ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОВОДИМОСТИ СКВАЖИННОГО СОЕДИНЕНИЯ. МЕТОД ПИСМЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы нефти и газа ■ Вып. 2(21) 2018 ■ http://oilgasjournal.ru

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОВОДИМОСТИ СКВАЖИННОГО СОЕДИНЕНИЯ. МЕТОД ПИСМЕНА

Э.С. Закиров, С.Н. Закиров, И.М. Индрупский, Д.П. Аникеев ИПНГ РАН, e-mail: ezakirov@ogri.ru

В данной работе, являющейся продолжением статьи авторов «О представлении скважины в 3D гидродинамической модели» в данном выпуске, рассматриваются методы Писмена и близкие к нему подходы к вычислению проводимости скважинного соединения.

Метод Писмена [1] является классическим и используется в качестве опции по умолчанию во всех существующих коммерческих симуляторах. Хотя метод имеет достаточно большое количество ограничивающих предположений, его применяют повсеместно, не проверяя справедливость лежащих в его основании предположений (рис. 1).

Основное предположение данного метода состоит в том, что полученное решение справедливо для одиночной вертикальной скважины в однородной сеточной области. Сеточный блок со скважиной вскрывается ею полностью по высоте. А сама скважина расположена строго в центре сеточного блока. Также предполагается, что скважина направлена вдоль вертикальной оси. Течение предполагается однофазным. Отсутствует взаимодействие с границами и другими скважинами.

Забойное давление отличается от давления в сеточном блоке, вскрытом скважиной. Эти два давления взаимосвязаны и эта связь проста в однофазном случае. В работе [1] Писмен показал, что вычисленное давление в сеточном блоке, вскрытом скважиной, не является средним давлением в этом блоке.

t

h

Рис. 1. Модель Писмена для вычисления индекса продуктивности скважины

Наиболее простая форма связи между давлениями в пласте и на забое получается в предположении однофазности и стационарности радиального течения:

р(г ) = р- + 1п 1 ' 2ккк

г

V у

(1)

В работе [ 1 ] Писмен ввел понятие эквивалентного радиуса сеточного блока г0. Было показано, что давления в сеточных блоках, соседних к скважинному сеточному блоку, приближенно удовлетворяют уравнению радиальной стационарной фильтрации:

р(г ) = Ро + 1п

2 пкк

(2)

V г0 У

Если г - радиальное положение, в котором вычисленное симулятором значение сеточного давления равняется радиальному давлению по формуле (1), то уравнение для определения г0 суть следующее:

д *

Р = Ро +

2пкк

-1п

(г Л

М?

(3)

V г0 у

Итак, искомый радиус г0 соответствует такому местоположению в пласте, для

которого вычисленное давление сеточного блока равно стационарному забойному давлению в скважине. Соответствующий эквивалентный радиус не является физической величиной, но представляет собой промежуточную переменную, актуализирующую

модель скважины:

2-кккро - р

д =

*

1п

(4)

о

V у

Здесь р0 - давление в сеточном блоке, вскрытом скважиной. Уравнение (4) может

рассматриваться как определение для задания г0.

Чтобы получить выражение для г0, используются два подхода: численные

эксперименты и приближенный аналитический подход. В последнем случае предполагается, что давления в сеточных блоках, окружающих сеточный блок со скважиной, в точности удовлетворяют радиальному течению. Численный подход дает точное значение, и вычисления проводятся путем сопоставления с известным аналитическим решением [2, 3]. Аналитический подход дает хорошее приближение в

м?

отдельных случаях, а в некоторых - приводит к значительным ошибкам.

Для прямоугольных сеточных блоков с анизотропной проницаемостью Писмен [4] определил Т следующим образом:

Т., =

А (5)

1п I ^1 + 5

г

где

Г = 0.28

(6)

4

41

У + 4

К

К

К \

Формулы Писмена справедливы при следующих ограничениях:

• они точны только для однофазного течения;

• поле проницаемости должно быть однородно-анизотропным;

• скважина вскрывает весь пласт, что означает справедливость формул только для двумерных случаев;

• сетка должна быть однородной;

• скважина является изолированной и располагается вдали от границ пласта или других скважин;

• скважина параллельна одной из осей;

• должен достигаться псевдостационарный или стационарный режим течения.

При этом в работе [4] показано, что модель (5)-(6) для скважины, расположенной в

центре изолированного прямоугольного сеточного блока, дает хорошее приближение к аналитическому решению для пятиточечного элемента разработки, если соотношение сторон блока а = Ау/Ах лежит в диапазоне [1/3,3]. Эта же модель дает плохие результаты за пределами данного интервала, поскольку нарушается неявное предположение о радиальности притока. Изолированность скважины означает, что на расстоянии Ютах (Ах, Ау) отсутствуют другие скважины, а границы пласта находятся на расстоянии не ближе 5Ах + 0.5А^/Ах по вертикали и 5Аz + 0.5Ах/Аz по горизонтали [5].

Следует отметить, что формулы (5)-(6) получены только для пятиточечного разностного шаблона на плоскости. Если шаблон меняется, то становятся справедливыми

аналоги формул (5)-(6). Так, для любого девятиточечного шаблона в работе [6] получена следующая формула для эквивалентного радиуса:

Г = 0.28073

Тх+т- Цлк (7)

4

* + 4

К

К 1

где Т Ту - проводимости вдоль осей х и у, вычисляемые по формулам:

Т =(к„)*у - ,

х Ах 3 Ду+ Ах Ах Ау

т=к)Ах -

Ау з Ау+Ах'

Ах Ау

Для девятиточечной схемы (Yanosik-McCracken) [7] последнее соотношение для однородно-изотропного случая с Ах = Ау сводится к формуле:

Г = 0.16208Ах . (8)

Аналогичный результат был опубликован в работе [8].

Вычисления по формулам (5)-(6) не обладают точностью, если скважина расположена не в центре ячейки. Или имеется несколько скважин внутри сеточного блока. Некоторые решения для смещенных скважин в пределах сеточной ячейки предложены в работах [9, 10]. В этом случае меняется шаблон расчета притока к скважине. Кроме непосредственно вскрытой скважиной ячейки в формулу для расчета дебита попадают соседние по латерали ячейки. При этом флюиды напрямую добываются/закачиваются из соседних сеточных ячеек.

Если появление нескольких скважин в сеточной ячейке не актуально для моделирования прогрессивных скважин, то прохождение траектории скважины через центр ячейки связано с реальной траекторией проводки скважины. В случае, когда скважина не проходит вдоль центра ячейки параллельно одной из координатных осей, расчет притока в такой скважинной ячейке будет иметь значительную погрешность. А это - вполне реальная ситуация с прогрессивной скважиной. Сказанное означает, что сеточная область должна подстраиваться под траекторию скважины, чтобы та в каждой вскрытой сеточной ячейке проходила строго через центр вдоль одной из координатных осей.

Однако такое требование приводит к затруднениям при расчете различных вариантов траектории скважины и при моделировании систем разработки на основе прогрессивных скважин. Кроме того, оно усложняет процедуры апскейлинга.

Другой важный вопрос - использование секторных моделей. Формула Писмена справедлива для изолированных скважин, когда до границ пласта имеется не менее 5 сеточных ячеек и 10 ячеек - до любой другой скважины [5]. Расположение скважины в углах сектора с учетом элемента симметрии расстановки скважин приводит к также трудно оцениваемой погрешности вычисления притока в скважинной ячейке.

При размещении скважины около непроницаемых границ области фильтрации ее можно моделировать с помощью прежних формул (5)-(6). Но в соответствии с [11], необходимо добавлять псевдоскин-фактор в соответствующем знаменателе формулы (5).

Альтернативное решение предложено в работе [12]. Выполняя часть аналитической работы вручную, отражая скважину от непроницаемых границ, авторы получили конечную формулу для расчета эквивалентного радиуса. Рассмотрим подробнее данный подход.

На рис. 2 представлен сеточный блок с номером 0 со своими соседями на нерегулярной блочно-центрированной сетке. Сеточный блок со скважиной называем внутренним сеточным блоком, если все границы пласта находятся вне границ данного сеточного блока. В противном случае блок считается граничным.

г

N I

, • i, Grid point

у ® J, Well or its Image

Tj ^ Distance trom grid point I to well j

aj Distance from the well to Its Jtf) image

Рис. 2. Сеточный блок 0 и окружающие его блоки

При пятиточечном шаблоне на приток в ячейку 0 влияют блоки с номерами от 1 до 4. При девятиточечном - все восемь соседних блоков. Рассмотрим пример учета граничных условий. Если одна граница пласта проходит по южной границе блока, т.е. пласт расположен к северу от линии хх, то блоки 1, 5 и 6 отсутствуют в разностном шаблоне. Аналогично, если дополнительно западная граница блока - граница пласта, т.е. пласт расположен к востоку от линии уу, то в шаблоне также отсутствуют блоки 4, 5 и 8.

Перейдем к определению параметров, связанных со скважиной. Пусть скважина в блоке 0 обозначается номером 1, а расстояние между узлом I и скважиной - обозначается ^. Если сеточный блок со скважиной является внутренним блоком, то в фиктивной

скважине нет необходимости. Но если сеточный блок является граничным, то определяют от 1 до 3 фиктивных скважин, в зависимости от числа внешних границ, проходящих через блок. Расстояние между скважиной под номером 1 и ее образом - обозначают а..

Далее для скважины, расположенной около границ внешней области, определялась одна вспомогательная переменная / :

I =

1, _ для _ скважины _ внутри _ пласта 1/2, _ для _ скважин ы _ около _ одной _ границы 1/4, _ для _ скважины _ около _ двух _ границ

(9)

Тогда для любой скважины формулу притока переопределяют следующим

образом:

Ч =

2лМ/(р0 - рк )

(, \

(10)

д 1п

г

Vу

При условии стационарности конечно-разностное уравнение для блока 0 имеет

вид:

кИ,

Ч = —Е Т (Р' - Р0 ) , Д !

где Т - проводимости между сеточными блоками 0 и I.

Для эквивалентного радиуса г0 в [12] выводят следующее выражение:

1Ет

(11)

Г0 =

ехр (- 21 )П

Ъ П

V а- у

0

>

В последней формуле произведение осуществляют по всем сеточным блокам г, окружающим сеточный блок 0 . А произведение по индексу ] выполняют по всем существующим образам скважины. Выражение не зависит от шаблона разностной аппроксимации. Оно выполнено как для пятиточечного, так и для девятиточечного разностного шаблона. Таким образом, для граничных сеточных ячеек со скважиной требуется некоторая модификация и формулы притока (10), и формулы для расчета эквивалентного радиуса (12).

Другой подход к решению рассматриваемой проблемы использует идею, предложенную в публикации [13]. В работе [12] ввели геометрический фактор О^.

Типичные значения геометрического фактора О^ приводятся в табл. 1. Связывая его с

эквивалентным радиусом по формуле:

г

О, =, (13)

А ¥

где А = АхАу - площадь сеточного блока со скважиной, для О№ получили следующее общее выражение:

лРЪт

г & 1

О=4-а а

ехр (- 4к/ Т

(14)

где а = а2аза4 и = (гг,1Гг,2Гг ,зГ,4 .

Таблица 1

Типичные значения геометрического фактора О для квадратного углового сеточного блока

Расположение скважины Шаблон дискретизации Значение

I- пятиточечный 0.63888

девятиточечный 0.61096

• пятиточечный 0.34254

девятиточечный 0.28585

_ пятиточечный 0.65045

девятиточечный 0.59500

Следуя работе [13], формулу притока с учетом фактора Ок записывают в виде:

4=21^, (15)

Ц ln

w e

r

V 'w у

где re =

A ^ „

— . Проводимость скважиннои ячеики тогда определяют просто как: f

ln

2nkhf

Tw . (16)

Gr

V rw у

Оба представленных метода в виде формул (10), (12) и (15), (16) могут быть реализованы в существующих симуляторах только на уровне предварительного расчета и импорта коэффициентов проводимости скважинных блоков. С учетом большого числа прогнозных расчетов с различными конфигурациями скважин такои подход представляется малореалистичным, поскольку требует автоматизированных методов вычисления скважинных проводимостеи. По этои причине варианты, предложенные, например, в работах [14, 15 и др.], в расчет не принимаются. Хотя они и являются более точными, годными к применению на неравномерных сетках.

Статья написана в рамках выполнения государственного задания (тема «Научное обоснование новых экологически чистых технологий разработки месторождений углеводородов в сложных горно-геологических условиях на основе SD-компьютерных экспериментов», № АААА-А16-116022510270-1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation // SPEJ. 1978. Ju^. P. 183-194.

2. Вахитов Г.Г. Решение задач подземноИ гидродинамики методом конечных разностеИ // Труды ВНИИнефть. 1957. Вып. 10. С. 53-88.

3. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов. М.: Гостоптехиздат, 1963. 216 с.

4. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability // SPEJ. 1983. Junе. P. 531-543.

5. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation. Part 3. - Off center and multiple wells within a well-block // SPERE. 1990. Vol. 5, No. 2. 6 p.

6. Shiralkar G.S. Calculation of flowing well pressure in reservoir simulation using nine-point differencing // J. Canad. Petrol. Technol. 1989. Vol. 28, No. 6. P. 73-82.

7. Yanosik J.L., McCracken T.A. A nine-point finite-difference reservoir simulator for realistic predictions of adverse mobility ratio displacements // SPEJ. 1979. August. P. 253-262.

8. Kuniansky J., Hillesta J.G. Reservoir simulation using bottomhole pressure boundary conditions // SPEJ. 1980. December. P. 473-486.

9. Agaev G.S. Improved technique for off-center well modelling in multidimensional reservoir simulation // Paper SPE 35532 prepared for presentation at the European 3D Modelling Conference. Stavanger, Norway, 16-17 April 1996. 6 p.

10. Su H.J. Modelling of off-center wells in reservoir simulation // SPE Reservoir Engineering. 1995. P. 47-51.

11. Chen G., Tehrani D.H., Peden J.M. Calculation of well productivity in a reservoir simulator (I) // Paper SPE 29121 prepared for presentation at the 13th SPE Symposium on Reservoir Simulation. San Antonio, Texas, USA, 12-15 February 1995. 15 p.

12. Abou-Kassem J.H., Aziz K. Analytical well models for reservoir simulation // SPEJ. 1985. August. P. 573-579.

13. Au A.D.K., Behie A., Rubin B., Vinsome K. Techniques for fully implicit reservoir simulation // Paper SPE 9302 prepared for presentation at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Dallas, Texas, USA, 21-24 September 1980. 12 p.

14. Ding Y., Renard G. A new representation of wells in numerical reservoir simulation // Paper SPE 25248 prepared for presentation SPE Reservoir Engineering. 1994. Vol. 9, No. 2. P. 140-144.

15. Klausen R.A., Aavatsmark I. Connection transmissibility factors in reservoir simulation for slanted wells in 3D grids // Paper prepared for presentation at the 7th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. Baveno, Italy, 5-8 September 2000.