Выбор формул для расчета основных параметров симметричных полосковых линий Текст научной статьи по специальности «Физика»

74

ТЕННЙЧЕСКИЕ ННУКИ

УДК 621.372.8.049.75 И.В.БОГОЧКОВ

ВЫБОР ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЙ

В статье проводится анализ известных формул для вычисления волнового сопротивления и затухания симметричной полосковой линии. На основании анализа рекомендованы формулы с минимальной погрешностью в заданных диапазонах. Рассмотрен вопрос коррекции коэффициентов формул для уменьшения погрешности.

Полосковые линии завоевали широкую популярность при конструировании устройств УВЧ и СВЧ диапазонов. Однако анализ параметров данных линий достаточно сложен. Несмотря на существование точных решений, сложность формул и отсутствие достаточных ресурсов в свое время породили большое количество аппроксимационных формул для вычисления параметров, таких, как волновое сопротивление и затухание.

Рассмотрим на совпадение известные точные и приближенные формулы для вычисления волнового сопротивления (гв) симметричной полосковой линии (ПЛ) [1-7], пользуясь современными вычислительными средствами. Широкое распространение персональных компьютеров с достаточными вычислительными ресурсами на современном этапе позволяет реализовать расчет 2я ПЛ по сложным алгоритмам на базе точных формул даже при неявном выражении, а также применять наиболее точные аппроксимации [8].

На рис. 1 приведены конструктивные параметры ПЛ: И - толщина центрального проводника, -ширина центрального проводника, Ь • расстояние

между пластинами, Б - диэлектрическая проницаемость среды.

К'(к)

интеграл первого рода, К'(к) = К(к') [9-11].

Поскольку эллиптический интеграл в (1) не берется в элементарных функциях, трудности с практическими расчетами привели к появлению различных аппроксимационных формул [1-7].

при чу/Ь<0,35 [3], (2)

Z2-s/¡T =

60л

И)

при w/b>0,35 [1].

(3)

В [2,5] приводятся другие приближенные формулы, которые после приведения в соответствующие обозначения и устранения опечаток, выглядят так [8]:

ZjVc = 3üln

r2iWik

4 »-^J

30 71

In

,1 + Vk7

O-ví^J

при w/b<0,561, (4)

при w/b>0,561 . (5)

В [2] приводятся также и другие формулы. Формулы (6) и (7) имеют заявленную погрешность больше (<0,3%), чем (4) и (5) (<10-5%).

Рис. 1. Симме причная колосковая линия

Если толщина полоски мала относительно ширины (\^/Ь<0,01), то ее считают нулевой. При Ь=0 точное значение гв ПЛ было получено Коном [1-4] методом конформного преобразования:

ZSN/e = 60-lnf 2^(=2=-1

1 ^J

15*

1п 2

,УГ+к7> Vi-к'

при w/b<0,561,

при w/b>0,561.

(6)

(7)

(1)

Наивысшую точность обеспечивают формулы (8) и (9) [2]:

^ = ПРИ*/Ь<0,561, (8)

к = sechl

где

K(k) = J

жм\ I , ч ZsVe--, ДИ*

при w/b>0,561. (9)

dx

о ^(l-x^l-k2!2)

-полный эллиптическии

Представляет интерес простая формула (10) [1], схожая с (2): г 200

■"Ю

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

75

На рис. 2 приведены графики, построенные по рассмотренным выше формулам. Графики для г5-Z8 не приводятся из-за их совпадения в выбранном масштабе с графиками Т., ZЗчZ8.

гцп) •»■

Ы(п>

вое г

а(п>

вое

»(и)

|\ „1, \1 1 4<> 1

» 1 [ 1 1

\1< 1 1

1 1 1

Рис. 2. Графики ПЛ, вычисленные по

формулам (1)-(10)

Поскольку погрешность (2), (3) и (10) существенна, на рис. 3 показаны графики относительной погрешности данных формул, а на рис. 4 - аналогичные графики для более точных формул (4)-(9).

га«»* а)

г»<1«а)

1 1 к--1 .-О-' , -о- -1 _» н >- • -* - • -1 - -е-1 чг- ■

/

1 ^ г'' \

1

<Н 01

1а 16

Рис. 3. Графики относительных погрешностей (2), (3) и (10) в процентах

о I

27»^»)

в-в

«•к») жм

Г7.т«в)

»0

+++

-о I .

/ 141 У у

м '■ ГГ-1 / ■У

у* 1 .• к' 1 / 1 *

Т 1 ( ¡/

(10). Например, при множителе "192" для 2,4<му/Ь<3,1 погрешность не превышает 0,2%.

Рассмотрим случай, когда учитывается толщина центральной полоски.

Точные формулы имеют сложную и не явно выраженную форму [2].

„ Г К (1 / а)

=30зс—--

в К(1 / а) 1

(11)

где а - величина, вычисляемая из следующих уравнений :

Ь__КП(К,Р')-К(Р')

К =

w

где

Ь К.(П(К',Р) + П(1-а2,р')-К(Р'))

а2-р2 а2-1 1

1-а2 '

К(Р)-(1-4)П(4,р) _а1_

И • (П(Н', р) + П(1 - а2, р') - К(Р'))

П (к,у) = /

ах

о (1 — кх2)^(1 -х2)(1 —V2х2)

- пол-

Рис. 4. Графики относительных погрешностей

(4)-(9) в процентах

Проведенный анализ [8] показал, что наивысшую точность обеспечивают (8) и (9) (<3-10-10, <4-10"12 [2]), и с учетом пофешности численного интегрирования могут считаться практически точными. Наибольшая погрешность формул наблюдается в области точек сопряжения: для (6) и (7) <0,25% (<0,3% И), (4) и

(5) <2,5-10-® (<(3-8)-10"6 [2, 5]). При уу/Ь>3 (5), (7) и (9) имеют одинаково малую погрешность. При достаточной для практики точности, сложность формул (4)-(9) соизмерима, поэтому рекомендуется пользоваться (8) и (9) [8].

Для расчетов средней точности можно рекомендовать (2) в паре с (10) или (3), отличающихся только постоянным множителем. Погрешность (2) не превышает 2% при У¥/Ь<0,4, а (10) - 5% при \*/Ь>0,25. Подбирая множитель можно в заданном диапазоне добиться минимальной погрешности

ный эллиптический интеграл третьего рода [9-11].

В [3] проводится анализ с учетом конечности ширины экранирующих проводников и утверждается, что при ширине экранирующих проводников больше \^+Ь/2 погрешность расчета волнового сопротивления не превышает 1% и уменьшается с увеличением ширины внешних проводников.

Учитывая значительные вычислительные трудности расчета по (11), оправдано существование большого количества работ по поиску приближенных формул с достаточной для практических целей точностью.

ЗОтс

тм 1Ъ + 1п(Р(х)) / я

(12)

где

Р(х) =

(х + 1)

х+1

(х-1)1"1 ' 1-Н/Ь составляет не менее 1% при следующих условиях: те/ь£0,35(1 -Ь/Ь) и Ь / Ь <;0,25 [2]. Данная формула в несколько измененном виде применяется и в [3, 4].

В упрощенном виде (12) записывается так [2]

(погрешность <2% при ж/Ь > 1,5 и Ь/Ь <0,2) :

х =

1

Точность (12)

Ь_

+ь/ь

(13)

Более сложная формула с погрешностью <0,5%

При г~т< 10 приведена в [5, 6]: Ь — п

76

ТЕХНИЧЕСКИЕ ННУКИ

2з>/ё=зо-1п

я

8 Ь-Ь | 1{Й Ь-ЬУ

+ 6Д7

. (14)

ЛУ

где

Ь-Ь Ь-Ь Ь-Ь'

Ауу

Ь-Ь гс(1-х)

1-0,51п

( г V ( 0,0796х Г

ш = ■

1 + , х = Ь/Ь •

3 1-х

Известны также очень простые формулы [1] ь-зь

ТА^ъ - 200

м^/ё = 200

2w+b-h Ь-ЗЬ

гбл/ё = 60 1п

2«г+Ь-ЗЬ

Г

при чу/(Ь-Ь)<1,

при у/у/(Ь-Н)>1. 8Ь

(15)

(16)

+1,61 + 0,24^/V) )

при Ь/Ь^/Ь<0,35(1-Н/Ь). (17)

из которой следует (2) [3].

Графики, построенные по (11)-(17), приведены для разных Ь/Ь на рис. 5 и 6. График г02(п) построен по (9) для сравнения при И=0. Случаи с другими значениями ЫЬ рассмотрены в [8].

ее ж)

и (И л ЖО

>

7Л1.)

»(•I ,

* ! |

!/.....\.......-.....- 1 1

г.............. ............... . .

Рис. 5. Графики 2ш(ч/1Ь) ПЛ, вычисленные по (11)-(17) при Мэ=0,01

1"1> 100 ■(• + 2Я»>

I

&(■) алч

\!

1 \| » V » \ .1 1

1 т ^^ 1 ' . 1 ■о- —^ -

Рис. 6. Графики г^/Ь) ПЛ при ЫЬ =0,04

На рис. 7 и 8 приведены графики относительных погрешностей формул [8].

Рис.7. Графики относительных погрешностей (11)-(17) в процентах при Ь/Ь=0,01 (\wZj- относительная погрешность 21)

Проведенное исследование показало, что пренебрегать толщиной полоски допустимо только при Ь/Ь<0,01, при этом погрешность не превышает 3%. Формулы (15)-(17) пригодны только для оценочных расчетов. Если при Ь/Ь=0,01 погрешность этих формул <3% при уу/Ь>0,2, то при И/Ь=0,4 уже более 100%. Для расчетов в заданном диапазоне погрешность этих формул можно уменьшить коррекцией постоянного множителя [8].

Как наиболее универсальную рекомендуется (14), которая во всем диапазоне имеет небольшую погрешность (<2% при Ь/Ь=0,4, причем при \«/Ь>0,1 погрешность не превышает 1,3%, а при Ь/Ь=0,01 -0,4%) [8].

Наивысшую точность в диапазоне уу/Ь>0,5 обеспечивает (12) (0,08% для И/Ь=0,01 при му/Ь>0,6 и 0,1% для И/Ь=0,4 при \лг/Ь>0,22), причем диапазон возможного применения оказывается гораздо больше заявленного. Потери в ПЛ складываются из потерь в проводниках и потерь в диэлектрике. Коэффициент затухания в диэлектрике ПЛ (дБ/м) находится так:

ад =

(18)

Рис. 8. Графики относительных погрешностей в процентах при Ь/Ь=0,4

Для расчета коэффициента затухания в проводниках ПЛ (дБ/м) за основу берется формула [3-5]

0,023 Я (Ъ2п д!п дг,

а

пр

дЪ дн>

(19)

где

я/М>

• поверхностное сопротивле-

ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ

77

ние проводников [1-5].

Результаты исследования различных формул приведены на рис. 9. График арг1 построен по (19) с применением численного дифференцирования. Близкие результаты при w/b>1 показали арг2 [41, аргЗ [3], арг4 [7] и аргб [1]. Из общей тенденции выпадают результаты существенно более сложных формул 151 (арг5).

•pll")

---- и

>5м

"ir.»"'

4 * . 1 А

* « о » • • » .

t—1-Ч- + t—t- t-+ -+-+-

Рис. 9. Графики anp(w/b) ПЛ при И/Ь=0,01 и б=2.5

Как самая простая при достаточной точности (арг2) для уу/Ь>0,5 для оценки потерь в проводниках рекомендуется формула (20) [4], где вычисляется по формуле (16):

a = •

пр

4,34 Rs ZB-w

(20)

Наиболее полный анализ чувствительности Ъъ к изменению геометрических размеров ПЛ, который позволяет оценить влияние допусков при изготовлении, приводится в [5]. С помощью численных методов [5] данный анализ можно проводить с помощью любой из формул для вычисления 1В.

Литература

1. Конструирование и расчет полосковых устройств/ Под ред. И.С.Ковалева. - М.: Сов. радио, 1974.-296 с.

ПРОГРАММА "ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ

С1992 года в Омской области действует Региональная энергетическая комиссия, основной задачей которой является регулирование тарифов на тепловую и электрическую энергию от энергоисточников Омской области. К разработке основных направлений по разделу "Энергосбережение Омской области. 1998-2000 годы" РЭГ подключила многие предприятия и организации. В настоящее время документ представлен на утверждение главе Администрации области Л.К.Полежаеву.

В беседе с председателем комитета по делам РЭГ Юрием Павловичем Филимендиковым и главным специалистом РЭГ Анатолием Николаевичем Шароновым был затронут вопрос о том, насколько реально в сложившихся условиях осуществление энергосберегающей политики. Но уже то, что разработчики основных направлений энергосбереже-

2. Ганстон М.А.Р. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных линий СВЧ. - М.: Связь, 1976.- 152 с.

3. Справочник по расчету и конструированию полосковых устройств // С.И.Бахарев, В.И.Воль-ман, Ю.Н.Либ и др.; Под ред. В.И.Вольмана. - М.: Радио и связь, 1982,- 328 с.

4. Полосковые платы и узлы // Е.П.Котов, В.Д.Каплун, А.А. Тер-Маркарян и др. - М.: Сов. радио, 1979.

5. Гупта К., ГарджР., Чадха Р. Машинное проектирование СВЧ-устройств. - М.: Радио и связь, 1987.- 428 с.

6. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и проектирова-^ ние: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

7. Справочник по элементам полосковой техники//О.И.Мазепова, В.П.Мещанов, Н.И.Прохорова и др.; Под ред. А.Л.Фельдштейна. - М.: Связь, 1979,- 336 с.

8. Богачков И.В. Выбор аппроксимации для вычисления волнового сопротивления полосковой и микрополосковой линий. - Омский гос. техн. ун-т, Омск, 1999. // Деп. в ВИНИТИ 28.01.99, - 20 с.

9. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с англ. //Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. - М.: Наука, 1979,- 832 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971,- 1100 с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.З. Эллиптические и автоморфные функции: Пер. с англ. - М.: Наука, 1967,- 300 с.

29.12.98 г.

Богачков Игорь Викторович - ст. преподаватель кафедры радиоэлектроники и техники СВЧ Омского государственного технического университета.

ОМСКОЙ ОБЛАСТИ. 1998-2000 гг."

ния применили иной подход, учтя финансирование не только из федерального бюджета, но и из многих других источников, выделяет программу из ряда других областных программ.

По замыслу авторов, доля средств федерального бюджета в общей сумме, направляемой на энергосберегающие мероприятия, будет составлять только 3-5 %. Примерно 30-40 % мероприятий программы будут финансироваться за счет отчисления 1% от топливной составляющей, от проектируемого тарифа на электрическую и тепловую энергию от источника АК "Омскэнерго". Не исключается выделение средств из областного и муниципального бюджетов, использование средств населения и предприятий, поступления от лизинговых операций, облигационных займов и др., - всего предусмотрено 13 источников финансирования. Их кон-