Выбор потенциалов в трехмерных задачах динамической теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Д. А. Приказчиков, Е. В. Коваленко

ВЫБОР ПОТЕНЦИАЛОВ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрен вопрос о введении упругих потенциалов при решении класса задач трехмерной теории упругости, в которых не учитывается антиплоское движение, с использованием интегрального преобразования Радона, позволяющего перейти к плоской задаче теории упругости в образах. Получено естественное представление в терминах трех потенциалов, рассмотрено применение этого представления на примере волны Рэлея. Показано, что в случае плоской нагрузки на границе возбуждение волны Рэлея осуществляется за счет градиентной составляющей нагрузки.

E-mail: prikazchikovda@yandex.ru

Ключевые слова: упругие потенциалы, поверхностная динамика,

асимптотическая модель, волна Рэлея.

Введение упругих потенциалов является стандартным приемом в линейной теории упругости для изотропных сред, при этом в явной форме выделяются уравнения распространения продольной и поперечной волн. Будучи особенно эффективным в плоских задачах, введение потенциалов часто используется и в пространственных задачах. В этом случае компоненты поля перемещений u традиционно выражаются в терминах скалярного потенциала Ф и векторного потенциала V:

u = grad Ф + rot V. (1)

Поскольку в соотношениях (1) участвуют четыре компоненты скалярного и векторного потенциалов, соответствующие трем компонентам перемещения, обычно вводится дополнительное условие на компоненты векторного потенциала, чаще всего, div V = 0 [1—3].

В работе предлагается еще один способ введения потенциалов, который ориентирован на исследования задач, в которых антиплоское движение не является объектом изучения, например, в случае задач приповерхностной динамики упругого полупространства, когда вклад волны Рэлея является доминирующим, что дает возможность применить явную асимптотическую модель для волны Рэлея [4—6]. Применение интегрального преобразования Радона [7] к пространственной задаче теории упругости приводит к плоской задаче в терминах образов преобразования Радона. При этом показано, что в случае граничных условий, соответствующих плоскому нагружению,

возбуждение волны Рэлея осуществляется за счет градиентной составляющей нагрузки. Введение аналогов упругих потенциалов в образах Радона соответствует введению трех упругих потенциалов в исходной системе координат, что является упрощением, поскольку не требуется дополнительного условия на компоненты векторного потенциала. Развитие подхода может иметь серьезные приложения в смешанных задачах теории упругости [8, 9].

Введение упругих потенциалов в трехмерных задачах поверхностной динамики. Рассмотрим изотропное упругое полупространство -да < х <да, -да <у <да, 0< 2 <да. Уравнения движения в терминах компонент перемещений и(их, иу, иг) имеют вид

(Л + ¿и) grad divu + )Au = p

s2u dt2'

(2)

где Л, / — параметры Ламэ, р — объемная плотность. Применим к уравнениям (2) интегральное преобразование Радона:

да

/а (к, а, г, г) = | /(коо&а-цзта, /кта + ^соБа, г, г)й), (3)

где к = x cosa + y sin a, r¡ = - x sina + y cosa, ae [0; 2 л). Физически преобразование Радона (3) соответствует представлению трехмерной волны в терминах суперпозиции плоских волн [7]. Получим

[{Л + и)

cos а + и

2u{а

д 2и

2u {а

дк2

■ + и-

д 2и

dz2

+

{Л + )

cosa

sin a

d 2u{a) d 2u{a) ^

дк2

dKdz

2u{a)

= p

d 2u

dt2

|{ Л + и) si

sin а + и

~,2 {a) ~,2 {a)

d uy ' d U '

+ U-+

+ {Л + и) si

sin a

cosa

Sk dz

d 2u{a) d 2u{a) ^ ^ u

дк2

dKdz

= P-

2 {a)

Í/V '

y

dt2

(4)

{л+U

cosa

~\2 {a)

d u\ ' dKdz

2u{a) ) d2u{a)

■ + sina-

d2u

J

dKdz

+и

дк2

(а) ~,2 (а)

,. \д uz ' д uz ' +( + ^-иУ-P-Ú2-

Выполним замену, соответствующую преобразованию координат: u{") = ua cos а + u{y) sin a, u¡a) = -u{xa) sin а + ucos а, (5) и положим

u¡¡a) = 0. (6)

Последнее предположение (6) означает, что из рассмотрения исключаются решения антиплоской задачи. Подобное упрощение часто является оправданным, например, в случае исследования поля волны Рэлея, так как антиплоские движения не соответствуют распространению поверхностной волны.

Преобразуя уравнения движения (4), получаем

( 2 ^2u{a д2ua ( лд2uа д

2

дк dz2 дкдх dt

~22 (а) ~22 (а) ~.2 (а) ~22 (а)

,. ч d ик ' д и\>(. _ ч d uz д uz '

(л+v) ^ к —V+(+2ß)—zr- = р—2

' дкдг дк2 V J д12 дt2

(7)

Уравнения (7) в образах преобразования Радона формально соответствуют уравнениям движения плоской задачи теории упругости. Следовательно, можно ввести аналоги упругих потенциалов в образах Радона:

К = = + (8)

дк дг дг дк

Теперь покажем, как меняются граничные условия в терминах напряжений в рамках предлагаемого подхода. Зададим граничные условия на поверхности г = 0 в виде

^ = Р (х, у, (), ^ = дх (X, у, (), ^ = ду (X, у, (). (9)

В силу линейности задачи граничные условия (9) распадаются на два типа: для нормальной (Qx = Qy = о) и плоской (Р = 0) нагрузки соответственно. В случае нормальной нагрузки граничные условия, преобразованные по Радону, принимают вид

и

диИ диИЛ

dz дк

= 0,

дк dz

где Ра — образ Радона заданной нагрузки Р.

В случае плоской нагрузки в соответствии с теоремой Гельм-гольца запишем

dx dy

dy dx

В этом случае для граничных условий (9) после преобразований получим

И)

( Ua)

dz dK

a ^ doOl

dK

(11)

i ) du/1 du/1

dK dz

Из уравнений (11) следует, что возбуждение поверхностной волны в этом случае связано лишь с градиентной составляющей плоской нагрузки О,, что соответствует предположению о том, что антиплоское движение не соответствует распространению поверхностной волны. Таким образом, полученные для образов Радона краевые задачи (7)—(10) и (7)—(11) формально соответствуют плоской задаче теории упругости.

Преобразуя соотношения (8) с учетом (5) и (6), для компонент перемещения получаем

Ux =

dq dy1 dx dz

uy =

u =dq+d^L+di2 (12)

dy dz ' z dz dx dy

Потенциалы у и у2 в представлении (12) определяются как

прообразы Радона величин = у/а cos а и у2а = sin а. Очевидно, что в плоскостях Oxz и Oyz выражения (12) можно упростить и преобразовать к стандартному виду плоского потенциального представления.

Отметим, что выражения (12) можно представить в виде

d

u = gradp--(у) + kdivy, (13)

dz

где у = i + j у/2 и i, j, k — координатные орты. Если положить ¥ = = - i^2 +j^i, то выражение (12) также можно записать в традиционном виде:

u = gradp+ rot (14)

Примеры использования полученного представления (12).

Рассмотрим вывод уравнения Рэлея в терминах полученного представления. Стандартные преобразования с дифференциальными операторами при подстановке (14) в уравнения движения (2) позволяют разделить систему уравнений:

= 0, Ау - -L = 0, (15)

c1 dt c2 dt

где А — оператор Лапласа и c1 =[(/1 + 2^)/р]2 и c2 = (/л/р)2 —

скорости продольной и поперечной волн. Свободные граничные условия

°zz = 0, O = 0, ^ = 0, z = 0 с учетом представления (12) принимают вид

2"d(grad2 Р) + grad2 ( У)--д-УГ = 0, dz dz

2 С ф

к -г+

( _ 2)^+д2ффф + 2f(div ¥) = 0.

V '{^СХ Су2 Р)7У '

.С .С

(16)

dz v СХ Су

С

Здесь оператор grad2 = i--ъ j—.

dx dy

Решения для потенциалов с учетом уравнений (15) можно записать в форме бегущей волны:

Ф = Aexp [ik (x cos^+y sine)- kaz ], (17)

y = B exp [ik (x cos в + y sin в) - kfíz],

где к - волновое число; ос = 1 - —т; ß = . 1 - —т-

—2 \ —2

Подстановка выражения (17) в граничные условия (16) приводит к известному уравнению Рэлея

4aß = (l + ß2)2-

По аналогии можно рассмотреть волны Рэлея — Лэмба в пластине, в случае когда нас интересует решение без учета антиплоских движений, и получить соответствующее дисперсионное соотношение-

Отметим также, что дальнейший вывод асимптотической модели для волны Рэлея [6] приводит к следующим соотношениям на поверхности z = 0 между потенциалами

= 2—2 - —Р dp dw2 = 2—22 - —Р dp (18)

dz 2—2 dx' dz 2—2 dy'

где сР — скорость волны Рэлея. Выражения (12) с учетом (18) соответствуют трехмерному представлению поля волны Рэлея в терминах одной гармонической функции [10].

Таким образом, получено представление (12) для компонент перемещения в терминах потенциалов для трехмерных динамических задач в случае упругого полупространства, в которых анализ не требует изучения антиплоского движения. Представление (12) дает возможность упростить решение, поскольку не требует введения дополнительного ограничения на компоненты векторного потенциала. В качестве одного из классов задач, для которого полученное представление может найти свое первоочередное применение, можно отметить задачи поверхностной и приповерхностной динамики упругого полупространства.

Авторы выражают благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Каплунову за плодотворные обсуждения представленной работы.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-3150.2012.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mikhlowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam.: North

Holland, 1978.

2. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.

3. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids // Amsterdam.: North Holland, 1973.

4. Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // Доклады Академии наук, 2004. Т. 395. Вып. 4. С. 482-485.

5.Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. A. Explicit models for elastic and piezoelastic surface waves. // IMA Journal of Applied Mathematics. 2006. Vol. 71. P. 768-782.

6.Dai H.-H., Kaplunov J., Prikazchikov D. A. A long wave model for the surface elastic wave in a coated half space // Proceedings of the Royal Society London, Ser. A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.

7. Georgiadis H. G., Lykotrafitis G. A method based on the Radon transform for three-dimensional elastodynamic problems of moving loads // Jl Elasticity. 2001. Vol. 65. P. 87-129.

8. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.

9.Erbas B., Kaplunov J., Prikazchikov D. A. The Rayleigh wave field in mixed problems for a half-plane // IMA Journal of Applied Mathematics. 2012. doi:10.1093/imamat/hxs010.

10. K i s e l e v A. P., Parker D. F. Omni-directional Rayleigh, Stoneley and Scholte waves with general time dependence // Proceedings of the Royal Society London, Ser. A. 2010. Vol. 466. P. 2241-2258.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.