Использование метода диаграммных функций для расчета поля рассеяния в однородных акустических волноводах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSNG868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2GG1, том 11, № 3, с. 52-61

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 534.23 © Б. П. Шарфарец

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ДИАГРАММНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОЛЯ РАССЕЯНИЯ В ОДНОРОДНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

Рассмотрена задача о дифракции акустической волны на рассеивателе конечных размеров, находящемся в полупространстве или в однородном волноводе с идеальными плоскими границами. Метод решения основывается на использовании амплитуды рассеяния тела. Приведена формула, позволяющая получить амплитуду рассеяния, отвечающую произвольной падающей волне, по амплитуде рассеяния тела, отвечающей плоским падающим волнам. Приведен алгоритм решения задачи о работе акустически непрозрачного излучателя в полупространстве с границей, характеризуемой произвольным коэффициентом отражения. В качестве примера решена задача об излучении низкочастотных колебаний сферой с акустически мягкой границей вблизи акустически жесткой или мягкой границы полупространства. Далее рассмотрена задача о поле сферического излучателя с учетом дифракции на нем в идеальном акустическом волноводе. При этом используются результаты о дифракции на сферическом излучателе в полупространстве с идеальными границами. Показано, что результирующее поле формируется бесконечной суммой некоторых излучателей. Получены погрешности, к которым приводит ограничение их количества при расчетах. Приведены результаты численных расчетов поля сферы в идеальном волноводе с учетом и без учета рассеяния.

ВВЕДЕНИЕ

Библиография по задачам рассеяния весьма обширна. Упомянем лишь некоторые работы, имеющие отношение к рассеянию звука в акустических волноводах [1-13]. В работах [1-7] применяются численные, либо асимптотические методы решения. В работе [8] рассматривалась задача о рассеянии на двух сферах применительно к электродинамике. При этом там рассчитывается итоговая диаграмма рассеяния двух сфер. В работах [9, 10] ищется поле рассеяния сферы с абсолютно жесткой поверхностью, находящейся в однородном полупространстве. Рассеяние вызывается падением плоской волны. В работе [11] решается плоская задача рассеяния, сформулированная в виде регулярных интегральных уравнений. В работе [12] также исследуется двухмерная задача рассеяния на произвольном теле, находящемся вблизи импедансной границы. Задача решается методом граничных элементов. В работе [13] получено трехмерное решение задачи рассеяния на упругих телах, находящихся вблизи границы двух однородных полупространств, одно из которых жидкое, другое — упругое. Задача решается с применением метода Т-матриц, который, несмотря на свою громоздкость, все же носит приближенный характер.

В настоящей работе для решения задач рассеяния в ограниченных средах используется метод диаграммных функций, изложенный, например, в работах [14-16]. Приведен алгоритм решения за-

дачи о работе акустически непрозрачного излучателя в полупространстве с границей, характеризуемой произвольным коэффициентом отражения. Далее на основе решения задачи в полупространстве решена задача о суммарном поле в однородном волноводе, ограниченном поверхностью и дном. В качестве примера решена задача об излучении низкочастотных колебаний сферой с акустически мягкой поверхностью вблизи акустически жесткой или мягкой границы полупространства, а также в волноводе.

РАССЕИВАТЕЛЬ В БЕЗГРАНИЧНОМ ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Вначале рассмотрим задачи о стационарном рассеянии на объемном и поверхностном рассеивателях в Я3. Пусть задана ограниченная область

Е с Я3 с границей дЕ = Б. Объемный рассеиватель определяется возмущением показателя преломления внутри области Е (для упрощения изложения полагаем, что плотность среды в Е постоянна и совпадает с плотностью с3реды окружающего однородного пространства Я ). Поверхностный рассеиватель будем характеризовать граничными условиями на Б.

Полное поле и представим в виде суммы падающего и0 и рассеянного иБ полей. Источником падающего поля может служить либо излучатель, сосредоточенный в области В, не совпадающей в общем случае с областью Е, либо плоская

волна, приходящая из бесконечности [17, 18]. Например, в случае объемного рассеивателя, когда источником падающего поля служит излучатель с объемной плотностью Е, 8ирр(Е = В, справедливо следующее выражение (когда Е = 0, источником падающего поля служит приходящая из бесконечности плоская волна):

Аи + к 2и = -У (х)и + Е, х є Я3, 8ирр(К) = Е, 8ирр(Е) = В,

(1)

д| х

(І х1-1),

- ]ки8 = о(|^ -1 )

Us (х) = 0( |х

ди

(2)

Здесь Г(х) = к (п -1), где п — показатель преломления в области Е; в области Я3\Е п(х) = 1; к — волновое число.

Падающее поле и0 может условию (2) и не удовлетворять (например, плоская волна). Аналогично для поверхностного рассеивателя, когда источником падающего поля служит плоская волна, приходящая из бесконечности, имеем:

Ди + к 2и = 0, х єЯ3\Е , =а(х); и(х) = в(х), х є Б,

дп

(3)

(4)

причем иБ вновь удовлетворяет (2). Здесь функции а(х) и Дх) связаны интегральным уравнением, следующим из формулы Кирхгофа [17]

$х) = | а(х, у)«(у)-в( у) ^ ( у ),

х, у є Б,

где G определено ниже.

Решение задачи (1)-(2) при Е = 0 может быть представлено (с помощью формулы Грина) в виде [17]

няя нормаль к Б. Выражения (5), (6) представляют собой интегральные уравнения для нахождения результирующего поля и(х). Из (5), (6), используя технику, изложенную в [14], можно выразить поле рассеяния через функцию Т}:

и\ (х)= -Ц- [ ехр(/кг х)а I, I = 1, 2. (7)

2п Я2 а(\)

Здесь } = 1 для верхнего и } = 2 для нижнего

к =

х "'у ^ ^

= а кх ,а ку,

причем рассматривается та ветвь корня, для которой Яе(а) > 0.

Т: можно определить с помощью формул:

полупространств, £ = (кх, ку )є Я ,

= (кх, ку ,(-1) а( кх, ку));

а( кх ’ ку ) = у1к 2 - кХ - к у ,

(£)= -1 [V(х)и(х)ехр(-]кіх)ах , 4п 3

(8)

ди (у) дп

+ ](к г п)и (у)

х ехр(-](кі у))^(у), у є Б

(9)

— соответственно для объемного рассеивателя и для поверхностного.

В теории рассеяния функцию Ти определенную в области |^| е [0, к] (так называемая область видимости, когда угол падения в е [0, п]), называют амплитудой рассеяния, либо диаграммой рассеяния (см., например, [17, 18]). Функцию Ти определенную в области |£| е [0, га) (угол падения п

в е [0, — - /га )) также будем называть амплитудой рассеяния (ар). Необходимость расширения области определения функции следует из (7). Расширение области определения ар рассеивателя до

£ є [0, га), что эквивалентно в є

0, — - ]га 2

и(х) и°(х) +1У(у)(л(х,'у)и('у)ду, хеЯ . (5) (^ е [0,2п] в полярной системе координат), необ-

Решение задачи (2)-(4) допускает представление в виде (см. [17])

и (х) = и 0(х) +

0(х.у)^ - и(у)ЭС(х'у)

Б

х і Е.

дп

дп( у)

В (5), (6) С(х.у)=ехр4(]к1х-,у1) ,

4п|х - у|

^(у), (6)

внутрен-

ходимо для корректного описания поля рассеяния (7). Естественно, Т, зависит от падающей волны. В этом смысле особый интерес представляет ар, отвечающая плоской падающей волне, так как ар рассеивателя, отвечающая произвольной падающей волне, может быть выражена через диаграммную функцию (дф) падающей волны и ар рассеивателя, отвечающие плоским падающим волнам. Чтобы показать это, рассмотрим в качестве падающей волну и0 = ехр(/'(кр)Ях)) (это амплитуда плоской волны, фронт которой нормален к вектору крт). Здесь индекс р отмечает то, что это па-

х

+

п

дающая волна, индекс т соответствует направлению распространения этой волны по отношению к оси Ог: если плоская волна распространяется в сторону увеличения г, то т = 1, если в сторону уменьшения, то т = 2. Ясно, что к р = (£ , а р),

к р2 =( £ Р , -ар ). Таким образом, волна и0 , характеризующаяся вектором к р1, падает на рассеиватель сверху вниз (ось Ог направлена вниз), а вектором к р2 — снизу вверх.

Ар, отвечающую волне и0, обозначим

Тгт (£р, £5) (аналогичную функцию в квантовой механике называют матрицей рассеяния [19, с. 893]). Таким образом, Тт (£ р, £ 5) есть ар в случае, когда падающая волна характеризуется вектором крт, а рассеянная волна рассматривается в полупространстве, лежащем выше (1 = 1), либо ниже (1 = 2) рассеивателя в Я3 .

Рассеянные плоские волны характеризуются векторами кй =( £ 5, -а5), к я2 = (£ 5, а5) соответственно для верхнего и нижнего полупространств в Я относительно рассеивателя (отметим, что в (8) фигурируют именно эти векторы). С физической точки зрения смысл функции Т™ таков: когда на вход системы поступает волна с вектором кр, на выходе образуется сумма плоских волн с векторами к5.

Представим произвольное падающее поле источника, находящегося в начале координат, через дф источника Бт [14]:

Цзт(х) = [ Вт (£) ехр(/'(ктх)а£ , т = 1,2. (10)

2п Я2 а(£)

Введем операторы:

А"и = | V (уМх,у)и(у)ау,

Эи(у) О(х,у) - и(у)ЭС(х-у)

Эп( у)

Эп( у)

В }и = — 4п

В *и=

р | V (у)и (у )ехр( -/(к, у)ау,

ЭЭ^ПМ /(к , п( у ))и (у) Эп( у)

!хр(-/(ку ))&( у).

Верхние индексы V и 5 указывают на рассматриваемый тип рассеяния — объемное или поверхностное соответственно. Из (5)-(6) имеем (индексы V, 5 опускаем): (I - А)и = и0, тогда и =

= (I - А )-1 и0, причем оператор (I - А )-1 является интегральным, и свойства его ядра допускают последующие операции. Здесь I единичный

оператор. Из (8)-(9) следует, что

Т= В,и = В, (I - А)-1 и0.

Теперь, воспользовавшись представлением (10) для и0, получим:

Т (£5 )=/1В, (I - А)-1ехр(/кртх)а £р , 2п £ а(£ р )

но из (11) следует, что трт (£ р, £ 5) =

= В, (I - А)-1 ехр(/кртх), значит:

Т (£5) = /1Тт (£р, £5 )а^р,

2п Я2 а(£ р)

т =1, 2. (12)

Отсюда видно, что матрица рассеяния имеет в теории рассеяния то же значение, что и функция Грина в теории линейных краевых задач. Если функция Грина есть поле точечных источников и по ней можно восстановить поле произвольного источника, то матрица рассеяния есть ар рассеивателя, отвечающая плоским падающим волнам, и по ней можно определить ар рассеяния произвольной падающей волны.

После того как ар рассеивателя, отвечающая данной падающей волне, найдена, поле рассеяния может быть получено из (7), но проще воспользоваться разложением поля по степеням 1/(кЯ) (см. [15]):

где

и (х) = ехр( /кЯ) V ТП

5 Я Ь (кЯ)п

Т'(п-Ъ,у) = Т,(£),

Т'(Ъ,у) = Т2(£),

£ = (к 8Ш$С08ф,к 8Ш&8Шф),

& е [0,п/2 - /га], <р е [0,2п],

(13)

(14)

(Я,&,ф) — полярные координаты точки х.

г г

Тп для п > 0 получаются из Т с помощью рекуррентного соотношения (см. [15]).

ПОЛЕ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Применим рассмотренную технику для решения задачи рассеяния в полупространстве. Пусть в однородное полупространство помещен акустически непрозрачный излучатель, заданный областью Е, диаграммной функцией Д- (£) и матрицей рассеяния Тт (£ р, £ 5). Отражающая грани-

ца г = 0 характеризуется коэффициентом отражения V(£). Источник Е излучает волну и0. Обозначим и 0 сужение и 0 на П-, і = 1, 2, (Пі ={(х, у)

є є Я2, г < г0>, (П = {(х, у) є Я2, г > ^0}, г0 — ордината центра сферы.

и 0 могут быть выражены через Д- (£) (см. [17]):

U 0 (x)=

j cD- (£ )exp( j(-1)l a(£)(z - zo))

2n

a(£)

i=1, 2.

exp (j£ r) dE, (15)

A 2[ A](£ s) =| T2 (£ p^ s)

xexp(2ja(£p)zo)V (£p)

(16)

2n

12 (A2)n [ D1 ](£ s )[exp(- j( z - z 0 )a(£ s)) +

R2 n=0

exp(j£ r)

+ V(£ s )exp( j(z + z0 )a(£s))]----„ s d£s, (17)

a(£s) s

x є П1 .

U 2(x) = j ЦЁ (A2)n [ Dl](£ s )V (£ s)

2П R2 [n=0

xexp(j(z + zo)a(£s)) +

x

+

2 A 2(A2)n [D1](£ s) + D2(£ s)

n =0

x

xexp(j(z - zo) a(£s)) \exp( j£sr) d^s

a(£ s )

(1S)

Здесь x = (z, r); r = (г,ф).

Фазовая добавка exp (j(-1)l a(£) (z - z0)) обусловлена тем, что Di рассчитана для положения излучателя с началом координат в x0 = (0, 0, z0 ) [14].

Прямая волна U0 не вызовет рассеянной волны, так как она сразу уходит от источника в нижнее полупространство П 2. Другое дело — волна U1. Дойдя до границы z = 0, она отражается и идет вниз в П 2, вызвав попутно рассеянные на Е волны, идущие вверх (в П1) и вниз (в П2). Первичная рассеянная вверх волна отражается от границы z = 0, идет вниз, вызывая вторичное рассеяние вверх и вниз, и так далее. Для того чтобы найти поле в П-, i = 1, 2, необходимо просуммировать

все многократно рассеявшиеся на E и отразившиеся от границы волны.

Введем операторы

Операторные ряды в (17), (18) сходятся, если норма оператора А12 меньше единицы, что всегда имеет место при наличии сколь угодно малого затухания.

Введем обозначения:

1(£) = 2 (A2)n [D1 ](£), T2(£) = A 2 [~ ](£). (19)

n=0

Сворачивая операторный ряд Неймана в (19), имеем

T,(£) = (I - A 2) -1[ D1](£).

(20)

Обращая (20), получим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

(I - A2)[T1](£) = Д(£),

(21)

которое может быть разрешено стандартными средствами. С учетом (19) перепишем (17), (18) в более компактном виде:

U

1(x) = j IT~(£s )[exp(- j(z - zo) a(£s))

2n

- j(z - zo)a(£s)) +

,exp( j£ sr )d^ (22)

Здесь Т (£ р, £ ж)— матрица рассеяния излучателя Е в случае, когда плоская волна падает сверху вниз на Е и рассеивается вверх (і = 1) либо вниз (і = 2). Суммируя все многократно рассеянные волны, нетрудно получить результирующее поле в П в виде:

и1(х)=

+ V(£s ) exp( j(z + z0 )a(£s ))] '^ T ' d^s ,

a(£ s )

U2(x) = j I[~1 (£s)V(£s)exp(j(z + zo)a(£s)) +

+ T>(£s) + D2 (£s)) exp( j(z - z0) a(£s))] exp(j£sr)

a(£ s)

(23)

Как видно из (22), (23), введенные функции Т1 можно трактовать как дф некоторого эквивалентного данному прозрачного излучателя. По структуре (22), (23) видно, что поле формируется действительным и мнимым источниками. Совпадение с классическим видом будет полным, если в част-

x

ном случае принять D1 = D2, A2 = A 2 . Тогда, как видно из (18), предэкспонента при exp (j(z-

-z0)a) превратится в T1. Если теперь применить метод построения рядов типа (13), изложенный в [15], то получим поле в рассматриваемом полупространстве в виде

J (x) = ехр( jkR) j D1,„ (»,p) +

- n=0 W

exp( jkR ) j D2,n(» ,p )

R Пг0 (kR')n '

Здесь

^(п-Яр) = Т~(£),

А,0&,р) = Т2(£)+ Д(£),

А,0&,р) = Т~(£) V (£),

, п '

&,& е [0, - - /га]), (ре [0,2п ].

Старшие члены определяются из рекуррентного соотношения

D

=

А»,у + n(n + 1) 2 j(n +1)

D1,n (»P),

А»у = ■

1 Г д Год!

sin»— +

sin» д» \ _ д»_

1 д

sin» др"

(24)

Подставляя (16) в (21) и переходя к сферической системе координат, приходим к следующему интегральному уравнению:

- Т&) ±

п

2п 2 /га

± к | | [А + В(-С08»С08»0 + 8т»8т»0) X

00

X С08(р - р0)] X ехр(]2к соъ&0г0) X

х 81п&0?Т (»0,р0)а»0ар0 =-1. (26)

Здесь знаком минус перед С08» учитывается тот факт, что рассматривается матрица рассеяния Т21 ; знаки перед интегралом соответствуют жесткому (верхний знак) и мягкому (нижний знак) дну. Отметим, что (26) есть интегральное уравнение с вырожденным ядром. Следовательно, решения необходимо искать в виде [18]:

Тх(&,р) = 1 + а1 + а2 С0%& + а3 81п»С08р +

+ а48т&8тр, (27)

T1(»,p) = 1 - с1 - c2 cos» - с3 sin»cosp -

- c4 sin»sinp.

(27')

Координаты (Я, & ,р) и (Я ,& ,р ) характеризуют положение х относительно действительного и мнимого источников.

Вычислим поле в следующем простом случае. В однородном полупространстве с плоской границей, характеризующейся коэффициентом отражения V( £ ) = 1 (жесткая) либо V( £ ) = -1 (мягкая), находится сфера радиуса Я0 с центром в точке х0 = (0, 0, г0), на поверхности которой выполняется однородное условие Дирихле. Кроме того, плотность источников звука, равномерно распределенных на поверхности сферы, такова, что А = В2 = 1. Матрица рассеяния такой сферы в низкочастотном приближении (с точностью до 0(к3)) в полярных координатах выглядит следующим образом [17, с. 86]:

Т (&,р,&0 ,Р0) = А +

+ В(С08&С08&0 + 81п&8Ш&0 С08(р -р0)), (25)

А = Я0 + 3 к2 Я03 + /кЯ02, В = -к2 Я03.

Здесь а1 характеризуют жесткую, а с{ мягкую границы соответственно. Коэффициенты а1, с1, 1 = 1,., 4, находятся из системы линейных алгебраических уравнений, получаемой из (26) стандартным образом. Окончательное решение имеет вид

2

c1 =

2*^ +ЛВе„

а а

v

( еа

2пЫ-----

а

V J>

Ink

,e~ (Ink)2 лту^2а

а

4

c2 =

а2

Ink

2

Веа (1 -а)/ Za

Веа (1 -а)/Zc

а

, Ink . а 2nkB а . 2 Zа = 1-------Ле +---------з— е (а - 2а + 2) -

а

а

(Ink )2

ЛВе

2а

а

Ink . а 2nkB а / 2 --ч

Zc = 1 +------Леа---------— еа (а2 - 2а + 2) -

а

а

(Ink )2

ЛВе

2а

а

a3 = c3 = а4 = с4 = 0,

а = 2jkz0 .

(28)

+

а1 =

a

с

а 2 =

Коэффициенты а3, с3, а4, с4 обращаются в нуль точно, что является следствием азимутальной симметрии задачи. Подставляя выражения для а1, а2, С\, с2 в (27) получаем низкочастотное приближение для ар Т; функция Т2 может быть вычислена из (19) через Т следующим образом:

Т(&) =

п

— ;га

2пк | (А + В С08&С08&0)ехр(аС08&0) х

х s1n&0T\(&0)d&0.

(29)

Здесь все члены, содержащие угол р, как и выше, равны нулю вследствие азимутальной симметрии задачи. Вычисление (29) дает

Т2 (&) = а1 - а2 cos(&) (жесткое дно), Т2(&) = -с1 + с2 cos(&) (мягкое дно).

(30)

, Г- с, - c9cos(п-&),

в0(&) Ч + (&

I- с1 + с2 cos(&),

& е [0,п/2 - /га)

(мягкая граница),

. Га! + а 9cos(п-&), В\(&) = ■! 1 2 v

а - а2 cos(&),

(32)

& е [0,п/2 - /га)

Подставляя (27) и (30) С учетом (28) в (24), получим полное поле. При этом следует учесть, что:

д,0(я-0) = Т\(&),

^1,0(&)= Т2(&) + 1,

в2,0&) =щ&у (&), (31)

&е [о,п/2].

Здесь V(&) = 1 либо V(&) = -1 соответственно для абсолютно жесткой и мягкой границ.

Полученные выше результаты можно интерпретировать следующим образом. Эффект рассеяния на излучателе вследствие наличия границы полупространства можно свести к ситуации, когда рассеяния нет, но есть некий источник, совмещенный с исходным, в точности определяющий вне исходного излучателя поле рассеяния. Таким образом, реальный источник, вызывающий прямое и рассеянное поля, заменяется двумя источниками, рассеяние на которых отсутствует, но поле, ими созданное вне исходного излучателя, в точности описывает реальное поле. Источники эти будем характеризовать дф в свободном пространстве В0(&) для источника первичных волн и ар В'(&) для фиктивного источника рассеянных волн. Тогда результирующее поле вне излучателя-рассеивателя полностью описывается эквивалентным источником с дф В(&) = В0(&)+В1(&). Для рассмотренного случая из (27), (30) имеем: В0(&) =1, а В:(&) определяется следующим образом:

(жесткая граница).

ПОЛЕ В ИДЕАЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ С ГРАНИЦАМИ

Рассмотрим далее задачу о суммарном поле описанной выше сферы в идеальном акустическом волноводе глубины Н с идеально мягкой поверхностью и жестким дном. В точной постановке такая задача может решаться, аналогично тому как решалась для полупространства, — необходимо просуммировать все многократно отраженные от границ и рассеянные на сфере плоские волны. Однако в настоящей работе решение будет получено несколько иначе.

Влияние только одной, допустим верхней, границы сводится к образованию эквивалентного источника рассеянных волн с ар В° (&). Аналогично нижняя граница приводит к возникновению еще одного эквивалентного источника с амплитудой рассеяния В\(&), которая также может быть получена по описанной выше методике. Здесь и далее нижние индексы 0 и 1 характеризуют происхождение функции В — вследствие влияния поверхности (0) либо дна (1). Поле в волноводе теперь будет описывать результирующий излучатель

с дф В(&) = В0(&) + В\(&) + В\(&) = В0 + В\ Но далее возникает цепная реакция. Источники с ар В01 и В11 сами теперь следует рассматривать как источники первичных волн, которые также вызовут рассеяние на исходном (реальном) излучателе.

В0 создаст источники В00 и В0\, а источник В\

-- соответственно D\20 и В\2\ . Верхний индекс (в

данном случае 2) равен количеству участий границ в формировании данной ар начиная с первичного

поля. В свою очередь, В020 , В021 , В120 и В121 создадут источники соответственно В0300 и В0ш, В0310 и

3 3 3 3 3

В0\\, В\00 и В\0\, -^^110 и В\\\. И так далее, на

каждой итерации количество источников будет нарастать. Дф суммарного источника, таким образом, определяется рядом (аргументы опущены)

В = В0 + Д1 + Д1 + В200 + В2т + Д20 + Д2 +

+ В0300 + В001 + В0310 + В0311 + В200 + В1301 + (33) + В1310 + В1311 + ... = В0 + В1 + В2 + В3 + ...

Из физических соображений ясно, что ряд (33) должен сходиться. Остается выяснить лишь скорость его сходимости в каждом конкретном случае, после чего ограничиться конечной суммой ряда (33). Далее поле в волноводе с учетом рассеяния может быть рассчитано с помощью техники, описанной в работах [14, 20]. При этом в качестве дф источника должна фигурировать функция В($) из (33). Применительно к случаю рассматриваемого идеального волновода с учетом азимутальной симметрии задачи рассеяния выражение для поля направленного излучателя имеет вид [14, 20]

тт< \ 1 2п

и (г’г)" н{~ х

,2п-1 ,2п-1

/

х£В|(9п)е 2н -В(вп.)е 2н х (34)

п =1

. ( 2п - 1 ^ /'[•>

х Бт!---------------пг \е

\ 2Н I

Здесь Н -значения

г

П=аге1§

Сп

глубина волновода, £п — собственные поперечной краевой задачи,

Чп -1 ^

------п — характеристические углы

2 Н

при а = 2/к(Н-г0). Тогда для суммарной дф В01 + В11 имеем

в1(0) = в1(в) + в1(0) =

= |(«1 - ^) - (а2 + С2)еО8(п-0), [(о1 - с1) + (а 2 + с2) соб в, в е [0,п/2 - /га).

(37)

падения нормальных волн, В1(в) = В(п-в),

В2(в)=В(в), в е[0,п /2-/га), В(в) определяется из

(33). Отметим, что область определения функции В(в) равна [14]: в е [0,п /2-/га) и в е (п /2+/га,п]; г, г0

— глубина приемника и источника соответственно.

Итак, пусть в идеальном волноводе на глубине г0 находится излучатель с дф В0 =1 в виде описанной выше сферы. Тогда, согласно полученным выше результатам, имеем

1 Г- с1 - с2 соб(п - в),

В0(в) = •! 1 2

[- с1 + с2 СОБ(в), (35)

в е [0,п/2 - /га)

(влияние поверхности);

1 Га1 - а2 соб(п - в),

В1(в) = •! 124

[а1 + а2 С0Б(в), (36)

в е [0,п/2 - /га)

(влияние дна).

Здесь константы определяются из (28), где с1, с2 вычисляются при а = 2/кг0, а а1, а2 вычисляются

Как видно из (37), дф источника вторичных волн В1 состоит из константы и соБ-составляющей с коэффициентом а2 + с2 . Для нахождения дф источника В 2 = В020 + В021 + В120 + В121 необходимо подставлять составляющие выражения (37) вместо единицы в правую часть интегрального уравнения (26). Например, для нахождения В00 в правую часть этого интегрального уравнения необходимо подставить -с1-с2соБ(в). При этом В00 будет

иметь такую же структуру В00 = -с1 - с 2 СОБ(в), но порядок малости этих констант возрастет: с' = 0(| с112). Совершенно аналогично складывается ситуация и с остальными составляющими В2. Отметим, что анализ спада коэффициентов (28) с ростом расстояния от отражающей границы показывает их одинаковую асимптотику при возрастании этого расстояния. Для составляющих В3 структура дф остается прежней и равна сумме некоторой константы и произведения другой константы на функцию С0Б(в), однако порядок малости этих констант возрастет еще на единицу и т.д., например, у составляющих дф Вп порядок малости коэффициентов будет равен п по отношению к исходным коэффициентам аг- и сь / = 1, 2. Таким образом, ряд (33) мажорируется рядом В =l+q+q2 +д3+..., где q = 4|шах(аь сг)|, а аг, сг фигурируют в (37). Следовательно, если в ряде (33) ограничиться конечной суммой В ~ В°+В', где В0=1, а В1 определяется из (37), то ошибка будет заведомо меньше е =q2/(l- q). Тогда если известна велична q и она приемлема, то в ряде (33) можно ограничиться конечной суммой В ~ В0+В\

Для анализа величины q были рассчитаны коэффициенты (28) для различных значений частоты, радиуса сферы и расстояний от центра сферы до границы. Результаты расчетов для случая, когда q < 0.4 (т.е. коэффициенты аг-, сг- в (37) не превышают 0.1) сведены в таблицу.

В ячейках таблицы фигурируют величины расстояния в метрах от центра сферы до границ, после которых все коэффициенты аь с уже не превышают по модулю величины 0.1. В этом случае погрешность вычисления дф В~ В°+В1 не превысит 26.6%.

Результаты расчета минимальных расстояний (м), на которых погрешность замены ряда (33) двучленом В0+В1 становится не более 26.6%, в функции от частоты излучения Е и радиуса излучателя Я0

Г

б

Г

а

и>, и

Г

в

Г

г

Графики зависимостей и0(г)-------и и(г)------------ при:

а — Е = 50 Гц и Я0= 4 м, б — Е = 50 Гц и Я0= 8 м, в — Е = 90 Гц и Я0= 4 м, г — Е = 90 Гц и Я0= 6 м

На рисунке (а, б, в, г) представлены расчеты, выполненные по выражению (34), где В1(в) = =1+(а1-с1)-(а2+С2)с08в, Вг(в) =1+(а1-с1) + (а2 + +с2)соБв, для различных частот Е и радиусов сферы Я0. Для сравнения на тех же рисунках представлены зависимости и0(г) для случая, когда рассеяние на источнике не учитывается вовсе, т.е. В1(в)=В2(в)=1 (отметим, что в этом случае погрешность вычисления дф В~ В0 составляет е=q/(l-q)). Во всех расчетах приняты неизменными следующие параметры: Н = 100 м, г = 45 м, г0 = = 50 м. Из сравнения графиков на каждом рисунке

можно составить представление о степени возмущения поля вследствие наличия рассеяния. Рисунки показывают, что возмущения, как правило, меньше ожидаемых вследствие завышенной оценки величины q, фактические ошибки оказываются меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение отметим, что предложенная техника может быть использована для получения выражений как для других рассеивателей, так и вол-

новодов. Кроме того, полученные в работе результаты можно чисто качественно интерпретировать для близких к рассмотренным рассеивателей и волноводов, справедливо предполагая, что возмущения окажутся небольшими.

Отметим, кроме того, что при получении результатов настоящей работы оказался существенным тот факт, что выражение (34) позволяет рассчитывать поле излучателя, дф которого представимо в виде (37), т.е. для углов в больших и меньших п / 2. Скажем, выражения для поля протяженного источника, полученные в [21] методом функции Грина, оказались бы в данном случае непригодными.

Все полученные результаты для излучателя, который сам является рассеивателем, легко распространяются на случай пассивного рассеивателя, который сам не является источником первичного поля. Расчеты при этом даже упрощаются.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клещев А.А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акуст. журн. 1977. Т. 2з, № 3. С. 404410.

2. Красильников Е.А. Дифракция акустической волны на пластинке, расположенной вблизи плоскости // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, № 3. С. 556-571.

3. Немцова В.Н., Федорюк М.В. Дифракция звуковых волн на тонком теле вращения в двухслойной жидкости // Акуст. журн. 1986. Т. 32, № 1. С. 47-51.

4. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах // Акуст. журн. 1984. Т. 30, № 3. С. 339-343.

5. Карновский А.М., Лейко А.Г., Супрун А.Д. К определению звукового поля акустического источника конечных размеров в присутствии границы раздела // Акуст. журн. 1990. Т. 36, № 5. С. 880-886.

6. Белов В.Е., Горский С.М., Зиновьев А.Ю., Хиль-ко А.И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 4. С. 548-560.

7. Елисеевнин В.А., Тужилкин Ю.И. Дифракция звукового поля на плоском прямоугольном

вертикальном экране в волноводе // Акуст. журн. 1995. Т. 4,. № 2. С. 249-253.

8. Иванов Е.А. Дифракция на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

9. Gaunaurd J.C., Huang H. Acoustic scattering by a spherical body a plane boundary // JASA. 1994. V.96, N. 4. P.2526-2536.

10. Gaunaurd J.C., Haung H. Sound scattering by a spherical object near a hard Flat Bottom // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectics and Freguency control. 1996. V. 43, N. 4. P. 690-700.

11. Yang S.A. A boundary integral equation method for two-dimensional acoustic scattaring problems // JASA. 1999. V. 105. N. 1. P. 93-105.

12. Martin Ochmann. The full-field equations for acoustic radiation and scattaring // JASA. 1999. V. 105, N. 5. P. 2557-2564.

13. Bishop G.C. Scattaring from rigid and soft targets near a planar boundary: Numerical results // JASA. 1999. V. 105, N. 1. P. 130-143.

14. Шарфарец Б.П. Поле направленного излучателя в слоисто-неоднородном волноводе // Акуст. журн. 1985. Т. 31, № 1. С. 119-125.

15. Шарфарец Б.П. Геометрооптическое представление поля направленного излучателя в неоднородных средах // Акуст. журн. 1989. Т. 35, № 4. С. 738-742.

16. Косырев Б.А., Шарфарец Б.П. Поле протяженного источника в нерегулярных океанических волноводах. Владивосток: ТОИ ДВО АН

СССР, препринт, 1991. 46 с.

17. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 860 с.

18. Владимиров В.С. Уравнения математической физики, изд. 4-е. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981. 512 с.

19. Математическая энциклопедия, т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. 1216 с.

20. Шарфарец Б.П. Поле протяженного направленного излучателя в регулярном океаническом волноводе // Акуст. журн. 1989. Т. 35, № 1. С. 132-137.

21. Шарфарец Б.П. Поле протяженного источника в регулярном океаническом волноводе // Акуст. журн. 1991. Т. 37, № 4. С. 794-799.

Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 08.06.2001.

CALCULATION OF THE SCATTERING FIELD IN HOMOGENEOUS ACOUSTIC WAVEGUIDES BY A DIAGRAM FUNCTION METHOD

B. P. Sharfarets

Saint-Petersburg

The problem of acoustic wave diffraction on a finite body in half-space or in a homogeneous waveguide with ideally plane boundaries is treated. The decision method is based on the scattering diagram (amplitude of scattering, in particular). A formula to calculate the scattering amplitude for an arbitrary incident wave by the scattering amplitude for plane incident waves is given. An algorithm to solve the problem of acoustic wave radiation by an acoustically opaque source in half-space with an arbitrary reflection factor is proposed. As an example, the problem of low-frequency acoustic wave radiation by a sphere with acoustically soft boundaries near the acoustically hard or soft boundary of half-space is solved. The problem of the field of a spherical source with the account of diffraction on it in an ideal acoustic waveguide is next considered. The results of scattering on a sphere in half-space with ideal boundaries are used. It is shown that the resulting field is formed by an infinite sum of sources. The errors caused by restriction of their quantity are defined. The results of numerical calculations of the field of a sphere in the ideal waveguide with and without account of scattering are given.