Пространственная структура акустического поля в мелком море от линейного источника, расположенного в упругом полупространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.231

Пространственная структура акустического поля в мелком море от линейного источника, расположенного в упругом полупространстве

И. В. Калинюк, В. А. Лисютин*, Ж. В. Маленко*

Отдел сейсмологии института геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины, Симферополь 97505. E-mail: kalinyuki2010@gmail.com

* Севастопольский Национальный Технический Университет, Севастополь

Аннотация. В статье описывается решение задачи определения поля акустического давления в жидкости, созданного точечным источником, расположенным в упругом полупространстве. Полученное решение обобщается на случай, когда источник протяженный. Показано, что вблизи эпицентра угловая направленность источника зависит от угла падения звуковой волны на плоскую границу. Рассчитаны области асимметрии акустического поля с максимальными амплитудами давления.

Ключевые слова: акустические волны, геоакустическая эмиссия, морские землетрясения.

1. Введение

Источник сигналов геоакустической эмиссии (ГАЭ) [8, 11, 9] имеет протяженные размеры и излучает акустические волны в широком диапазоне частот, которые относятся к сейсмическим шумам морей и океанов [2]. Поэтому при незначительных расстояниях между приемником и эпицентром природный источник, достаточно больших размеров, уже нельзя рассматривать как точечный. Модели очагов землетрясений [13, 1] и пространственная структура сейсмических полей смещений в твердой среде исследуются в смежной с акустикой науке — сейсмологии. Исследования акустических полей в акваториях, вызванных ГАЭ или землетрясениями ведутся в следующих направлениях: физические механизмы проникновения и распространения акустичеких волн в подводном звуковом канале океана [10], распространение третичных волн Т-фаза [5] и акустические поля, вызванные ГАЭ [8, 11, 9]. Однако к вопросу моделирования пространственной структуры сейсмоакустического поля в водном слое мелкого моря недостаточно уделено внимание. Основы теории распространеия акустических волн в мелком море были заложены Пекерисом [12], Шерманом [14], Ивингом [16]. Продолжением иследований было уточнение модели Шермана введением между водным слоем и упругим полупро-странтсвом промежуточного жидкого слоя осадков [7]. Исследование дисперсионных характеристик волновода с дном с промежуточным жидком слоем, лежащем на упругом полупространстве было проведено в [6]. Полученные в [16, 7, 6] результаты справедливы только для случая точечного источника с симметричной характеристикой направленности. Для линейных (протяженных) же источников в зависимости от длины источника симметрия характеристики направленности нарушается, поэтому для уточнения угловой структуры поля протяженного источника требуются дополнительные исследования, предпологающие отказ от классической модели точечного излучателя.

© И. В. КАЛИНЮК, В. А. ЛИСЮТИН, Ж. В. МАЛЕНКО

2. Постановка задачи

Простая модель протяженного источника, с помощью которой исследовались поверхностные волны Релея, была использована в [15]. Модель заключается в следующем: на горизонтальной линии длинной Ь непрерывно расположены точечные источники, которые начинают двигаться в некоторый момент времени Ь с постоянной скоростью V вдоль вертикальной оси OZ в положительном направлении (рис.1(а)). В процессе движения из положения в Х2 точечные источники излучают акустические волны. В силу аддитивности суммарное акустическое поле определяется выражением:

Р (г,в,г,Ь) = I I р (г, в, г) 0 < г < И. (1)

ЬАг Jo ■> о

Интегрирование осуществляется по переменным т и ( в пределах линейных размеров источника ЬхАг. Коэффициенты, стоящие перед интегралом в знаменателе необходимы, чтобы при предельном переходе Ь, Аг ^ 0 формула (1) соответствовала полю точечного источника р (г, в, г).

(а) Протяженный источник

(Ь) Точечный источник

Рис. 1. Модель среды

Радиальное расстояние от каждого источника до приемника по горизонтали определяется формулой

Го

/

т т2

1 - 2—cos(0o) + •

Го г2

Таким образом, для определения акустического поля давления от протяженного источника первоначально необходимо найти решение для точечного источника.

Рассмотрим двухслойную модель мелкого моря в цилиндрической системе координат с плоскопараллельными границами (рисЛ^)). Водный слой глубиной И и дно в виде упругого полупространства. Для каждого слоя задана плотность р\,р, фазовая скорость с'р,е'3 и тангенсы углов потерь Пр,Пв, где индексы "р" и "в" относятся, соответственно, к продольным и поперечным волнам в упругом полупространстве. Тогда с

Г

учетом поглощения фазовая скорость в полупространстве можно определить по формуле: Ср = с'р(1 - jnp),cs = с'.(1 - эпз),3 = V—1.

В упругое полупространство на глубину = Н + й от свободной поверхности помещен гармонический точечный источник, излучающий в среду сферически-симметричную волну с частотой ш > 0 и объемной скоростью У [3]. Потенциал смещения такой волны имеет вид:

П „V " В. . У

(2)

Фо = cp — Yl ,

0 Ro 4n

где

Ro —

d

(3)

008($0).

Формула (2) описывает продольные волны в упругой среде на расстоянии Ко (3) от источника.

Обозначим через Ф1 потециал смещения продольных волн в водном слое, Фр и Ф. — потенциалы смещений подольных и поперечных волн в упругом полупросртранстве, соответственно. Тогда распространение акустических волн в модели можно описать с помощью системы волновых уравнений:

д2Ф

dt2 д 2Ф

1 — с?У2Фь 0 < г < H,

p — cpV 2ФГ

dt2 д2Фз

-- — С2У2Ф.

dt2 Cs v Ф-

z > H, z> H.

(4)

В уравнениях (4) на границах разделов двух сред должны выполняться следующие граничные условия [4]:

граница «воздух - вода»

Ф1 = 0, г = 0; (5)

граница «вода - упругое полупространство»

д ФР dz

1 д_

r дг

\ дг )

дФ1

дг

H,

Oz

— 0,ozz — -ш2р1ф1,

(6) (7)

где агг, аХх — компоненты тензора напряжений.

Свободная верхняя граница описывается условием (5). На границе раздела «вода -упругое полупространство» справедливы условия (6)-(7), нормальные смещения и напряжения непрерывны, а касательные напряжения отсутствуют.

Горизонтальная ось, проходящая через источник, рассматривается как условная граница раздела, на которой равны давления, а вертикальные компоненты колебательной скорости терпят разрыв. Для описания этого условия вводится потенциал Фрд, описывающий уходящую от источника в полупространство волну. Эти условия можно представить в виде [12]:

Фр — Ф

Р,ь

дФр дФР1

дг

дг

— 2QJo (Cr) e-jut, z — H + d.

z

3. Решение задачи

Представим решение (4) с граничными условиями (5)-(8) в виде [12, 16, 6]:

Ф1 = A sin (faz) Jo (Cr) e-jMt, 0 < z < H, (9)

Фр

QjCejßp(H+d-z) + Bejßp(z-H)

Jo (Cr) ej, H < z < H + d, (10)

Ф

P,i

ßp

<bs = Cejßs(z-H) Jo (Cr) e-jMt, H < z < ж, (11)

ejßp(z-H-d) Jo (Cr) e-jut, H + d < z < ж, (12)

j + В

ßp

где вт = - С2,1т (вт) > 0, кт = ш/ет,ш = 1,р,в.

Подставляя (9)-(12) в граничные условия (5)-(7), получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов А, В, С, В. Для того, чтобы потенциалы (10) и (12) удовлетворяли условию (8), необходимо произвести интегрирование по С от 0 до то. Если из полученной системы определить коэффициент А, тогда интегральное представление акустического поля в жидкости, выраженное через потенциал смещений Ф1, определится по формуле:

г те к2(к2 — 2С2)

Ф1 = 2<2е* • кз(ка. С ) 8т(в1гУвРа,7о(Сг)СЛС, 0 < г < Н, (13)

А(С)

где

А (С) = в1 ес8(в1Н) (В (С) - г^рвв tan(вlH)) , (14)

В = (2С2 - к2)2 + 4С2врвЪ-

Выражение (14) из (13) при А (С) = 0 является дисперсионным уравнением двухслойной модели среды.

Перейдем к оценке интеграла (13) методом стационарной фазы [3]. Для асимптотической оценки интеграла произведем стандартную замену в (13) функции Бесселя на функцию Ханкеля:

Ми) = 2[н01)(и) + н02)(п)].

и учтем, что Н^2)(-и) = — Н^1)(и). Тогда получим

ф1 = ое-*" £ к2к - е'Мн^С-Ж. (15)

Перепишем (15), используя асимптотическое представление функции Ханкеля при условии г С ^ 1:

Ф1 = Яе-*(шЬ+ п)\[Лг1°0 ™(С)^Сез(Сг+вра+в1(Н(16)

W (С) = к2(кА ШС2) 8[п(в1г)е-*'1(н-г).

Сделаем замену £ = кря, тогда (16) примет вид:

2

Ф1 — Qkpe

jt+ П) А nr

W(крд)л/кРРд exp(jkpf (q))dq,

где

f (q) — qr + д/l — q2d + д/n2 — q2(H — z),n — cp/c1 > 1

Точку стационарной фазы определим из уравнения:

дf

—r

q(H — z)ари

ут—

q2

n2 — q2

0

(17)

(18)

(19)

Если сделать замену д = 8т($) в формуле (19) и воспользоваться законом Снеллиуса на границе раздела двух сред (рис.1(Ь)), то получим тождество при § = §0:

г = й 1ап(§0) + (Н — г) 1ап(§1), 8т(§0) = п81п(§1).

из которого следует, что д0 = 8т(§0) — седловая точка. Далее определим значение второй производной функции (18) в седловой точке:

д 2f

d

n2(H — z)

cos3(tfo) (n2 — sin2(tfo))3/2

Разложим функцию (18) в ряд в окрестности я — 90 = ££ седловой точки

/ (я) = / (90) + /'Шя — 90) + | /"Ы(9 — 90)2 + • • • • Подставляя (19) и (20) в (21), получим

f (е) — f (qo) — j 1 (df )e2-

Согласно [15], вычислим интеграл

exp

_kp ( Ö^/ )е2 2 (дq2 )е

de —

/

2n

k \a2f\' kp\dq2 1

(20)

(21) (22)

(23)

Рис. 2. Контур интегрирования

2

Перейдем в (17) к новой переменной интегрирования е. Подставляя (22) в (17) и учитывая (20), (23), получим окончательную оценку интеграла (17) по перевальному пути Г (рис.2):

/- ( \ _1/2

Ф1 = -2эЯНресв(^о)^(крв1п(*о))^ + е-™ (24)

где

( d n(H -

в = t - —ттт +

ео8($о) еов^)

Для малой глубины волновода Н ^ й по сравнению с глубиной источника формулу (24) можно представить в виде:

Ф1 = -2зЯкр ео8($оП(кр 81п(^о))^^ЩрШе-,шв (25)

где

Подставляя (25) в формулу р = р1Ш2$1 и учитывая (3), получим

р (г, в, г, г) = ^Яш2р1кр еоё($о)\У(кр в1п(0о)) (26)

В формуле (26) только последний сомножитель зависит от глубины расположения источника. Подставляя формулу (3) в (26) и интегрируя по переменной (, получим:

еов($о)е-^ ГАг е^кр^^^ 1ш с е^кРКо-з(шЬ-Г) 81п(У) Аг ( кр . и

взшvd( = ----y ^ \ . + ^

( kp + ^Л

Vcos(^o) + у)

Аг Уо й + ( Яо У ' 2 \ео8($о) V,

(27)

Для больших глубин й ^ Го и при достаточно малых размерах источника Ь < 1 расстояние, пройденное волной от источника до границы с жидкостью, можно приближенно записать виде Я = Яо — тго еов(в)/Яо. Здесь Я — расстояние, определенное для точечного источника, смещенного на т. Интегрируя выражение (27) по пременной т, получим:

1 гь е!кРя е;{крП0-Х) вт(Х) ^ ЬкрГо еов(в) . .

— -ат =---—-,Х = —---(28)

Ь.)о Я Яо X ' 2Яо У 7

В результате приходим к следующей формуле для формального решения поставленной задачи:

8щ(у) 81п(Х) еЛкрКо-Х-(^-¥))

Р (г, в, г, г) = —2зЯи2р1кр еов(^о)^У (кр втЩ) у X -Я-, (2®)

4. Результаты

При интегрировании приходилось делать упрощающие предположения: й ^ г, й ^ Н, Ь < 1, которые ограничивают область применения формулы (29). При этом в пределах этих ограничений находится наиболее интересный случай для сейсмоакустики, в

котором источник значительно удален от границы упругого полупространства с жидкостью, при этом высокочастотные акустические волны сильно затухают проходя путь от источника до плоской границе.

Из (29) видно, что акустическое поле зависит от угла падения волны ($), выражений X и У. При больших углах падения, близких к 90°, акустическое поле стремится к нулю. Выражение X определяет угловую направленность источника. В перпендикулярном линии источника направлении характеристика направленности имеет максимум, а закон спадания поля — обратная пропорциональность расстояния (рис.3(а)). С увеличением волнового размера источника угловая ширина главных лепестков характеристики направленности уменьшается (рис.3(Ь)). С уменьшением волнового размера характеристика направленности приобретает симметричный вид, характерный для точечного источника. При построении изолиний (рис.3(а)) акустическое поле нормировалось на величину давления, полученного на глубине Нм и эпицентральном растоянии 1м в перпендикулярном линии источника направлении.

Я = 0.1км: г/ = 10км: L = 0.5км: Дz = 0.01км; f = 100Гц

(а) Протяженный источник (Ь) Зависимость диаграммы от длины источ-

ника

Рис. 3. Изолинии акустического поля

Выражение У характерезует время задержки прихода акустической волны. Величина Аг определяет малые вертикальные смещения источника, которые пропорциональны амплитуде акустической волны. С увеличение угла падения увеличивается коэффицент пропорциональности. Скорость движения источника обычно близка к скорости поперечных волн в упругой среде, и не может превосходить скорости продольных волн. Малый интервал возможных скоростей и вертикальных движений не дают значительного увеличения амплитуд акустических волн.

5. Выводы

Вблизи эпицентра нормальные волны и боковая волна еще не успевают сформироваться, поэтому основной вклад в акустическое поле точечного источника дает значение интеграла по перевальному пути. Интегрирование по линейным размерам протяженного источника показывает, что у такого рода источника появляется угловая направлен-

ность. В перпендикулярном линии источника направлении характеристика направленности имеет максимум, а закон спадания поля — обратная пропорциональность расстояния. С увеличением волнового размера источника угловая ширина главных лепестков характеристики направленности уменьшается. С уменьшением волнового размера характеристика направленности приобретает симметричный вид, характерный для точечного источника. Согласно полученным формулам, изолиниями акустического поля являются концентрические окружности с чередованием зон локальных максимумов и минимумов давлений.

Список цитируемых источников

1. АкиК, РичардсП. Количественная сейсмология: Теория и методы. Т.1. — М.: Мир, 1983. — 880 с.

2. Акустика океана. / Под ред. Л.М. Бреховских. — М.: Наука. — 1974. — 693 с.

3. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. —М.: Наука, 1973. — 343 с.

4. ИсаковичМ. А. Общая акустика. — М.: Наука, 1973. — 495 с.

5. Кадыков И. Ф. Акустика подводных землетрясений. — М: Наука, 1986. — 125 с.

6. Калинюк И. В. Распространение акустических волн, индуцированных морскими землетрясениями. // Динамические системы. — 2011. — Т.1(29), №2. — С. 243-253

7. Лапин А. Д. Звуковое поле в жидком волноводе от монопольного и дипольного источников, расположенных в граничащем с волноводом твердом полупространстве // Акуст. журн. — 1993. — Т.39, №5. — С. 859-865.

8. Ларионов И. А., Щербина А. О., Мищенко М. А. Отклик геоакустической эмиссии на процесс подготовки землетрясений в разных пунктах наблюдений // Серия Науки о Земле. — Петропавловск-Камчатский: Вестник КРАУНЦ. — 2005. — Т.2, №6. — С. 108-115.

9. Левин Б.В., Сасорова Е. В., Борисов С. А., Борисов А. С. Оценка параметров слабых землетрясений и их сигналов. // Вулканология и сейсмология. — 2010. — №3. — С. 60-70.

10. Лысанов Ю.П. Захват подводным звуковым каналом гидроакустических волн, генерируемых при подводных землетрясениях в глубоком океане // Акуст. Журн. — 1997. — Т.43, №1. — С. 92-97.

11. Морозов В. Е., Сасорова Е. В. Высокочастотные сигналы (40-110 Гц), предшествующие землетрясениям, по гидроакустическим данным на Тихоокеанском побережье Камчатки. // Вулканология и сейсмология. — 2003. — №4. — С. 64-74.

12. Пекерис К. Теория распространения звука взрыва в мелкой воде // Распространение звука в океане. — М.: Изд-во иностр. лит., 1951. — С. 48-156.

13. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. — М.: Наука, 2003. — 270 с.

14. Шерман Д.И. О распространении волн в жидком слое, лежащем на упругом полупромтран-стве. // Тр. Сейсмол. ин-та. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945. — №115. — 43с.

15. Ben-MenahemA. Radiation of seismic surface-waves from finite moving sources // Bulletin of the Seismological Society of America. — 1961. — Vol. 51, №3. — P. 401-435.

16. Ewing W. M, Jardetzky W. S. Elastic waves in layered media. — N.Y.: McGraw-Hill, 1957. — 380 p.

Получена 01.05.2013