Оценка методов пространственной интерполяции метеорологических данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.515:001.891.573 ББК 26.23

C.3. Крюкова, Т.Е. Симакина

ОЦЕНКА МЕТОДОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Выполнено тестирование девяти методов интерполяции, входящих в широко распространенный пакет обработки пространственных данных Surfer, на типичном массиве метеорологических данных. В качестве исходных использованы среднемесячные значения температуры, влажности и давления, а также количество осадков за ноябрь 2016 г. по 50 станциям северо-западной территории РФ размером 10x10°. Дана сравнительная характеристика построенных изолиний и вычислена точность интерполяции каждым алгоритмом с помощью метода кросс-валидации. Установлена зависимость точности построенных полей от изменчивости исходных параметров в пространстве, что позволяет оценивать ожидаемую ошибку интерполяции до осуществления процедуры интерполяции.

Ключевые слова:

интерполяция, кригинг, кросс-валидация, метод естественной окрестности, метод локальных полиномов, метод минимальной кривизны, метод обратных расстояний, метод полиномиальной регрессии, метод радиальных базисных функций, модифицированный метод Шепарда, триангуляция.

Крюкова C.B., Симакина Т.Е. Оценка методов пространственной интерполяции метеорологических данных // Общество. Среда. Развитие. - 2018, № 1. - С. 144-151.

© Крюкова Светлана Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, Российский государственный гидрометеорологический университет, Санкт-Петербург; e-mail: krukos@rambler.ru © Симакина Татьяна Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Российский государственный гидрометеорологический университет, Санкт-Петербург; e-mail: tatiana.simakina@gmail.com

со ч tu

О

Принятие решений в сфере охраны окружающей среды, экологии, природопользования и землепользования опирается на данные, представляемые и обрабатываемые современными геоинформационными системами (ГИС). Основной структурной единицей таких систем является растровый слой, содержащий пространственно-распределенную переменную [7, с. 5-6]. Нередко для принятия решений необходимы слои, представляющие собой распределение метеопараметров. Например, размещение производственных, спортивных или торговых объектов требует информации о распределении осадков, параметрах ветра и др. Для формирования таких слоев осуществляют процедуру интерполирования наземных данных, измеренных на нерегулярно расположенных метеостанциях и постах. В метеорологии такая операция выполняется методом объективного анализа. Отсутствие в широком доступе результатов объективного анализа, реализованного на заданной территории в необходимом формате, требует решения задачи интерполирования доступных исходных измерений [6] известными алгоритмами, входящими в пакеты обработки пространственно-распределенных данных. Большие возможности для интерполирования любых пространственных данных и выдачи карт в виде растровых слоев для дальнейшей их совместной обработки в стандартных ГИС

представляет хорошо себя зарекомендовавший популярный пакет Surfer.

Цель настоящей работы состояла в оценке точности интерполяции метеорологических параметров, выполненной 9-ю широко распространенными в геообработке методами, реализованными в пакете Surfer 9. Сделана попытка найти оптимальный метод интерполирования температуры воздуха, относительной влажности, атмосферного давления и количества осадков; а также выявить характеристику исходных данных, влияющих на точность интерполирования.

Материалы и методы

Исходными данными являлись массивы среднемесячных значений температуры воздуха, относительной влажности, атмосферного давления, количества осадков за ноябрь 2016 г. Значения метеопараметров измерены на 50 метеорологических станциях, расположенных на территории Северо-Запада России [6]. Карта размером 10x10 градусов с расположенными на ней метеостанциями представлена на рис. 1.

Количество осадков за месяц менялось в зависимости от станции от 33 до 133 мм со среднеквадратическим отклонением 20,6 мм. Среднемесячная температура колебалась в пределах от -7,2 до -2,4°С со средне-квадратическим отклонением (СКО) - 1,2°С. Диапазон изменения атмосферного давления составил 760,2-763,0 мм рт.ст., СКО -

0,79 мм рт.ст. Относительная влажность занимала интервал 85-89%, СКО - 2,53%.

В данной работе интерполирование выполнялось следующими методами: обратных расстояний, кригинга, минимальной кривизны, модифицированным методом Шепарда, методом естественной окрестности, полиномиальной регрессии, радиальных базисных функций, триангуляции с линейной интерполяцией, методом локальных полиномов.

Используемые алгоритмы интерполяции

Достаточно простой и распространенный метод обратных расстояний в качестве оценки переменной 2й использует среднее взвешенное значений переменной X в выборочных точках [5, с. 27-28]:

^ = Х ^ 0 • X

10 ■>

1 = 1

1=1

где ш - веса, задаваемые с учетом расстояния между точкой измерения и узлом регулярной сетки.

/

♦ ♦

/

мЛоотЗГ

■ ■Г.

Л

Рис. 1. Карта станций на географической основе.

Модифицированный метод Шепарда в качестве оценки метеовеличины в произвольной точке (Х0, У0) области исследования использует среднее взвешенное значений аппроксимирующих функций в этой точке [5, с. 30-32]:

¿о = Х ^о, • й(Xо,У0)/X

♦

♦ ♦

♦ о 4

где 0(Х, У) - значения аппроксимирующих функций, построенных вокруг каждой из точек наблюдений.

Полиномиальная регрессия вычисляет значение переменной Х0 в произвольной точке по уравнению регрессии [5, с.39]:

2о = е (х о, /о),

где ОХ0,У0) - линейный, билинейный, квадратичный или кубический полином, который строится методом наименьших квадратов на основе всех входных данных.

Метод локальных полиномов, в отличие от предыдущего, использует кусочно-полиномиальное интерполирование. Полиномы 1, 2 или 3 степени строят по локальной окрестности точки, размеры которой задают таким образом, чтобы обеспечить частичное перекрытие наборов данных, используемых для интерполяции в соседних узлах сетки. Это позволяет избежать разрывности производных на границах соседних полиномов.

Для определения коэффициентов полиномов применяется метод взвешенных наименьших квадратов, где вес каждой выборочной точки зависит от ее расстояния до точки, где делается оценка [5, с. 40]. Результаты пространственного моделирования при использовании квадратичного полинома схожи с методом Шепарда.

Метод триангуляции использует алгоритм построения триангуляции Делоне - разбиения области исследования на совокупность треугольников, вершинами которых являются соседние точки выборки [3, с. 180; 9, с. 11; 10, с. 9]. Для оценки переменной X в некоторой точке (Х0, У0) находится ее положение в плоскости треугольника, в который она попала [5, с. 43].

В методе естественной окрестности оценка переменной X в некоторой точке области исследования определяется как среднее взвешенное значений этой переменной в ближайших выборочных точках [5, с. 46]:

^ = X щ<

¡=1

где веса шо0 определяются с использованием диаграмм Вороного [1, с. 35, 55].

Метод минимальной кривизны строит интерполяционное поле с помощью двух-

СО О

СО Ci

О

мерного сплайна, стремящегося пройти через все экспериментальные точки с минимальным числом изгибов, подобно тонкой эластичной пластине. Предварительно по выборочным данным с помощью метода наименьших квадратов строится аппроксимирующая поверхность, и в точках выборки вычисляются разности между результатами аппроксимации и наблюденными значениями. Полученные остатки интерполируются в узлы сетки. Результирующую оценку получают путем сложения аппроксимирующей полиномиальной поверхности и про-интерполированных остатков [5, с. 49-50].

В методе радиальных базисных функций оценка метеовеличины в произвольной точке области исследования находится как линейная комбинация значений радиальных базисных функций (РБФ):

Zo \B (di0),

где di0 - расстояние между точкой, где вычисляется оценка, и i-й точкой измерения; А. - коэффициент i-й выборочной точки, который получают решением системы n уравнений, составляемых из условия прохождения поверхности через значения Z(x) в n выборочных точках; B - радиальная базисная функция, аргументом которой является расстояние di0 [1, с. 60-62; 5, с. 54-55].

В работе используется мультиквадра-тичная функция:

B(d)= Vd2 + R2,

где d - расстояние от точки интерполяции до выборочной точки, R2 - параметр сглаживания, который выбирался в интервале от среднего расстояния между точками выборки до половины этого среднего.

Метод кригинга в настоящее время стал фундаментальным инструментом в области геостатистики [2, с. 56]. В нем учитывается, что значения переменной в близко расположенных точках пространственно коррелированы, в то время как в удаленных друг от друга точках они статистически независимы. При кригинге узлам прямоугольной сетки присваиваются весовые значения, которые определяются из эмпирической вариограммы, вычисляемой по формуле [1, с. 67]:

1 N{hK п2

Y (h ) = Wh Z (x )-Z (x + h )] '

где Z(x) - значение параметра, взятое в точке г; Z(xi + h) - значение, взятое через интервал h.

Данная формула представляет собой сумму квадратов разностей между значениями поля параметра в паре точек, разделен-

ных расстоянием к. Число точек равно М, число сравнений между парами точек М - к.

Построение вариограмм метеовеличин

Для построения полувариограмм давления, температуры, количества осадков и влажности были вычислены полудисперсии для различных расстояний к. Когда расстояние к между точками измерения равно нулю, то значение в каждой точке сравнивается с самим собой, следовательно, полудисперсия равна нулю. Если к мало - точки при сравнении оказываются похожими, и полудисперсия будет мала. Поведение ва-риограммы для малых значений к связано с непрерывностью и пространственной регулярностью исследуемых переменных. Поскольку функции, описывающие вари-аграммы температуры, осадков и давления стремятся к нулю, при значениях к близких к нулю, указанные переменные непрерывны на малых расстояниях.

По мере увеличения расстояния к сравниваемые точки становятся слабее связанными друг с другом и расстояния между ними увеличиваются, что приводит к большим значениям у(Ь). Пунктиром на каждом графике отмечена дисперсия данных. Дискретная экспериментальная вариограмма, построенная по значениям осадков, может быть аппроксимирована экспонентой. Расстояние, на котором полудисперсия приближается к дисперсии, определяет окрестность, в пределах которой все значения переменной статистически связаны друг с другом. За пределами этой зоны влияния значение вариограммы больше не будет расти, значит, корреляции между измерениями нет. Вариограм-мы температуры и давления не достигают порога, а продолжают возрастать с увеличением расстояния, что указывает на наличие сильного тренда в массиве данных.

Кривая, построенная по значениям влажности, имеет горизонтальную форму, соответствующую случайной переменной, не имеющей пространственной автокорреляции, поскольку корреляционная связь отсутствует применять метод кригинга для интерполяции влажности нецелесообразно.

Результаты интерполяции

В ходе выполнения настоящей работы были построены 36 интерполяционных полей: для каждого из четырех метеопараметров девятью методами. На рис. 3 представлены результаты интерполяции температуры, на рис. 4 - влажности, на рис. 5 - давления и на рис. 6 - количества осадков. Использовались следующие ал-

1=1

Вариаграмма количества осадков Direction: 0.0 Tolerance: 90.0

50 100 150 200 250 300 350 400 Lag Distance

Рис. 2. Вариаграммы количества осадков, температуры, давления, влажности.

горитмы: метод обратных расстояний (3а, 4а, 5а, 6а), кригинга (3б, 4б, 5б и 6б), минимальной кривизны (3в, 4в, 5в, 6в), модифицированный метод Шепарда (3г, 4г, 5г, 6г), метод естественной окрестности (3д, 4д, 5д, 6д), полиномиальной регрессии (3е, 4е, 5е, 6е), радиальных базисных функций (3ж, 4ж, 5ж, 6ж), триангуляции с линейной интерполяцией (3з, 4з, 5з, 6з), метода локальных полиномов (3и, 4и, 5и, 6и).

При качественном сравнении построенных полей между собой заметно их большое отличие. Для эффективного сравнения некоторые изолинии выделены: так

на рис. 3. выделена изолиния с температурой -6°С, на рис. 4 - изолиния с влажностью 92%, на рис. 5 - изолиния с давлением 762 мм рт.ст., на рис. 6 - изолиния с количеством осадков 100 мм. Визуально видно, что формы изолиний на полях одной и той же переменной, построенных разными методами, отличаются.

Кросс-валидация для оценки =|

результатов интерполяции Р

Оценку результатов интерполяции выполним с помощью процедуры кросс-вали- щ. дации, которая заключается в следующем: ^

а) б) в) г) д) е) ж)

Рис. 3. Пространственные модели температуры

и)

г) д) е) ж)

Рис. 4. Пространственные модели влажности

а) б) в) г) д) е) ж)

Рис. 5. Пространственные модели атмосферного давления

и)

СО

.

о

а) б) в) г) д) е) ж)

Рис. 6. Пространственные модели количества осадков.

и)

1) из начального набора данных случайным образом изымаем одно измерение ¿(х, у) и проводим оценку в этой точке ¿*(х, у) с использованием всех оставшихся точек;

2) полученное значение ¿*(х, у) сравниваем с известным ¿(х, у) и вычисляем невязку между измеренным значением и оцененным;

3) выполнив поочередно данную процедуру для всех точек данных, получаем число невязок, равное количеству точек [8, с.23-24].

Для всех рассматриваемых алгоритмов вычислены относительные ошибки:

8 =

= 7 (х, у )- 7 *(х, у )

2 (х, у )

юо%,

где ¿*(х, у) и ¿(х , у) - оцененное и известное значения в точке (х , у) соответственно [2, с. 20].

Диаграмма распределения ошибок интерполяции для девяти методов представлена на рис. 7.

Серые столбики на рис. 7 характеризуют ошибки в распределении осадков, белые - температуры, заштрихованные -влажности. Ошибки интерполяции давления всеми методами составили сотые доли

30,0

25,0

20,0

15,0

10,0

0,0

I осадки

процента, поэтому на графике такого масштаба не отразились.

Заметно отличие в ошибках интерполяции одного метеопараметра разными методами, также и различных метеопараметров одним методом.

Средняя ошибка интерполяции количества осадков по всем методам составила 22% с колебаниями от 18% у метода минимума кривизны до 28% у полиномиальной регрессии.

Самым точным методом интерполяции температуры оказался метод естественной окрестности, его ошибка составила 11%. Наибольшая ошибка интерполяции температуры - 16% у метода минимума кривизны. Средняя ошибка определения температуры по всем методам - 13%.

Минимальная ошибка интерполяции влажности - 2% - у метода естественной окрестности, максимальная - 4,8% у метода Шепарда. Среднее значение ошибки по всем методам 3%.

Наименьшая точность, независимо от метода, ожидаемо оказалась при интерполяции осадков, наибольшая - давления. Однако зависимость ошибки интерполяции от дисперсии метеопараметра не обнаружена. На рис. 8 представлены средние по всем методам ошибки интерполяции четырех метеовеличин, и нанесены значения среднеквадратического отклонения (СКО) соответствующей величины. Видно, что точность интерполяции влажности существенно выше, чем температуры, хотя СКО температуры превышает СКО влажности.

Можно предположить, что более гладкие поверхности интерполируются точнее, чем неоднородные. Оценкой «шероховатости» поверхности может выступать средняя скорость изменения значения метеопараметра на соседних станциях. Относительные значения такой скорости также нанесены на график рис. 8. Они составили для давления, влажности, температуры и количества осадков значения 0,12; 2,8; 38; 43% соответственно. Заметно, что увеличение скорости сопровождается увеличением средней по всем методам относительной ошибки интерполяции.

Ошибки интерполяции

- - 1 -

1 % 1 1 1 1 1 1 1

149

5

методы

□температура

■ давление

9. влажность

Рис. 7. Диаграмма распределения ошибок интерполяции для девяти методов. 1 - метод обратных расстояний; 2 - кригинг; 3 - метод минимальной кривизны; 4 - модифицированный метод Шепарда; 5 - метод естественной окрестности; 6 - полиномиальная регрессия; 7 - метод радиальных базисных функций; 8 - триангуляция с линейной интерполяцией; 9 - метод локальных полиномов.

Найденная характеристика позволяет до проведения процедуры интерполяции качественно оценить точность ее результатов. Например, авторами решалась задача построения карт загрязнений воздушного бассейна оксидами углерода и азота [4]. Вычисленные значения скорости изменения концентраций, которые составили 0,2% у СО, 25,4% у N0 и 14,3% у N0,,, дали возможность предсказать наименьшие ошибки при интерполяции СО, средние -N0^ наибольшие - N0. Построенные интерполяционные карты и выполненная

Рис. 8. Средние относительные ошибки интерполяции четырех метеопараметров: 1 - количества осадков, температуры, давления и влажности; 2 - СКО; 3 - скорость изменения метеопараметров.

со О

СО Ci

О

впоследствии процедура кросс-валидации подтвердили данный прогноз: ошибка интерполяции CO составила 0,2%, NO2 -0,9%, NO - 1,5%.

Сравнительная характеристика интерполяционных методов

Метод обратных расстояний (рис.3а, 4а, 5а, 6а) сгенерировал структуры типа «бычий глаз» вокруг точек наблюдений с высокими значениями метеопараметров. При моделировании влажности, температуры и осадков этим методом получена низкая точность.

Метод кригинга, задаваемый в Surfer по умолчанию, является одним из наиболее гибких и часто используемых методов. Результаты интерполяции этим методом представлены на рис. 3б, 4б, 5б, 6б. Главным ограничением для применения кри-гинга является выполнение требования стационарности исследуемого процесса. В нашем случае, в данных по давлению и температуре наблюдался очевидный тренд. В этом случае могла быть применена процедура универсального кригинга. Однако применение такой модели в областях с редкой сетью наблюдений обычно приводит к ошибкам. Вычисленные параметры тренда по отдельным измерениям могут быть про-экстраполированы на расстояния, сопоставимые с масштабом области исследования, и тем самым привести к нереалистичным значениям интерполируемого параметра. Значения весов кригинга зависят не только от расстояния точки с данными от оцениваемой, но и от кластерности сети мониторинга. Если около одной из точек больше соседей, использующихся при оценке, такая избыточность информации уменьшает вес этой точки. Вес кригинга может стать и отрицательным, если оцениваемая точка оказалась экранирована другой. Эффект экранирования и отрицательные веса могут приводить к выпадению оценки из области допустимых значений (в нашем случае, к отрицательным значениям давления, влажности и количества осадков).

Таким образом, применение универсального кригинга может считаться оправданным в случае, когда интерполяция проводится для больших областей с явно выраженной закономерностью в распределении вдоль какого-то направления. Например, для температуры воды, когда априори известна тенденция ее повышения при продвижении от полюсов к низким широтам.

Метод минимума кривизны (рис. 3в, 4в, 5в, 6в) генерирует гладкие поверхности и для большинства множеств экспериментальных данных работает достаточно быстро. Важ-

ным свойством метода является непрерывность поверхности производной второго порядка. В отдельных случаях возможно образование плоских участков поверхностей при сильном натяжении функции между точками измерений. Метод минимума кривизны хорошо подошел для интерполирования осадков, но оказался самым слабым для значений влажности и температуры.

Метод Шепарда (рис. 3г, 4г, 5г, 6г) подобен методу обратных расстояний. Его преимуществом является отсутствие на полученном интерполяционном поле структур типа «бычий глаз», особенно при задании сглаживающего параметра. Он проявил низкую эффективность при интерполяции влажности и температуры, что может быть обусловлено недостаточным количеством измерений. Требуемое число точек для расчета коэффициентов квадратичной функции, используемых в алгоритме Шепарда, должно в 1,5-2 раза превышать количество коэффициентов аппроксимирующей функции. Поскольку у квадратичной функции их шесть, число станций должно быть не менее 9-12. Это требование выполняется только для центральной области рассматриваемой территории.

Метод естественной окрестности (рис. 3д, 4д, 5д, 6д) можно рекомендовать в случае регулярного расположения в пространстве или незначительно смещенных относительно узлов сетки исходных выборочных точек. Выходная растровая модель должна иметь шаг, равный или близкий к шагу выборочной сетки [5, с. 34].

Метод полиномиальной регрессии, как видно из рис. 3е, 4е, 5е, 6е, позволил выявить глобальные пространственные тренды и потерял детальную локальную информацию, содержащуюся в данных, поэтому ожидаемо показал низкую точность при интерполяции осадков - самого быстро - и резкоменяющегося в пространстве параметра. Это метод не является строго интерполяционным, поскольку сгенерированная поверхность не проходит через экспериментальные точки.

Метод радиальных базисных функций (рис. 3ж, 4ж, 5ж, 6ж) генерирует поверхность, гладкость которой регулируется параметром сглаживания. Однако общих рекомендаций по выбору оптимального значения для параметра сглаживания нет. В случае значительных изменений изучаемой пространственной переменной в пределах коротких расстояний или при наличии ошибок в исходных данных метод радиальных базисных функций использовать нецелесообразно. Эффективность его использования возрастает с увеличением

степени осреднения исходных данных, следовательно, он подходит для создания модели слабо меняющихся поверхностей, например поверхности высот.

Метод триангуляции (рис. 3з, 4з, 5з, 6з) для множеств экспериментальных точек средних размеров работает достаточно быстро и строит хорошее представление данных о температуре. Недостатком является появление явных треугольных граней на поле поверхности и больших прямолинейных сегментов на картах изолиний, что вызвано недостаточным числом точек выборки и их неравномерным распределением в пространстве.

Метод локальных полиномов сгладил поверхности всех метеовеличин (рис. 3и, 4и, 5и, 6и), неплохие результаты показал при интерполяции количества осадков и влажности.

На точность интерполяции практически всеми методами значительное влияние оказывает равномерность расположения станций и расстояние между ними.

Заключение

Проведенное тестирование девяти методов интерполяции, входящих в программный пакет Surfer 9, на массиве метеорологических данных позволяет сделать следующие выводы.

1. Для создания геоинформационных слоев распределения рассмотренных метеорологических параметров выделить оптимальный метод интерполяции в смысле минимума ошибки оказалось невозможным. Тем не менее, методом естественной окрестности получен эффективный результат при интерполяции всех метеопарамет-

Список литературы:

[1]

ров, а метод обратных расстояний - наименее точный.

2. Выявлена зависимость средней ошибки интерполяции по всем методам от пространственной изменчивости значений метеопараметров между станциями и независимость от их дисперсии. Для повышения точности интерполяции рекомендуется уменьшать значение изменчивости характеристики, используя более частые в пространстве измерения.

3. Нестационарность метеоданных по пространству не позволяет использовать метод простого кригинга, установленный в большинстве программных пакетах по умолчанию.

4. Создание слоев пространственного распределения метеохарактеристик, требующих подбора оптимальных параметров используемых интерполяционных процедур, представляет определенные трудности для неспециалиста в области интерполяции.

5. Для получения репрезентативной глобальной статистики - средних, вариаций, гистограмм, - рекомендуется процедура пространственной декластеризации сети мониторинга.

Таким образом, при необходимости получения пространственного распределения метеопараметров в регионе следует использовать дифференцированно любой метод из девяти, входящих в пакет Surfer 9, с учетом выявленных особенностей. Предварительная оценка скорости изменения интерполируемой величины позволяет качественно спрогнозировать точность интерполяции любых пространственных данных до осуществления процедуры интерполяции.

Демьянов В.В., Савельева Е.А. Геостатистика: теория и практика / Под ред. Р.В. Арутюняна; Ин-т проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. - М.: Наука, 2010. - 327 с. Каневский М.Ф., Демьянов В.В., Савельева Е.А., Чернов С.Ю., Тимонин В.А. Элементарное введение в геостатистику // Проблемы окружающей среды и природных ресурсов. - М.: ВИНИТИ, № 11, 1999. - 136 с.

Капралов Е.Г., Кошкарев А. В., Тикунов В. С.и др. Геоинформатика / Учеб. для студ. вузов; под ред. В.С. Тикунова. - М: Академия, 2005. - 480 с.

Крюкова С.В., Кузнецов А.Д., Симакина Т.Е. Оптимизация сети экологического контроля в г. Санкт-Петербурге // Гетерогенные системы и процессы в природных и техногенных средах. Атмосферная экология. Гетерис-2017. 28, 29 ноября 2017. Тезисы международной научной конференции. - СПб.: Изд-во ВВМ, 2017. - С. 96.

Мальцев К.А., Мухарамова С.С. Построение моделей пространственных переменных (с применением пакета Surfer) / Уч. пос. - Казань: Казанский университет, 2014. - 103 с. Расписание погоды. - Интернет-ресурс. Режим доступа: https://rp5.ru

Савельев А.А., Мухарамова С.С., Пилюгин А.Г. Пространственный анализ в растровых геоинформационных системах / Уч.-метод. пос.- Казань, Изд-во Казан. ун-та. 2007. - 30 с.

Савельев А.А., Мухарамова С.С., Пилюгин А.Г., Чижикова Н.А. Геостатистический анализ данных в экологии и природопользовании (с применением пакета R) / Уч. пос. - Казань: Издательство Казанского университета, 2012. - 120 с.

Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и её применение. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с. [10] Скворцов А.В., Мирза Н.С. Алгоритмы построения и анализа триангуляции. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. - 168 с.

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

со О