Теоретическое и экспериментальное исследования колебаний твёрдого полуцилиндра, имеющего полость, заполненную слоистой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

БОТ: 10.18698/2308-6033-2019-5-1883

Теоретическое и экспериментальное исследования колебаний твердого полуцилиндра с полостью, заполненной слоистой жидкостью

© А Н. Темнов, Вин Ко Ко

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Приведены постановка задачи и результаты исследований динамических характеристик и устойчивости малых колебаний твердого тела, имитирующего космический заправщик, топливный бак которого содержит криогенную жидкость. Отличительной особенностью криогенной жидкости являются низкая температура и различная плотность ее частиц, что значительно усложняет исследование гидродинамических задач. Криогенная жидкость моделировалась с помощью слоев несмешивающихся жидкостей. Получены уравнения плоского движения твердого тела с полостью, содержащей три несмешивающиеся несжимаемые идеальные жидкости. Исследованы области устойчивости движения твердого полуцилиндра с цилиндрической полостью, наполненной тремя несмешивающимися жидкостями. Приведены результаты экспериментального исследования колебаний полуцилиндра с двумя несмешивающимися жидкостями.

Ключевые слова: несмешивающиеся несжимаемые идеальные жидкости, механическая система, область устойчивости, собственная частота колебаний, твердое тело

Введение. Задача динамики твердых тел, которые имеют полости, наполненные жидкостью, — одна из классических задач механики [1, 2]. Развитие авиации и космонавтики в 1950-80-е гг. дало новый импульс исследованиям, посвященным динамики тел с полостями, частично заполненными жидкостью. Отметим здесь работы К.С. Колесникова, А.А. Пожалостина, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова, В.В. Румянцева, Г.Н. Микишева, Б.И. Рабиновича, Г.С. Нариманова, Л.В. Докучаева, И.А. Луковского и Ф.Л. Черноусько [3-14]. Работы этих и многих других ученых, их участие в различных конференциях и симпозиумах сформировали советскую и российскую школу динамики тел с полостями, заполненными жидкостью.

Дальнейшее развитие современной техники привело к формированию нового направления в изучении динамики тел с полостями, наполненными слоисто-неоднородной жидкостью. Появились работы о колебаниях слоисто-неоднородной и непрерывно стратифицированной жидкостей, заполняющих частично или полностью неподвижный сосуд замкнутой формы [15-20].

Исследование колебаний неоднородных сложных гидродинамических систем — актуальная задача изучения динамики твердых тел, полости которых наполнены слоистой жидкостью. Изучение процессов, связанных с расслоением жидкости, важно как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения. Интерес к этому исследованию обусловлен большим спектром научных задач и практических приложений, связанных с использованием криогенных жидкостей в ракетно-космической технике. Цель предлагаемой работы состояла в получении уравнений движения несвободного твердого тела со слоистой жидкостью и выявлении их качественного отличия от уравнений движения твердого тела с однородной жидкостью.

Вывод уравнения движения твердого тела с полостью, содержащей три жидкости. Введем системы координат 01х1у121 {I = 0,1, 2) с началами координат, расположенными на поверхностях Г1, Г2 разделов жидкостей и на дне полости, и систему координат Охух с началом в полюсе О.

Для составления уравнений движения твердого тела с тремя жидкостями воспользуемся теоремами об изменении количества движения и об изменении момента количества относительного движения материальной системы твердое тело — жидкость, записанными в виде

^ = Р(е) + Ы§; (1)

т

= ыОе) + Гтс х тМ+Ыо (-Ый) + 8(Г)с х то§) +

т

+ 5(лс х т§) + 8(/2с х т2§X (2)

где

0 = Ый+ЫГс + то8Гос + т^Гс + т28/2с; (3)

Ко = Л + ХР< 1 ^ хУ^тТ. (4)

г=0 Т. д

В формулах (1)-(4) используются следующие обозначения: 0 —

вектор количества движения рассматриваемой механической систе-

? (е)

мы; Р — главный вектор всех внешних сил, приложенных к телу; Ы = тт + т0 + т1 + т2 — суммарная масса всей гидромеханической системы (тт, т0, ть т2 — масса твердого тела и каждой из трех жидкостей соответственно); Ко — вектор момента количества отно-

сительного движения тела с жидкостью в связанной системе отсчета Oxуz; М^ — главный момент всех внешних сил относительно полюса О; гтС — радиус-вектор центра масс твердого тела; МО (-МП) — момент сил инерции относительно полюса О; и — вектор малого смещения полюса О; ГС (1 = 0,1, 2) — радиусы-векторы центра масс 1-й жидкости; гС = (хС, уС, гС ) — радиус-вектор центра масс твердого тела и затвердевших жидкостей; Jт — тензор моментов инерции

твердого тела относительно полюса О; 0 — вектор малого угла поворота относительно системы ОхуТ; р, — плотность слоя 1-й идеальной жидкости; Г (1 = 0,1, 2) — радиусы-векторы, определяющие положения частиц 1-й жидкости, начало которых совпадает с началом систем координат О0х0уг, О1 х1 уг, О2х2уг соответственно; х — потенциал абсолютных смещений частиц 1-й жидкости.

В уравнении (3) 8Гс (г = 0,1, 2) — изменения положения центра масс каждой жидкости в возмущенном движении — определяются формулами:

Ыс = Г 5г= Г = Г щ (г) • Vг=

1 1 Т 1

= ^^(г^Ут 6 = Г . (5)

Ш; Ш; ^ Ш; ^

Вектор относительного смещения частиц 1-й жидкости Щ(г) =VXi-0xri = V(0• 1) + X °1^ф0И(Х0,у,г) +

п=1

< <

+Х О1п ^ 11п (Х1, у, г) + X О2nVф 12п (Х1, y, г) +

п=1 п=1

<

+Х О2nVф2п(Х2,у, г) -0Хп, (6)

п=1

где — потенциал скоростей 1-й жидкости при вращательном движении тела; о1п, О 2 п — обобщенные координаты волновых движений поверхностей Гь Г 2 разделов жидкостей соответственно; ф — потенциал собственных колебаний жидкостей.

Преобразуем формулу (3), используя выражения (5), (6) и принимая во внимание граничные условия «жесткой» крышки и малость колебаний. Тогда получим следующее выражение для вектора количества движения рассматриваемой гидромеханической системы:

где vi — внешняя нормаль к смачиваемой поверхности Si.

Воспользовавшись теоремой об изменении количества движения, запишем уравнение (1) в окончательном виде:

ый+е х £+Х +X * 2 2„ = Р(е) + Щ, (7)

П=1 П=1

где

£ = Ыгс; Яш = Р01я ^¿г -Р1/ я

Г Эу0 Г Эу1

2п

= Р Г я ЭФ12п тг = Р1 1 -тГ2

Г2

ЭУ1

Р21 * ^ тг,

Г2

так как на поверхностях разделов Г1, Г2 векторы г0, Г и г2 принимают значения ГГ1 и гГ2 соответственно (£ — вектор статического

момента всей гидравлической системы).

В уравнении (7) принято, что в условиях малых колебаний

Гс =—с = -с + ехгс =ехгс,

т т

так как

сТс/т. = 0.

Преобразуем выражение (4) для кинетического момента. Используя представление для потенциалов х (х1, у, 2,.), формулы Грина и принимая во внимание граничные условия, получим

Теоретическое и экспериментальное исследования колебаний твердого полуцилиндра... Ро1 ?о х^дХ0=Ро§П X V0 ^Х0^о =р0^^^о =

J дt I Эг * Эv0 Эг

то Ло Ло

= Ро I ЭТ° (Vо •ё№ +Ро И а 1йVо 1 = Ло Эvо П=1 Го Эvо

= Jо • ё + Ро<7ы о 1; (8)

П=1 Го Эvо (8)

Р11Я хУ^ ^Т1 =Р1 §П хVl^А =Р1 фЦ^^ ^ =

= Р1IЭТ (V 1 • ё)А+Р1 XI ^ Г1 +

Л Эvl П=1 Г1 Эvl

+ Р111 а2пТ 1 ^¿Г = Jl • ё + Р1а 1ЙX IV1^Г1 +

П= Г2 Эv2 п=1 Г1 Эvl

+ Р1<а 2п XIV1 Г 2; (9)

п=1 Г2

ЭV2

Р2 | П X У^ dТ2 = Р2 § П X V2 -^ с1Л2 = Р2 § ^2 =

Эг * Эг * Эv2 Эг

Т2 Л2 Л2 2

= Р2 I ЭТ2 (V2 •ё№ + Р2 XI а2пV2 ¿Г = Ло ЭV2 П=1 Г2 ЭV2

= J2 •ё + Р2С7 2п XIV 2 Э^Г2' (1о)

где Ji (/ = о, 1, 2) — тензоры присоединенных моментов инерции 1-й жидкости относительно полюса О, которые с учетом граничных условий «жесткой» крышки совпадают с тензорами моментов инерции эквивалентного тела.

Используя выражения (4), (6) и (8)—(1о), преобразуем уравнение (2), описывающее изменение момента количества относительного движения. В результате уравнение вращательного движения твердого полуцилиндра с полостью, наполненной тремя жидкостями, примет следующий вид:

I=0

1к+Х ^+Х 1

т

п=1 у

6 + ^(5 Х§) + СУ 1п +

п=1

+gX У 1и°1и + X ?2пСУ2п + gX пС2п + 5 Х и = Д

УУ - л>(е) о ,

(11)

п=1

п=1

п=1

где

У 1п =Ро /V 0 ^ Г1 +Р1 /V1 ^ Г1;

Г 0 Г1

т!п=Р0 / * * Г1+Р1 /, ^ ЭУ0 Г ЭУ1

ЭУ1

* Гь

Г1 Г1

У 2 п =Р1 /V1 * Г2 +Р2 /V 2 ^ * Г2;

Г2 ЭУ2 Г2 ЭУ2

ЭУ2

ЭФ12 п

У 2п =Р, / п ^ * Г2 +Р2 / п^ Г2.

ЭУ

ЭУ2

Г2 " Г2 ""2

Исследование устойчивости движения твердого полуцилиндра с полостью, наполненной тремя несмешивающимися жидкостями.

Рассмотрим постановку задачи. Пусть однородное тело массой тт, имеющее форму полуцилиндра радиусом Я, с закрепленным на нем прозрачным круглым цилиндром, полностью наполненным тремя несмешивающимися жидкостями, расположено на горизонтальной плоскости и выведено из состояния покоя (рис. 1). Рассмотрим малые колебания такой механической системы в предположении, что проскальзывание по плоскости и трение качения отсутствуют. Для этого случая

6 = Фе3, где е3 — единичный вектор в направлении оси, перпендикулярной плоскости Оху.

//////////////?//////?///////////

////////////У//////7/7/^////////

р ¿V

Рис. 1. Схема полуцилиндра с закрепленным на нем круглым цилиндром, наполненным трехслойной жидкостью

Предположив, что полуцилиндр движется без скольжения, имеем уравнения связи:

Ус — R - a sin Ф; xc — R - a cos Ф.

Для случая малых колебаний (sin Ф « Ф, cos Ф « 1) находим Ус, Хс и, используя полученные выражения, преобразуем уравнения (7), (11). В результате получим следующее дифференциальное уравнение вращательного движения полуцилиндра с жидкостями:

JpФ + S*gФ - gX (m1n - Чn )c1n - gX (m2n - m1n)с2n + n=1 n=1

+X [m2n (/1 - A2n ) - m1n (/1 + A1n )] C2n +

n=1

+X[m'n (/o - An) - m0n (/) + A)n )]<* 1n = 0. (12)

n=1

В выражении (12)

J Р — J тР + J Р

J p — JtP + J Р

н 4R

д = тта - тж—, а =—; т ж 2 3п

2 по ь

«оп = р0к, т1п =рУ, т2„ = р2Г, к = 2 ш %п~;

% п (%2 - 1) Г0

/о = Ьо + ^ - а), /1 = ¿1 + ^ - а); =у- т %п —, 4п = — Ш %п —, Л2И = — Ш %и —.

% п 2 %п 2 %п 2

Здесь Jр — момент инерции приведенного твердого тела; JтP, — моменты инерции соответственно твердого и эквивалентного тела относительно оси, проходящей через точку Р [1]; д* — статический момент твердого тела и затвердевших жидкостей относительно оси, проходящей через точку О; тж = т0 + т1 + т2 — общая масса жидкостей (т0 = пг0 р0И0, т1 = пг0 р1И1, т2 = пг0 р2й2, где Иг (г = 0,1,2) — высота слоя г-й жидкости); т'п (г = 0,1, 2) — приведенные массы колеблющихся жидкостей; %п — п-й корень уравнения —^^ = 0 (где Jl (%) —

$ %

функция Бесселя первого рода и первого порядка).

Моменты JтР и Jpкв определяются по следующим формулам:

Jтp = тт R

Г3Л Л --2а

V 2 у

JРKB =1 + тж (R - а)2 + Х/И.

И=1

В последнем выражении '„2

/с = т0

м+ 12

'0 + г, 2

2+*

4

+ т1

« +

12

А+1 1 2

* + *

4

+

+ т2

12

- +

Л + ^ 2

42+*

4

XI = тс*2 -1 + ^X-

16

п=1

Л Ъ П

К £ Ъп (Ъп -1) п

+

+ т1Г02

+т2 Гс

1 + ^ У

и ^

К п=1 Ъ п (Ъ п -1)

Ап ^ 16

16 , г Ь

2г0

+

-1 +1 X-

* Ъ п^-

п=1 Ъ3(Ъ2 -1) 2>оу

где 10 — момент инерции затвердевших жидкостей относительно оси, проходящей через точку О.

Учитывая волновые движения жидкостей, отвечающих п-му тону колебаний поверхностей раздела, запишем полную систему уравнений движения твердого полуцилиндра с жидкостями:

JpЪ + 5*+ X В1пё 1п + X В22п -

п=1 п=1

- %X (т1п - т0п )а1п - %X (т2п - т1'п 2п = 0;

п=1

п=1

— 2 * * (т1п + т0п10п 1п + (т1п - т0п+ В1пЪ -

-(т[п -т0п)%Ъ = 0, п = 1, 2, 3,...;

(т2пАп + т1п 2п + (т2п - т1п )Ю^2п + В2пЪ "

- (т2п - т[п ) %Ъ = 0, п = 1,2,3,...,

т1п

сЬ Ъ,

К Г0

а 2п

(13)

т1п

сЬ Ъ,

к Г0

а 1п

гдеBln =[m[n{lo -Aln)-т'п{1о + А0п)]; В2п =[т'2п{11 -А2п)-min(li + Aln)};

®n = g ^ th

r0 r0

Исследование устойчивости колебания твердого полуцилиндра. Для дальнейшего исследования колебаний твердого полуцилиндра с жидкостями введем следующие обозначения:

«i = (min - m0n )^2; ü2 = (m2n - m[n )ю2;

bi = min+m0nfon; b2 = m2n./in+mi'n; с = (min- m0 n) g; c2 = (m2 n- min) g;

f0n

th%n-cth%n—; fin = th^n-cth%n—;

r0 r0 r0 r0

dn

1

ch %

h

r0

Положив в системе уравнений (13)

с1и = Ахер; а 2и = А2ер; д = Сер;

а 1И = р2 А^'; ¿2« = Р2 А2вр'; 0 = Р1Сер,

получим систему однородных уравнений, записанную в матричном виде:

a1 + b1 p2 - d1m{1 p 2 B11 p 2 - c1 -dim2ip2 a2 + b2p2 B22p2 - C2 B11P2 - c1 B22p2 - c2 Jpp2 + S*

A

A2 С

= 0.

(14)

Обозначив X = p2, из системы уравнений (14) получим характери-

стическое уравнение третьего порядка

3 , ол 2

а^3 + ß^2 + у^ + 5 = 0,

(15)

где

а = bbJp -bB -m{im2idi2Jp -BBdi(m'i + m2i)-b2Bj2;

ß = (ab + a-^i)Jp + bjb2S*g - (aB2 - 2bB2C2) - m^idfS*g +

+ (B11c2 + B22c2 )d1 (m11 + m2i) - (a2B121 - 2b2B11c1); Y = aa Jp + (aib2 + a2bi)S*g - (c^fbi - 201^:^2) --CiC2di (mii + m2i) - (cfb - 2a2Bnci); 8 = aa S * g - (cfai + cfo).

Рассматриваемая динамическая система является консервативной и не может быть асимптотически устойчивой. В связи с этим для ее устойчивости достаточно поставить требование, чтобы все корни характеристического уравнения были чисто мнимые или квадраты соответствующих корней были действительными числами, меньшими нуля. В результате исследования получены области устойчивости в параметрах, характеризующих инерционные свойства твердого тела и жидкости.

Области устойчивости колебаний твердого тела с полостью, наполненной тремя жидкостями, представлены на рис. 2, двумя жидкостями — на рис. 3. На этих рисунках также показано расположение корней характеристического уравнения, принадлежащих верхней и нижней границам области устойчивости.

Рис. 2. Области устойчивости колебаний твердого тела с полостью, наполненной

тремя жидкостями:

а — Н\ = 1 = 0,2; б — Н\ = 0,2; 1 = 0,5; - — к мнимой оси ближе кратные корни;

____— к мнимой оси ближе простой корень

Рис. 3. Области устойчивости колебаний твердого тела с полостью, частично наполненной двумя жидкостями:

а — 1 = 0; Й2 = 0,2; б — 1 = 0; 12 = 0,5;--к мнимой оси ближе кратные корни;

----— к мнимой оси ближе простой корень

Экспериментальное исследование колебаний полуцилиндра с двумя несмешивающимися жидкостями. Для подтверждения достоверности теоретических результатов, относящихся к колебаниям твердого тела с полостью, частично наполненной идеальной слоистой жидкостью, было проведено экспериментальное исследование. Рассматривались колебания свободного твердого тела в виде стального полуцилиндра с закрепленной прозрачной цилиндрической емкостью, частично заполненной двумя несмешивающимися жидкостями. Начало движения системы задавалось наклоном полуцилиндра в произвольном направлении. Начальное отклонение полуцилиндра вызывало свободные колебания гидромеханической системы. Процесс колебаний регистрировался на видеокамеру «Айфон 5С» (iPhone 5s) и затем анализировался на персональном компьютере Samsung. Эксперимент проводился при следующих значениях параметров: радиус полуцилиндра R = 0,05 м, радиус цилиндрической емкости, заполненной

жидкостями — водой и подсолнечным маслом, r = 0,035 м, высота слоев жидкостей h2 = 0,025 м и h1 = 0,05 м.

В эксперименте был зафиксирован период колебаний полуцилиндра с двумя жидкостями Tэкс, что отвечало второй главной собственной частоте колебаний ю2еор = 4,153 с-1. Были зарегистрированы колебания жидкостей, отвечающие этой частоте, при которой поверхности раздела совершали колебания в противофазе.

Для определения периода колебаний было проведено четыре эксперимента с твердым полуцилиндром и четыре эксперимента с твердым полуцилиндром, частично заполненным жидкостями. При обработке результатов эксперимента были рассчитаны:

а) среднее арифметическое значение периода

1 n

T =11T;

г=1

б) отклонение измеренных периодов колебаний T от среднего значения T, т. е. T - T, и квадраты полученных отклонений ((T - T)2;

в) полуширина доверительного интервала

AT = tPf

Цг I (T - T )2

n( n -1) 1=1

где — множитель, соответствующий доверительной вероятности Р = 0,95 при числе измерений п = 4.

Данные эксперимента и результаты их обработки приведены в таблице.

1 Т ,с Т - Т ,с (Т - Т )2, с2 АТ

1 0,555 Твердый п 0,002 олуцилиндр 0,000004 0,131

2 0,650 0,097 0,009409 0,131

3 0,450 -0,103 0,011000 0,131

4 0,560 0,007 0,00005 0,131

5 Твер 1,514 дый полуцилиндр -0,044 с двумя жидкост 0,001936 ями 0,117

6 1,651 0,093 0,008649 0,117

7 1,485 -0,073 0,005329 0,117

8 1,581 0,023 0,000529 0,117

На основании данных, представленных в таблице, получены следующие результаты измерения периода:

• для твердого полуцилиндра

Тцэксп = Т ±АТ = 0,553 ±0,131 с;

,.,эксп 11 -) г — 1 .

юц = 11,35 с ;

• для твердого полуцилиндра с двумя жидкостями

Тцэксп = Т ±АТ = 1,558 + 0,117 с;

,.,эксп л г\11 -1

юц = 4,033 с .

Частота колебания полуцилиндра без жидкостей определялась по формуле

V

:11,51с-1; Тцтеор = 0,546 с,

ю цеор

„ ч -1/2

9п „

--2

V о /

' ц

а полуцилиндра с двумя жидкостями — по формуле (15): юцеор = 4,445 с-1; Тцтеор = 1,414 с.

Заключение. Движение твердого тела с полостью, целиком заполненной трехслойной жидкостью, качественно отличается от движения твердого тела, полость которого целиком заполнена однородной несжимаемой жидкостью.

Предложен метод исследований устойчивости колебаний твердого тела, полость которого наполнена слоистой жидкостью.

Приведенные результаты экспериментального исследования динамических характеристик колебаний слоистой жидкости и твердого полуцилиндра с жидкостями дают удовлетворительные совпадения с расчетами, полученными по теоретическим формулам.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Избр. соч. [репр. изд.]. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017.

[2] Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. ПММ, 1956, т. 20, вып. I, с. 3-20.

[3] Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования. Москва, Машиностроение, 1969, 298 с.

[4] Колесников К.С. Динамика ракет. Москва, Машиностроение, 2003, 520 с.

[5] Колесников К.С., Пожалостин А.А., Шкапов П.М. Задачи динамики гидромеханических систем в трудах кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, спецвыпуск № 8, с. 15-30.

[6] Пожалостин А.А. К теории собственных малых осесимметричных колебаний упругих баков, частично заполненных жидкостью. Докл. I Всесоюзного симп. «Колебанияупругих конструкций с жидкостью». Новосибирск, 1970, с. 153-164.

[7] Пожалостин А.А. Разработка приближенных аналитических методов расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью. Дис. ... д-ра техн. наук. Москва, 2004, 220 с.

[8] Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. Москва, ВЦ АН СССР, 1966, 269 с.

[9] Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. Москва, Наука, 1965, 440 с.

[10] Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Москва, Машиностроение, 1968, 532 с.

[11] Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. Москва, Машиностроение, 1971, 563 с.

[12] Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. Москва, Машиностроение, 1977, 208 с.

[13] Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. Москва, Машиностроение, 1975, 416 с.

[14] Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. Москва, ВЦ АН СССР, 1968, 232 с.

[15] Темнов А.Н. О спектре малых колебаний непрерывно стратифицированной жидкости. Нелинейные проблемы аэрогидроупругости. Тр. семинара. Казань, 1979, вып. 11, с. 183-193.

[16] Темнов А.Н. Устойчивость стационарных вращений неоднородной жидкости в эллипсоидальной полости. Известия вузов. Машиностроение, 1979, № 7, с. 149-151.

[17] Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1986, т. 26, № 5, с. 734-755.

[18] Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Колебания твердого тела с полостью, содержащей тяжелую неоднородную жидкость. Механика твердого тела, 1986, № 1, с. 27-36.

[19] Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А. Условия устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью. ПМТФ, 1984, № 1, с. 34-44.

[20] Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. Москва, Наука, 2005, 195 с.

Статья поступила в редакцию 04.03.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Темнов А.Н., Вин Ко Ко. Теоретическое и экспериментальное исследования колебаний твердого полуцилиндра с полостью, заполненной слоистой жидкостью.

Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 5. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-5-1883

Темнов Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: antt45@mail.ru

Вин Ко Ко — стажер-исследователь кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: win.c.latt@gmail.com

Theoretical and experimental studies of vibrations of the solid half-cylinder having a cavity filled with a layered fluid

© A.N. Temnov, Win Ko Ko Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

Further exploration of outer space is not possible without energy industrialization. For the industrialization of outer space, Russian and American experts are considering the possibility of creating orbital refueling stations and space refueling stations for future flights to the Moon, Mars and other planets. The proposed article presents the formulation of the problem, the solutions and the results of studies of the dynamic characteristics and stability of small oscillations of a solid, simulating a space tanker, whose fuel tank contains a cryogenic liquid. A distinctive feature of a cryogenic liquid is the low temperatures and various densities of fluid particles observed in the processes of storage and operation, which greatly complicates the study of hydrodynamic problems. In the article, the cryogenic fluid is modeled by layers of immiscible liquids. In the work, the equations of motion of a rigid body with a cavity containing three immiscible incompressible ideal liquids and performing a plane motion are obtained. The formulation of the problem of small oscillations and stability of motion of a rigid body with a cavity filled with such a layered fluid is given. The areas of stability of the motion of a solid semi-cylinder with a cylindrical cavity filled with three immiscible liquids are investigated. The article also presents the results of an experimental study of oscillations of a half-cylinder with two immiscible liquids.

Keywords: immiscible incompressible ideal fluid, a mechanical system, the area of stability, natural frequency, rigid body

REFERENCES

[1] Zhukovsky N.E. O dvizhenii tverdogo tela, imeushchego polosti, napolnennye odnorodnoy kapelnoy zhidkostyu [On the motion of a rigid body with cavities filled with a homogeneous dropping liquid]. In: Izbrannye sochineniya [Selected works]. Moscow, BMSTU Publ., 2017.

[2] Okhotsimskiy D.E. Prikladnaya Matematika i Mekhanika — J. Appl. Math. Mech., 1956, vol. 20, no. I, pp. 3-20.

[3] Kolesnikov K.S. Zhidkostnaya raketa kak obyekt regulirovaniya [Liquid rocket as an object of regulation]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1969, 298 p.

[4] Kolesnikov K.S. Dinamika raket [The dynamics of rockets]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003, 520 p.

[5] Kolesnikov K.S., Pozhalostin A.A., Shkapov P.M. VestnikMGTU im. N.E. Bauman. Ser. Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Natural Sciences, 2012, Special issue number 8, pp. 15-30.

[6] Pozhalostin A.A. K teorii sobstvennykh malykh osesimmetrichnykh kolebaniy uprugikh bakov, chastichno zapolnennykh zhidkost'yu. Dokl. I Vsesoyuznoy simp. «Kolebaniya uprugikh konstruktsiy s zhidkost'yu» [On the theory of own small axisymmetric oscillations of elastic tanks, partially filled with a fluid. Proceedings of the 1st Vsesoyuz. simp. Fluctuations of Elastic Structures with Fluid]. Novosibirsk, 1970, pp. 153-164.

[7] Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost'yu. Dis. ... d-ra tekhn. nauk [Development of approximate analytical methods for calculating the own and forced vibrations of elastic shells with a liquid: Diss. ... Dr. Sc. in Engineering]. Moscow, 2004, 220 p.

[8] Moiseev N.N., Petrov A.A. Chislennyye metody rascheta sobstvennykh chastot kolebaniy ogranichennogo obyema zhidkosti [Numerical methods for calculating the natural frequencies of oscillations of a limited volume of a liquid]. Moscow, EC of the USSR Academy of Sciences, 1966, 269 p.

[9] Moiseev N.N., Rumyantsev V.V. Dinamika tel s polostyami, soderzhashchimi zhidkost [Dynamics of bodies with cavities containing a liquid]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 440 p.

[10] Mikishev G.N., Rabinovich B.I. Dinamika tverdogo tela s polostyami, chastichno zapolnennymi zhidkostyu [Dynamics of a rigid body with cavities partially filled with a liquid]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968, 532 p.

[11] Mikishev G.N., Rabinovich B.I. Dinamika tonkostennykh konstruktsiy s otsekami, soderzhashchimi zhidkost [Dynamics of thin-walled structures with compartments containing liquid]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1971, 563 p.

[12] Narimanov G.S., Dokuchaev L.V., Lukovskiy I.A. Nelineynaya dinamika letatelnogo apparata s zhidkostyu [Nonlinear dynamics of an aircraft with a liquid]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1977, 208 p.

[13] Rabinovich B.I. Vvedeniye v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov [Introduction to the dynamics of launch vehicles of spacecraft]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1975, 416 p.

[14] Chernousko F.L. Dvizheniye tverdogo tela s polostyami, soderzhashchimi vyazkuyu zhidkost [Movement of a solid with cavities containing a viscous fluid]. Moscow, USSR Academy of Sciences, 1968, 232 p.

[15] Temnov A.N. O spektre malykh kolebaniy nepreryvno stratifitsirovannoy zhidkosti. Nelineynyye problemy aerogidrouprugosti. Tr. seminara [On the spectrum of small oscillations of a continuously stratified fluid. Nonlinear problems of aerohydroelasticity. Workshop Workshop]. Kazan, 1979, vol. 11, pp. 183-193.

[16] Temnov A.N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroyeniye — Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 1979, no. 7, pp. 149-151.

[17] Kopachevsky N.D., Temnov A.N. Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki — Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1986, vol. 26, no. 5, pp. 734-755.

[18] Akulenko L.D, Nesterov S.V. Izvestiya RAN, Mekhanika Tverdogo Tela — Mechanics of Solids, 1986, no. 1, pp. 27-36.

[19] Derendyaev N.V., Senyatkin V.A. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskayafizika — Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1984, no. 1, pp. 34-44.

[20] Bulatov V.V., Vladimirov Iu.V. Vnutrennie gravitatsionnye volny v neodnorodnykh sredakh [Internal gravitational waves in non-uniform environments]. Moscow, Nauka Publ., 2005, 195 p.

Temnov A.N., Cand. Sc. (Phys. & Math.), assoc. professor of the Spacecraft and Launch Vehicles Department, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: antt45@mail.ru

Win Ko Ko, Young researcher of the Spacecraft and Launch Vehicles Department, Bauman Moscow State Technical University. e-mail: win.c.latt@gmail.com