e [-1,1] выполняется неравенство

\f (x )-f (x2 )|< C|x1 - x2 Г .

Принадлежность функции классу H(а) [-1,1] означает, что ю (t, f) < Ctа . Непрерывная функция f (x)(x e[-1,1]) удовлетворяет условию Дини —

Липшица. Пишем f e DL [-1,1], если limt^0 ю (t, f) ln1 = 0.

Отметим, что при любом а, 0 < а < 1 выполняется вложение DL [-1,1] з H(а)[-1,1]

Будем говорить, что ортонормированная система полиномов {qn (x)} принадлежит классу A (ф;[с, d]), если выполняются условия:

i) существует положительная непрерывная функция ф( x), такая, что

\qn (x)|<ф(x)(-1 < x <1) ;

ii) весовая функция w(x) равномерно ограничена на промежутке [c,d] с (-1,1): w (x) < const (x e [с, d]) .

Теорема 1. Пусть ортонормированная полиномиальная система qn (x) (n = 0, 1, 2, ...) принадлежит классу A (ф;[с, d]). Если функция f удовлетворяет условию Дини — Липшица на промежутке [-1,1], то равномерно на каждом компакте K с [c,d] выполняется соотношение

5/2012

£ (I;* ) = I (*).

Рассмотрим ортонормированные симметричные многочлены Гегенбауэра — Соболева (*)} (*)} (п = 0, 1, 2, ...), для которых

£ ^ (*) Ва (*) м (*) ё*+м [ ^ (1) Ва (1)+Ва) (-1) Ва) (-1)]+

+N

{^1а)}'(1){^тг)}'(1)+{^:;а)}'(-1){^тг)}'(-1)

= 8ит (п,т = 0, 1, 2,...;М > 0, N > 0)

а весовая функция м>а (х) имеет вид \г,( (х)=

_ Г(2а+ 2) (1-^)"

В этом случае выполняются оценки

2 4

' 2

Г2 (а + 1)

.

|Ва)( * )|< св(1 - X2 )-

а > -1, |ВПа)(*)|< С_ С-1 < а < -1

где постоянные Са > 0 не зависят от * е (-1,1) и п = 0, 1, 2, ... Ряд Фурье — Гегенбауэра — Соболева функции I имеет вид

I (*) ~ I ;=0 < I, зв)( *),

(5)

где

+ 0)+/4-0{^п>}' (-о] = ол,2,...)

Частные суммы ряда Фурье (5): 5<я) (/; х) = п< /, >3<и) (л). Система ортонормированных симметричных полиномов Гегенбауэра — Соболева удовлетворяет условиям теоремы 1 равномерно на каждом компакте К с (-1,1).

Следствие 2. Если функция I удовлетворяет условию Дини — Липшица на

промежутке [-1,1], то равномерно на каждом компакте К с (-1,1) ряд Фурье — Гегенбауэра — Соболева функции К*) равномерно сходится к!*).

Для функций класса Липшица этот результат анонсирован в [7]. Сходимость в среднем рядов Фурье по недискретным многочленам Гегенбауэра — Соболева изучена в [9].

Теорема 3. Пусть ортонормированная система полиномов {дп (*)} (п =

0,1,2,.)

принадлежит классу А (ф;[с, ё]). Тогда для любой функции I е [-1,1], удовлетворяющей условию

| 11(*)|ф(*)м(*)ё* <;, (6)

почти всюду в [с, ё] справедлива оценка £п (I; *) = о* (1п *) (п ^ ;). Следствие 4. Если функция I е [-1,1] удовлетворяет условию

1 а-1

| 11(*)|(1 -*2)2-4 (*)ё* <;,

то почти всюду в (-1,1) для частичных сумм £ (а) (I; *) ряда Фурье — Гегенбауэра —

Соболева имеет место оценка

£п (I; *) = о* (1п п)(п

введем регулярную по теплицу треугольную матрицу вещественных чисел

Л = {Щ ,0,1,., п, п +1; 10п) = 1,= 0, п = 0,1,2,.} ,

рассмотрим последовательность Л-средних

Un (f;x;Л) = £ X(nct (f) qk (x)(n = 0,1,2,...; x e [-1,1]) .

k =0

Ряд Фурье — Соболева (4) Л-суммируется к fx) (равномерно или почти всюду), если соотношение

limn^™ Un (f ;х;Л) = f (x) (7)

имеет место (равномерно или почти всюду).

Теорема 5. Пусть ортонормированная система полиномов {gn (х)} принадлежит классу A (ф;[с, d ]) и для рекуррентных коэффициентов (см. (2)) выполняется

Е 1=0 (М +1ДРк| + |ДУ kl + |A8k| )<».

Если для элементов Г-регулярной матрицы Л имеет место оценка (условие Надя)

1 + ln П +1 11D2l[n)\< C(n = 0,1,2,.) ,

Е (k + 1)(n -k +1)

n +1

n - k +1

то для любой непрерывной на [-1,1] функции f равномерно на любом компакте K с (c, d) справедливо соотношение (7).

Теорема 6. Пусть ортонормированная система полиномов {gn (х)}(n = 0,1,2,.) и элементы матрицы Л удовлетворяют предположениям теоремы 5. Если для функции f выполняется условие (6), то почти всюду в (c, d) ряд Фурье — Соболева (4) Л-сум-мируется к fx).

Отметим, что из теорем 5 и 6 вытекают результаты о суммируемости рядов Фурье — Гегенбауэра — Соболева, полученные в [7].

Библиографический список

1. Алиев С.З. Базисные свойства корневых функций одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Доклады РАН. 2010. Т. 433. № 5. С. 583—586.

2. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего S-функцию // Дифференциальные уравнения. 2002. № 7. С. 735—751.

3. Ильин В.А. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, при условии совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2010. Т. 269. С. 133—142.

4. Капустин Ю.М., Моисеев Е.И. К проблеме сходимости спектральных разложений для одной классической задачи со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2001. № 2. С. 1599—1604.

5. Костенко А.С., Маламуд М.М. Об одномерном операторе Шредингера с S-взаимодействием // Функциональный анализ и его приложения. 2010. № 2. С. 87—91.

6. Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Двучленные дифференциальные операторы с сингулярными коэффициентами // International Conference «Differential Equations and Related Topics», Book of Abstracts. Moscow, 2011, pp. 274—275.

7. Осиленкер Б.П. О рядах Фурье по симметричным ортогональным полиномам Гегенбауэра — Соболева // Вестник МГСУ. 2011. № 4. С. 74—79.

8. Осиленкер Б.П. О рядах Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля с дельта-потенциалом // Тезисы междунар. конф. «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Ереван, 2011. С. 69—70.

9. Fejzullahu Buhar Xh. Asymptotics properties and Fourier expansions of orthogonal polynomials with a non-discrete Gegenbauer-Sobolev inner product // J. Approx.Theory. 1990. V. 162, pp. 397—406.

10. Osilenker B.P. On Fourier series of Sobolev-type orthogonal polynomials, 8-th International Society for Analysis, its Applications and Computation Congress, Abstracts. Moscow, 2011, pp. 416.

Поступила в редакцию в апреле 2012 г.

ВЕСТНИК 5/2012

Об авторе: Осиленкер Борис Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, b_osi1enker@mai1.ru.

Для цитирования: Осиленкер Б.П. Сходимость и суммируемость рядов Фурье — Соболева // Вестник МГСУ 2012. № 5. С. 34—39.

B.P. Osilenker

CONVERGENCE AND SUMMABILITY OF FOURIER — SOBOLEV SERIES

Let {qn(x) = qn(x, A,,S,, A2,B2)}(n = 0,1,...;x e (-1,1)) be an orthonormalized polynomial system

of n degree: < qn,qm >= J-,qjn (x),qm (x)w(x)dx + A,q„ (1),qm (1) + S,qn (-1),qm(-1) + A2q'(1),q;„(1) + S2q'n(-1 )■ q'm(—1 ) = Sm,n(m,n = 0,1,2,...), where w(x) is a weight function in the interval (-1,1), constants A > 0,^ > 0, A2 > 0,B2 > 0; and 8m,„ is the Kronecker symbol. For every function f e Lw (-1,1) we consider the Fourier-Sobolev series:

f (x) ~ Ick (f )qk (x), ck (f) =< f, qk >(k = 0,1,2,...).

k =0

ByvirtueoftheT-regulartriangularmatrix ofreal numbers A = {l(k"),0,1.....n,n +1; l0n) = 1, In = 0;

n = 0,1,2,...} we form the sequence of A -means Un (f;x; A) = In=01tf)ck (f)qk (x).

Some results of convergence and A -summability (uniformly and almost everywhere) of Fourier-Sobolev series for polynomials orthogonal in continual-discrete Sobolev spaces are provided in the paper. These results expand and generalize the corresponding statements made by Fourier, Gegenbauer and Sobolev.

Key words: orthogonal polynomials, Fourier-Sobolev series, Sobolev space, Dini — Lipschitz condition, Lipschitz class, linear method of summability, convergence of the Fourier series, Gegenbauer — Sobolev polynomials, Fourier — Gegenbauer — Sobolev series.

References

1. Aliev S.Z. Bazisnye svoystva kornevykh funktsiy odnoy spektral'noy zadachi so spektral'nym parametrom v granichnykh usloviyakh [Basic Properties of Root Functions for the Spectral Problem with the Spectral Parameter in Boundary Conditions]. Reports of the Russian Academy of Sciences, 2010, vol. 433, no. 5, pp. 583—586.

2. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asimptotika sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy i formula sleda dlya potentsiala, soderzhashchego 5-funktsiyu. [Asymptotics of Eigenvalues and Eigenfunctions and the Trace Formula for the Potential Containing 5-Function]. Differentsial'nye uravneni-ya [Differential Equations]. 2002, no. 7, pp. 735—751.

3 Il'in V.A. Smeshannaya zadacha, opisyvayushchaya protsess uspokoeniya kolebaniy ster-zhnya, sostoyashchego iz dvukh uchastkov raznoy plotnosti i uprugosti, pri uslovii sovpadeniya vre-meni prokhozhdeniya volny po kazhdomu iz etikh uchastkov [Mixed Problem Describing the Process of Damping of Oscillation of the Rod That Has Two Sections of Different Density and Elasticity, if the Time of the Wave Transmission through Each Section Coincides]. Proceedings of Steklov Institute of Mathematics, Moscow, 2010, vol. 269, pp. 133—142.

4. Kapustin Yu.M., Moiseev E.I. K probleme skhodimosti spektral'nykh razlozheniy dlya odnoy klas-sicheskoy zadachi so spektral'nym parametrom v granichnom uslovii [On the Problem of Convergence Of Spectral Decompositions for One Classical Problem with the Spectral Parameter in the Boundary Condition]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations]. Minsk, 2001, no. 2, pp.1599—1604.

5. Kostenko A.S., Malamud M.M. Ob odnomernom operatore Shredingera s 5-vzaimodeystviem [On One-dimensional Schredinger Operator with 5-interaction]. Funktsional'nyy analiz i ego prilozheniya [Functional Analysis and Its Applications]. Moscow, 2010, no. 2, pp. 87—91.

6. Mirzoev K.A., Shkalikov A.A. Dvuchlennye differentsial'nye operatory s singulyarnymi koef-fitsientami [Binomial Differential Operators with Singular Coefficients]. International Conference «Differential Equations and Related Topics», Book of Abstracts. Moscow, 2011, pp. 274—275.

7. Osilenker B.P. O ryadakh Fur'e po simmetrichnym ortogonal'nym polinomam Gegenbauera — Soboleva [On Fourier Series of Symmetric Orthogonal Gegenbauer-Sobolev Polynomials]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, pp. 74—79.

8. Osilenker B.P. O ryadakh Fur'e po sobstvennym funktsiyam zadachi Shturma-Liuvillya s delta-potentsialom [On Fourier-Sobolev Series of the Sturm-Liouville Problem with the Delta Potential]. International Conference "Education, Science, Economics in Institutions of Higher Education. Integration in the International Education Space". Erevan, 2011, pp. 69—70.

9. Feyzullahu Buhar Xh. Asymptotic Properties And Fourier Expansions of Orthogonal Polynomials with a Non-Discrete Gegenbauer-Sobolev Inner Product. J. Approx. Theory, 1990, vol.162, pp. 397—406.

10. Osilenker B.P. On Fourier Series of Sobolev-type Orthogonal Polynomials. 8-th International Society for Analysis, its Applications and Computation Congress, Abstracts. Moscow, 2011, p. 416.

About the author: Osilenker Boris Petrovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering, 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; b_osilenker@mail.ru.

For citation: Osilenker B.P. Skhodimost' i summiruemost' ryadov Fur'e — Soboleva [Convergence and Summability of Fourier — Sobolev Series]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 4, pp. 34—39.