CC BY
32
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1713-1715 1713
УДК 539.3
РАЗВИТИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ИНТЕРФЕЙСНЫХ ВОЛН
© 2011 г. Д-А. Приказчиков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Поступила в редакцию 15.06.2011
Представлено построение асимптотических моделей поверхностных волн в деформируемых упругих средах. Рассмотрены случаи поверхностной волны Рэлея, а также интерфейсных волн Стоунли и Шольте -Гоголадзе. Асимптотическая модель включает в себя квазистатические эллиптические уравнения, описывающие затухание волны вглубь среды, а также динамическое гиперболическое уравнение для одного из потенциалов на поверхности, соответствующее распространению волны вдоль поверхности, и дифференциальные соотношения, связывающие потенциалы на поверхности. В случае волны Рэлея асимптотическая модель получена в плоской и трехмерной постановке. В случае волн Стоунли и Шольте - Гоголадзе задача рассмотрена в плоской постановке.
Ключевые слова: поверхностные и интерфейсные волны, асимптотические модели, интегральное преобразование Радона.
Асимптотическая модель поверхностной волны Рэлея
Асимптотическая модель волны Рэлея была впервые получена в работе [1] с использованием символического метода Лурье, а затем построена в терминах гармонических функций в [2], что роднит предлагаемый подход с известным классическим [3].
Рассмотрим плоскую постановку задачи, когда уравнения движения задаются известными уравнениями для потенциалов Ламе, а граничные условия при г = 0 формулируются в терминах напряжений: с^ = 0, с = Р(х, В соответствии с асимптотической моделью волны Рэлея [2] затухание вглубь среды описывается эллиптическими уравнениями для потенциалов:
- + к2 ^ = 0, Э V к2 ¿V
д 2ф
дг2
дх
^+к2
дг
дх
с
д2ф Э> дх2
1 + к22
я
дх
г=0
д(2 2у£ 1+ к^ дф|
Р,
г=0'
возможным благодаря применению интегрального преобразования Радона. В результате имеем трехмерные квазистатические эллиптические уравнения
где к2 = 1 - сЯ /с2 (г = 1, 2). На поверхности г = 0 имеем гиперболическое уравнение и соотношение связи
2
д 2ф дг 2
+ к2
д У,
дг 2
+ к22
д2ф д2ф ^ дх2 + ду2
дУ, + д V
= 0,
дх2
ду2
(3)
=0
внутри среды, двумерное гиперболическое уравнение и соотношения связи на поверхности г = 0
д 2ф + д 2ф
дх2 д¥1
ду2
1 дф
д^2:
1 + к22 2|аВ
Р,
дх дх 12 и 2 дг
Величины ф, у. являются специфическим обобщением потенциалов Ламе, при этом перемеще-
ду2 | 1 + к| дф
г=0"
(4)
г=0-
=0, (1)
и =—--
дф ду1
и0 =—--
дф д^2
дх дг ду дг
= дф + д¥1 + д¥2
(5)
л3
.+ _!_!- + _ дг дх ду
(2)
где В = (1 - к? )к2 / к1 + (1 - к22)к1 / к2 + к24 -1. Обобщение до трехмерного случая [4] стало
Таким образом, в случае упругого полупространства модель волны Рэлея является совокупностью задачи Дирихле и двух задач Неймана, что существенно упрощает постановку по сравнению с точной.
ния
1714
Д.А. Приказчиков
Асимптотическая модель волны Шольте— Гоголадзе
Асимптотическая модель для интерфейсной волны Шольте — Гоголадзе [5] на границе упругой и жидкой сред является естественным обобщением модели поверхностной волны Рэлея. В этом случае к эллиптическим уравнениям (1) добавляется уравнение для потенциала жидкой среды
дх+ii=о,
дz 2
0 Эх2
д 2Ф
1
дх cSG dt
д 2ф = (1+Фи-1 X
х
Ро (1 - к2)2(к0 - к1 - 4к0 Ю 2клка
22
2B
-1
dxi
dz
z—0 -■
1 - к2 дф| 1 + к 2 дz
z=0-
8т = (1 — ^£й2)(2(Ц1 — Ц2) + (—1)т ртс2) +
+(—1)Прпс((1 + к„1кт(), т * п. Соотношения связи между потенциалами записываются в виде
дх
z=0
.(-1)m к» Эф» 8ткт1 дz
z—0'
(11)
где
Km = РиС5(к11 + к21) -
(6)
где к2 — 1 - c\g / с2 , i = 0, 1, 2. Гиперболическое уравнение на границе приобретает вид
P, (7)
ч р ^гс
где Р — разность между нормальным напряжением в упругой среде и давлением жидкости на границе г = С, а к соотношению связи на границе (() добавляется условие
(8)
— ((Ц — Ц()(1 — кп1кп()кт1' т * П Заключение
Полученные асимптотические модели позволяют выделить вклад поверхностных и интерфейсных волн в общую динамическую картину, выявляют их двойственную гиперболическую и эл -липтическую природу, а также существенно упрощают решение граничных задач. Исследование нестационарной задачи о подвижной нагрузке [7] показало, что явное решение в терминах элементарных функций, полученное с использованием модели волны Рэлея, полностью описывает нестационарную динамику, связанную с распространением поверхностной волны. Следует также отметить, что представление решений в терминах гармонических функций имеет связь с подходом в
Асимптотическая модель волны Стоунли работе [8].
Другим обобщением модели волны Рэлея является модель для интерфейсной волны Стоунли [6] на границе двух упругих полуплоскостей. В терминах потенциалов Ламе ф , у (т = 1, () для
г m 'm
упругих сред имеем эллиптические уравнения
2
д2фт +к2 д2фт =0
- + K-1m ~ =
дz 2 2
дх
2
дУ m + к2 д V m
(9)
2
2m дх2
= 0,
дz2
где к2 = 1 - с? /cfm . На границе z = 0 получим
Г- — 1 — Со / С
m S m
гиперболические уравнения
д Ч
1 д 2фи
дх2 с2 дt2 AcS
(1С)
где А — достаточно громоздкая постоянная, зависящая от свойств сред, см. [6], а величины 8т имеют вид
Работа выполнена при поддержке грантом Президента РФ №МК-4234.2010.8.
Список литературы
1. Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. // Докл. РАН. 2004. Т. 395, вып. 4. С. 482-485.
2. Kaplunov J., Zakharov A., Prikazchikov D. // IMA Jl Appl. Math. 2006. Vol. 71. P. 768-782.
3. Chadwick P. // Jl Elasticity. 1976. Vol. 6. P. 73-80.
4. Dai H.H., Kaplunov J., Prikazchikov D.A. // Proc. Roy. Soc. A. 2010. Vol. 466. P. 3097-3116.
5. Приказчиков Д.А., Томашпольский В.Я. // Труды науч. конф., посвященной 180-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. С. 287-289.
6. Мицкевич В.Г., Приказчиков Д.А. // Наука и техника транспорта. 2008. №3. С. 94-98.
7. Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D.A. // Wave Motion. 2010. Vol. 47. P. 440-451.
8. Kiselev A.P., Parker D.F. // Proc. Roy. Soc. A. 2010. Vol. 466. P 2241-2258.
Развитие асимптотических моделей поверхностных и интерфейсных волн
1715
DEVELOPMENT OF THE ASYMPTOTIC MODELS FOR SURFACE AND INTERFACIAL WAVES
D.A. Prikazchikov
This work is analyzing the contribution of surface waves into the overall dynamic response. The cases of surface Rayleigh wave and interfacial Stoneley and Scholte - Gogoladze waves are considered. The asymptotic models of surface waves are obtained through slow-time perturbation approach and formulated in terms of potentials of the continuum media. The introduction of small parameter corresponds to the small deviation between the speed of the travellign wave and the surface wave speed. In case of the Rayleigh surface wave the asymptotic model is obtained both in 2D and 3D formulations. In case of the interfacial waves the plain strain problem is considered.
Keywords: surface and interfacial waves, asymptotic models, Radon integral transform.
