CC BY
8
ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Космакова Минзиля Тимербаевна
доктор PhD, доцент, Карагандинский университет им. академика Е.А. Букетова, Республика Казахстан, г. Караганда E-mail: aika_08-98@mail.ru
Мыцбаева дйгерш К^рмангалицызы
магистрант, Карагандинский университет имени академика Е.А. Букетова,
Республика Казахстан, г. Караганда E-mail: aika_08-98@mail.ru
THE SECOND-TYPE BOUNDARY CONDITION
Minzilya Kosmakova
PhD, Associate Professor, Karaganda Buketov University, Kazakhstan, Karaganda
Aigerim Mynbayeva
Master's Degree Student, Karaganda Buketov University, Kazakhstan, Karaganda
АННОТАЦИЯ
В данной работе исследуется краевая задача для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности: нагруженное слагаемое уравнения представлено в виде дробной производной Капуто по временной производной, причем порядок дробной производной больше порядка по временной переменной в дифференциальной части уравнения, в отличие от работы. Дается постановка неоднородной краевой задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода с ядром, содержащим специальную функцию, а именно вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми.
ABSTRACT
In the article the boundary condition for a fractional-loaded heat equation is investigated: the loaded term of the equation is presented as a fractional Caputo derivative according to the time derivative, and the order of the fractional derivative is greater than the order in time variable in the differential part of the equation, in contrast to the work. The formulation of the inhomogeneous boundary condition to the Volterra integral equation of the second kind with a kernel containing a special function, namely the degenerate hypergeometric Tricomi function, is given.
Ключевые слова: краевая задача, интегральное уравнение, производная, функция, формула, ядро, теплопроводность, дифееренциал, эквивалент, ряды.
Keywords: boundary condition; integral equation; derivative; function; formula; kernel; thermal conductivity; differential; equivalent; series.
В первом квадранте Q = {(х,/): х > 0,/ > 0}
рассмотрим вторую краевую задачу с нагруженным слагаемым в виде производной Капуто.
U, - Uxx + l{ cD0fitu( x, t)}| = f (x, t); 2 <ß< 3 (1)
• -"ix=g (t)
U\t=o=u(xy, Uxlx=„^ g (t)
(2)
Из [4] решение задачи (1)-(2) можно записать в виде:
U(x, t) = J" G(x, й, t) f (%)d% — £ g(t)G(x, 0, t — z)dz + +J ff (й, t)G( x, й, t — T)d£dT — 1 Jt J" {D&( x,T)} xG( x,ü, t — z)d£,dz
x=r(i)
где
1 rtu 3 (x,t)
dl,u(x,t) = ^^ J t .. dT
Г(3 — ß)i0(t — T)ß
(3)
(4)
Библиографическое описание: Космакова М.Т., Мынбаева А.К. ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 4(97). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13546
производная Капуто порядка ß; 2<ß<3
G( x,£, t) =
ijät
exp
(x -£)2 41
+ exp
(x + £)2 41
(5)
функция Грина, примем
(" О(х,Е, /=—I" ] ехр
Jo Jo [
г А х
г =--р-; £ = 0 ^ г =--=
d£¡ = 2-1гйг\ г ^
х 2л//
(* -£)2
4t
+ exp
4t
d£ =
У =
x + £ 2jt ''
1
л[ж
r 2^-y2 dyerfc l *
J0 2 2 \ О.П
1
£ = 0 ^ y = -*= 2-.jt
d£ = 2л//dy; £ ^ +<» ^ y ^ \[ж f x J f x J f x
Terf \Mt J+Xerf f2xT J =erf ^
Итак,
Из (3), с учетом (6) и (7), получим
f G ( x>£>t) d£ = erf [^
(6)
Обозначим
M( t ) = [ cDßatu (x, t)][
=г (t)
(7)
U (x,t) = -Л £ M(t) erf f J dr + fi (x,t) (8)
где
Л (х, /) = |™ О (/d£-j^ (г) О (х, 0, / -г) +
+1о' Г Л г) О (х, / - гу^г
(9)
От (8) возьмем производную по формуле (4). Предварительно найдем
D& | Jo erf
2^/t'—
м(т)dr ^ =
г( з-a)
ii (t, a )-
з^Т^г(з - a )
/2 (t, x, a )+
—-13 (t, x, a )—i=15x—г 14 (t, x, a ),
(10)
8V^T(3 - a )
8л/^г(3 -a )
1
где
1 (ta )=l0t^r2 dr=( a -1)( a - 2)1;^ (11)
при условии
0) = m'( 0) = 0;
lim М(Т\ , = 0; lim M = 0.
>(t-r) a -1
'(t-r)
a-2
найдем значения
12 (t,x^Jexp J3 (', xa KT^L' exp
4 (r-©)
d©
-dr;
14 (t,x,a)=J0
(t -r) a-2j0
J0exp
'(t -r)a
4 (r-©)
4 (r-©)
(r-©)' d©
(r-©)9 d©
-dr;
(r-©)7
-dr.
Первый интеграл (11) вычислили интегрированием по частям, во 2-м, 3-м и 4-м меняем порядок интегрирования
i (t, a) =
= (t-r)2-a ; du = -(2 -a)(t-r)1-a dr
1-a
du = m"(t) dr\
• = M'(r)
= (t-r)1-a ; du = -(1 -a)(t-r)-
du = M"(r) dr,
> = M(r)
a
u
u
По требованию lim ^ И (У_2 = 0; 0) = ß(0) = 0; lim ^^ , = 0.
'(' У
>(t -у)'-1
Тогда / (ß) = (2-ß)0 1)(£-2
(t-y) (t-y)
Для /4 = (х, t, ß) имеем:
0 <©<у |©<у< t
0<у</ 0<©<t
л (х, t, ß)=j; j©
j©(t-y)ß-2 (у-©) = j'^(0) J (х,t,©;ß)d©
-exp
i 2 Л х
4 (у-©)
dy
d© =
(12)
где
J (х, t, ©, ß) = j^
©( t-y)ß-2 (у-©)7
-exp
f х2 ^ 4 (y-©)
dy
y-© © + zt
z =-^y=-; 0 < z <
Замена
Тогда
t-У
z +1
t-© ^ z (t-©) t-© , t — y =-; y - © = —---; dy =-- dz.
z +1
z + 1
J (X, t, ©, ß) = j
0
( z +1)2
(z + 1)ß-2 (z + 1)72 (t -©)
' X2
( t - ©)ß-2 z ^2 (t - ©)/2 ( z + 1)2
-exp
( z + 1)
4 z (t-©)
dz =
(t-©)
ß+-
— exP
4( t-©)
j (z + 1) 2 z 2 exp
4(t-©) z
dz.
После замены получим:
J (х, t, ©, ß) =-¡- exp
f 2 х
(t -©)
ß + -r.
4 (t-©)
(
j> 1)'
2 v ß exp
2
х
—7-\V
41©)
dv [3]
J (х, t, ©, ß) =-- exp
(t-©)
ß+2
4 t©)
Г(3-ß)¥
3-ß
n 2
7 x
2' 4(t-©)
(13)
Здесь а, с, z) - функция Трикоми.
Аналогично получаем ,. 1к (/, х,(к = 1,2,3) можно переписать в виде:
/2 (t, х, ß) = Г(3 -ß)j
1з (t,х,') = г(3-ß)j0'-
/4 ^ х, ß)=r(3-ß)j;-
^(©) exp f 2 х
-©)ß+2 v 4 (t-©)
M©) exp f x2
-©)ß+2 v 4 (t-©)
M©) exp f x2
-©)ß+2 v 4 (t-©)
Л ( ¥
3-ß
11 х2
¥
' 7 v
Л (
3-ß;—;
¥
3-ß;
; 4 (/ - ©)
X
; 4(t- ©)
x2 Л
2' 4(t-©)
d ©;
d©;
d ©
(14)
(15)
(16)
1
UNIVERSUM:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Подставив (11) и (14) - (16) в выражении (10),получим:
D {W (^ЪН
Ъ2у[ж
(ß- 1)(ß~2) r MO dz
r(3-ß) J» (t-z)ß
J j(z)A(t,z,x,ß)exp
(17)
4 (tz
dz,
Тогда, от (8) взяв с двух сторон производную Капуто порядка /(2 < / < 3) и заменив х на у(/), в обозначении (7), получим
j(о-ч^^ 10^ .
Г(3-ß) J0(t -z)ß (t-z)ß+2
x exp
f(t) 4 (t-z)
T
1 -ß
3. r2(t) 2' 4 (t-z)
ju(z) dz 1 + /2 (t)
/2 (t)= Dß {/1 (x, t)}[
■=r(t)
(18)
и / (х, /) определяется формулой (9).
Итак, краевая задача сведена к интегральному уравнению:
ц(г КД/,г),ы(г) dт = /2 (/) ,2 </< 3; (19) где ядро Кр (/, г) имеет вид:
Kß(i,z
7(t) 1
.,2
2\[я
(t-z)
z)ß+2
TexP
гг2) 4 (t-z;
(ß-1)(ß-2) Г(3-ß)(t-z)ß
T
1 -ß
'2'4 (t-
(20)
/ (/) определяется формулой (18) [1]
Лемма 1. Краева задача (1) - (2) эквивалентно сводится к интегральному уравнению, где правая часть / (/) определяется формулой (18), а ядро имеет вид:
где
Kß(t,r) = -
-exp
V^2ß-2 (t -z)ß
)
8t-z
D,
2ß-1
y(f)
V2 (t-z)
(ß-i)(ß-2)
Г( 3-ß)(t z
[2]
1
Список литературы:
1. Luke Yudell L. (1969).The special functions and their approximations. / Yudell L. Luke. — London: Academic Press, Inc. —349 с.
2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. — М. : Физматгиз, 1963. — 982 с.
3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М. : Физматлит, 2003. 2-е изд., испр. —668 с.
4. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. / A.D. Polyanin. — New York-London: Chapman and Hall/CRC: New York-London, 2002. — 780 p.
