Выбор формул для расчета основных параметров микрополосковых линий Текст научной статьи по специальности «Физика»

роконечные пики, лежащие на той же прямой, на которой были расположены указанные ранее плечи двумерной характеристической функции.

Таким образом, полученная формула полностью описывает двумерную характеристическую функцию двух зависимых равномерно распределенных случайных величин. Функция удовлетворяет всем известным свойствам характеристической функции, обладает интересными зависимостями и может быть рекомендована для теоретических исследований и практических использований.

1 Здесь и далее имеется в виду вертикальное сечение плоскостью, проходящей через начало координат.

2 На первом месте стоит значение Vj, а на втором - соответственно v -, •

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1966. - 728 с.

2. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. -М.: Наука, 1967.-608 с.

ВЕШКУРЦЕВ Юрий Михайлович - доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Радиотехнические устройства и системы диагностики».

КОЛОДИН Алексей Александрович - аспирант кафедры «Радиотехнические устройства и системы».

-Q

I

=5

аз О

а:

"S; S

СЗ

0 g

4

1 I

о

s

0

1

0 а: 59

1 5: 5:

I

©

о

5 S

0

1

s<

5

■s;

0

1

§

I

3 §

о

И. В.БОГАЧКОВ

ОмГТУ

УДК 621.372.8.049.75

ВЫБОР ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

МИКРОПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЙ

В СТА ТЬЕ ПРОВОДИТСЯ АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ЗАТУХАНИЯ МИКРОПОЛОСКОВОЙ ЛИНИИ. ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АНАЛИЗА ПОСТРОЕНЫ СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ГРАФИКИ. НА ОСНОВАНИИ АНАЛИЗА РЕКОМЕНДОВАНЫ ФОРМУЛЫ С МИНИМАЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ В ЗАДАННЫХДИА -ПАЗОНАХ. РАССМОТРЕН ВОПРОС КОРРЕКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФОРМУЛ ДЛЯ УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ.

Микрополосковые линии (МПЛ) завоевали широкую популярность при конструировании УВЧ и СВЧ устройств. Анализ параметров данных линий достаточно сложен. Несмотря на существование точных методов сложность формул и отсутствие достаточных вычислительных ресурсов в свое время породили множество аппроксимацион-ных формул для вычисления волнового сопротивления (2в), затухания и для оценки дисперсии, которая появляется при распространении волн в разных средах. Широкое распространение персональных компьютеров с достаточными вычислительными ресурсами позволяет реализовать расчет 7в МПЛ по алгоритмам на базе точных формул даже при неявном выражении, а также применять наиболее точные аппроксимации.

Рис. 1. Конструктивные параметры МПЛ

Рассмотрим на совпадение известные точные и приближенные формулы для вычисления МПЛ [1-11], пользуясь современными вычислительными средствами.

На рис. 1 приведены конструктивные параметры МПЛ: И - толщина, а V* - ширина центрального проводника, Ь - толщина подложки, е - диэлектрическая проницаемость подложки, е' - диэлектрическая проницаемость среды над подложкой.

Точная формула для расчета 7л однодиэлектричес-кой (е = е') МПЛ нулевой толщины такова [3,4]:

K\k) K{k)

(я

где

K(k) h к да 04 - тэта-функция Якоби,

а,

fC{k) К(к)

полный эллиптическии интег-

о у 1-Х рал второго рода [13-15].

Различные приближенные формулы для данного случая рассмотрены в [12].

При применении формул однодиэлектрических МПЛ для анализа реальных МПЛ (е >>е') необходимо пересчитать е в эквивалентную диэлектрическую проницаемость ^[2-10].

£ + 1

£ — 1

£ эфф '

2J1 +

10 Ъ

(2)

Zlb

С учетом (2) получаются такие формулы [3,4]:

60-У2

л/ё+Т

0,5—|ln(7r/2) + -ln(4/7r) е +1

Z12 = -

при w/b£l ,

60тг

(3)

Ге-

— + 0,441 + 0,082 — + — ] 1,451+ 1п| — + 0,94 2 Ь £" 2ле 2 Ь

при . (4)

Согласно [2] данные формулы имеют достаточную точность при ЫЬ^0,005 и хорошее совпадение с данными эксперимента при 2<с<10 и 0,1«ЗД/Ь<5. Согласно [3] погрешность (3) не превышает 1%, а (4) - 2%.

Z21 =

60

Егфф

1п

8b

w

W

32 V

при w/b<1 ,

(5)

12(к

1

0,5и>/6 + — 1п(17,08(0,5^/6 + 0,92)) 2п

приж/Ь*1. (6)

В [5,6) приводятся такие формулы с погрешностью <2%:

гбу[ё = -

1 +1,735£

120я -0,0724

(м/Ь)

-0,836

[4].

(10)

231 =

60

I

€эфф

. . 8 Ь н-1п|—+

ю 4 о

гз2 =

при мг/Ь<1, 120тг

(7)

^Ф [ю/Ь +1,393 + 0,6671а(\» 1Ь +1,444)]

при иг/Ь>1. (8)

В [2] приводятся еще модификации (5)-(6), графики которых приведены на рис. 2 как 2А1 и 242.

232 (и)

ош

Я1(п)

И2(п)

ьПо

еххэ

По формулам (2)-(10) построены графики (рис. 2) [12]. Z<o не показан из-за совпадения с 212,732 (см. рис. 2).

Для количественной оценки необходимо выделить относительные погрешности формул 00%),

которые приведены на рис. 3. Графики для 6=9,6 приведены в [12].

Анализ показал, что наименьшую погрешность (<1%) в рассмотренном диапазоне имеют (7) и (8) [12]. С ростом е погрешность всех формул, кроме (8), несколько повышается. При этом на участке 2<*м!Ъ<А формула 242 [2] имеет меньшую погрешность (рис. 3). Для расчетов средней точности при е<4 удобно применение (9) и (10). В заданном диапазоне мг/Ь подбором коэффициентов можно минимизировать ошибку (9). При этом простота формулы упрощает нахождение производных, что необходимо для анализа чувствительности и потерь. Следует особо отметить отно-

.ЕЗ^*1

-ЕС*

"Л - -

7 8 9 10

Рис. 2 Графики г.(и>/г>) МПЛ (е=3,8, Ь=0)

__-'

.г--*--'

-

-О'

10

Рис. 3. Графики относительных погрешностей формул в процентах(в=30, Ь=0)

57

сительно простую формулу (10), которая плавно перекрывает весь диапазон с погрешностью <1,3% при е=3,8 и <1,6% при е=9,6 , но при 11>0,01 применение (10) затруднено.

Для учета толщины центральной полоски (И/Ь>0,01) необходимо в (1)-(10) ввести уу вместо чу [2, 4]:

и;,фф ■

IV + -

к

1 + 1п

п-,фф = И' + - • п

1 + 1п

4 л: и' '2Ь^

при 2Ь^<Ь/(2л), (11)

при 211<Ь/(2;1)<\лл

(12)

Данные формулы имеют небольшие отличия в [5,6]:

... Л

И'** = IV+ 1,25 — ■

VI',« = и'+ 1,25—• к

1 + 1п

4 л-и-

А

при \м/Ь^1/(2л), (13)

1 + 1п

1Ь

к* »

при w/b>1/(2тc). (14)

Коррекция е^ проводится по следующим формулам:

е-1 И/Ь

е + 1

£-1

£ >ФФ — '

2,1 +

126

+ 0,02(е-1)

при [10],

б,фф = 0,475 • £ + 0,67 |3,4|.

Е-1 МЬ 4,6 Г^

Гь (16)

(17)

Известны также формулы с погрешностью не более 5%, что подтверждено экспериментально [1-4]:

г! =

60

1п

4 Ъ

0,536и- + 0,67А

при «^/Ь<1,25 , И/\«<0,8 и сзфф по (17) [2-4];

22\ =

300 \-hlb

при w/b<2,

(18)

(19)

тп =

300

1 -ыь

л/7'1 + п>1Ь-ЫЬ приж/ь^

[1]

(20)

Графики по рассмотренным выше формулам при И/Ь=0,01 и е=3,8 приведены на рис. 4. Для оценки диапазона применения все комбинации формул рассмотрены при ш/Ь^10, а не только в диапазоне действия.

. График 231 построен по формулам (7), (13), (15); 232 - (7), (14), (15); 233 - (8), (13), (15); 234 - (8), (14), (15); 241 -(7), (13), (16) и 242 - (7), (14), (16). Остальные комбинации совпадают с графиками на рис. 4.

Для сравнения формул между собой относительные погрешности (в процентах) приведены на рис. 5. 251 соответствует формулам (7), (11), (15); 252- (7), (11), (15); 253 - (8), (12), (15); 254 - (8), (12), (15); 261 - (7), (11), (16) и 262 -(7), (11), (16).

Анализ показывает, что при 1«/Ь<1,5 (18) имеет погрешность <1,5%. (19) и (20) пригодны для вычислений только при 0,ЗЗД/Ь^2 (погрешность <2,0%). 253 и 234 находятся между 254 и 233. Для получения минимальной погрешности рекомен /ются следующие формулы: при му/Ь<0,5/7г - 21 или г51 (погрешность <0,5%), при 0,5/л<\«/Ь<2,5 - 262 (<1%), при 2<м1Ы7 - 254 (<0,5%), при му/Ь£5,5 - 233 (<1% при \«/Ь<\«/Ь:£9).

С помощью усреднения 21 и 251 [201=(21+251)/2] за счет разных знаков погрешностей возможно уменьшение ошибки до 0,2% в диапазоне 0,05<здг/Ь<1,1. У 202 [202=(21+252)/2] погрешность <0,3%.

Графики для случая Ь|/Ь=0,1 и е=9,6 приведены на рис. 6. Случаи с другими е и Ь|/Ь рассмотрены в [12].

Подбором коэффициентов (19)-(20) погрешность можно снизить до <3% при 0,2ЗД/Ь^2,3 для И/Ь^0,2 [12]:

300 1-0,5ЫЬ

VI 1 + и '1Ь-И1Ь (21)

Х2 =

Графики относительных погрешностей для И/Ь=0,1 и е=9,6 , приведенные на рис. 7, показывают, что при сохранении интервалов действия формул их погрешность увеличивается.

Для получения минимальной погрешности рекомендуются следующие формулы: приуу/Ь<0,5/71-251 (погрешность <3%), при 0,5/л^м/Ь<3 - 262 (<3%, а при 1^/Ь<2,8 - <1%), при 3^/Ь<11 - 254 (<1%, а при 6<уу/Ь^10 - <0,5%); при \«/Ь>11 наименьшую погрешность дает 233 (погрешность <1% при \»/Ь^9). Наибольшая по-

2Л2(гО

в-ве

" *-Е> — -

•В- -

4- 5

Рис. 4. Графики 7. МПЛ при А/Ь=0,01 и в=3,8

грешность во всех случаях наблюдается в области 0,1^/Ь<0,3. Ошибку можно уменьшить усреднением: 201 =(221+г51 )/3 дает погрешность <0,5% при 0,4^уу/Ь<1 ,8, а го2=(г1+о,бг42)/1,б - <1 %.

Анализ показал, что при и//Ь<5 wзф<tl следует вычислять по (11) и (12), которые дают в итоге меньшую погрешность, чем (13) и (14). Это позволяет сделать вывод, что поскольку данные пары отличаются только коэффициентами, вариацией отличающихся коэффициентов формул можно минимизировать погрешность.

Проведенное исследование позволило из всего многообразия формул выбрать наиболее точные, а также показало, что вариацией коэффициентов и усреднением формул с разными знаками погрешностей, можно минимизировать ошибку в определенном интервале [12].

Коэффициент затухания в диэлектрике МПЛ (дБ/м) рекомендуется вычислять по формуле [5]

21,Ъ•tg5 £*м>-\ £ Ас Л/е^фф £ —1

(22)

Для расчета коэффициента затухания в проводниках МПЛ были рассмотрены формулы из [1, 3-5], графики которых приведены на рис. 8 в дБ/м при Ь/Ь=0,01 и е=2.

График арг1 построен по формулам [3, 4], арг2 - [5], аргЗ - по (23) при гв=120п [4], арг4-арг6 - [1].

ССпр'

8,686-&

(23)

г1«л. 1

■ г ■ т ■

гз1<л. 1

ав

ш<л. 1

гззог . 1

т<л ■

и

си

»2<Л . 1

эео Л)1<Л .

2Й2М. ;

1

:>зо

Щ4оП . 1

Й51л . 1

-0.5

-1

¿620^ -2

-и

Рис. 5. Графики относительных погрешностей в процентах при И/Ь=0,01 и е=3,8

0 §

1 §

I

з

о йа

2

Й 5

г§

I

■е.

1

2

I

I

0

1

I

2 §

о

Й5<

ро

5!

I

+ 5

Рис. 6. Графики 2 МПЛ при М>=0,1 и е=9,6

I

Э"

I

аз

О £

5

0

1

I I

53

0

1

о а: оа

!

о

О £

¡Я

I

5

•аз

I

§

I

5

I

о

Формулы [1] требуют вычисления корней неявного уравнения, не зависят от 2в и е, как и (23). Графики, построенные по формулам из [3], (арг1) с ростом е дают существенные отличия от других графиков.

Проведенный анализ показал, что при разных параметрах МПЛ наиболее удобными при достаточной точности являются формулы [5]. Для оценочных расчетов при 1«/Ь>1 и Ь/Ь=0,01 рекомендуется (23).

Наиболее удобные формулы для расчета частотной зависимости 2в и еэфф МПЛ приведены в [5].

Наиболее полный анализ чувствительности параметров МПЛ проведен в [5]. Формулы для анализа чувствительности 7я МПЛ выводятся из соответствующих аппроксимаций для вычисления 2в. Связь между I., Сл и Ъв формально можно представить в виде

ь=

ж

гЛЛ = г-,-

7.т ~ 2в

1 + 6

С/'/,)2

(24)

.ЦъЪАеЛ С = ^и>дл>е>/)

(25)

где

в =

г,-5 60

+0,004 г,, / =397,б г«/ь,

волновое сопротивление ПЛ шириной и высотой 2Ь.

где р(\х>,Ь,к,£,/)- выделяется из выбранной формулы для вычисления 2в .

С помощью формул, рекомендованных на основании проведенного исследования, можно вычислять первичные и вторичные параметры МПЛ, что позволяет проводить анализ распространения сигналов в МПЛ.

—-

4 4.5 5

Рис. 7. Графики относительных погрешностей в процентах при Н/Ь=0,1 и е=9,6

-4 \ ^ "Ч \

«рг41(п) \

ваа Ь

Ч*г42(п) ^Ч

-о-

«рг1(

вео

арт2(

I

I *

о—о-

З-О О

■в-е -е-©

арг43(п)

2.5 *10

0 5

1.5

2 5

Рис. в. Графики апр(и>/Ь) МПЛ в дБ/м при Л/й=0,1 и е=2

ЛИТЕРАТУРА

1. Конструирование и расчет полосковых устройств/ Под ред. И. С. Ковалева. - М.: Сов. радио, 1974,- 296 с.

2. Ганстон М. А. Р. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных линий СВЧ.- М.: Связь, 1976,-152 с.

3. Справочник по расчету и конструированию полосковых устройств/ С. И. Бахарев, В. И. Вольман, Ю. Н. Либ и др.; Под ред. В. И. Вольмана. - М.: Радио и связь, 1982,328 с.

4.Полосковые платы и узлы. / Е.П. Котов, В.Д. Каплун, A.A. Тер-Маркарян и др.- М.: Сов. радио, 1979.

5. Гупта К., Гардж Р., Чадха Р. Машинное проектирование СВЧ-устройств.- М.: Радио и связь, 1987.- 428 с.

6. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и проектирование. Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1990,- 288 с.

7. Справочник по элементам полосковой техники/ Под ред. А. Л. Фельдштейна. - М.: Связь, 1979.- 336 с.

8. Григорьев А. Д. Электродинамика и техника СВЧ,-

М.: Высш. шк., 1990.- 335 с.

9. Микроэлектронные устройства СВЧ/ Н. Т. Бова, Ю. Г. Ефремов, В. В. Конин и др. К.: Техника, 1984.- 184 с.

10. Бал Дж., Гардж Р. Формулы для МПЛ с конечной толщиной полоски// ТИИЭР, Т. 65, 1977,- С. 1611-1612.

11. Микроэлектронные устройства СВЧ/ Под ред. Г. И. Веселова,- М.: Высш. шк., 1988.- 280 с.

12. Богачков И. В. Выбор аппроксимации для вычисления волнового сопротивления полосковой и микрополос-ковой линий. - Омский гос. техн. ун-т, Омск, 1999. // Деп в ВИНИТИ 24.01.99.

13. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган,- М.: Наука, 1979,- 832 с.

14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,- М.: Наука, 1971 -1100 с.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Пер. с англ. - М.: Наука, 1967 - 300 с.

Б.И.МИХАЙЛОВ, А.К.ЕЛЬЦОВ

УДК 621.396.7

НЕОБХОДИМЫЙ ФАКТОР ПРИ АНАЛИЗЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

ПОКАЗАНО, ЧТО ПРИ АНАЛИЗЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В РЯДЕ СЛУЧАЕВ ДОПУСКАЕТСЯ БЕЗ КАКИХ-ЛИБО ПОЯСНЕНИЙ НЕПРАВИЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИГНАЛА НА ВХОДЕ ЭТИХ ЦЕПЕЙ. ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА ПОЗВОЛЯЕТ УЧИТЫВАТЬ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЦЕПЯМИ.

При анализе нелинейных цепей радиоэлектронных устоойств широко используются математические модели гармонических сигналов. ЭДС такого сигнала имеет вид

е, = Е„, coscot.

(1)

В литературе во многих случаях с целью упрощения напряжение сигнала, приложенное к входу нелинейной цепи, принимается гармоническим

м„ = t/ coscot.

(2)

Этот случай изображен на рис. 1а. Нелинейная цепь при этом рассматривается отдельно и может представлять собой двухполюсник или четырехполюсник. В ряде случаев воздействие на входе нелинейной цепи изображается в виде ЭДС (Рис. 16), согласно выражению (1), без каких-либо пояснений.

Входное сопротивление нелинейной цепи зависит от амплитуды сигнала по своей природе и лишь в частных случаях приведенные упрощения могут быть допустимы. На практике к таким случаям можно отнести воздействие сигналов с амплитудами не более нескольких милливольт на вход усилителей, построенных на лампах или полевых транзисторах. На входе нелинейных цепей, построенных

на биполярных транзисторах или диодах, при воздействиях с такими же амплитудами, амплитуды образуемых гармоник или комбинационных составляющих могут превышать десятки микровольт. Образование нелинейных искажений объясняется изменением входного сопротивления, а возможность их измерения на входе тем, что реальные генераторы и любые каскады, предшествующие нелинейному каскаду, имеют внутреннее сопротивление.

На рис.2 нелинейная цепь приведена совместно с моделью реального источника сигнала. Допустим, что нелинейная цепь безынерционная.

Рис. 2

При ЭДС сигнала (1) ток, протекающий во входном контуре, из-за нелинейных искажений будет представлять собой сумму гармоник

ч>

/£(0 = /, совю / + /2 «»2« /+...= £ /„ со$па> г, (3) где 1П -амплитудное значение п-й гармоники тока.

Напряжение сигнала на входе нелинейной цепи

х-

uc(t) = Emcoscot- Rc^I„cosna>t.

(4)

Л=1

Как видим, форма напряжения на входе нелинейной цепи не является гармонической ввиду того, что на сопротивлении источника сигнала присходит падение напряжения от гармоник тока.

Таким образом, при анализе нелинейных цепей следует применять системный подход, при котором учитывается влияние частей системы друг на друга, или, в частном случае, учитывается влияние существенных факторов одной части на работу другой части. Нелинейную цепь следует рассматривать совместно с источником сигнала или предыдущим каскадом как единую систему. Внутрен-