Выбор метода интерполяции при решении задачи статистического восстановления непрерывных распределений геологических параметров при построении информационных систем экологического мониторинга Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

© Е.В. Зайцева, 2002

УДК 65

Е.В. Зайцева

ВЫБОР МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

О

бъектом экологии горного производства служит минеральносырьевой потенциал месторождения, который нацеливает горное производство на решение проблем экологической безопасности и преодоление противоречий между различными вариантами освоения месторождения и введения природозащитных мероприятий. В настоящее время нельзя решить ни одну техническую задачу горного производства без учета охраны природы и рационального природопользования.

Одним из вариантов решения проблем экологической безопасности горнодобывающего региона является создание информационной системы экологического мониторинга. Центральным местом в рассматриваемой системе является планирование оптимальной геометрии опробования выбросов вредных веществ. В связи с этим необходимо было решить задачу статистического восстановления по территории горнодобывающего региона.

Задача статистического восстановления может быть сформулирована следующим образом: известно множество значений случайного поля ^п) в дискретных точках поля г с координатами (х^у^. Требуется восстановить непрерывную функцию координат ^г) = ^х,у), совпадающую со значениями ^п) в точках (х^) и вычислить ее значения в узлах регулярной сетки.

Эта задача может быть геометрически интерпретирована построением некоторой структурной

аппроксимирующей поверхности, представляющей совокупность всех значений случайного поля. Известны два основных подхода к реализации этой задачи, положенные в основу двух обширных групп линейных интерполяционных методов - широко распространенных методов полиномиальной интерполяции и методов «скользящего среднего». Использование полиномиальной интерполяции основывается на аппроксимации случайного поля ^г) = ^х,у) многочленом ^х,у) = Еа^к, причем, независимо от выбранных функций Fk(x,y), полиномиальная интерполяция всегда линейна относительно заданных значений поля ^,у^. Наиболее часто применяются алгебраические (степенные) полиномы, нередко используются тригонометрические полиномы, экспоненциальные и другие функции.

В рамках полиномиальной интерполяции возможны два подхода - использование метода Лагранжа и метода наименьших квадратов. Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает точное совпадения аппроксимирующей функции ^х,у) со всеми значениями ^х^) = Еа^к, но требуется использование полинома, степень которого к равна п-1, что не позволяет использовать ее при значительных п.

Метод наименьших квадратов предполагает приближенную аппроксимацию значений поля полиномом любой заданной степени (к = 0,1,...п), причем коэффициенты ак определяются из условия минимума среднеквадратичного отклонения аппроксимирующего полинома от известных значений

поля ^х^), т.е. путем минимизации выражения (1):

Е = Z[f(Xi,yi)-ZakFki]2 (1)

Метод наименьших квадратов позволяет упростить вид аппроксимирующего полинома (уменьшить его степень). При использовании для аппроксимации случайного поля методов «скользящего среднего» значение аппроксимирующей функции ^х,у) в произвольной точке поля с координатами (хо,уо) определяется путем вычисления взвешенного среднего (2):

^хо,уо) = Ерю^,уО, (2)

т.е. в виде линейной комбинации заданных значений поля ^х^), и учитывается с тем большим весом, чем ближе она к точке интерполяции.

Правильный выбор весовых коэффициентов интерполяционной формулы имеет определяющее значение для точности аппроксимации, обеспечиваемой взвешенной интерполяцией.

Общим недостатком полиномиальных методов является отсутствие разработанного аппарата оценки точности аппроксимации и низкая точность в тех случаях, когда сеть исходных данных оказывается редкой и неравномерной, а изменчивость интерполяционной функции значительной.

Этого недостатка лишены методы аппроксимации, основанные на использовании априорной информации о статической структуре исследуемого случайного поля и, в частности, так называемые методы оптимальной интерполяции, использующие в качестве статистической характеристики поля автокорреляционную функцию. Процедура интерполяции применяется к центрированным значениям случайного поля и основывается на следующих положениях:

• определяемое центрированное значение аппроксимирующей функции является линейной комбинацией взвешенных центрированных значений поля;

• весовые коэффициенты определяются из условий минимума среднего квадрата ошибок интерполяции, приводящего к системе линейных уравнений Ет^=тоь т.е. определяются по значениям

нормированной корреляционной функции поля ту.

Существенное отличие этих методов от других вариантов «скользящего среднего» заключается в том, что при составлении линейной комбинации взвешенных значений поля интерполяционные веса оказываются зависящими от расстояний между точкой интерполяции и заданной точкой поля. Использование значений корреляционной функции поля автоматически учитывает взаимное расположение всех известных значений случайного поля и тем самым обеспечивает максимальное использование заключенной в них полезной информации.

При выборе метода интерполяции естественным является стремление оценить точность, обеспечиваемую этим методом, что требует разработки аппарата теоретической оценки точности интерполяционных методов по

данным о статистической структуре случайного поля.

Наиболее распространенной статистической характеристикой точности является величина среднеквадратической ошибки интерполяции (3)

E=|foi-fo|2, (3)

где foi — результат интерполяции в точку xo,yo; fo — истинное значение поля в точке Xo,yo.

В случае реализации метода оптимальной интерполяции методика оценки среднеквадратической ошибки интерполяции оказывается очень простой и удобной, т.к. основывается на использовании значений нормированной корреляционной функции поля. Однако в силу того, что используемые при статистическом восстановлении характеристики поля, определяемые эмпирически, не всегда известны достаточно точно и теоретически не могут служить исчерпывающей характеристикой точности, важным является эмпи-

рическая оценка точности, производимая путем интерполяции в те же точки поля, где имеются измерения, не используемые при расчетах, и последующее сравнение этих знаний.

Результаты сравнительной оценки точности различных методов интерполяции показали, что для случайных полей с густой сетью исходных данных методы интерполяции обеспечили примерно одинаковую точность. В случае редкой сети оптимальная взвешенная интерполяция показала наивысшую, по сравнению с другими методами, точность восстановления. Указанные преимущества оптимальной интерполяции обеспечили успешное приложение этого метода к задаче статистического восстановления непрерывных распределений геологических параметров в рамках автоматизированной обработки и геометризации геоэкологических показателей.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Зайцева Елена Вячеславовна — доцент, кандидат технических наук, Московский государственный горный университет.