CC BY
19
Е.В.Батурина, П.Л.Пдонский
Построение геометрических примитивов в САПР на основе геодезических линий
В современных конструкторских системах для моделирования геометрического облика проектируемых изделий широко применяется моделирование поверхностей второго порядка. Базовый набор используемых геометрических объектов состоит из типовых элементов формы - призмы, цилиндра, конуса, сферы и т.д. Например, для построения сферы
с уравнением (х-а)~ +(у-а)~ +{г~с)2 = 11 необходимо знать хотя бы три точки, принадлежащие ей, например, (х,,у\,),(х2,у2,22),(х.Тогда составляется система уравнений вида
| (х-хо'+Су-у
!{ (х - х 2 )2 + (у - у 2 )2 + ^ - ъ2 )2 = Я, (1)
'[(* - хз)2 + (У - Уз)2 + (2 - = Я Применяя формулы сокращенного умножения и раскрывая скобки, получим линейную систему уравнений:
2х(хл - х2) + 2у(у, - у2) + 22(2, - 22) = х2 - х2 + у] - у2 + 2,2 - ъ2;
<{ 2х(х, - х3) + 2у(у! - у з) + 2ъ{ъх - 23) = х2 - х2 + у2 - у2 + г2 - г2 ;
!|^2х(х2 -х3) + 2у(у2 -у3) + 2г(г2 -23) = х2 -х2 +у2 -у2 + г; -г2.
Используя формулы Крамера, находим значения переменных (х, что дает возможность нахождения уравнения поверхности 2-го порядка:
ХГ - х2 + У? - У2 + - 22 2<у, - у2) 2(г, - 22) ХГ" хз + У\ ~ Уз2 + " 2з2 2(у1 - у.) 2(г, - ъъ) Х2 " Х3 + У? ~ Уз + 22 " 23 2(у2 - у, ) 2^2 - Z3 )
2(х1 -х2) 2(у1 -У2) 2(г, - г2)
2(х] -х2) 2(У1 -Уз) 2(2,-
2(х, -х2) 2 (у 2 -Уз) 2(г2. ■23)
2(х1 -X 2) 2 2 2 X, -х2+у, ^22 -У2+21 "22 2(2,- 2,)
2(х, -X 2) 2 2,2 х, -х3 + у, 2 2 2 "Уз+21 _23 2(2,-
2(х1 -X 2> 2 2 2 х2-х: + у; 2 2 0 2(22 -
2(х, -х2) 2(у1 -У2) 2(2,- 22)
2(х1 ~х2) 2(у1 -Уз) 2(2] - *з)
2(Х] -х2) 2(у2 -Уз) 2(22- -23)
2(х, - X 2) 2(у, -У2) 7 0 о ХГ - Х2 + УГ - 2 0 У2 + 21
2(х1 - X г) 2(У1-У3) ООО Х1 "Хз" + У1 - О 2 Уз"+ 2," -2Г
2(х, - X г) 2(У2-У3) 2 2,2 х2 " хз + у2 - 2 2 Уз+Ч -2?
2(х!-х2) 2(у, -у2) 2{ъх-ъ2) 2(х]-х2) 2(у1 -у3) 2(г, -23) 2(х]-х2) 2(у2 -у3) 2(г2-г3)
Следует отметить, что в настоящее время существует тенденция к уменьшению хранимой информации и увеличению вычислений. Это связано с общими направлениями развития вычислительной техники. Для большей компактности и удобности вычислений при построении геометрических примитивов можно использовать основные свойства и математический аппарат геодезических линий.
Рассмотрим математический аппарат геодезических линий.
Поверхность в пространстве с системой декартовых координат х,у,г будет задаваться в самом общем параметрическом виде:
г = г(и, у) = {х(//, у), >{?/, у), г(и, у)} , где параметры и и у изменяются в некоторой замкнутой плоской области. Так как каждой паре значений параметров и и V из этой области взаимно однозначно (может быть, за некоторым исключением) соответствует точка поверхности, то их еще называют криволинейными координатами на поверхности (1). Если рассмотреть на ней линии, вдоль которых и или у постоянны, то получим координатные и или v линии на поверхности соответственно [2].
Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности имеют вид
Е
gy
\Г1,Гг), G = g22 = (г2,г2).
F = #12 = £21
Тогда произвольная геодезическая линия на поверхности задается системой дифференциальных уравнений:
d'u
С du Y ^ du
+ zy 12 ~г ds
ds
(dv\ v ds
+ 21 n
j du dv
ds ds
+n
di
ds )
— 0;
0.
(2)
При этом необходимо заметить, что верна следующая лемма.
Лемма 1.1. Длина кривой не зависит от выбора параметра на кривой.
Мы видим, что это определение длины удовлетворяет естественным требованиям: длина двух последовательно пройденных кривых равна сумме их длин и для отрезка прямой длина совпадает с расстоянием между концами отрезка.
Геодезические линии (геодезические) - линии в многообразии, достаточно малые дуги которых являются в некотором смысле кратчайшими путями между их концами. То есть от выбора параметров геодезической линии не зависит ее длина.
Тогда уравнения (2) можно записать в виде
/ . \3 _/ , \2
d~u
n
Разрешая этого уравнение, получаем необходимые нам точки.
Не всякая дуга геодезической линии является на поверхности кратчайшим путём; например, на сфере дуга большого круга, большая полуокружности, не будет кратчайшей между своими концами.
Свойство 1. Главные нормали геодезических являются нормалями к поверхности.
Свойство 2. На всяком достаточно малом куске поверхности можно провести через две точки одну и только одну
дугу геодезической линии, так же как и на плоскости Е2 через две точки можно провести одну и только одну соединяющую их прямую линию.
Свойство 3. На всяком куске поверхности можно построить угол с геодезическими сторонами, таким же образом и так же его переносить, как угол с прямолинейными сторонами на плоскости Е2. Это свойство в первой своей части для сферы и цилиндра очевидно. Относительно второй части заметим, что движение на сфере осуществляется за счет вращения пространства вокруг ее центра, а на цилиндре - за счет параллельных переносов пространства в направлении его прямолинейных образующих, поворотов пространства в плоскостях, перпендикулярных этим образующим, и, наконец, композиций этих преобразований.
Свойство 4. Гладкая кривая на поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда обладает параллельным полем касательных прямых. Это свойство позволяет рассматривать геодезические линии на поверхностях аффинного пространства.
Применение геодезических способно упростить задачу построения геометрических примитивов, так как становятся известны значения квадратичных форм поверхностей. Таким образом, геодезические линии становятся мощным инструментом построения поверхностей второго порядка. Следует отметить, что геодезические линии позволяют описать допуски размера и положения с меньшими затратами, чем это предлагается в других подходах.
Библиографический список
1. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М., 2000.
2. Погфелов A.B. Лекции по дифференциальной геометрии. - М„ 2002.
А.В.Ермаков
Катодные кожуха шпангоутного типа для серийных электролизёров
Технико-экономические показатели электролизера для производства алюминия, а также его срок службы в значительной степени зависят не только от ведения технологии электролиза и физико-химических свойств материалов футеровки, но и от конструкции катодного кожуха.
Силовые элементы катодного кожуха воспринимают различные нагрузки, возникающие при эксплуатации электролизера, а именно:
- от веса металлоконструкций катодного кожуха, а также анодного устройства (в случае опирания его на катод), веса материалов футеровки с пропиткой ее фторсолями и составляющими расплава;
- давление на стенки электролизной ванны, вызванное расширением материалов футеровки вследствие их пропитки компонентами электролита;
- тепловые напряжения, возникающие из-за температурных колебаний процесса электролиза, а также применения в конструкции футеровки материалов с разной теплопроводностью, особенно усиливающиеся в межсезонный период, когда разница ночных и дневных температур максимальна;
- динамические нагрузки от обслуживающей техники, передающиеся через перекрытия рабочей отметки.
На основании этого металлоконструкция катодного устройства должна иметь максимальную ремонтопригодность, достаточно жесткую, прочную конструкцию, гася или компенсируя все перечисленные напряжения, обеспечивая продолжительную работоспособность электролизной ванны. Поэтому технические решения, закладываемые в конструкцию катодного устройства, должны быть направлены на эффективное решение поставленных задач.
Из всего многообразия катодных кожухов, созданных для разных типов электролизеров, можно выделить 3 основных типа конструкций: рамная, контрфорсная и шпангоутная.
Рамная конструкция катодного кожуха морально устарела, она самая старая из всех типов, но до сих пор применяется для оснащения электролизеров как с БТ, так и с ВТ одноэтажных серий электролиза.
Главные недостатки, характеризующие конструкцию рамных кожухов - низкая ремонтопригодность, увели-ченное время капитального ремонта и относительно
невысокий срок службы, особенно на электролизерах с верхним токоподводом, - делают дальнейшее использование данной конструкции, по нашему мнению, не целесообразным.
Контрфорсные кожухи ввиду конструктивных особенностей применяются только для двухэтажных серий электролиза. Контрфорсная конструкция катодного кожуха неплохо зарекомендовала себя на многих заводах. Ее отличительные особенности - достаточно высокие сроки службы, конкурирующие с катодными кожухами шпангоутного типа, высокая ремонтопригодность. Минусом такой конструкции является большое количество составляющих и как следствие большие, по сравнению со шпангоутными кожухами, сроки сборки и монтажа, что приводит к увеличению затрат при выполнении данных операций.
Шпангоутная конструкция катодного кожуха является универсальной как для одноэтажных, так и для двухэтажных серий электролиза и разделяется на два основных типа: цельносварной, когда шпангоуты привариваются к стенкам и днищу электролизной ванны, и с раздельным силовым каркасом и электролизной ванной.
Цельносварной шпангоутный катодный кожух состоит из металлической обечайки, к которой приварены шпангоуты. Одним из основных минусов данной конструкции является ее низкая ремонтопригодность.
Металлоконструкция шпангоутного катодного кожуха с раздельным силовым каркасом состоит из силового каркаса, вынимающейся обечайки (ванны), фиксирующих ванну соединительных элементов, устанавливаемых между верхней частью шпангоутов и стенкой ванны. Данный тип катодных кожухов характеризуется упрощенным монтажом - демонтажом, высокой ремонтопригодностью и сроком службы. Понимая преимущества конструкций шпангоутных кожухов перед контр-форсными, многие заводы начали заменять во время капитального ремонта электролизеров контрфорсные кожухи на шпангоутные. Поэтому специалистами ОАО «СибВАМИ» было решено разрабатывать для серийного производства конструкции катодных кожухов шпангоутного типа.
Ввиду этого, дополнительно к разработанным двум конструкциям модернизированных электролизеров, ра-ботающих на силе тока 170кА и 175кА с контрфорсны-
