ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОВОДИМОСТИ СКВАЖИННОГО СОЕДИНЕНИЯ НАКЛОННОЙ ИЛИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СКВАЖИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы нефти и газа ■ Вып. 2(21) 2018 ■ http://oilgasjournal.ru

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОВОДИМОСТИ СКВАЖИННОГО СОЕДИНЕНИЯ НАКЛОННОЙ ИЛИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СКВАЖИНЫ

Э.С. Закиров, С.Н. Закиров, И.М. Индрупский, Д.П. Аникеев ИПНГ РАН, e-mail: ezakirov@ogri.ru

В данной статье, являющейся продолжением статей авторов «О представлении скважины в 3D гидродинамической модели» и «Вычисление коэффициента проводимости скважинного соединения. Метод Писмена» в данном выпуске, рассматриваются методы вычисления проводимости скважинного соединения наклонной или горизонтальной скважины.

Методы проекции

Данные методы представлены двумя публикациями: [1] и [2]. Первый метод в литературе условно называют методом Alvestad по имени первого автора. Второй реализован в программном модуле Schedule пакета прикладных программ фирмы Schlumberger. Сразу отметим, что оба рассматриваемых метода - и Alvestad, и Schedule -не имеют строгого математического обоснования, а являются лишь робастными методами взвешивания известных решений. Они базируются на решении Писмена, поэтому их применение ограничено теми же самыми условиями, что и сам метод Писмена. Кроме того, методы применимы к наклонным скважинам, то есть к скважинам, не вытянутым вдоль координатных осей.

Данные методы дают несколько различающиеся результаты. Ниже сравниваются результаты, полученные рассматриваемыми методами, с точным аналитико-численным решением работы [3].

Допустим, скважина ориентирована вдоль одномерного направления,

характеризующегося вектором у = (уx, уy, уг) . Методы Alvestad [1] и Schedule [2]

используют специальное взвешивание двумерных решений Писмена вдоль каждого направления координатных осей. Оригинальный скважинный индекс Писмена формулируется для соединения с вертикальной скважиной вдоль направления оси z перпендикулярно плоскости xy:

2 кЩ (1)

WL =

ln

fr \

r

v 'w у

гда к = Л[ЩУ

и

r0 = G-J-r=

Г

2

V

к.

— + 4

К 4

с О = 0.14036487 ..., а Ах, Ау - длины сеточных блоков. В методе Alvestad величины к и Г заменяются следующими направленными взвешенными выражениями:

к=(v IWz+v 2kk+v 2kxky У

и

ro = G

^al2 + AL2

1 (A + A2)

(3)

(4)

2

где

al2 = .

к

У Az 2v 2 +

к

al2 =

f Ay 2v 2 +

кУ

к

Ax 2v У +

t Az V У +

■Ay2 v

22 z ■

к

^ Ax2 v z, К

A =

y v 2 +.

v У +.

x v 2,

a2 =

— v 2 +

К

кг 2 ■ У У +

y2

- v z .

(5)

(6)

(7)

(8)

Очевидно, что формулы Alvestad'a сводятся в точности к правильной формуле Писмена в случае, если вектор направления у направлен вдоль одной из координатных осей.

Метод проекции в модуле Schedule разработан сотрудником фирмы Schlumberger J.A. Holmes [2]. В рассматриваемом методе траектория скважины проецируется на три ортогональные координатные оси (рис. 1).

x

z

x

x

x

x

7

x

а)

б)

Рис. 1. Проекция траектории скважины на координатные оси (а); проекция сегментов скважины на оси (б)

Используя длины трех проекций и уравнение Писмена для Ш и г0 (см. формулы (5)-(6) статьи данного выпуска*), парциальные индексы продуктивности, обозначаемые

мх ,ту ,тг

соответственно, т.е. М1Х = М1 (у = [1,0,0]7 ), М1у = М (у = [0,1,0]7'), М12 = М1 (у = [0,0,1Г), вычисляются вдоль трех координатных осей:

кук2Ьх

Ш =

х Гг л

1п

+ 5

V Гм> у

Ш1У =

1п

Гг л

Г0,у

V Гм> у

+5

ШТ =

(г- \

1п

+ 5

V Г™ у

(9)

г0,х = 0.28

+ 4

Г0, у = 0.28

(10)

кг

— + 4

К 4

^ = 0.28

V

кУ +

--+ 4

К 4

Результирующий индекс продуктивности скважины Ш определяется как

* См. статью Закиров Э.С., Закиров С.Н., Индрупский И.М., Аникеев Д.П. «Вычисление коэффициента проводимости скважинного соединения. Метод Писмена» в данном выпуске.

0,х

0,2

х

г

4

4

2

2

х

квадратный корень суммы квадратов парциальных индексов продуктивности:

жР = 7т2 + т; + ж/2. (11)

В случае разделенной на части скважины (см. рис. 1, б) в пределах одного сеточного блока может находиться несколько сегментов скважины. Тогда спроектированная длина для вычисления индекса продуктивности скважины представляет собой сумму проекций всех сегментов в данном направлении:

^направлены к ^ ^^ ,к ' ( )

> к

сегмент ]

Перейдем к анализу точности рассматриваемых методов. В статье [3] рассматриваются синтетические примеры, сравнивающие оба метода взвешивания с авторским аналитико-численным методом. Ради обособления эффектов направления скважины относительно сетки рассматривался простейший случай кубической сетки с изотропной средой. В этом случае оба метода проекции дают одинаковые результаты. В любом другом случае эти методы дали бы разные результаты.

В первом примере горизонтальная скважина с азимутальным углом к/4 (рис. 2) пересекает левую боковую поверхность ячейки в ее центре (рис. 3). По мере увеличения дроби ^ /Ах определялась разница между сопоставляемыми методами и аналитико-

численным методом работы [3]. Оказалось, что, чем больше дробь, тем больше разница. Она составила от 9 до 100%. Иными словами, чем сетка мельче, тем ошибка становится больше.

-►х

Рис. 2. Скважина в координатах ху2 с азимутальным углом а и углом возвышения Р

Рис. 3. Иллюстрация азимутального угла а и изменения соседней вскрытой сеточной ячейки: а| = агйап (0.5/2.0), а| = агйап (0.5/1.0), а| = агсБт (0.5/ (о.51ап р)) и а| = агйап (1.5/1.0)

В последующих примерах измерялась разница проводимостей скважин в функции перфорированной длины в ячейках (рис. 4). Отношение г/Ах =0.002 сохранялось постоянным, а скважина была приблизительно горизонтальной с углом поднятия тс/ 40 и азимутальным углом тс/4 . Разница между решениями составляла от 3 до 26%. Чем меньше перфорированная длина скважины в ячейке, тем ошибка больше.

Рис. 4. Геометрия скважины в рассматриваемых случаях. Скважины, обозначенные пунктирными линиями, входят через левую сторону ячейки в точках 0, 2/5, 3/5, 4/5 и 49/50 Ау

Наконец, варьировали рассмотренным в [3] коэффициентом анизотропии, чтобы проиллюстрировать различие между методом работы [3] и методами проекции. Ошибка составляла от 7 до 36%. Чем больше контраст проницаемостей по осям, тем ошибка больше. В среднем метод Schedule показал себя несколько хуже, чем метод Alvestad.

Из представленных результатов следует, что ошибка методов проекции составляет от 10 до 30% для ортогональной сетки и изотропной среды в случае, когда наклонная скважина вскрывает соседние сеточные блоки, не включенные в семиточечный разностный шаблон. Увеличение анизотропии и отношения длин сторон сеточных блоков также способствуют увеличению ошибки.

Случай реального месторождения в Северном море. Для конкретной модели реального месторождения индексы продуктивности скважин по методам, описанным в [1] и [3], различались на 0-15%. Но для отдельных сеточных блоков различия доходили до 100%. Однако наибольшие ошибки имеют место для ячеек с малой продуктивностью, которые сильно не влияют на продуктивность всей скважины, хотя и меняют профиль притока к скважине.

Представленные результаты говорят о приближенном характере методов проекции. Исходя из этого следует использовать более точные методы. Один из наиболее продвинутых методов вычисления коэффициента проводимости скважинных соединений

рассматривается в статье данного выпуска*, посвященной методу Стэнфордского университета.

Проводимость наклонной скважины

Различные авторы [4, 5, 6 и многие другие] трудились над вычислением коэффициентов проводимости скважинных ячеек наклонных, т.е. не параллельных координатным осям, скважин (рис. 5).

В работе [5] был предложен простой метод, расширяющий метод Писмена на случай наклонной скважины в анизотропном пласте (рис. 6). Для получения данной формулы Mochizuki использовал преобразование координат, когда однородно-анизотропная среда преобразуется в однородно-изотропную среду. При этом эффективный радиус сеточного блока со скважиной, радиус скважины и эквивалентная длина скважины интерполируются в функции от углов (рис. 6).

Рис. 5. Наклонная скважина в сеточной области

Рис. 6. Геометрическая характеристика траектории наклонной скважины В результате получены следующие формулы.

* См. статью Закиров Э.С., Закиров С.Н., Индрупский И.М., Аникеев Д.П. «Вычисление коэффициента проводимости скважинных соединений - полуаналитический метод Стэнфордского университета» в данном выпуске.

Формула притока к наклонной скважине:

д = Ж1 '(0,9)^^ (Ро - Р. ), В^

где

Ж1 '(0,9) =

2тс

(14)

К(0,9)

1п

ч г_(0,9), к _ = .

Соответствующие расстояния и длины вычисляются в трансформированной системе координат:

Ь_ = Ь б1П 0 СОБ 9

V

к,.

(15)

Ь_ = Ь Бт 0Бт 9

к_

к,.

Ь' = Ь соб 0

V

к_ к.

Ь'(0,9) =

—(б1п 0 соб 9)2 + — (бю 0б1п 9)2 + — (соб 0)2

к„ к л, к_

Г_ (х ) =

г..

г; (у

Г_ (г ) =

2

к'

— +

к'

— +

к V

к'

— +

К \

кг У кх У

у ^

ку у

(0,9) =7г_2 (х)(в1п 0 соб 9)2 + г;2 (у Х^п 0 в1п 9)2 + г;2 (г)(соб 0)

г_(х ) = 0.14

'_(У )= 0.14

Л

к _ к _

— Ау2 + — Аг2

кк

у г у

V

к _ к _

— Аг2 + — Ах2

Л

к

к

2

г

г

г

:(z )=o.i4

f

\

k' k'

— Ax2 + — Ay2

к к y,

r'(e, 3) =4к2 (x)(sin 0 cos Э)2 + r'2 (y)(sin 0 sin 3)2 + rfe'2 (z)(cos0)2 .

Если скважина параллельна одной из координатных осей, то данный метод дает одинаковые значения по сравнению с методом Писмена. Следует также отметить, что, хотя метод Mochizuki может давать хорошие результаты для наклонных скважин, он все еще базируется на формуле Писмена. Следовательно, ему присущи ограничения подхода Писмена.

В заключение следует напомнить, что использованные для вычисления эквивалентных радиусов г^ и r¿ формулы не являются точными. Mochizuki просто по аналогии использовал формулу корректной трансформированной длины скважины L'(0, для получения значений г^ и г/ . Отметим, что точное значение г^ было получено в работе [7].

Модель Morita [6]. В обоснование своего метода Писмен [8] успешно использовал аналитическое решение Маскета [9] для элемента пятиточечника. Вместо данного аналитического решения можно использовать и другие аналитические решения. В [6] получено достаточно точное аналитическое решение стационарного однофазного уравнения для давления в условиях искривленной бесконечно проводящей скважины. Это решение учитывает окружающие непроницаемые границы, например, покрышки. Однако внешние границы предполагаются бесконечно удаленными.

Используя данное решение, авторы [6] показали ограничения применимости формулы Писмена для следующих случаев: а) несовершенной по степени вскрытия пласта скважины, б) скважины, вскрывающей менее двух-трех локальных измельчений вдоль своего ствола, в) неоднородной сетки в направлении радиального притока к скважине и г) неоднородной сетки. Отмечается, что ошибки каждого из проблемных случаев могут суммироваться, если условия применимости формулы Писмена нарушаются.

В модели Economides и др. [10, 11] предлагается аппроксимировать поведение наклонной скважины моделью вертикальной скважины с дополнительным скин-эффектом, зависящим от толщины пласта, коэффициента анизотропии в виде отношения горизонтальной проницаемости к вертикальной kA/kv, а также от угла отклонения скважины от вертикали. Например, вместо модели горизонтальной скважины с

соизмеримой длиной скважины. Так, для скважины длиной к и радиусом гж вводят параметр кд = к/г^. Тогда для скин-фактора, связанного с отклонением траектории скважины от вертикали на угол 9 , получены следующие корреляции:

„ 1<0> 917Х184 -к л

^9 = -1-64-—при < 1

кк

V - у

вт 95' 87к0 152 $ = -2 . 48-'" 9

9 / \0 . 964

' к ' кк

V - у

к

при ^ 1.

В работах [7, 12] получены другие корреляции для рассматриваемого скин-фактора. В [12] скин-фактор представлен в функции угла наклона и безразмерной толщины:

. 2.06

*9=-1 а2 06 -V V ко'

где 9' = 1ап-

к 1ап 9

К

Л

0° <9'< 75° и кп =

к

у

V

—

А геометрический скин-фактор для наклонных скважин в работе [7] определен следующим образом:

( \

(

$9 = 1П

4г

Л

V Ьау) уЬ

+ -

к

1п

Лк 2ад/у

4г , 1

™ 1 + -

где а =

-

1

и у= сов29+—-в'п29 .

а

Проводимость горизонтальной скважины в модели Бабу, Одэ [13]

Приток к горизонтальной скважине существенно трехмерен. Его достоверное описание требует специальных методов.

В работе [13] был рассмотрен достаточно общий случай. Горизонтальная скважина радиусом гК и длиной Ь располагалась в пласте прямоугольной формы параллельно оси

у (рис. 7). Размеры пласта составляли а х Ь х к . При решении профильной задачи

принималось, что скважина расположена в точке , ^ ) сеточного блока , ^ ) (рис. 8)

к

Г

w

у

V

с координатами = Ах( + 1), = Az (/ + 1). Предполагалось, что скважина

эксплуатируется с постоянным дебитом q при условии однофазного течения и

однородного притока. Проницаемости вдоль координатных осей х, у, 2 принимались

постоянными и равными кх, ку, к2 соответственно. Пористость т считалась постоянной, а

добываемый флюид - слабосжимаемым. Для этого случая авторы [13] нашли аналитическое решение разностной задачи и аппроксимирующее его соотношение для стационарного течения при условиях непротекания. Метод решения состоял в использовании метода разделения переменных и решении одномерной нестационарной задачи теплопроводности в виде бесконечного ряда. Устремляя время к бесконечности, получили псевдостационарное решение.

Рис. 7. Физическая постановка задачи

Рис. 8. Конечно-разностная сетка размером М х N . Скважина расположена в точке с координатами хж = Ах(гм! +12) и = А+1/2). Длина зоны дренирования в направлении оси х равна а = МАх . Длина области дренирования в направлении оси ъ

равна к = NAz (из работы [13])

Авторы [13] выразили решение в терминах разницы между средним пластовым давлением р и двумя давлениями - давлением во вскрытой скважиной сеточной ячейке

р0 и забойным давлением р^. Точное решение для первой разницы давлений имеет вид:

p - Pо =

q|

2пЬ^кхкг

2па

к.

к

1 х,., x,.

■ +

x V

3 a a2 12^

+ 5

(16)

где

_ М-1

N £

сов

ппк

в'п

пи 2 N

1 + аИ2 )

(1 + у)(1 + хГ2 N )'

1 - х -

*

а =

Ах

'к. ^

V -х у

* * . I пи

а* = а в'п I -

V 2м у

хп = |аП+71+аП2 ),

v = -1 =

к = 2]* -1 =

2 х*

Ах

2 г _

Аг

(17)

В работе [14] данное решение сверялось с численными решениями конечно-разностных уравнений и было признано точным.

Для второй разницы давлений - р - р^ была получена хорошая аппроксимация:

Р - Р* =

q|

2пЬл1-х-г

, к 2па 1п — + -

к V

к.

к

1 х,., х

2 Л

х V

■ +

3 а а2

+ — 1п ^ - 1п | 2п -'п ^ 3 к V к

-Бв

(18)

где

Бе = 1п (1 - Е ) +11п

1 - 2Е со-1 + £2

к

(19)

Е = ехр

2п к

Г/, V

V -х у

тт (х*,а - х* )

Необходимое условие сохранения точности решения (18) было получено в работе [14] в виде:

1

Г

г

а

К з — > -

К 4'

Если условие (20) не выполняется, то в [14] предлагается поменять местами координатные оси х и г.

В работе [13] решения (16), (18) были объединены для получения эквивалентного радиуса блока:

^ (21)

Г,

О Г Ъ

Ч Д 1

Ръ =— ■-

Финальное выражение [13] для г0 во введенных выше обозначениях имеет вид:

(22)

1п

Ч

К к У

ка

6кМ2 \

к 1 к ( кг

+ — 1п - 1п I 2к б1п к, 4 к \ к

-1.84 - В - £ .

Заметим, что уравнение (22) справедливо, если удовлетворено условие (20). Как показано в работах [15, 16, 17], значения г0 и г* связаны соотношением:

го =

(23)

0.5

к К

4 + 4 X

К 4 кг _

Использование приведенной выше поправки в виде формулы (23) оспаривалось в ответах [1] авторов работы [13].

Из вышеизложенного следует, что алгоритм вычисления г становится

значительно сложнее по сравнению с алгоритмом для вертикальной скважины. Хотя формулировка Писмена и остается адекватной, для учета работы горизонтальной скважины требуются некоторые модификации. Указанный алгоритм может использоваться для скважин, произвольным образом расположенных в прямоугольных областях пласта. Однако сетка должна быть однородной, поскольку аналитическое решение для конечно-разностных уравнений справедливо только для такой сетки.

В [18] представлена следующая аппроксимация приведенного выше решения для скважин, расположенных строго по центру области фильтрации:

*

г

о

Г0 =

Ах2 Аг2 -+ ■

к.

к.

3.88МЫ

1 + ехрI 2.215--,—

I а

1 + 0.533

а

М

К сожалению, для горизонтальной скважины, направленной вдоль оси у, без критического анализа применяется аналог формул (5)-(6) (см. статью данного выпуска*):

2^л/кХк7Ау

Т =

1п

+ 5

V г*> у

где г теперь вычисляется по формуле

(25)

Г = 0.28

(26)

V

+ 4

и в которых просто произведена замена входящих коэффициентов на соответствующие новому расположению скважины. Данная опция реализуется по умолчанию в существующих коммерческих симуляторах.

Именно поэтому переход на аналитико-численные способы вычисления проводимостей сеточных ячеек, вскрытых скважиной, становится все более актуальным. Один из возможных вариантов решения данной задачи представлен в обзорной статье данного выпуска**.

Статья написана в рамках выполнения государственного задания (тема «Научное обоснование новых экологически чистых технологий разработки месторождений углеводородов в сложных горно-геологических условиях на основе 3Б-компьютерных экспериментов», № АААА-А16-116022510270-1).

*

0

2

х

х

2

* См. статью Закиров Э.С., Закиров С.Н., Индрупский И.М., Аникеев Д.П. «Вычисление коэффициента проводимости скважинного соединения. Метод Писмена» в данном выпуске.

** См. статью Закиров Э.С., Закиров С.Н., Индрупский И.М., Аникеев Д.П. «Вычисление коэффициента проводимости скважинных соединений - полуаналитический метод Стэнфордского университета» в данном выпуске.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alvestad J., Holing K., Christoffersen K., Stave O. Interactive modeling of multiphase inflow performance of horizontal and highly deviated wells // Paper SPE 27577 prepared for presentation at the European Petroleum Computer Conference. Aberdeen, UK, 15-17 March 1994. 16 р.

2. Schedule User Guide, Schlumberger, GeoQuest. 2008.

3. Klausen R.A., Aavatsmark I. Connection transmissibility factors in reservoir simulation for slanted wells in 3D grids // Paper prepared for presentation at the 7th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. Baveno, Italy, 5-8 September 2000. 10 р.

4. Lee S.H., Milliken W.J. The productivity index of an inclined well in finite-difference reservoir simulation // Paper SPE 25247 prepared for presentation at the SPE Symposium on Reservoir Simulation. New Orleans, Louisiana, 28 February-3 March 1993. 11 р.

5. Mochizuki S. Well productivity for arbitrarily inclined well // Paper SPE 29133 prepared for presentation at the SPE Reservoir Simulation Symposium. San Antonio, Texas, 12-13 February 1995. 9 p.

6. Morita N., Singh S.P., Chen H.S., Whitfill D.L. Three-dimensional well model preprocessors for reservoir simulation with horizontal and curved inclined wells // Paper SPE 20718 prepared for presentation at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition. New Orleans, Louisiana, 23-26 September 1990. 16 p.

7. Besson J. Performance of slanted and horizontal wells on an anisotropic medium // Paper SPE 20965 prepared for presentation at the European Petroleum Conference. The Hague, The Netherlands, 22-24 October 1990. 14 p.

8. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation // SPEJ. 1978. June. P. 183-194.

9. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. New York; London: McGraw Hill book company, 1937. 782 p.

10. Economides M.J., Brand C.W., Frick T.P. Well configurations in anisotropic reservoirs // SPEFE. 1996. December. P. 257-262.

11. Rogers E.J., Economides M.J. The skin due to slant or deviated wells in permeability-anisotropic reservoirs // Paper SPE 37068 prepared for presentation at the SPE International Conference on Horizontal Well Technology. Calgary, Alberta, Canada, 18-20 November 1996. 5 p.

12. Cinco-Ley H., Miller F.G., Ramey H.J. Unsteady-state pressure distribution created by a directionally drilled well // JPT. 1975. November. P. 1392-1402.

13. Babu D.K., Odeh A.S. Productivity of a horizontal well // SPERE. 1989. November. P. 417-421. Paper SPE 18298.

14. Peaceman D.W. Representation of a horizontal well in numerical reservoir simulation // SPE Advanced Technology Series. 1993. Vol. 1, No. 1. P. 7-16. Paper SPE 21217.

15. Brigham W.E. Discussion of productivity of a horizontal well // SPERE. 1990. May. P. 254-255. Paper SPE 20394.

16. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well // SPERE.

1990. August. P. 437-438. Paper SPE 20799.

17. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well // SPERE.

1991. February. P. 149-150. Paper SPE 21611.

18. Babu D.K., Odeh A.S., Al-Khalifa A.J., McCann R.C. The relation ship between wellblock and well pressure in numerical reservoir simulation of horizontal wells // SPERE. 1991. August. P. 324-328.