УДК 539.3
Д. А. Приказчиков, Е. В. Коваленко
ВЫБОР ПОТЕНЦИАЛОВ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрен вопрос о введении упругих потенциалов при решении класса задач трехмерной теории упругости, в которых не учитывается антиплоское движение, с использованием интегрального преобразования Радона, позволяющего перейти к плоской задаче теории упругости в образах. Получено естественное представление в терминах трех потенциалов, рассмотрено применение этого представления на примере волны Рэлея. Показано, что в случае плоской нагрузки на границе возбуждение волны Рэлея осуществляется за счет градиентной составляющей нагрузки.
E-mail: prikazchikovda@yandex.ru
Ключевые слова: упругие потенциалы, поверхностная динамика,
асимптотическая модель, волна Рэлея.
Введение упругих потенциалов является стандартным приемом в линейной теории упругости для изотропных сред, при этом в явной форме выделяются уравнения распространения продольной и поперечной волн. Будучи особенно эффективным в плоских задачах, введение потенциалов часто используется и в пространственных задачах. В этом случае компоненты поля перемещений u традиционно выражаются в терминах скалярного потенциала Ф и векторного потенциала V:
u = grad Ф + rot V. (1)
Поскольку в соотношениях (1) участвуют четыре компоненты скалярного и векторного потенциалов, соответствующие трем компонентам перемещения, обычно вводится дополнительное условие на компоненты векторного потенциала, чаще всего, div V = 0 [1—3].
В работе предлагается еще один способ введения потенциалов, который ориентирован на исследования задач, в которых антиплоское движение не является объектом изучения, например, в случае задач приповерхностной динамики упругого полупространства, когда вклад волны Рэлея является доминирующим, что дает возможность применить явную асимптотическую модель для волны Рэлея [4—6]. Применение интегрального преобразования Радона [7] к пространственной задаче теории упругости приводит к плоской задаче в терминах образов преобразования Радона. При этом показано, что в случае граничных условий, соответствующих плоскому нагружению,
возбуждение волны Рэлея осуществляется за счет градиентной составляющей нагрузки. Введение аналогов упругих потенциалов в образах Радона соответствует введению трех упругих потенциалов в исходной системе координат, что является упрощением, поскольку не требуется дополнительного условия на компоненты векторного потенциала. Развитие подхода может иметь серьезные приложения в смешанных задачах теории упругости [8, 9].
Введение упругих потенциалов в трехмерных задачах поверхностной динамики. Рассмотрим изотропное упругое полупространство -да < х <да, -да <у <да, 0< 2 <да. Уравнения движения в терминах компонент перемещений и(их, иу, иг) имеют вид
(Л + ¿и) grad divu + )Au = p
s2u dt2'
(2)
где Л, / — параметры Ламэ, р — объемная плотность. Применим к уравнениям (2) интегральное преобразование Радона:
да
/а (к, а, г, г) = | /(коо&а-цзта, /кта + ^соБа, г, г)й), (3)
где к = x cosa + y sin a, r¡ = - x sina + y cosa, ae [0; 2 л). Физически преобразование Радона (3) соответствует представлению трехмерной волны в терминах суперпозиции плоских волн [7]. Получим
[{Л + и)
cos а + и
2u{а
д 2и
2u {а
дк2
■ + и-
д 2и
dz2
+
{Л + )
cosa
sin a
d 2u{a) d 2u{a) ^
дк2
dKdz
2u{a)
= p
d 2u
dt2
|{ Л + и) si
sin а + и
~,2 {a) ~,2 {a)
d uy ' d U '
+ U-+
+ {Л + и) si
sin a
cosa
Sk dz
d 2u{a) d 2u{a) ^ ^ u
дк2
dKdz
= P-
2 {a)
Í/V '
y
dt2
(4)
{л+U
cosa
~\2 {a)
d u\ ' dKdz
2u{a) ) d2u{a)
■ + sina-
d2u
J
dKdz
+и
дк2
(а) ~,2 (а)
,. \д uz ' д uz ' +( + ^-иУ-P-Ú2-
Выполним замену, соответствующую преобразованию координат: u{") = ua cos а + u{y) sin a, u¡a) = -u{xa) sin а + ucos а, (5) и положим
u¡¡a) = 0. (6)
Последнее предположение (6) означает, что из рассмотрения исключаются решения антиплоской задачи. Подобное упрощение часто является оправданным, например, в случае исследования поля волны Рэлея, так как антиплоские движения не соответствуют распространению поверхностной волны.
Преобразуя уравнения движения (4), получаем
( 2 ^2u{a д2ua ( лд2uа д
2
дк dz2 дкдх dt
~22 (а) ~22 (а) ~.2 (а) ~22 (а)
,. ч d ик ' д и\>(. _ ч d uz д uz '
(л+v) ^ к —V+(+2ß)—zr- = р—2
' дкдг дк2 V J д12 дt2
(7)
Уравнения (7) в образах преобразования Радона формально соответствуют уравнениям движения плоской задачи теории упругости. Следовательно, можно ввести аналоги упругих потенциалов в образах Радона:
К = = + (8)
дк дг дг дк
Теперь покажем, как меняются граничные условия в терминах напряжений в рамках предлагаемого подхода. Зададим граничные условия на поверхности г = 0 в виде
^ = Р (х, у, (), ^ = дх (X, у, (), ^ = ду (X, у, (). (9)
В силу линейности задачи граничные условия (9) распадаются на два типа: для нормальной (Qx = Qy = о) и плоской (Р = 0) нагрузки соответственно. В случае нормальной нагрузки граничные условия, преобразованные по Радону, принимают вид
и
диИ диИЛ
dz дк
= 0,
дк dz
где Ра — образ Радона заданной нагрузки Р.
В случае плоской нагрузки в соответствии с теоремой Гельм-гольца запишем
dx dy
dy dx
В этом случае для граничных условий (9) после преобразований получим
И)
( Ua)
dz dK
a ^ doOl
dK
(11)
i ) du/1 du/1
dK dz
Из уравнений (11) следует, что возбуждение поверхностной волны в этом случае связано лишь с градиентной составляющей плоской нагрузки О,, что соответствует предположению о том, что антиплоское движение не соответствует распространению поверхностной волны. Таким образом, полученные для образов Радона краевые задачи (7)—(10) и (7)—(11) формально соответствуют плоской задаче теории упругости.
Преобразуя соотношения (8) с учетом (5) и (6), для компонент перемещения получаем
Ux =
dq dy1 dx dz
uy =
u =dq+d^L+di2 (12)
dy dz ' z dz dx dy
Потенциалы у и у2 в представлении (12) определяются как
прообразы Радона величин = у/а cos а и у2а = sin а. Очевидно, что в плоскостях Oxz и Oyz выражения (12) можно упростить и преобразовать к стандартному виду плоского потенциального представления.
Отметим, что выражения (12) можно представить в виде
d
u = gradp--(у) + kdivy, (13)
dz
где у = i + j у/2 и i, j, k — координатные орты. Если положить ¥ = = - i^2 +j^i, то выражение (12) также можно записать в традиционном виде:
u = gradp+ rot (14)
Примеры использования полученного представления (12).
Рассмотрим вывод уравнения Рэлея в терминах полученного представления. Стандартные преобразования с дифференциальными операторами при подстановке (14) в уравнения движения (2) позволяют разделить систему уравнений:
= 0, Ау - -L = 0, (15)
c1 dt c2 dt
где А — оператор Лапласа и c1 =[(/1 + 2^)/р]2 и c2 = (/л/р)2 —
скорости продольной и поперечной волн. Свободные граничные условия
°zz = 0, O = 0, ^ = 0, z = 0 с учетом представления (12) принимают вид
2"d(grad2 Р) + grad2 ( У)--д-УГ = 0, dz dz
2 С ф
к -г+
( _ 2)^+д2ффф + 2f(div ¥) = 0.
V '{^СХ Су2 Р)7У '
.С .С
(16)
dz v СХ Су
С
Здесь оператор grad2 = i--ъ j—.
dx dy
Решения для потенциалов с учетом уравнений (15) можно записать в форме бегущей волны:
Ф = Aexp [ik (x cos^+y sine)- kaz ], (17)
y = B exp [ik (x cos в + y sin в) - kfíz],
где к - волновое число; ос = 1 - —т; ß = . 1 - —т-
—2 \ —2
Подстановка выражения (17) в граничные условия (16) приводит к известному уравнению Рэлея
4aß = (l + ß2)2-
По аналогии можно рассмотреть волны Рэлея — Лэмба в пластине, в случае когда нас интересует решение без учета антиплоских движений, и получить соответствующее дисперсионное соотношение-
Отметим также, что дальнейший вывод асимптотической модели для волны Рэлея [6] приводит к следующим соотношениям на поверхности z = 0 между потенциалами
= 2—2 - —Р dp dw2 = 2—22 - —Р dp (18)
dz 2—2 dx' dz 2—2 dy'
где сР — скорость волны Рэлея. Выражения (12) с учетом (18) соответствуют трехмерному представлению поля волны Рэлея в терминах одной гармонической функции [10].
Таким образом, получено представление (12) для компонент перемещения в терминах потенциалов для трехмерных динамических задач в случае упругого полупространства, в которых анализ не требует изучения антиплоского движения. Представление (12) дает возможность упростить решение, поскольку не требует введения дополнительного ограничения на компоненты векторного потенциала. В качестве одного из классов задач, для которого полученное представление может найти свое первоочередное применение, можно отметить задачи поверхностной и приповерхностной динамики упругого полупространства.
Авторы выражают благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Каплунову за плодотворные обсуждения представленной работы.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-3150.2012.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Mikhlowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam.: North
Holland, 1978.
2. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
3. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids // Amsterdam.: North Holland, 1973.
4. Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // Доклады Академии наук, 2004. Т. 395. Вып. 4. С. 482-485.
5.Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves. // IMA Journal of Applied Mathematics. 2006. Vol. 71. P. 768-782.
6.Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D. A. A long wave model for the surface elastic wave in a coated half space // Proceedings of the Royal Society London, Ser. A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.
7. Georgiadis H. G., Lykotrafitis G. A method based on the Radon transform for three-dimensional elastodynamic problems of moving loads // Jl Elasticity. 2001. Vol. 65. P. 87-129.
8. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.
9.Erbas B., Kaplunov J., Prikazchikov D. A. The Rayleigh wave field in mixed problems for a half-plane // IMA Journal of Applied Mathematics. 2012. doi:10.1093/imamat/hxs010.
10. K i s e l e v A. P., Parker D. F. Omni-directional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time dependence // Proceedings of the Royal Society London, Ser. A. 2010. Vol. 466. P. 2241-2258.
Статья поступила в редакцию 03.07.2012.