Актуальные проблемы нефти и газа ■ Вып. 2(21) 2018 ■ http://oilgasjournal.ru
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОВОДИМОСТИ СКВАЖИННОГО СОЕДИНЕНИЯ. МЕТОД ПИСМЕНА
Э.С. Закиров, С.Н. Закиров, И.М. Индрупский, Д.П. Аникеев ИПНГ РАН, e-mail: ezakirov@ogri.ru
В данной работе, являющейся продолжением статьи авторов «О представлении скважины в 3D гидродинамической модели» в данном выпуске, рассматриваются методы Писмена и близкие к нему подходы к вычислению проводимости скважинного соединения.
Метод Писмена [1] является классическим и используется в качестве опции по умолчанию во всех существующих коммерческих симуляторах. Хотя метод имеет достаточно большое количество ограничивающих предположений, его применяют повсеместно, не проверяя справедливость лежащих в его основании предположений (рис. 1).
Основное предположение данного метода состоит в том, что полученное решение справедливо для одиночной вертикальной скважины в однородной сеточной области. Сеточный блок со скважиной вскрывается ею полностью по высоте. А сама скважина расположена строго в центре сеточного блока. Также предполагается, что скважина направлена вдоль вертикальной оси. Течение предполагается однофазным. Отсутствует взаимодействие с границами и другими скважинами.
Забойное давление отличается от давления в сеточном блоке, вскрытом скважиной. Эти два давления взаимосвязаны и эта связь проста в однофазном случае. В работе [1] Писмен показал, что вычисленное давление в сеточном блоке, вскрытом скважиной, не является средним давлением в этом блоке.
t
h
Рис. 1. Модель Писмена для вычисления индекса продуктивности скважины
Наиболее простая форма связи между давлениями в пласте и на забое получается в предположении однофазности и стационарности радиального течения:
р(г ) = р- + 1п 1 ' 2ккк
г
V у
(1)
В работе [ 1 ] Писмен ввел понятие эквивалентного радиуса сеточного блока г0. Было показано, что давления в сеточных блоках, соседних к скважинному сеточному блоку, приближенно удовлетворяют уравнению радиальной стационарной фильтрации:
р(г ) = Ро + 1п
2 пкк
(2)
V г0 У
Если г - радиальное положение, в котором вычисленное симулятором значение сеточного давления равняется радиальному давлению по формуле (1), то уравнение для определения г0 суть следующее:
д *
Р = Ро +
2пкк
-1п
(г Л
М?
(3)
V г0 у
Итак, искомый радиус г0 соответствует такому местоположению в пласте, для
которого вычисленное давление сеточного блока равно стационарному забойному давлению в скважине. Соответствующий эквивалентный радиус не является физической величиной, но представляет собой промежуточную переменную, актуализирующую
модель скважины:
2-кккро - р
д =
*
1п
(4)
о
V у
Здесь р0 - давление в сеточном блоке, вскрытом скважиной. Уравнение (4) может
рассматриваться как определение для задания г0.
Чтобы получить выражение для г0, используются два подхода: численные
эксперименты и приближенный аналитический подход. В последнем случае предполагается, что давления в сеточных блоках, окружающих сеточный блок со скважиной, в точности удовлетворяют радиальному течению. Численный подход дает точное значение, и вычисления проводятся путем сопоставления с известным аналитическим решением [2, 3]. Аналитический подход дает хорошее приближение в
м?
отдельных случаях, а в некоторых - приводит к значительным ошибкам.
Для прямоугольных сеточных блоков с анизотропной проницаемостью Писмен [4] определил Т следующим образом:
Т., =
А (5)
1п I ^1 + 5
г
где
Г = 0.28
(6)
4
41
У + 4
К
К
К \
Формулы Писмена справедливы при следующих ограничениях:
• они точны только для однофазного течения;
• поле проницаемости должно быть однородно-анизотропным;
• скважина вскрывает весь пласт, что означает справедливость формул только для двумерных случаев;
• сетка должна быть однородной;
• скважина является изолированной и располагается вдали от границ пласта или других скважин;
• скважина параллельна одной из осей;
• должен достигаться псевдостационарный или стационарный режим течения.
При этом в работе [4] показано, что модель (5)-(6) для скважины, расположенной в
центре изолированного прямоугольного сеточного блока, дает хорошее приближение к аналитическому решению для пятиточечного элемента разработки, если соотношение сторон блока а = Ау/Ах лежит в диапазоне [1/3,3]. Эта же модель дает плохие результаты за пределами данного интервала, поскольку нарушается неявное предположение о радиальности притока. Изолированность скважины означает, что на расстоянии Ютах (Ах, Ау) отсутствуют другие скважины, а границы пласта находятся на расстоянии не ближе 5Ах + 0.5А^/Ах по вертикали и 5Аz + 0.5Ах/Аz по горизонтали [5].
Следует отметить, что формулы (5)-(6) получены только для пятиточечного разностного шаблона на плоскости. Если шаблон меняется, то становятся справедливыми
аналоги формул (5)-(6). Так, для любого девятиточечного шаблона в работе [6] получена следующая формула для эквивалентного радиуса:
Г = 0.28073
Тх+т- Цлк (7)
4
* + 4
К
К 1
где Т Ту - проводимости вдоль осей х и у, вычисляемые по формулам:
Т =(к„)*у - ,
х Ах 3 Ду+ Ах Ах Ау
т=к)Ах -
Ау з Ау+Ах'
Ах Ау
Для девятиточечной схемы (Yanosik-McCracken) [7] последнее соотношение для однородно-изотропного случая с Ах = Ау сводится к формуле:
Г = 0.16208Ах . (8)
Аналогичный результат был опубликован в работе [8].
Вычисления по формулам (5)-(6) не обладают точностью, если скважина расположена не в центре ячейки. Или имеется несколько скважин внутри сеточного блока. Некоторые решения для смещенных скважин в пределах сеточной ячейки предложены в работах [9, 10]. В этом случае меняется шаблон расчета притока к скважине. Кроме непосредственно вскрытой скважиной ячейки в формулу для расчета дебита попадают соседние по латерали ячейки. При этом флюиды напрямую добываются/закачиваются из соседних сеточных ячеек.
Если появление нескольких скважин в сеточной ячейке не актуально для моделирования прогрессивных скважин, то прохождение траектории скважины через центр ячейки связано с реальной траекторией проводки скважины. В случае, когда скважина не проходит вдоль центра ячейки параллельно одной из координатных осей, расчет притока в такой скважинной ячейке будет иметь значительную погрешность. А это - вполне реальная ситуация с прогрессивной скважиной. Сказанное означает, что сеточная область должна подстраиваться под траекторию скважины, чтобы та в каждой вскрытой сеточной ячейке проходила строго через центр вдоль одной из координатных осей.
Однако такое требование приводит к затруднениям при расчете различных вариантов траектории скважины и при моделировании систем разработки на основе прогрессивных скважин. Кроме того, оно усложняет процедуры апскейлинга.
Другой важный вопрос - использование секторных моделей. Формула Писмена справедлива для изолированных скважин, когда до границ пласта имеется не менее 5 сеточных ячеек и 10 ячеек - до любой другой скважины [5]. Расположение скважины в углах сектора с учетом элемента симметрии расстановки скважин приводит к также трудно оцениваемой погрешности вычисления притока в скважинной ячейке.
При размещении скважины около непроницаемых границ области фильтрации ее можно моделировать с помощью прежних формул (5)-(6). Но в соответствии с [11], необходимо добавлять псевдоскин-фактор в соответствующем знаменателе формулы (5).
Альтернативное решение предложено в работе [12]. Выполняя часть аналитической работы вручную, отражая скважину от непроницаемых границ, авторы получили конечную формулу для расчета эквивалентного радиуса. Рассмотрим подробнее данный подход.
На рис. 2 представлен сеточный блок с номером 0 со своими соседями на нерегулярной блочно-центрированной сетке. Сеточный блок со скважиной называем внутренним сеточным блоком, если все границы пласта находятся вне границ данного сеточного блока. В противном случае блок считается граничным.
г
N I
, • i, Grid point
у ® J, Well or its Image
Tj ^ Distance trom grid point I to well j
aj Distance from the well to Its Jtf) image
Рис. 2. Сеточный блок 0 и окружающие его блоки
При пятиточечном шаблоне на приток в ячейку 0 влияют блоки с номерами от 1 до 4. При девятиточечном - все восемь соседних блоков. Рассмотрим пример учета граничных условий. Если одна граница пласта проходит по южной границе блока, т.е. пласт расположен к северу от линии хх, то блоки 1, 5 и 6 отсутствуют в разностном шаблоне. Аналогично, если дополнительно западная граница блока - граница пласта, т.е. пласт расположен к востоку от линии уу, то в шаблоне также отсутствуют блоки 4, 5 и 8.
Перейдем к определению параметров, связанных со скважиной. Пусть скважина в блоке 0 обозначается номером 1, а расстояние между узлом I и скважиной - обозначается ^. Если сеточный блок со скважиной является внутренним блоком, то в фиктивной
скважине нет необходимости. Но если сеточный блок является граничным, то определяют от 1 до 3 фиктивных скважин, в зависимости от числа внешних границ, проходящих через блок. Расстояние между скважиной под номером 1 и ее образом - обозначают а..
Далее для скважины, расположенной около границ внешней области, определялась одна вспомогательная переменная / :
I =
1, _ для _ скважины _ внутри _ пласта 1/2, _ для _ скважин ы _ около _ одной _ границы 1/4, _ для _ скважины _ около _ двух _ границ
(9)
Тогда для любой скважины формулу притока переопределяют следующим
образом:
Ч =
2лМ/(р0 - рк )
(, \
(10)
д 1п
г
Vу
При условии стационарности конечно-разностное уравнение для блока 0 имеет
вид:
кИ,
Ч = —Е Т (Р' - Р0 ) , Д !
где Т - проводимости между сеточными блоками 0 и I.
Для эквивалентного радиуса г0 в [12] выводят следующее выражение:
1Ет
(11)
Г0 =
ехр (- 21 )П
Ъ П
V а- у
0
>
В последней формуле произведение осуществляют по всем сеточным блокам г, окружающим сеточный блок 0 . А произведение по индексу ] выполняют по всем существующим образам скважины. Выражение не зависит от шаблона разностной аппроксимации. Оно выполнено как для пятиточечного, так и для девятиточечного разностного шаблона. Таким образом, для граничных сеточных ячеек со скважиной требуется некоторая модификация и формулы притока (10), и формулы для расчета эквивалентного радиуса (12).
Другой подход к решению рассматриваемой проблемы использует идею, предложенную в публикации [13]. В работе [12] ввели геометрический фактор О^.
Типичные значения геометрического фактора О^ приводятся в табл. 1. Связывая его с
эквивалентным радиусом по формуле:
г
О, =, (13)
А ¥
где А = АхАу - площадь сеточного блока со скважиной, для О№ получили следующее общее выражение:
лРЪт
г & 1
О=4-а а
ехр (- 4к/ Т
(14)
где а = а2аза4 и = (гг,1Гг,2Гг ,зГ,4 .
Таблица 1
Типичные значения геометрического фактора О для квадратного углового сеточного блока
Расположение скважины Шаблон дискретизации Значение
I- пятиточечный 0.63888
девятиточечный 0.61096
• пятиточечный 0.34254
девятиточечный 0.28585
_ пятиточечный 0.65045
девятиточечный 0.59500
Следуя работе [13], формулу притока с учетом фактора Ок записывают в виде:
4=21^, (15)
Ц ln
w e
r
V 'w у
где re =
A ^ „
— . Проводимость скважиннои ячеики тогда определяют просто как: f
ln
2nkhf
Tw . (16)
Gr
V rw у
Оба представленных метода в виде формул (10), (12) и (15), (16) могут быть реализованы в существующих симуляторах только на уровне предварительного расчета и импорта коэффициентов проводимости скважинных блоков. С учетом большого числа прогнозных расчетов с различными конфигурациями скважин такои подход представляется малореалистичным, поскольку требует автоматизированных методов вычисления скважинных проводимостеи. По этои причине варианты, предложенные, например, в работах [14, 15 и др.], в расчет не принимаются. Хотя они и являются более точными, годными к применению на неравномерных сетках.
Статья написана в рамках выполнения государственного задания (тема «Научное обоснование новых экологически чистых технологий разработки месторождений углеводородов в сложных горно-геологических условиях на основе SD-компьютерных экспериментов», № АААА-А16-116022510270-1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation // SPEJ. 1978. Ju^. P. 183-194.
2. Вахитов Г.Г. Решение задач подземноИ гидродинамики методом конечных разностеИ // Труды ВНИИнефть. 1957. Вып. 10. С. 53-88.
3. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов. М.: Гостоптехиздат, 1963. 216 с.
4. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability // SPEJ. 1983. Junе. P. 531-543.
5. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation. Part 3. - Off center and multiple wells within a well-block // SPERE. 1990. Vol. 5, No. 2. 6 p.
6. Shiralkar G.S. Calculation of flowing well pressure in reservoir simulation using nine-point differencing // J. Canad. Petrol. Technol. 1989. Vol. 28, No. 6. P. 73-82.
7. Yanosik J.L., McCracken T.A. A nine-point finite-difference reservoir simulator for realistic predictions of adverse mobility ratio displacements // SPEJ. 1979. August. P. 253-262.
8. Kuniansky J., Hillesta J.G. Reservoir simulation using bottomhole pressure boundary conditions // SPEJ. 1980. December. P. 473-486.
9. Agaev G.S. Improved technique for off-center well modelling in multidimensional reservoir simulation // Paper SPE 35532 prepared for presentation at the European 3D Modelling Conference. Stavanger, Norway, 16-17 April 1996. 6 p.
10. Su H.J. Modelling of off-center wells in reservoir simulation // SPE Reservoir Engineering. 1995. P. 47-51.
11. Chen G., Tehrani D.H., Peden J.M. Calculation of well productivity in a reservoir simulator (I) // Paper SPE 29121 prepared for presentation at the 13th SPE Symposium on Reservoir Simulation. San Antonio, Texas, USA, 12-15 February 1995. 15 p.
12. Abou-Kassem J.H., Aziz K. Analytical well models for reservoir simulation // SPEJ. 1985. August. P. 573-579.
13. Au A.D.K., Behie A., Rubin B., Vinsome K. Techniques for fully implicit reservoir simulation // Paper SPE 9302 prepared for presentation at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Dallas, Texas, USA, 21-24 September 1980. 12 p.
14. Ding Y., Renard G. A new representation of wells in numerical reservoir simulation // Paper SPE 25248 prepared for presentation SPE Reservoir Engineering. 1994. Vol. 9, No. 2. P. 140-144.
15. Klausen R.A., Aavatsmark I. Connection transmissibility factors in reservoir simulation for slanted wells in 3D grids // Paper prepared for presentation at the 7th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. Baveno, Italy, 5-8 September 2000.