Вычисление геодезических линий с использованием квадратичных форм в системах автоматизированного проектирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

щ Информационные технологии в Mai-.

I ..........' I

G А

Рис. 3. Фазовый портрет системы

Для анализа деятельности трехуровневой иерархической структуры системы защиты в дальнейшем предполагается использовать критерий эффективности, использованный С.П. Капицей с соавторами [5]:

Бр.ч.г = (э^+ЬО * (Эга+Ьз)* (эзР+Ьз) -Ь^Ьз. где $] - эффективность деятельности элементов уровня X; э2 - эффективность деятельности элементов уровня У; $3 -эффективность деятельности элементов уровня I. Коэффициенты Ы, Ь2, ЬЗ - некоторые поправочные коэффициенты.

Библиографический список

1. Росс Эшби. Введение в кибернетику. - КомКнига, 2006.

2. Стеффард Бир. Кибернетика и управление производством. - М: Наука, 1963.

3. Шилейко A.B., Кочнев В.Ф., Химушин Ф.Ф. Введение в информационную теорию систем / Под ред. Шилейко A.B. -дио и связь, 1985.

4. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. - М: Наука, 1984.

5. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. - М.: Наука, 1997.

/: Ра-

Е„В.Батурина, П.Л.Плонский

Вычисление геодезических линий с использованием квадратичных форм в системах автоматизированного проектирования

В системах автоматизированного проектирования, имеющих дело с такими геометрическими объектами, как кривые, поверхности, тела, большое применение находят геодезические линии. Это объясняется тем, что геодезические линии на поверхности обладают некоторыми замечательными свойствами. Во-первых, они дают кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности среди всех кривых на поверхности, соединяющих эти точки. Во-вторых, главная нормаль в каждой точке геодезической совпадает с направлением нормали к поверхности в этой точке.

Так как в общем случае система обыкновенных дифференциальных уравнений, задающая геодезические линии на поверхности, довольно громоздка, и ее численное решение при моделировании занимает немало времени, то актуальной является задача упрощения этой системы для каких-либо классов поверхностей, поиска интегрируемых комбинаций, заменяющих собой эту систему. Данная статья как раз посвящена этому вопросу. Исследуется проблема существования первых интегралов системы, представляющих собой выражения, которые содержат неизвестные функции уравнений системы и их производные, порядок которых меньше порядка системы и которые обращаются в константу только на решениях системы. Таким образом, первые интегралы эквивалентны системе и понижают ее порядок, по крайней мере, на единицу, что часто значительно облегчает ее решение.

Поверхность в пространстве с системой декартовых координат х,у,г будет задаваться в самом общем параметрическом виде:

Информационные технологии в машиностроении

г = г(и, у) = {.ф/, у), >(//, У), у)} , (1)

где параметры и и у изменяются в некоторой замкнутой плоской области. Так как каждой паре значений параметров и и V из этой области взаимно однозначно (может быть, за некоторым исключением) соответствует точка поверхности, то их еще называют криволинейными координатами на поверхности (1). Если рассмотреть на ней линии, вдоль которых и или V постоянно, то получим координатные и или у линии на поверхности соответственно [1].

Введем следующие обозначения для частных производных функции г(и,у), дающей параметрическое задание поверхности оправки; индекс 1 внизу функции будет обозначать дифференцирование по параметру и , индекс 2 - по параметру у.

Например:

Г]

дг

Г12

д2г

Г 212

&Г

дъг

ои оиоу оудиду диду

Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности имеют вид

и т.д.

е = 8п Ч7'1'^} Р

(п,г2) Ст = 822 =(Г2,Г2).

$12 $21

Тогда произвольная геодезическая линия на поверхности задается системой дифференциальных уравнений:

~ <зь щ

с(и <3.у

+ 2Ц; —

+ П

(2)

0.

¿¡я ¿/у

Здесь через Л" обозначена длина дуги вдоль геодезической, а через Г.; - символы Кристоффеля 2-го рода, которые алгоритмически просто могут быть вычислены по формуле

гМ-1 у

Гг-к*Г

г 1,/

4

Г 2

,Ш = 1,2.

(квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов, угловые скобки - смешанное произведение трех векторов) [1]. В развернутом виде символы Кристоффеля имеют следующий вид:

Г]

■111

Г.

г

i -V

п

1

2а2

1 21

(„дЕ пг.дЕ _ сЕ Л

О--2Ь — + Е —

V ди ди ду)

Г Ж г,двЛ

О--Ь — ;

ду ди )

2сг-

1

2а2 , 1 '

... дСт _ „ дЕ дО

О---20 — + Е—

ди ду ду

2сг

- Г

12 21

Г2 =

А

гдЕ р —

V ди 1

дг дЕл 2Е— + Г—

Г)и ду

2ст-

ой

ЕдО_рдЕ\ ди ду

у

2о"

ди ду

су J

где

а - л/ЕС - Е: .

с(и ¿¡У

Если точка на геодезической линии не особая, то есть — и — одновременно не обращаются в ноль, то в ок-

(1$ го-

рестности этой точки в случае, например, когда

Ф (¡8

Ф О, по теореме об обратной функции л1 можно выразить

через V и мы получим задание геодезической с помощью одной функции и = //(¿'(у)) от аргумента у . Тогда сис-

ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (28) 2008

93

Щ Информационные технологии в машиностроении

тема уравнений (3), задающих геодезическую линию, будет эквивалентна одному уравнению относительно неизвестной функции /./(у) . Чтобы получить это уравнение, нужно проделать следующую процедуру сведения системы к одному уравнению.

Запишем производные переменной и по 5 в виде

с!п _ йи (¿ V сС~ и _ а( 2и ( ¿/у V Ли сГ'у ¿/у сЬ (1$' ¿/.г ¿/V2 I) б/у ск1 и выразим вторую производную параметра у по 5 из второго уравнения системы (2), подставив в него выражение

<1и

(Ь

из (3):

Ф

А)

-277

2 с!и

И)

Подставляя теперь (3) и (4) в первое уравнение системы (2), получаем

Сокращая данное уравнение на

-Г:

, приходим к одному дифференциальному уравнению, эквивалентному систе-

ме (2), относительно неизвестной функции и от аргумента у:

б/2//

¿/у

- Г2 111

(Ли

+ \Л\-2 Г

+[2 г;2-г^+п

а\>

О

'¿й/V

\¿V) "

Теория геодезических линий и геодезических отображений интересна с прикладной точки зрения и для современных исследований, поскольку движение многих типов механических систем в сплошной среде часто происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии некоторых пространств трех и более измерений, определяемых энергетическими режимами, при которых протекают процессы [2].

Например, на цилиндре расстояние между двумя любыми точками М1 и М-, измеряется длинами отрезков прямолинейных образующих, дуг круговых сечений и винтовых линий, соединяющих эти точки. Для доказательства разрежем цилиндр по одной из его прямолинейных образующих, а затем изогнем на плоскость Е~ [1].

В результате прямолинейные образующие не претерпят никаких изменений, длины же дуг названных кривых сохранятся, но сами дуги станут отрезками прямых линий. Поэтому отрезок прямой, соединяющий точки М] и М, после восстановления цилиндра в прежнем виде, предстанет в виде кратчайшей - отрезка прямолинейной образующей, дуги кругового сечения или винтовой линии. Все эти кривые носят название геодезических линий цилиндра.

Окружности большого радиуса сферы 82 и круговые сечения цилиндра относятся к так называемом4/ классу замкнутых кривых, каждая из которых без изломов возвращается к исходной точке и не пересекает саму себя. Таким образом, на сфере через каждую точку проходит бесчисленное множество замкнутых геодезических, на цилиндре же - только одна.

Для вычисления расстояния между двумя точками на поверхности выпуклого многогранника поступают аналогичным образом. А именно, рассматривается развертка многогранника и две данные точки соединяются кратчайшей, которая состоит из прямолинейных отрезков в гранях развертки. Так, например, в случае куба выбирают из одиннадцати различных его разверток ту, которая позволяет соединить заданные наперед точки отрезком прямой.

Библиографический список

1. Буземан Г. Геометрия геодезических. - М.: Физматгиз, 1962.

2. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. - М.: Мир, 1982,