Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2011, 7

А. М. Ахтямов1, Е. В. Саляхова2

1 Институт механики УНЦ РАН, 450054, г. Уфа, пр. Октября, 71, e-mai: AkhtyamovAM@mail.ru,

2ГОУВПО филиал УГАТУ в г. Нефтекамске, ул. Социалистическая, 42, e-mai: Shalunova_ev@rambler.ru

Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты?

Получена 26.02.2011, опубликована 21.04.2011

В статье исследуется поведение собственных частот стержня с полостью (подвергшегося коррозии) и сплошного (бездефектного) стержня. Выявлено, что при определенном положении полости в стержне, собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами колебаний сплошного стержня. Показана зависимость поведения собственных частот от значений параметра, характеризующего положение полости стержня. Доказано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости. Для идентификации полости предложено использование собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей).

Ключевые слова: стержень, собственные частоты, диагностика.

ВВЕДЕНИЕ

Стержни, балки являются деталями многих механизмов и конструкций, в которых часто образуются дефекты (трещины, полости из-за коррозии, ударов и т. п.). Для предотвращения аварий и поломок возникает задача их ранней диагностики. Часто для выявления дефекта в стержне и его местоположения используют собственные частоты его колебаний [1-8]. Однако всегда ли собственные частоты позволяют выявить дефект? Не бывает ли таких случаев, когда появление (развитие) дефекта не меняет спектра собственных частот колебаний? В настоящей статье ответ на этот вопрос дается для дефекта в виде полости.

Известно, что собственные частоты поперечных колебаний стержня с раскрытой трещиной, как правило, ниже собственных частот колебаний сплошного (бездефектного) стержня [1-4], а собственные частоты поперечных колебаний стержня с полостью, расположенной в срединной оси, выше собственных частот колебаний сплошного стержня [5-8]. При перемещении полости стержня от срединной оси к внешнему краю, стержень с полостью становится в итоге стержнем с открытой трещиной. На основе этого факта можно сделать предположение: при определенном положении полости стержня, собственные частоты колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами колебаний сплошного бездефектного стержня.

В настоящей работе показана справедливость данного предположения. Для наглядности соответствующие схемы и расчеты сделаны на примере изгибных колебаний стержня квадратного сечения и стержня с полостью, имеющей квадратное сечение. Сначала соответствующие результаты приводятся для стержня с полостью, проходящей по всей длине стержня, а затем для стержня с локальной полостью.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ

Рассмотрим колебания сплошного призматического стержня и трубчатого призматического стержня, с полостью проходящей по всей длине стержня. Сечения рассматриваемых стержней изображены на рис. 1.

а) сплошной стержень, форма б) трубчатый стержень, форма

сечения - квадрат сечения - квадрат с полостью

Рис. 1. Поперечные сечения рассматриваемых стержней

Будем считать, для определенности, что модули упругости Е и плотности р сплошного и трубчатого стержней совпадают и являются константами. Через З1, ¥ обозначим соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения сплошного стержня, а через З2, ¥2 — момент инерции и площадь поперечного сечения трубчатого стержня. Собственные частоты изгибных колебаний сплошного стержня будем обозначать через аі * (і = 1,2,...), а собственные частоты трубчатого стержня — через

а*. Для данных стержней выберем следующий вид закрепления: левый конец жестко

закреплен, правый конец свободен (консольный стержень).

Уравнение изгибных колебаний стержня с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид [9]:

гтд 4и(х, і) д 2и(х, і)

ЕЗ-----+ рр---------= 0,

дх ді2

где и(х, і) — прогиб текущей оси стержня, Е [кг/м2] — модуль упругости, З [м4] — момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, р [кг/м3] — плотность стержня, ¥ [м2] — площадь поперечного сечения стержня.

Задача о изгибных колебаниях консольного стержня длины Ь заменой и(х,і) = y(x)cosаі сводится к следующей спектральной задаче [9]:

у(4) (х ) = Л4 у(х), (1)

у(0) = 0, у'(0) = 0, у (Ь) = 0, у"(Ь) = 0, (2)

,4 р¥а2

где А =--------, а — частотный параметр.

ЕЗ

Как видно из рис. 1, параметр а определяет положение полости трубчатого стержня. При а = 0 полость лежит на срединной оси стержня. При значениях параметра

(И к ^ (И к Л „

I “2 - 2 \ ~ * <[”2 + 2) рассматриваемый трубчатый стержень превращается в

стержень с открытой трещиной (надрезом). Как было отмечено ранее, собственные частоты стержня с полостью на срединной оси выше, а стержня с трещиной, наоборот, как правило, ниже собственных частот сплошного стержня. Если при определенных значениях параметра а собственные частоты трубчатого стержня а* совпадают с собственными частотами сплошного стержня а *, то необходимо выяснить при каких значениях параметра это происходит.

В терминах спектральной задачи (1)-(2) данная задача сводится к исследованию

аа

того, при каких значениях параметра а выполняется соотношение —— =1. Ввиду

а *

14 _ р¥а2

формулы Л =-------- и того, что Е, р, , ¥х, З2, ¥2 не зависят от переменной х,

ЕЗ

последнее соотношение равносильно следующему: — = —. Требуется найти значения

^1 ¥2

а, при которых это соотношение имеет место.

2. ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА, ПРИ КОТОРЫХ СОВПАДАЮТ СПЕКТРЫ ЧАСТОТ СПОШНОГО И ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЕЙ

Площадь поперечного сечения и момент инерции рассматриваемого сплошного стержня имеют вид:

Н 4

¥ = и 2, з ! =

1 12

Площадь поперечного сечения рассматриваемого трубчатого стержня равна ¥2 = И2 - к2. Определим момент инерции сечения трубчатого стержня.

Выберем систему осей 2 и У (оси проходят через центр квадрата со стороной И ). Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Для определения ее положения найдем центр тяжести сечения по отношению к оси 2 [10].

Разобьем сечение на фигуры: 1 — квадрат (И х И ), 2 — полость ( к х к ).

Площади фигур: квадрат = И2, полость /2 = -к2 (для полости площадь

выражается отрицательной величиной). Площадь сечения ¥2 = И2 - к2.

Вычислим координаты у1 центров тяжести фигур, составляющих сечение, относительно оси 2 . Результаты поместим в таблицу.

Таблица 1. Результаты расчета параметров сечения

Части сечения Площади частей /і Координата уі их центров тяжести

1 И2 0

2 - к2 а

Определим статический момент сечения относительно выбранной оси 2 :

= Н2 • 0 - к2 • а = -к2 а.

Координата ус центра тяжести сечения по отношению к оси 2 имеет вид

S 2 — ка

Ус = Тг ~ Н2 — к2 '

Положение нейтральной оси 2Х, проходящей через центр тяжести сечения (рис. 2), найдено.

Рис. 2.

Нейтральная ось 2Х проходит через

к2 а

центр тяжести сечения, ё =

И2 - к2

Вычислим момент инерции сечения трубчатого стержня относительно нейтральной оси 21 :

И

З 2 =------+ Н

21 12

( к2 а Л чН 2 - к2 У

к4 (

— + к2 12

а + ■

1 2 Л 2 ^ ка

После упрощения выражение для З2; примет вид

З = И 4 - к 4 И2 к2 а2 3 2-1 = ~ ТГ2 ТІ'

12 Н2 — к1

Следовательно, момент инерции сечения трубчатого стержня имеет вид

И 4 - к 4 И2 к2 а2

32 321 12 И2 - к2'

Определим теперь, при каких значениях параметра а выполняется соотношение

— = —. Имеем:

* *2

Н 4 Н 4 - к 4 Н2 к2 а2

Д£ = 12 (2 - кг)

Н2 Н2 - к2 ’

а2 -(-к2)2 = 0,

12Н2

Г (я2 - к2 ) (я2 - к2)

а-±—— а

а-

V

= 0.

л/Ї2Н ^ л/І2Н

\л/з

а =((2 - к2) (я2 - к2) = 2 2 к 2)~

" л/12Н " 2Нл/э " 2Н ’

а <22 - к2) (22 - к2) ~2 - к2 )і~

л/Ї2Н 2Нл/э 2Н

Таким образом, при

(22 - к! )

а = - 3

2 Н

а = ■

2 Н

собственные частоты колебаний рассматриваемых стержней совпадают.

3. ПРИМЕР

Рассмотрим полученные выше результаты на конкретном примере. Для описанных выше стержней возьмем следующие значения параметров: Н = 0,1 м, Ь = 1 м, р = 7850

кг/м3, Е = 2,1 -106 кг/см2 = 2,1 -1010 кг/м2, к = 0,01 м.

С помощью разностно-аналитического метода [11] для задачи (1)-(2) получены следующие собственные значения: Л = 1,875, Л2 = 4,694, Л3 = 7,855.

Вычислим теперь собственные частоты колебаний сплошного стержня:

* = 16601 Г Рад Л

= 166,01

со2* = 1040,369

соъ* = 2913,062 ^^^ .

Вычислим также собственные частоты колебаний трубчатого стержня при различных значениях параметра а, результаты поместим в таблицу.

Таблица 2. Собственные частоты колебаний трубчатого стержня при различных

значениях параметра а

Значения параметра а [ РС‘д і 01а 01 * * (рад] 02 0 2 * 0,- (рГ) 03а 03 *

0 166,838 1,0050 1045,557 1,0050 2927,591 1,0050

0,005 166,813 1,0048 1045,399 1,0048 2927,147 1,0048

0,01 166,737 1,0044 1044,924 1,0044 2925,816 1,0044

0,015 166,611 1,0036 1044,131 1,0036 2923,596 1,0036

0,02 166,433 1,0025 1043,019 1,0025 2920,484 1,0025

0,025 166,205 1,0012 1041,589 1,0012 2916,479 1,0012

0,02857883833 166,01 1 1040,369 1 2913,062 1

0,03 165,926 0,9995 1039,838 0,9995 2911,577 0,9995

0,035 165,595 0,9975 1037,765 0,9975 2905,772 0,9975

0,04 165,212 0,9952 1035,368 0,9952 2899,06 0,9952

0,045 164,778 0,9926 1032,645 0,9926 2891,435 0,9926

Как видно из таблицы, частоты колебаний сплошного стержня и трубчатого стержня

(и2 - И2)

совпадают при а =

2Н

= 0,02857883833. Заметим, что значения отношения

0,-

0,-

не зависят от і = 1,2,3 .

0

4. НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТНОШЕНИЯ ОТ і ДЛЯ ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ

0

Закономерность, обнаруженная выше для числового примера является общей,

верной не только для рассматриваемого примера: отношение всех I =1,2,3,4, ... Последнее следует из следующей формулы:

0і

не зависит от і для

0

ЕЗ

2 12

рР2

%

V

ЕЗ

1 л2

ррі

З 2 ¥

31 ¥

і = 1,2,3,....

*

а

*

*

На рис. 3 изображен график, показывающий зависимость отношения

О

от

О,

значений параметра а при произвольных I = 1,2,3,... для рассмотренного выше примера.

1,005 і

1,004 -

1,002 -

1 -

0,998 - <

— 0,996 - Фі *

0,994 -

0,992 -

0,99 -

0,988 -

0.986 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 І

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045

а

Рис. 3. Зависимость отношения

О

О,

от значении параметра а при произвольном і

5. ДИАГНОСТИРОВАНИЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ И РАЗМЕРОВ ПОЛОСТИ

Из предыдущих рассуждений следует, что идентификация цилиндрической полости в стержне только по одному спектру частот его изгибных колебаний (вокруг оси Z1) невозможна. Однако если использовать дополнительно еще один спектр частот (вокруг оси У), то такая идентификация становится возможной. Действительно, в этом случае

из формулы о =

рР2

Хі для собственных частот изгибных колебаний (вокруг оси У)

по любой из собственных частот о. найдем:

Л

Н 4 - к4

Н 4 - к4

¥ 12 (Н2 - к2) 12 (Н2 - к2)

22

Н2 + к2 12

Откуда становится известен параметр размера полости к (если Н известно). Тогда параметр местоположения полости а2 можно определить с помощью собственной

Н4 - к4 Н2 к2 а2

частоты о =

Е^2-Л-2 (вокруг оси 2\), где /2 = =

р2 1

12

Н2 - к2

Таким образом, используя по одной собственной частоте из двух разных спектров частот изгибных колебаний, можно однозначно идентифицировать к и а2.

%

*

6. СЛУЧАЙ ЛОКАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ

Покажем, что в случае локальной полости, т.е. полости, не проходящей по всей длине стержня, также есть положения полости, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний стержня без полости. Однако случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей длине стержня, тем, что эти положения полости являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот.

Итак, рассмотрим случай локальной полости. Для этого возьмем конкретный пример. Значения параметров стержня с полостью такие же, как и для описанных выше стержней. Полость длиной 0,48 м имеет квадратное сечение (к = 0,01 м) и лежит на отрезке [0,26;0,74]. Спектральная задача (1)-(2) для рассматриваемого стержня с полостью имеет вид [9]:

где х1 = 0,26, х2 = 0,74 — границы полости, 31, 32 определены ранее для сплошного и трубчатого стержня, у1, у2 — прогибы соответственно слева и справа от левой границы полости, у2, у3 прогибы соответственно слева и справа от правой границы полости,

Равенства (3) представляют собой условия сопряжения [9, с. 197].

Далее расчет собственных частот ведется с помощью разностно-аналитического метода, описанного в [11]. Полученные при этом результаты занесены в таблицу 3 а.

О а

Как видно из таблицы, значения отношения ——, I = 1,2,3 отличаются. Первая, вторая,

О *

третья частоты колебаний стержня с полостью совпадают с первой, второй, третьей частотами сплошного стержня при различных значениях параметра а .

На рис. 4 изображен график, показывающий зависимость собственных частот стержня с полостью от значений параметра а . Как видим, значения параметра а являются разными для первой, второй, третьей собственных частот.

у(0) = 0, /(0) = 0, /(1) = 0, у "(1) = 0,

У1 (хі ) У2 (хі )з У2 (Х2 ) Уз (х2 )з

у' (х1) = у 2 (х1), у 2( х2) = Уз (х2 \

Е31 У'3( X') = Е3 2 у 2 (Х'), ЕЗ2 у2 (Х2) = ЕЗ' у3 (х2), ЕЗ' уДX') = ЕЗ2 у2"'(Хі), Е32у2да(х2) = Е3і у32(х2),

(3)

Е', х є[0;0,26),

Е = <Е2, х є[0,26;0,74], .Е', х є (0,74;1],

3', х є [0;0,26),

3 = \3 2, х є [0,26;0,74], 3', х є (0,74;1].

Таблица 3. Собственные частоты колебаний стержня с полостью при различных

значениях параметра а

Значения параметра а (рад) 01а 01 * 0 ( Рад] 02 0 2 * (‘г) 03а 03 *

0 166,239 1,0014 1043,818 1,0033 2921,126 1,0028

0,01 166,138 1,0008 1043,249 1,0028 2920,040 1,0024

0,02 165,837 0,9990 1041,539 1,0011 2916,772 1,0013

0,03 165,334 0,9959 1038,681 0,9984 2911,294 0,9994

0,04 164,626 0,9917 1034,660 0,9945 2903,562 0,9967

0,045 164,195 0,9891 1032,208 0,9922 2898,830 0,9951

Рис. 4. Зависимость собственных частот стержня с полостью от значений параметра а,

^а „а а

01 02 03

ряд 1 соответствует-----, ряд 2 соответствует------, ряд 3 соответствует-

01 * 02 * 03 *

ВЫВОДЫ

1. Проведенное исследование на примере колебаний сплошного призматического

стержня и стержня таких же размеров, имеющего полость, проходящую по всей длине стержня (трубчатого стержня), подтверждает: при определенном

положении полости стержня, один из спектров собственных частот изгибных колебаний стержня с полостью совпадает с соответствующим спектром собственных частот колебаний сплошного бездефектного стержня.

2. Аналитически выявлено значение параметра а, характеризующего положение полости трубчатого стержня, при котором спектр частот его изгибных колебаний (вокруг оси Z1) совпадает с соответствующим спектром частот сплошного стержня.

3. Показано, что одного спектра частот изгибных колебаний еще недостаточно для идентификации местоположения и размеров полости. Для идентификации полости необходимо использование собственных частот из двух спектров

изгибных колебаний (вокруг разных осей). По двум собственным частотам, каждая из которых взята из спектров частот изгибных колебаний трубчатого стержня вокруг разных осей, можно однозначно идентифицировать параметры размера h и местоположения а2 полости.

4. В случае локальной полости, т.е. полости, не проходящей по всей длине стержня, также есть положения полости, при которых собственные частоты изгибных колебаний стержня с полостью совпадают с собственными частотами изгибных колебаний стержня без полости. Однако случай локальной полости отличается от случая полости, проходящей по всей длине стержня, тем, что эти положения полости являются разными для первой, второй, третьей и последующих частот.

Таким образом, если полость может развиваться в промежутке между поверхностью стержня и его нейтральной осью, следует с осторожностью применять методы диагностирования дефектов с помощью одного спектра собственных частот колебаний. Они не всегда позволят выявить и правильно идентифицировать такой дефект.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и АН Республики Башкортостан (проекты 11-01-00293-а, 11-01-97002-р_поволжье_а).

Авторы выражают признательность М. А. Ильгамову и Б. М. Люпаеву за обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 608 с.

2. Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2003, 5.

3. Morassi A. Crack-induced changes in eigenparameters of beam structures // ASCE Journal of engineering mathematics, 1993, vol. 119 (9), р. 1798-1803.

4. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия, 2009, № 5, с. 83-89.

5. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007, 224 с.

6. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия, 2005, № 9, с. 44-56.

7. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика, 2008, Т. 49, № 6, с. 152-158.

8. Ахтямов А. М., Аюпова А. Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия, 2010, № 5, с. 29-33.

9. Вибрации в технике: Справочник под. ред. В. В. Болотина. Т. 1. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1978, 352 с.

10. Рудицын М. Н., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск: Вышэйшая школа, 1970, 630 с.

11. Абзалимов Р. Р., Саляхова Е. В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений 4-го порядка с разделенными краевыми условиями // Известия вузов. Математика, 2008, № 11, с. 3-11.