Вычисление коэффициентов возбуждения сейсмоакустических волн в волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012), 69-76 УДК 534.231

Вычисление коэффициентов возбуждения сейсмоакустических волн в волноводе

И. В. Калинюк, А. А. Ярошенко*

Отдел сейсмологии института геофизики им. С.И.Субботина НАН Украины, г.Симферополь,97505,Украина E-mail: kalinyuki2010@gmail.com * Севастопольский национальный технический университет, г.Севастополь,99053,Украина E-mail: yaroshenko@optima.com.ua

Аннотация. В статье определяются коэффициенты возбуждения нормальных волн в волноводе с гармоническим источником, расположенным в упругом полупространстве. Применяется сеточный метод расчета полей давлений, адаптированный для модели среды с произвольным профилем скорсти звука.

Ключевые слова: акустические волны, поля давления

1. Введение

В морской среде постоянно присутствует звуковой шум, создаваемый различ-ними источниками в том числе и сейсмоакустической эмиссией [1-3]. Сейсмические волны, прошедшие упругую среду, распространяются в жидкости в виде волн сжатия, образуя акустические поля давлений. Структура полей давлений определяется нормальными волнами (модами) и коэффициентами их возбуждения. Коэффициенты и форма нормальных волн зависят от модели рассматриваемой среды. Наиболее простыми и хорошо исследованными являются модель Пекериса (жидкий слой на жидком полупространстве) [4] и модель Шермана (жидкий слой, лежащий на упругом полупространтсве) [5]. Модели Пекериса и Шермана с источником, расположенным в жидком слое, широко используются в гидроакустике. Для моделей с неоднородным жидким слоем разработаны численные методы расчета полей звуковых давлений [6]. В работах [7,8] получены аналитические решения для моделей с однородным слоем и источником в упругом полупространстве. В реальной морской среде скорость звука зависит от температуры, солености и статического давления. Это влияет на структуру акустического поля [9]. В связи с этим возникает задача, в которой необходимо определить акустическое поле в неоднородной среде. Учитывая природу источника и место его расположения (нижнее полупространство), в статье рассматривается модель Шермана. Данную задачу можно решить, используя сеточные методы для волноводов с источником в жидком слое.

© И. В. КАЛИНЮК, А. А. ЯРОШЕНКО

2. Постановка задачи

Рассмотрим гидроакустический волновод глубины к, лежащий на упругом полупространстве рис.1(а). Плотность жидкого слоя р\, а полупространства р2. Скорость звука в жидком слое е(г) является функцией глубины. В нижнем слое ср и с3 — скорости продольных и поперечных волн.

(а) Модель среды

Рис. 1. Акустическая модель среды

Скорость звука,

(Ъ) Профиль скорости звука

В упругом полупространстве на глубине = к + ( находится точечный гармонический источник. Распространение звуковых волн в описанной модели сводится к решению следующих дифференциальных уравнений [4,6,8]:

+ т?щФ1 = 0, 0 < z < к

△ф2 + Z2 ф2 = -

QS(z-zo)S(r)

2nr

z> к

2

△^2 + TTФ2 = 0,Z > к

(3)

где А — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат, 8(•) — функция Дирака, ф1,ф2,ф2 — потенциалы продольных и поперечных волн, ш — циклическая частота источника. На границах разделов двух сред должны выполняться следующие граничные условия [10]:

для границы "воздух-вода"

Ф1

0.

0

z

для границы "вода-упругое полупространство" нормальное давление ахх равно давлению в жидкости р = р\ш2ф\, взятому с обратным знаком, а касательные напряжения ахг, ахв равны нулю

^ = ~Р,= 0 (5)

компоненты вектора нормальных смещений равны между собой

ЭФ1 = дф^ _ 1 д_ (г дф2 А ^ = Ь (6)

Эх Эх г дг V дг ) ' ^ '

3. Решение задачи

В случае однородного водного слоя (c(z) = const) задача (1)-(3) с граничными условиями (4)-(6) допускает аналитическое решение. Для произвольного профиля скорости звука c(z) с источником, расположенным в жидком слое, разработано несколько методов решения [11]. Среди них — сеточный метод, основанный на решении спектральной задачи Штурма-Лиувилля для волновода путем аппроксимации производных первого и второго порядка. Исходя из того, что расположение источника не влияет на дисперсионные характеристики волновода, для решения задачи можно использовать волновые числа Сn и собственные функции Zn(z), рассчитанные сеточным методом [6]. При этом необходимо определить коэффициенты связи собственных функций уравнений (1) и (2), соответствующих волновым числам £n. Решения волновых уравнений (1)-(3) представим в виде:

Ф1 = AZ (ßiz) Jo (Cr) e-jut, 0 < z < h

(7)

Ф2 = Be(jßp(z-h))Jo (Cr) e-jut, z > h

ф2 = Ce(jMz-h)) Jo (Cr) e-jut, z > h

(9)

где в1Ру3 = к1рз - С2,кг,р,8 = (ш/о1,Ру3) ,1т (вг,р,з) > 0 . Подставляя (7)-(9) в граничные условия (4)- (6) получим однородную систему уравнений относительно коэффициентов А,В,С:

i ßiZ' (ßih) -jßp

л(С) • х = о, л(С)

-C2 \

,х

A B C

0 2 3вР С - в в

(вгк) 2 ¡С2 - Р2 2 )

где ¡- постоянная Ламэ. Дисперсионное уравнение волновода имеет вид [8]:

ßiZ'(ßih)R(C) -

jßpkAspiZ (ßih) P2

0,

:io)

где

Д(£) = 4£2вв + (2£2 - к2)2 (12)

Корни уравнения (11) соответсвуют собственным значениям волновода. Обозначим собственные функции через

гП(в1г), 0 < г < к

Используя непрырывность звукового давления, из однородной системы (10) можно выразить В и доопределить собственные функции для г > к :

г^(вхг) = — Мпг°п(в1к)езвр('-Н),г > к Р2

где 2 2 2

М,(0 = - .

Выражение Мп(£) можно выразить через фазовую скорость V, тогда получим:

002 (2- Ш (

V (*)2 - V(v )2 -1+(2 - (s) 7

Шу) = —, 2 , 4 2 ;-— (I-3)

При этом оказывается, что выражение (13) не зависит от частоты. Первый корень дисперсионного уравнения соответствует нулевой моде, которая является аналогом поверхностной волны Стоунли. Собственную функцию нулевой моды запишем в виде [12]:

г»<е )г) 1 к,2г°(в1«о);) 0<

г") = 2(г§(в1(е»)к))'в1(е») •0 <г <к

^чвлш=1 в((е)—,, > к

2 Рр(Я")

Полученная система собственных функций является также ортогональной [13]. Источник в (2) задан в виде произведения дельта-функций. Разложим функцию 8(г — г») в ряд по базису из собственных функций

S(z - zc)^ GnZn(z) (14)

где

'n^ny

n=0

{

Zün(ßi(Cn)z), 0 < z < к

Zn(z) = , " " (15)

n( ) ^ Zh(ßi(Cn)z),k < z < <X>. ( )

После умножения (14) на p2Zm (z) и интегрированиия от 0 до то получим коэффициенты разложения:

P2Zm(z0)

Gm

V„

где Vm = fy P2Zm(z)dz.

Запишем решение уравнений (1)-(2) в общем виде:

ф(г, z,t) = <

R°n(r)Z0n(ß1(Cn)z), 0 < z < h

n=0 <x

Rhn(r)Zhmtn)z),h < z < <x>.

:i6)

Подставляя (16) в (2) учитывая разложение (14), получим уравнение

1 S (r^+gRí(r) = - РЮ^Ы

r dr \ dr J n n 2nrv,

решение которого представим в виде [6]:

Rn (r) = jQpfn(zo) H^nr) (17)

Равенство функций КП (г) и ЯП (г) следует из выбора решения волновых уравнений (7), (8). Подставляя (17) в (16) найдем потенциал первого слоя:

v = jQp*j £ hku) (18)

4 n Vn

n=0

Следуя [4] представим выражение (18) в асимптотическом виде, используя (15) и учитывая, что z0 = h + d получим:

= 3:Q -j(ut+n/4)r-i/2 у PiMnZnWiWWznWiz)

1 4 2 n=0 P2Vn Ven

Запишем (19) в виде:

У

Vi = e-^t+n/4)r~1/2Y, qn(d)Z°n(eih)Z°n(eiz)e^r (20)

n=0

где qn(d) — коэффициеты возбуждения нормальных волн

qn(d) = 4 —ß^_ Mn(Cn)ejßPd.

4 VinVn

4. Результаты

На рис.1(а,Ь) приведена модель среды с разными профилями скорости звука в жидкости. Параметры среды описаны в таблице 1. Скорость имеет размерность

км

''с, плотность — г/см 3, частота — Гц и глубина выражена в км.

Таблица 1. Физико-механические параметры среды.

№ f h Pi c P2 cp cs

1 50 0.1 1.0 1.5 2.0 4.0 2.0

2 50 0.1 1.0 c(z) 2.0 4.0 2.0

Для двух профилей скорости звука из формул (11)-(12) найдены волновые числа и собственные функции (рис.2(а)). На частоте 50 Гц в волноводе распространяются 5 мод. Для неоднородной модели вычисления волновых чисел и собственных функций производились сеточным методом. На (рис.2(б)) привдено сравнение первых и четвертых мод двух профилей. Жирная линия соответствует постоянному профилю.

(а) Моды волновода

(Ь) Сравнение первых и четвертых мод

Рис. 2. Собственные функции

Поле звукового давления вычисляется по формуле р = р\при этом необходимо учесть в (20) дополнительные множители Мп(^п) (13) и в коэффициентах возбуждений нормальных волн. Из (13) видно, что выражение полностью

определяется параметрами упругого слоя и не зависит от частоты и места расположения источника. В момент возникновения нормальных волн абсолютное значение коэффициента (13) равно единицы. Мода, фазовая скорость которой наиболее близка к фазовой скорости в волне Рэлея (корень уравнения ) = 0), имеет наибольший коэффициент Мп(^п). Второй моножитель определяется не только глубиной источника й, но и волновым числом каждой моды вр(^п). Поэтому показательный закон для каждой моды выделяет последнюю распространяющуюся моду как доминирующую над остальными. Комбинация двух сомножителей корректирует коэффициенты возбуждения нормальных волн, в результате чего звуковые поля давлений могут значительно отличатся при различных параметрах упругого полупространства. На рис.3 приведены нормированные на максимум зависимости дополнительных множителей от волновых чисел и глубины источника. Из рисунка видно, что амплитудное преобладание последней распространяющейся моды возрастает с глубиной источника.

Для неоднородной среды на исследуемой частоте существенных изменений не возникает.

Рис. 3. Зависимости дополнительных множителей от волновых чисел и глубины источника

5. Выводы

Коэффициенты возбуждения нормальных волн источником, расположенным в упругом полупространстве или на его границе, зависят от параметров упругой среды. При заглублении источника от дна в сторону упругого полупространства коэффициенты возбуждения нормальных волн убывают по показательному закону. При этом амплитудные коэффициенты каждой моды зависят от соответствующего волнового числа. Такая зависимость в результате приводит к амплитудному преобладанию последней распространяющейся моды над всеми остальными.

Список цитируемых источников

1. Грешников В.А., Дробот Ю.Б. Акустическая эмиссия. —М.: Изд. Стандартов, 1976. —272 с.

2. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. —М.: Наука, 2003. —270 с.

3. Марапулец Ю.В. Методы исследования высокочастотной геоакустической эмиссии. —Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2008. —105 с.

4. Пекерис К. Теория распространения звука взрыва в мелкой воде. // Распространение звука в океане. —М.: Изд-во иностр. лит., 1951. —С. 48-156.

5. Шерман Д.И. О распространении волн в жидком слое, лежащем на упругом полу-промтранстве.// Тр. Сейсмол. ин-та. —М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1945. —№115. —43 с.

6. Porter M.B. The kraken normal mode program.// SACLANT Undersea Research Centre, 2001. —202 p.

7. Лапин А.Д. Звуковое поле в жидком волноводе от монопольного и дипольного источников, расположенных в граничащем с волноводом твердом полупространстве. // Акуст. журн. —1993. —Т.39, вып. 5. —С. 859-865.

8. Ewing W.M, Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. N.Y., McGraw-Hill, 1957. —380 p.

9. Ярошенко А.А.,Ластовенко О.Р. ,Лисютин В.А. ,Калинюк И.В. О влиянии профиля скорости звука и течений на распространение акустических волн в море.// Вюник СумДУ. Сер. Фiзика, математика, механжа. —2007. —№1. —С.178-186.

10. Исакович М.А. Общая акустика. —М.: Наука, 1973. —495 с.

11. Jensen F.B. Ocean seismo-acoustic modeling: Numerical Methods: SACLANT Undersea Research Centre, La Spezia, Italy 1999. —344 p.

12. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. —М.: Наука, 1981. — 288 с.

13. Клей К., Медвин Г. Акустическая океанография. —М.: Мир, 1980. —580 с.

Получена 31.05.2012