CC BY
3Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 79 www.mai.ru/science/trudy/
УДК 531.38
Вращение твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной стратифицированной жидкостью
Ай Мин Вин*, Темнов А. Н.**
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2-я Бауманская ул., д.5, г. Москва, 105005, Россия
*e-mail: ayeminwin84@gmail.com **e-mail: antt45@mail.ru
Аннотация
Актуальность работы связана с возрастающим использованием криогенных жидкостей в ракетной космической технике. Непременным свойством криогенной (стратифицированной) жидкости является неоднородность температуры и плотности, наблюдаемые во всех режимах хранения и эксплуатации. В данной статье, в предположении отсутствия теплообмена с внешней средой, рассмотрена задача об устойчивости вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной идеальной стратифицированной жидкостью.
Ключевые слова: стратифицированная жидкость, устойчивость вращения, эллипсоидальная полость, собственные колебания, криогенная жидкость.
Введение
Задачи о движении твердых тел с полостями, заполненными однородной
идеальной или вязкой жидкостью, являются достаточно изученными. Однако
развитие современной техники и потребности практики в настоящее время ставят
перед исследователями ряд новых вопросов динамики твердых тел, имеющих полости с жидкостью. Одной из таких проблем, требующей изучения, является задача о движении твердых тел с полостями, заполненными криогенной жидкостью. Вопросы устойчивости движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость, всегда привлекало внимание исследователей. В книге [1] рассматривалось движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. Задача об устойчивости движения волчка с эллипсоидальной и цилиндрической полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, была рассмотрена в работах [2, 3]. В работах [4-7] изучались вращательные движения тела с вязкой жидкостью. Ранее авторами [8, 9] была исследована задача о движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела. В данной статье представлена задача об устойчивости вращения твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной стратифицированной жидкостью. Полученное характеристическое уравнение рассматривается в следующих случаях: А) вращение твёрдого тела с затвердевшей жидкостью, Б) вращение динамически симметричного твёрдого тела с однородной жидкостью, имеющего полость в виде эллипсоида вращения, В) вращение твёрдого тела со стратифицированной жидкостью. Приведены области неустойчивости твердого тела с однородной жидкостью в плоскости двух параметров, которая совпадает с результатами работы Докучаева [10]. В конце текста представлены области неустойчивости вращения твердого тела со стратифицированной жидкостью в различных случаях.
Формулировка краевой задачи.
Пусть твердое тело с эллипсоидальной полостью равномерно вращается вокруг неподвижной точки О, являющейся центром масс всей механической системы и находящейся на расстоянии /0 от геометрического центра полости,
расположенным на оси Охъ.
Предположим, что угловая скорость вращения (щ = const) в невозмущенном
движении удовлетворяет условию ю02-С 1, - характерный размер) и,
g
следовательно, можно считать П0 = £/0 = jx3, т.е. будем пренебрегать центробежными силами инерции, действующими на частицы жидкости. Используем двойное приближение Буссинеска [11]: р0 = Р0 = const в уравнениях движения, для
вычисления функций р, и . С учетом сделанных допущений уравнения возмущённого движения криогенной жидкости запишутся в виде
— + 2со0 хм + Qxr = -Vp+ р/'*VI10;
dt /Ро
— + ——и-<?3=0; V • и = 0; u-v= 0 на S.
dt dx3
dp d р
(1)
*—1 /2 2 \ где p = р0 Sp + S, S = ®0 Q1x3x1 + Q2x3x2 — Q3 (x1 + x2 )
Для изучения волновых движений жидкости предположим, что все величины О, р, и, р зависит от времени пропорционально множителю еЯ. Уравнения гидродинамики тогда могут быть переписаны в виде
Лй + 2со0 х и + ЛО.У. г = -V/? + ,УП0;
/ Ро (2)
Лр + р^й • еъ = 0; V • и = 0; й -и = 0 ня З1. Введём линейное преобразование [8]:
= а + --——(3)
N + Я
2бУ0 Лт2 Я ЛОг, О где = — ■> N =---—N - частота плавучести, а - произвольным вектор и
Я р0
тензор Ь запишется в виде
Ь =
1 X
-X 1
0 0
0 0 я2
N2 +Я2
Тогда вектор относительной скорости запишется в виде
и =
(1+ Х2 )Я
(4)
где § = ЯП х г + V/?;
1
используя уравнение неразрывности и граничные условия, получаем краевую задачу для определения функции р (х)
У-(£-£) = 0; у(£-ё) = 0 наЯ. (5)
Таким образом, в рассматриваемом общем случае удается свести гидродинамическую задачу (1) к краевой задаче математической физики для функции р. Имея решение задачи (5), поле скоростей неоднородной жидкости легко находится по формуле (4). Следуя [12], решение задачи (5) будем искать в виде:
з Я2 3
р = ~Л1й = —-Еп/ • -iJxj:) (6)
■= 1 1 + % ■= 1
Тогда краевая задача (5) приводится к виду: Ь ■ (У<Ру ~ е]- х г) = 0 в т, у =1,2,3...
п
¿■(у^.-^хг)
(V)
О на
Сформулируем краевые задачи для определения обобщенных потенциалов р ■
в случае, когда эллипсоидальная полость целиком заполнена неоднородной вращающейся жидкостью, плотность которой в невозмущенном движении
изменяется по закону р0 = р0 (1 - /Зх3). Краевые задачи для определения функций р ■ в условиях двойного приближения Буссинеска принимают вид:
? д
Лр,. + е2^ = 2*1 1 = 1,2,3;
дх
п
= 0 на 8.
2 4^,2 - N2 где е = —0-—, ^ - символ Кронекера.
N +Я2 13
Непосредственной проверкой можно установить, что при N2 = 0 краевая задача (7) совпадает с краевой задачей для однородной вращающейся жидкости, а функции превращаются в обобщенные потенциалы Ф. Л. Черноусько. При
N = ф0 = 0 оператор Ь становится единичным и функции ^ будут являться
потенциалами Жуковского [13]. Соблюдая терминологию, сложившуюся в работах по вращающейся жидкости, будем называть функции ^. задачи (7) обобщенными
потенциалами движения неоднородной (®0 = 0) или вращающейся неоднородной
(ю0 ф 0) жидкости.
Преобразование интегралов, выражающих гидродинамическое влияние
жидкости
Определив обобщённые потенциалы ^., оценим влияния
стратифицированной (криогенной) жидкости на движение системы тело жидкость. Уравнения возмущённого движения твёрдого тела с жидкостью приобретают вид
JQ. +1 р0г х ис1т + íЭ0xJ•Q + J'/i)(гxíЭ0xг)íiт + QxJ•íЭ0+J' р0со0 х г х ис1т = | рг х у'й?г, ^^
т т т т
где = 3% + 3)к; (-11к = Jki; 1 к = 1,2,3)•
6
здесь J°к - моменты инерции твёрдого тела, J0к - момент инерции затвердевшей
д
жидкости.
В уравнение (9) слагаемые с интегралами по области, после определения потенциалов р ■ могут быть записаны в виде
Г 1 з
| р0г X Мт = | \ р0г X --ПУ ■ ^ ■ (V - е, X г )
г г I % У=1
- И1). о - V * И1)
^ = (10)
■ к=1
где
7Д = Т^ТIАхе,-)• [£ • - е* х
1 ^ % г
йт.
(11)
Далее преобразуем интеграл ^ р(г х ¿50 х г )<3т
е 3 Л2е 3 ^
р = -р'0и ■ е3 = -Ро ' ^' " х = "Ро Л7-2 ,
1 ^ % 7=1
дх-
■ е-, - е, х г 3 ■
■=1 V ^3
|р(г х30х?)с1т = -\р'о
^ у п.
дер.
\дх3
■е~, — е ■ х г 3 ■
(г X <Э0 X г)й?г
2 3
= I Ро
#2 + д2 X" ■3
Г ■ =1
д(р,
V дх3
■ е, —е,хг
3 ■
(г х е3 х г) ¿/г =
Гр0 , х "
23
/з
V дх3
е3 - е ■ х г
3 ■
(гхе3хг) е^т;
1Н
гхсопх г)<3т = ■ С2 ■ со0 = со0 ^ ек1^0.
]=к=1
3
г(2).
где
г
т
I
( 2 )_
т
1
2
Удх3
■ е, — е,-хг
3 1
(г х е3 х г)
(13)
или
42)=-и ^ ~~т хе> ю* • ^
1 : 1 + ж к
^■¿■(у^.-^х?)
йт.
(14)
Преобразуем интеграл |р(г х ])с1т
\р(гх^т = -\\\р,0
/Г
3
0 1т N 2 3 1=1
А2 .V
дср^ V дхз
е, - е ■ х г 3 1
(г ху)й?г
=
=-!^0 «ттт^т X 1« С
N2 +12 ■■ -,,„ ,
т 1 = V 0 у
3
V дх3
вт—е.-х г
31
(г х =
-^0 N 2
1
2 3
Л Л
о п У 4 \Cljdt
N2 +12 1=1=1 к V1 1 у
V дх3
■е-, - е ■ х г
31
(гхе3) ¿/г
-4 о,
и ,Ы2 Л2 3 Л
0 1^0 , 2 2 2 X **
4о0 N +1 1=к=1 V 0 у
3
д<р,
V дх3
■ е3 - е ■ х г
31
(гхе3) ¿¡т;
В результате преобразования получим формулу
* з М
г t \
1=к=1 V 0 у
(15)
которая также может быть записана в виде
г * \
|р{г х])с!т = g43)= 8 X еА-]
1=к=1
V 0 у
(16)
или
г
г
г
г
1 3 ( (
Г t \
1=к=1
V 0 у
В формулах (15)-(17) приняты соответственно обозначения:
43'=К
N 1
4о02 N2 +12 3
V дх3
■ е3 - е ■ х г 3 1
(?хё3) г/г
(18)
I
(3)_
к]
N2 +12 3
Чдх3
е3 - е ■ х г 3 1
(гхе3) г/г
(19)
(3)
Л
К
1
N2 + 12 3
V дх3
■ е3 - е ■ х г
31
(Яхе3) г/г
(20)
Будем использовать 2-ую формулу:
|р(гх у)г/г = • |<»гЛ; ^
(з) 7^2 К2
0
г л 2
Собственные колебания вращающегося тела с жидкостью.
г
г
г
г
Рис. 1. Твердое тело с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной жидкостью
Рассмотрим задачу о собственных колебаниях свободного вращающегося твердого тела с криогенной жидкостью около стационарного вращения (см. Рис. 1). Момент внешних сил относительно точки О примем равным нулю (М = 0, тело свободно и точка О совпадает с центром масс твёрдого тела с затвердевшей жидкостью), и пусть ось вращения Охъ является главной осью инерции системы. Тогда будут выполняться равенства
Считая М = 0 получаем следующее уравнение возмущённого движения вращающегося твёрдого тела с полостью, целиком наполненной несжимаемой стратифицированной (криогенной) жидкостью, и находящегося в однородном поле массовых сил интенсивности ■
Будет считать отклонения твёрдого тела от оси невозмущённого вращения
^ = = 0 (■ = Ъ2); -®0 = Л3®0е3; ®0 х-®0 = 0
(21)
(/0 +| • п + со0е3 X |/0 + /^ | • о - /330 + ■ п + • | Ш/ = О
(22)
твёрдого тела малыми величинами и введем вектор малых углов поворота ©(/)
Ж
Тогда уравнение (22) запишется в виде
(У0 + $) ■ © + ®о^з х [(Л + $) ■ © " ^зз©] + ■ © + А3) ■ © = 0- (23)
Положив ® = ве , запишем уравнение (23) в матричном виде
л Л
д2Кп - £(Ки + /1(12)) + ? д2Кы-1 (Ки + /!?- J33)
IУ2) - Т 1 + 121(3) 112 Т 33 ) + 1 г Т12
д 2К2, + £ (- 122)- Т33 ) + 123)
д2 К 22 + £ (к12 -1 <22))+
Р 21 (3)
1 г 1 22
д2 к 3
д2 к 32
д2К13 - дК23
д2 к 23 + \кхъ
д2К33
(в ^
\е3 У
= 0
(24)
В уравнении (24) приняты обозначения
кк = + ■; д
я
1:
N2
4 од
2 '
Составив определитель линейной однородной системы (относительно
компонент вектора в) и приравнивая определитель нулю, получим характеристическое уравнение.
1 ( g, а„ а2, аъ,Т ^, @) = О
(25)
В полученном уравнении компоненты Тд - постоянные, а Т^, Т^Р, /(.р есть функции д, зависящие от формы полости. Корни д уравнения (25) определяют собственные числа Я = 2ю0 д задачи о колебаниях вращающегося тела с жидкостью. Рассмотрим уравнение (25) в некоторых случаях.
Случай отсутствия массы жидкости
В случае твердого тела без жидкости, т.е. при р0 (х3 ) = 0, уравнение (24)
сводится к квадратному
(Т33 Т11)(Т33 Т22 ) (Т12 )
+ 4д2
Т 0 Г 0 Т11Т 22
(Л2 )
2
= 0.
(26)
Свободный член уравнения (26) положителен, так как тензор инерции 3 -положительно определенный тензор. Для устойчивости вращения необходимо, чтобы Ц было чисто мнимым, а для этого нужно
(303 -301)(333 -322) — (302)2. (27)
Неравенство (27) известное условие устойчивости стационарного вращения свободного твердого тела. Если оси у, у2 являются главными центральными осями
инерции, тогда = 0, и условие (27) сводится к требованию, чтобы момент
инерции 30 был либо наибольшим, либо наименьшим главным центральным
моментом инерции системы. Корни уравнения (26) при 30 = 0 равны
„02 = ±0.5/(^0 12 Г(33 - )(333 - 322 )!12 • (28)
Вращение твердого тела с затвердевшей жидкостью
В этом случае относительное движение жидкости отсутствует, центр масс жидкости относительно твердого тела не изменяет своего положения, и моменты
инерции все механической системы 3д = /д + также остаются постоянными,
поэтому предыдущий вывод остается справедливым: вращение твёрдого тела с затвердевшей жидкостью будет устойчиво вокруг оси с наибольшим или наименьшим главным центральным моментом инерции системы.
Вращение твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость целиком
заполненную однородной жидкостью
о А2) г(3)
В этом случае тензоры 10 , 10 , характеризующие влияние отклонения плотности жидкости от невозмещённого состояния равны нулю и устойчивость вращения твердого тела оказывается зависимым от кинематического состояния самой жидкости, которое может быть безвихревым (в случае начало раскручивания жидкости, при вращательном движении твёрдого тела) или вихревым в случая вращения всей массы жидкости. Покажем, что в последнем случае характеристическое уравнение и условия устойчивости вращения твердого тела, получаемые при помощи определителя (24) согласуются с уравнением и условиями устойчивости, полученными раннее в других работах и иными способами [10].
Подставляя в уравнение (25) значения компонент тензора при N2 = 0, получим после раскрытия определителя и алгебраических преобразований
Ад4 + Ад2 + А = 0;
(29)
где А1 = 4(а12 + а32 )(а22 + а32 )а1 2а22 (ТУ2*2 - Т122 )I
А2 =(а12 + а32 )(а2 + а32 ) а-2а2-2 [(Т 33 - Т1*1 )(Т 33 - Т 2*2 )-^2 + 4 (Т11Т 22 - Т12 )-4Р*Уа3Т 331
А3 =( Т33 Т11 )( Т33 Т 22 ) Т12;
т* г рУэя 4а22 а:2 Т11 = Т11
эл 4а2 а3 . Т* - Т
Т г)г) — Т о
5(а^ +а^)
22 22
* 2 2 Р ^эл 4а1а3
5( а\ + а^)
где у = у^ ¥эл и 3*, 3*2 моменты инерции преобразованного тела (согласно Н. Е. Жуковскому), равные сумме моментов инерции твердого и эквивалентного тел.
32 = 30 + 3(э) • 32 = 30 + 3(э) т11 = т11 + т11 ; 3 22 = 3 22 + 3 22
^ { 2 2 \2 ^ I 2 2
(э) _ Рэл («2 -3) (э) _ Рэл («3 -«1 )
311 / 2 ^ ' 322 / 2 2\
51 а2 + а 3 ) 51 а 3 + « )
Величина 3*1 (и аналогично 3*2) может быть представлена также в виде
* = 1 -( I' - т (эМ т = т0 + т'
11 = т11 (т11 т11 ), т11 = т11 + т11
3
Из биквадратного уравнения (29) легко найти д
А2 ±у]А22 -4А3А „12 =-*-
2 А
Для устойчивости движения необходимо, чтобы все корни уравнения (29) были чисто мнимыми (при А — 0 ), т.е. А3 — 0; А2 — 2^ А А •
Для динамического симметричного твердого тела (30 = 30, 30 = 0), имеющего полость в виде эллипсоида вращения (« = а2), ось которого совпадает с осью динамической симметрии тела ОУъ, уравнения (29) преобразуется к виду
А4^2 - А5а - А6 = 0, д = ±га; (30)
где А4 = 2 ( «12 + «32 ) «1- 2 3101; А5 =( «12 + «32 ) «1-2 (333 - 3101 )-2321; А6 = 333 - 311.
14
Для устойчивости вращения в этом случае необходимо потребовать, чтобы корни уравнения (30) были действительными числами, т.е. чтобы выполнялось условие
А52 + 4А4А6 > 0. (31)
Подставив выражения для коэффициентов А - (у = 4,5,6) и приравняв нулю
полученное уравнение, можно построить область устойчивости в плоскости двух параметров у = Т33 - Т11, а3 = а3/а1 (см. Рис. 2), которая совпадает с результатами работы [10]. Пунктирная линия представляет собой границу на плоскости параметров у, аъ физически возможных значений моментов инерции тела жидкостью. Поэтому область под этой линий должно быть исключена из рассмотрения [10]. Для случая, когда масса твёрдого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой жидкости, точки пересечения пунктирной линии с нижней границей аъ = 1, аъ = 3 дают границы устойчивости свободного вращения, невесомой оболочки с жидкостью. Области устойчивости приведены на Рис. 2 (зоны неустойчивости заштрихованы).
р = 0^2 = 0^=10;Х =1;
11
Р = 0;Г = 0311=0;Х =0
11
У
ю
-ю
-20
-30
-40-
-50
\////}\ 7//1
/ / /1. / ;/ У '///
1 ///
1 / // /у
\ Х/1 -ч-\ \
/
10
0-
■10
У
■20-
■30
-40-
■50
/ // / /
х7
///
^х/ ///,
XV ///
\
Л \
0 1
Оз
«з
Рис. 2. Области устойчивости в плоскости двух параметров у, а3
Вращение твердого тела со стратифицированной жидкостью
Выясним условия устойчивости вращения динамическим симметричного тела твёрдого тела с эллипсоидальной полостью вращения. Для рассматриваемого случая
Л • гу с
положим А = га и пусть д =-. Тогда первые два уравнения из матричной записи
2 с
(24) перепишутся в виде
д 2к11+г\(К 21+Л(12))+^ д2 К12 +
д2 К 21 -ки -122)- т33)+д
гд( К22 + /1(22)- 3 33 ) + ^1®
(2) 2 (3)
2 К 22 - гд( К12 -12 2;) + К12 2
Г* ]
1*2 )
= 0
(32)
Умножим верхнее уравнение векторного равенства (32) на мнимую единицу и сложим со вторым уравнением системы (32). В результате после простых преобразований получим
в
д2 (Кп + К12) - д (К„ + К12 - Т33) + + Р? /22) + Р?/<23) + д «0
= 0
(33)
где в = в1 + в
2 •
Подставив в уравнение (33) значения компонент тензоров /д, /д), ,
получим после громоздких и несложных преобразований характеристическое уравнение, записанное в безразмерном виде
2д
д
Т11 (! + а32 )-
2 \ - -2
уаа3
+ д2
2 Т11а32 К2 +А-уа32 Р2
л(1 + а32 ) - 2 Т11 + уа*а3
■Ла32 Кг2 = 0;
(34)
7 Тц где Т11 = "ТГТ р0 аа1
л =
л
_ 16
5
р0 аа1
_ а, „„
; А = Т33 - Тп; у=—паъ; а3 =1 --—/0;
3 Р
15
а
2 а
а* = 1 - 2 Р /0; а = 1 -р/0. а
Для устойчивости стационарного вращения (необходимое условие) все корни уравнения (34) должны быть действительными. Для кубического уравнения
Ь0д3 + Ьд2 + Ь2д + Ь3 = 0 корни будут действительными, если дискриминант В < 0
где
В = -Ь12Ь22 + 27Ь32Ь02 + 4Ь13Ь3 -18Ь0Ь1Ь2Ь3 + 4Ь0Ь|.
Границу, разделяющую действительные и комплексные корни, получим из
уравнения В = 0.
В выражении для дискриминанта В коэффициенты Ьк, к = 0,1,2,3 выражаются формулами
Ь = 2
Ь2 =
Т11 (1 + а32 ) - уаа32 Ь1 = Л (1 + а32 ) - 2 Т11 + уа*а32
2 Т11а32 Кг + Л - уа32 ^
Ь4 = -Ла32 Кг
Рассмотрим устойчивость вращения твёрдого тела со стратифицированной
Л ^
жидкостью в условиях невесомости. Положим 7 = 0, N = 0, т.е. Кг2 = 0, тогда компоненты тензора /01 будут совпадать с компонентами тензора /01) для
г(2)
однородной жидкости, а компоненты тензора /0 , учитывающего изменения плотности жидкости, выразятся формулами.
/(2) _ Р0)ухр1 . /(2) _ /(2).
/11 ~ ^ 1 Л * ' 122 _ /11 '
2а л
(2) _ -Р0у^(а22 + а32)Р (2) _ -Р§УХ, (а12 + а32 )Р
/12 = * 2 ; /21 = * 2 ; 2аЛ а2 2аЛ а1
Дискриминант кубического уравнения оказывается равным дискриминанту с обратным знаком, соответствующего квадратного уравнения, получаемого из (34) при К2 = 0 .
В = -В2, В2 = Ь2 - 4ЬЬ3
Приравнять В2 = 0, также можно получить области устойчивости вращательного движения твёрдого тела с криогенной жидкостью. Для случае
безмассовой оболочки твёрдого тела области устойчивости для разных р приведены на Рис. 3.
Р = 0.12;^2 = 0;/.°=10;Х =1; (3 = 0.16;^2 = 0;/,°,= 10;Х = 1;
10 0 -10 -20
у
-30 -40 -50
.а.
10 о •10 ■20
у
■30
-40 -50
] / / / 1
> ч4^/ / \Х ///
\ \
N \
\
1 УН) ¡ к
////
\
\
N \
\
р = 0.2;^2 = 0;7/у= 10 £ = 1; Р = 0.22355;^ = 10^ = 1
10
о -10
-20
у
-30 -40 -50
г 'и
10
] и ш/ к//;
//////
I I
\
\
\
лаз 0
-10 -20
у
-30 -40 -50
.а3
1 •/ / /з г г у / / Л V/?
/ / / III
// / 1
\
\
\
4 \ \ 1 1
М3
Рис. 3. Области устойчивости вращательного движения твёрдого тела с криогенной
жидкостью (К2 = 0)
Исследуем далее устойчивость вращение твёрдого тела с криогенной жидкостью в случае Кг2 ф 0. С этой целью положим В2 = 0 и заменив
коэффициенты Ьк, к = 0,1,2,3 через их значения построим области устойчивости, которые представлены на Рис. 4.
Р = 0.01;^2 = 0.025^7 =0;Х =0;
• ' Г ""и с
10 о -10
у -20 -30 -40 -50
\х / III
////
///
V/ / ///
///]
// /
\/ / /
0 ] J \ 3 А 1 5
10 0 -10
у -20 -30 -40 -50
СЪ
р = 0.01;^ =0.153 , =0;Х =0; |3 = 0.01;^ 2 = 0.23 =0;1 =0
' г ^11 С * ' Г ^п ' с
10
ч
\
\ V/ / А
\ X/ /А
\\ ///д
1 • \ ' 1
о -10
у -20 -30 -40 -50
\
\
\ V \ у
■ 0 1 1 1 * 3 4 ' [ 5
2 3 4 5
Рис. 4. Области устойчивости вращательного движения твёрдого тела с криогенной
жидкостью ^ ф 01
Заключение
В статье представлены области неустойчивости вращения твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной стратифицированной жидкостью, при вращении вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром масс рассматриваемой механической системы. Рассмотрены различные случаи: а) случай невесомости, но с учетом инерции твёрдого тела, б) случай с учётом действия внешних массовых сил, но когда момент инерции твёрдого тела равен нулю, либо не равняется нулю. Устойчивая стратификация жидкости приводит к уменьшению областей неустойчивости вращения твердого тела с эллипсоидной полостью целиком наполненной жидкостью. Результаты решения показывают также, что в случае эллипсоидальной полости гидродинамическое воздействие стратифицированной жидкости создается конечным числом парциальных движений, число которых больше, чем для однородной вращающейся жидкости.
Библиографический список
1. Моисеев Н.К., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. - М.: Наука, 1966. - 440 с.
2. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью // Журнал прикладная механика и техническая физика. 1960. № 3. С. 6575.
3. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Журнал прикладная механика и техническая физика. 1960. № 3. С. 2055.
4. Казмерчук И.М., Самсонов В.А. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением. // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1996. № 2. С. 32-36.
5. Досаев М.З., Самсонов В.А. Об устойчивости вращения тяжелого тела с вязким наполнителем. // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. № 3. С. 427-433.
6. Карапетян А.В., Лагутина И.С. Об устойчивости равномерных вращений волчка, подвешенного на струне, с учетом диссипативного и постоянного моментов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 53-57.
7. Карапетян А.В., Самсонов В.А., Сумин Т.С. Об устойчивости и ветвлении перманентных вращений твердого тела с жидким наполнением // Прикладная математика и механика. 2004. Т.68. №6. С. 994-998.
8. Темнов А.Н., Ай Мин Вин. О движении стратифицированной жидкости в полости подвижного твёрдого тела // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012. С. 86-101.
9. Ай Мин Вин, Темнов А. Н. О движении твёрдого тела с криогенной жидкостью // Электронный журнал « Наука и образование», 2013, выпуск № 12: http://technomag.bmstu.ru/doc/627898.html (дата публикации 04.12.2014).:
10. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость // Механика твердого тела. 1973. № 2. С. 6-14.
11. Темнов А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в ограниченном объеме: дис...канд. физ. мат. наук. - М:. 1984.- 192 с.
12. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. - М.: Вычислительный центр АН СССР, 1968. - 232 с.
13. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. - М.: Гостехиздат, 1948. - 143 с.
