Выбор пространства сингулярных компонентов для обнаружения границ регионов на телевизионном изображении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Выбор пространства сингулярных компонентов для обнаружения границ регионов

на телевизионном изображении Насиров Ф.В.

Насиров Фуад Вагифович /Nasirov Fuad Vagifovich - аспирант, кафедра сетей и систем почтовой связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова, г. Одесса, Украина

Аннотация: в работе выполнен анализ пространств сингулярных компонент цифровых телевизионных изображений. Показано, что в отличие от пространств собственных векторов, независимо от ориентации и положения границы к, пространства факторных векторов ортогональны, и, следовательно, разделимы.

Ключевые слова: выделение границ, спектральный сингулярный анализ SSA, собственные векторы, факторные векторы.

Базовый метод SSA был разработан для анализа временных рядов и включает следующие этапы: 1) вложение - преобразование одномерного ряда в последовательность многомерных векторов, образующих матрицу вложения; 2) анализ главных компонент (Principal component analysis, PC А): сингулярное векторное разложение (Singular vector decomposition, SVD) ковариационной матрицы; 3) группировка -отбор главных компонент; 4) восстановление одномерного ряда. Сформированные группы главных компонент итерпретируются как тренд, периодические колебания либо шум. Для этого выбор главных компонент осуществляется на основании анализа собственных троек, полученных в результате

сингулярного векторного разложения. В состав собственной тройки входят: собственное число К . ковариационной матрицы S = XXх и, соответствующие ему, собственный [/ и факторный [/ =XTUj/*lfk~ векторы, где X - матрица вложения [1].

Следует отметить, что при анализе собственных троек, в основном, исследуются собственные значения и собственные вектора. Например, в [1] выполнен анализ трафика беспроводной компьютерной сети стандарта IEEE802.11. Отбор главных компонент тут проводился в два этапа. Сначала, основываясь на убывании собственных значений, были отобраны главные компоненты, вносящие наибольший вклад в исследуемый ряд. Затем среди них были отобраны те, соответствующие аддитивные сингулярные компоненты которых имели распределение наиболее близкое к исходному распределению.

В [2] предложено 3 метода для автоматической идентификации тренда. В первом решение о наличие тренда выносится путем вычисления коэффициента корреляции Кендалла между последовательностью элементов собственного вектора и участком монотонного натурального ряда Нм = К,...,М Во втором,

наличие тренда определяется по числу нулей в собственном векторе. Третий основывается на разложение собственного вектора в ряд Фурье.

Отметим, что для построения пространственного спектра изображения в качестве базисных можно использовать как собственные, так и факторные вектора. Однако, в задачах обработки и фильтрации цифровых изображений также, в основном, исследуются собственные вектора. Например, в [3, 4] представлено расширение базового метода SSA для анализа двумерных случайных процессов, 2D-SSA и его применение для обработки цифровых изображений. Основное отличие от базового метода заключается в принципе построения траекторной матрицы: изображение обходится прямоугольной маской, содержимое которой векторизуется по строкам. Из полученных векторов-столбцов формируется траекторная матрица изображения. На основании анализа собственных значений и собственных векторов, в [3] оценивается вклад каждой из первых 10 сингулярных компонент в восстановленное изображение, а также их влияние на качество фильтрации зашумленных и размытых изображений.

Из анализа научно-технических источников следует, что для выбора главных компонент в основном исследуются свойства собственных векторов, хотя форма факторных векторов более достоверно отражает характер распределения существенного признака на изображении и, соответственно, является более информативной для дальнейшего анализа. Поэтому целью данной работы является исследование отображения границ в пространствах сингулярных компонент и выбор пространства сингулярных компонент для обнаружения границ на телевизионном изображении.

Пусть, в общем случае, изображение сканируется квадратной маской со стороной m. Обозначим квадратную матрицу, такого же размера, как и маска, через C . Элементы этой матрицы - значения цвета пикселей в пределах маски. Если граница в пределах маски расположена горизонтально: пиксели верхних

к строк имеют значение цвета /|, а остальные ТП — к строк - /2 • В этом случае матрицу С можно представить в виде блочной матрицы СА ■

р и

С к =

к

где рй - прямоугольная матрица размерности к X ТП, с элементами р = /1; матрица размерности — к у* т с элементами qi. = /2.

Пусть /1 < ¡2 ■ Для упрощения дальнейших вычислений будем использовать матрицу С с

/р Л к

элементами С,-,- = С,-,- — /| : £ _

У У 1

\4-hJ

где рд - нулевая матрица размерности к х ¡11 :

(2 А - матрица размерности 4^1 —ку 111 с элементами = /2 — /|.

Рассмотрим случай, когда граница в пределах маски расположена вертикально: пиксели левых к столбцов имеют значение цвета /|. а остальные ТП — к столбцов — /2, </2. В этом случае

матрица С, С■ ■ — С■ ■ — /, будет иметь вид:

У У 1

где Ру — нулевая матрица размерности 111 х к :

у — прямоугольная матрица размерности 111 X к с элементами Ц ^ = /2 ~~ /| . Если же граница между двумя цветовыми регионами ориентирована, например, параллельно побочной диагонали, матрица С^ имеет к нулевых диагоналей.

Произведем векторизацию матриц СА, Су и С^ по строкам с разворотами. Для маски с горизонтальной границей получим матрицу-строку:

р/, - с,, гс;

где Р0 - нулевая матрица строка размерности 1х т • к ;

Рс - матрица-строка размерности 1 X 111 С? ~ кс элементами = /2 ~~ /| •

Для матрицы ^ может быть построена матрица вложения хЛ размерности Л х 2 — Л + I , где

Ь - размер окна, состоящая из следующих блоков: = ^

где \ х - нулевая прямоугольная матрица размерности Л X — Ь, + 1 ; Хп — квадратная матрица размерности Ь X Ь с элементами

\ 0,<+у>С + С ** к-л.с+ос+г

Хк - прямоугольная матрица размерности X X — к у Л , все элементы которой равны

Ху = ~~ А •

Результатом векторизации матрицы Су по строкам с разворотами является матрица-строка Ру с четко выраженной периодичной структурой:

_ Ш.' 17 17 17 17 17

V - *сс 00 *сс 00

где — нулевая матрица-строка размерности 1X к ; Р()0 — нулевая матрица-строка размерности 1 X 2к;

Рс — матрица-строка размерности 1 X (¿1 — к с элементами /■■ — /2 — /| :

^сс — матрица-строка размерности 1x2^? — ^ с элементами — /2 — 1\ ■ Заметим, что при вертикальной ориентации границы структура траекторной матрицы Ху зависит от соотношений между выбранными размерами маски т, окна Ь и значения к и получить обобщение на случай произвольных т, Ь и к не представляется возможным.

После векторизации матрицы С^ по строкам с разворотами получим матрицу-строку ^ , структура

которой также зависит от соотношений между выбранными параметрами т, Ь, к и не может быть обобщена на случай их произвольных значений.

Для выделения аддитивных сингулярных компонент матриц р. как правило, анализируют

собственные векторы ковариационной матрицы § = ХХ

I

7

Поскольку вычисление собственных векторов ковариационной матрицы § в общем виде достаточно громоздко, проведем анализ собственных векторов на числовых примерах для ТП = 5, Ь = 3 и набора из двух цветов = 0 , /2 = 1.

Предположим, маска содержит горизонтальную границу, и количество строк цвета

(о О О О (Л 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11111,

В этом случае траекторная матрица Х/; имеет размерность 3 х 23 и состоит из следующих блоков: X х - нулевая прямоугольная матрица размерности 3x18; Хс — квадратная матрица размерности 3 X 3 с элементами

0, <+у>4

С А =

и <+У>4'

Хк - прямоугольная матрица размерности 3x2, все элементы которой равны X^ — 1. Для данной матрицы вложения х рассчитывается ковариационная матрица

§ А =

'3 3 3Л 3 4 4 3 4 5

Далее находятся собственные значения Х^, / 6Е 1°{..3 матрицы й,, и упорядочиваются по возрастанию: =10,82, Л.'^, = 0,85. А^ = 0,33; а затем в соответствии с порядком А,^

упорядочиваются и". Собственные векторы соответствующие не нулевым собственным значениям

ортогональны и образуют пространство. Следует ожидать, что поскольку для рассмотренных случаев ориентации границ матрицы вложения различаются, то должны и отличаться пространства собственных векторов.

Собственные векторы для случая горизонтальной границы при к - А образуют базис

и"4 =

'0,73 -1,14 1,19

0,91 -0,17 -2,06

1 1 1 ДЛЯ к — 3

V

у

иА3 =

'0,88 -1,06 1,07 Л 0,96 - 0,06 - 2,02 1 1 1

и для

к = 2

Uh 2 =

'0,93 -1,04 1,04 Л 0,98 -0,04 -2,01 1 1 1

V

Вычислим углы между пространствами Uh 4, Uh3 и Uh 2.

Угол ОС ■ ■ между пространствами в и1 и и может быть вычислен по формуле [5]: V

cos

dett(/\UJ (¡\U

где

11 ^ det О/1,U1 Jetf(jJ ,UJ J

TV'U1 - матрица Грамма для пространства векторов

(1)

rU

U1, U ^ U1 ,U 2 U ,U i U 2 ,U 2

rC,UJ J

illMt

<

2>Щ

U 3, U1

>

<1

U1 ,U

>

, Uj< U 3, Uj

U1 ,U 3^

U (l

<IIU:

U

2, U С

2 >

' 2 , U 3

^3 ,U 33

Здесь -

это скалярное произведение векторов.

Например, для пространств и"4 и ип3 после нормирования собственных векторов получаем:

rU

h 4

Uh3}

1

0,07 -0,01 - 0,07 1 0,04 0,02 - 0,04 1

гUh4Uh4 J

1

-1,57-10"'

-2,6110"

f

rU

h3 JJ h3~~\

cos

1

-7,2-10" -3,8-10"

det til

1,57 10"6 1

2,52 10"7

-7,2-10" 1

-4,9-10"

-2,61-10 -2,52-10"' 1

-7 Л

3,8*10 4,9 * 10"7 1

/

,Uh3

h4 jj h3

" A43 .

h3

Это свидетельствует о том, что пространства собственных векторов при к - А к = 3 вложены друг в друга.

Аналогичным путем получено: COS2 jr 1 и COS2 ^¿32 ^ 1.

Таким образом, установлено, что если граница в маске ориентирована горизонтально, в независимости от положения границы

, пространства собственных векторов в этих случаях вложены друг в друга, и, соответственно, неразделимы.

Далее был рассмотрен случай вертикальной ориентации границы, когда пиксели левых к столбцов маски имеют значение цвета 1^=0. Векторизация маски осуществлялась так же: по строкам с

разворотами. Для параметров ТП =

5, L = 3, ке ^3,4

и набора цветов /j — 0 , /2 — 1 были

получены пространства собственных векторов:

Uv 4 =

0,68 -1,06 1,38 Л 1,07 -0,26 -1,81 1 1 1

2

Uv3 =

Uv2 =

0,82 1,03 1

Г0,93 1,02 1

V

V

-1,10 0,1 1

-1,05 -0,05 1

1,08 -1,82 1

1,04 1,90 1

Для анализа разделимости сингулярных компонент, содержащих границы различных ориентаций, были определены углы между пространствами собственных векторов:

cos2 <jtMv4 3= 1 > cos2 <tMv3 J= 1, cos2 4lMv2 3= 1.

Аналогичным образом была исследована разделимость пространств собственных векторов, соответствующих диагональной ориентации границы, когда маска имеет к нулевых диагоналей. При векторизации маски по строкам с разворотами, для ТП — 5 , L — 3 и к = ^,5,6,7 , а также с учетом /j = 0, 12 = 1 получаем:

COS2 4h4d7 > 1, COS2 hh4d6 > 1, COS2 hh4d5 > 1 и COS2 > 1

Из приведенных результатов следует в независимости от ориентации (горизонтальной, вертикальной, диагональной) и положения границы к , пространства собственных векторов в этих случаях вложены друг в друга, и, соответственно, неразделимы. Таким образом, использование пространства собственных векторов представляется не эффективным для обнаружения границ на телевизионных изображениях.

Проанализируем разделимость пространств факторных векторов

J i J / V J

ковариационной матрицы S( = Х(Х(Т • / £ f\, V, d , J €Е ..Л для рассмотренных численных примеров, при ТП = 5 , L = 3 и наборе цветов /1 = 0 , /2 = 1. Поскольку при ТП = 5 и L = 3 длина факторных векторов составляет ТП — L + \ =23 компоненты, они представлены графически.

Так, на рис. 1 приведены компоненты V - г- факторных векторов V, / маски с горизонтальной ориентацией границы и количеством нулевых строк к = 4 .

А 4

g Н-3 , ie Н 23

для

J* i

0,5 0

-0,5

i

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

V3, i

V

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Рис. 1. Компоненты V ■ ■ факторных векторов У"\к = 4 Также для случая, когда граница расположена горизонтально были найдены факторные вектора для

к = 3

к = 2 . Компоненты ^, ¡ факторных векторов приведены на рис. 2.

2

1

0

3 v 2 1 0 1,i V 1,5 1 0,5 0 i -0,5 \i

/

/ 1 I

\

/

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

'V

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Рис. 2. Компоненты V ■ ■ факторных векторов

Проанализируем структуру факторных векторов. Факторный вектор У^'4, соответствующий

, А4

состоит из блоков: У^4 - нулевой вектор-строка размерности 1 х — Л + 1 х ] 8: - вектор-

строка размерности 1х — 1 1 X 2 ; У^4 - вектор-строка размерности

1х [<ш - к) - Ь +13= 1 X 3. Количество нулей в блоке Ух 1 совпадает с количеством нулевых столбцов блока Xх траекторной матрицы XЛ (к = 4 ). и. следовательно, анализируя факторный вектор

т/М

V , можно установить строку маски, в которой изменяется цвет, или, что тоже самое, строку с границей регионов. Эти же рассуждения справедливы для к = 3 и к = 2 .

Вычислим углы ОС ■ ■ между пространствами факторных векторов горизонтальной ориентации границы

V

у ку к3^ у к2 п0 ф0рМу1С (1) Например, для пространств У и У^ получаем:

h 4

cos

h4 у h3

"A43

det((M/M>((

h3 у h3

o.

>

2 ^^ 3 V 2 ^йГ

Аналогичным образом получено: COS V/,42 ^ -5,31 • 10 и COS V/,32 0 . Это свидетельствует о том, что в отличие пространств собственных векторов, если граница в маске ориентирована горизонтально, в независимости от положения границы k е 2^3,4 , пространства факторных векторов ортогональны, и, следовательно, разделимы.

Исходя из полученных результатов, следует предполагать, что пространства факторных векторов, содержащих границы различных ориентаций, также ортогональны. Для подтверждения данного предположения исследуем взаимное расположение пространств факторных векторов, содержащих границы различных ориентаций. Для вертикальной ориентации границы факторные вектора для к = 4 и к = 3 приведены на рис. 3 и рис. 4.

Vl,,

2 1 0 -1 -2

V2,I

! 4 1 / 4 1 !

\ ■ / \ ■ !

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Vз,I

А к

1 \ 1 \ /

V V

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

VlI

Рис. 3. Компоненты V ■ ■ факторных векторов V] , к = 4 У ? * J

У 2,1

} -1И

/и 1 .?-

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Vз,l

шин

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Рис. 4. Компоненты V ■ ■ факторных векторов

У ? ^ J

Отметим, что при векторизации маски с вертикальной границей по выбранной схеме - по строкам с

разворотом факторный вектор V\ ' ^, соответствующий максимальному собственному значению ,

имеет периодическую структуру, свидетельствующую о наличии вертикальной границы.

Углы между пространствами факторных векторов, содержащими границы горизонтальной и вертикальной ориентаций:

2

ооб

>-2,80-10"37, соз2<с

ЬЗуЗ

1=2,8-10~33 —:2

С08 5=0-

Аналогичным образом для пространств факторных векторов, соответствующих диагональной ориентации границы получаем:

2 ж

СОБ чг.ма1 ^=—1,38-ю

-35

С08

/¡3^6

= 1,27-10

-15

соэ ^с

А2й?5

= -8,29-10

-35

Полученные результаты указывают, что в независимости от ориентации и положения границы к , пространства факторных векторов ортогональны, и, следовательно, разделимы.

Выводы

Проделанный анализ показал, что при одной и той же схеме векторизации (по строкам с разворотом) для различных положений и ориентаций границы смены цвета в маске собственные векторы образуют вложенные пространства и потому не могут быть использованы для выделения границ на телевизионных изображениях.

При этом факторные векторы, как базисные векторы, образуют различные, ортогональные и, следовательно, разделимые пространства. Поэтому, для определения положения и ориентации границы скачка цвета в маске будем анализировать пространства факторных векторов.

При векторизации маски по строкам с разворотами, граница скачкообразного изменения цвета в маске может быть определена по форме факторного вектора, соответствующего максимальному собственному значению, только в случае горизонтальной ориентации. Следует ожидать, что эффективно определять

положение границы для отличных ориентаций удастся при использовании соответствующих методов векторизации маски.

Литература:

1. Tzagkarakis G. Singular spectrum analysis of traffic workload in a large-scale wireless LAN / G. Tzagkarakis, M. Papadopouli, P. Tsakalides // Proceedings of the 10th International Symposium on Modeling Analysis and Simulation of Wireless and Mobile Systems, MSWiM 2007. 2007.С. 99-108.

2. Александров Ф.И. Автоматизация выделения трендовых и периодических составляющих временного ряда в рамках метода «r>ccHnua»-SSA / Ф.И. Александров, Н.Э. Голяндина // Exponenta Pro. Математика в приложениях.2004 вып. 3-4 С. 54-61

3. Rodr'igez-Arag'on L. J Singular spectrum analysis for image processing / L. J. Rodr'igez-Aragon, A. Zhigljavsky // Statistics and Its Interface.2010 т. 3 С. 419-426.

4. Hassani H. A Brief Introduction to Singular Spectrum Analysis / H. Hassani // Optimal decisions in statistics and data analysis [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ssa.cf.ac.uk/a_brief_introduction_to_ssa.pdf

5. Risteski I.B Principal Values and Principal Subspaces of Two Subspaces of Vector Spaces with Inner Product/ I.B. Risteski, K.G. Trencevski // Beitrage zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry.2001 № 42 С. 289-300.