CC BY
68
ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА
ВРАЩЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ В СВЕТОВЫХ ПОЛЯХ
В.А. Сойфер, В.В. Котляр, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
Аннотация
Рассмотрены эксперименты по манипулированию микросферами в световых пучках Бесселя и пучках с угловыми гармониками, которые были сформированы дифракционными оптическими элементами.
Введение
Для вращения микрочастиц в световых полях используется два основных подхода.
Во-первых, за счет спинового углового момента, который существует у полей с круговой поляризацией (при этом вращаются только двулучепрелом-ляющие частицы, например, частицы из исландского шпата). Во-вторых, за счет орбитального углового момента, возникающего из-за спиральной особенности фазы, например, пучки Гаусса-Лагерра и Бесселя высших порядков (передача орбитального углового момента происходит за счет частичного поглощения света в частице).
Бесселевые пучки (БП) обладают рядом замечательных свойств: распространяются на конечном отрезке оптической оси без дифракции [1]; могут образовывать световую «трубку» или световую полость на оптической оси [2]; могут восстанавливаться через некоторое расстояние после препятствия, расположенного на оптической оси [3-5]; могут обладать орбитальным угловым моментом [6, 7]; могут обладать продольной периодичностью [8], а также вращаться вокруг оптической оси при своем распространении [9, 10].
Формировать БП можно с помощью аксикона [11], амплитудной цифровой голограммы [2] или фазового дифракционного оптического элемента (ДОЭ) [12]. Применение БП для манипуляции микрочастицами начались несколько лет назад. Сначала они были применены для транспортировки холодных атомов [13-15]. В [16-18] БП применялся в качестве нового типа оптических ловушек для микрочастиц, когда возможно одновременно захватить и манипулировать цепочкой микрочастиц. В [17] было осуществлено оптическое манипулирование кварцевыми шариками диаметром 1-5 мкм. В [16] использовалась инверсная оптическая ловушка, когда лазерный БП был направлен вверх против силы гравитации. В этом случае частицы толкаются световым пучком вверх и они выстраиваются в вертикальную цепочку. В [16] с помощью БП удалось составить вертикальную цепочку из 16 кварцевых шариков диаметром 5 мкм. Удалось также передвигать всю цепочку микрочастиц как единое целое и даже наклонять их на 5 градусов. В [18] экспериментально осуществлен одновременный оптический захват микрочастиц в двух кюветах, расположенных на оси БП на расстоянии 3 мм
друг за другом. В первой кювете полый диэлектрический шарик диаметром 5 мкм был захвачен в зоне минимальной интенсивности между центром и первым кольцом БП нулевого порядка. Во второй кювете были захвачены 3 кварцевых шарика диаметром 5 мкм друг за другом на оси пучка.
В [19] продемонстрирована передача орбитального углового момента от БП первого порядка к менее плотной, чем окружающая среда, частице. При этом частица была захвачена в темную кольцевую область и вращалась вокруг оси пучка с периодом 8 секунд.
В [13, 15] теоретически анализировалась возможность использовать БП, сформированный акси-коном, для дипольного захвата холодных атомов. БП первого порядка было предложено использовать в качестве узких атомных волноводов, протяженностью более сантиметра.
В [6] с помощью БП третьего порядка, сформированного неодимовым лазером с длиной волны 1064 нм и мощностью 1 Вт, а также аксиконом и фазовой цифровой голограммой с дифракционной эффективностью первого порядка около 80%. Причем голограмма формировала пучок Гаусса-Лагер-ра третьего порядка по азимутальному модовому индексу. Четыре кварцевых шарика диаметром 1 мкм были захвачены внутренним световым кольцом диаметром 2,9 мкм и вращались с периодом 16 секунд.
Кроме пучков Бесселя для вращения микрочастиц можно использовать световые пучки с угловыми гармониками, которые могут быть сформированы например с помощью спиральной фазовой пластинки. При этом эффективность передачи момента вращения микрочастицам в таких пучках должна быть существенно выше, нежели в БП, т. к. в отличие от последних, эти пучки концентрируют большую часть энергии в рабочей области. Это дает возможность использовать световые пучки с угловыми гармониками для придания вращательного движения группе микрочастиц одновременно.
В данной работе приводятся результаты эксперимента по захвату и вращению 5-10 микронных биологических объектов (клетки дрожжей) и полистироловых шариков диаметром 5 мкм с помощью БП пятого порядка, сформированного фазовым ДОЭ при освещении его пучком аргонового лазера с длиной волны 514 нм и мощностью 200 мВт. А также
рассматриваются эксперименты по одновременному захвату и вращению группы микрочастиц в многопорядковых пучках с угловыми гармониками, сформированными в пучке аргонового лазера с длиной волны 514 нм и мощностью от 300 мВт до 1000 мВт.
В [6] был рассчитан вектор Пойнтинга и орбитальный угловой момент для векторного БП произвольного порядка. В данной работе получены простые формулы для вектора Пойнтинга двумерного векторного БП с ТЕ-поляризацией и трехмерного параксиального векторного БП с линейной поляризацией. Показано также, что при преобразовании на линзе бездифракционного БП он переходит в расходящийся БП. Это нужно учитывать при манипуляции микрочастицами, так как оптические схемы для захвата частиц БП всегда содержат изображающую сферическую линзу.
1. Скалярные и векторные Бесселевы световые пучки
В этом разделе приведены аналитические соотношения для скалярных и векторных БП. Скалярные БП известны как бездифракционные, так и расходящиеся. Бездифракционный БП может быть непараксиальным и удовлетворять уравнению Гельмголь-ца, а может быть параксиальным и преобразовываться с помощью параболического преобразования Френеля.
Для векторных двумерных непараксиальных БП с ТЕ-поляризацией и для трехмерных параксиальных БП с линейной поляризацией рассчитаны векторы Пойнтинга. Показано, что для БП ненулевого порядка вектор Пойнтинга имеет азимутальную составляющую, которая пропорциональна орбитальному угловому моменту БП.
1.1. Скалярный непараксиальный БП.
Если скалярная комплексная функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
52
д2 д2 + —Г + —Г + к 2 (х, У,2) = 0.
дх2 ду д22 1
(1)
то она представима с помощью интегрального преобразования в виде [20]:
Т(х, у, 2) = Л ехр [/'к (х бш 8 соб ф +
0 -п
+2 соб 8)]* 0(8, ф)эш 8 а 8 а ф,
(2)
Ф0(8,ф) - амплитуда спектра плоских волн или произвольная функция, заданная на сфере, (8,ф) - два угла, однозначно определяющие точку на сфере. Выберем функцию Ф0 в виде:
Т 0(8, ф) =
8(8-80) (- )
0 гехр(/иф).
^/2л бШ 80
(3)
т.е. волновые векторы всех плоских волн лежат на конусе с углом наклона к оси 2 равным 8 0.
Тогда, подставив (3) в (2), получим решение уравнения Гельмгольца (1) в виде цилиндрической волны:
х, у, 2) = /"y|2nsinQ0J„ (к эш 80 г) ехр [/' (ф + к2 соб 80 )]
(4)
Выражение (4) описывает скалярный непараксиальный БП, который при распространении вдоль оси 2 не «дифрагирует», то есть не изменяет свой диаметр.
1.2. Скалярный расходящийся параксиальный БП
В параксиальном случае вместо уравнения Гельмгольца (1) используется уравнение Шрединге-ра или уравнение медленно меняющихся амплитуд:
д2 д2
_5
, + —г + 2/к— |Т1(х,у,2) = 0.
дх2 ду2 1 1
(5)
а вместо разложения по плоским волнам (2) функция представляется как результат разложения по параболическим волнам (преобразование Френеля):
*,(х, у, 2) - к
2п/2
Л ехр\2-[(х-I)2 +(у-П)2]
22
хт 0(1, | а п
(6)
Выберем функцию Ф0(^,п), описывающую распределение амплитуды скалярного поля при 2=0, в виде:
Т0(г, ф) =
8(г - Г)) \/2пг
ехр(/Пф).
(7)
где (г,ф) - полярные координаты: |=гсоэф, п=гэшф.
Подставив (7) в уравнение (6), получим решение уравнения (5) в виде параксиальной цилиндрической волны:
Т,(г, ф, 2) = (-/Г ^ - X
V 2п 2
х ехр
' 22 (г2 + Г02) ^ (^) ехр(/"ф).
(8)
Из ур. (8) видно, что БП (8) дифрагирует (расходится) по мере распространения вдоль оси 2 в отличие от непараксиального пучка (4), который не подвержен дифракции и не расходится при распространении. Такой пучок формируется с помощью узкой кольцевой диафрагмы в непрозрачном экране.
1.3. Преобразование непараксиального БП
В оптических схемах для манипуляции микрочастицами с помощью БП [6, 16-18] для концентрации световой энергии в фокальной области формируют с помощью сферической линзы преобразование БП, произведенного аксиконом или голограммой. При этом оказывается, что БП, обладающий свойством сохранять свой диаметр вблизи аксикона или голограммы, теряет это свойство при изображении с помощью сферической линзы и начинает расходиться.
Покажем, что изображение бездифракционного БП (4) с помощью сферической линзы приводит к
х
расходящемуся параксиальному БП аналогичному (8). На рис. 1 показана оптическая схема.
В качестве начальной функции выберем БП нулевого порядка:
Т 0(г) = J0(аr). (9)
БОЕ Ь
Рис. 1. Оптическая схема для формирования изображения БП, применяемая для манипулирования микрочастицами
Чтобы найти как функция преобразуется линзой, нужно промоделировать прохождение пучка в свободном пространстве на расстояние а с помощью преобразования Френеля, затем умножить на функцию комплексного пропускания линзы с фокусным расстоянием / и еще раз преобразовать оператором распространения (преобразование Френеля) на расстояние:
/ -! Л2 1 да да да да
Т(и^г) = 12П—) 0(г)х
<exp <
—к
■да —да —да —да
(* -I)2 + (у—п)2 — +
+ (I — у)2 + (п —V)2
а / d * d у d | d п.
(10)
При этом расстояние г связано с расстоянием а по формуле линзы. В ур. (10) использована функция пропускания параксиальной линзы в виде:
т(|, п) = exp
—2/ ((2+п2)
си)
В результате вычисления интеграла (10) полу-
чим:
Т(р,г)=
/
^0
<ехр
а/ Р
(г — /) Ч / — г
2( /
а" ( /г | кр
———I а + —— 1 +1---
2к 1 / — ^ 2( / — г)
(12)
2 2 2 где р =и + V .
Из ур. (12) видно, что БП (12) аналогично непараксиальному пучку (8) расходится при г>/. Это связано с тем, что линза вносит в БП расходящийся параболический волновой фронт.
1.4. Преобразование Френеля от непараксиального БП Может показаться, что бездифракционный БП (9) при изображении линзой стал расходящимся БП (12) из-за того, что был рассчитан с помощью параксиального преобразования Френеля (6). Но это не так. Можно показать, что применение преобразова-
ния Френеля к БП (9) сохраняет его свойство безди-фракционности. Действительно, выберем в качестве исходного светового поля БП (4) в виде:
Т0 (г, ф, г = 0) = Jn (аг) ехр(—пф), (13)
тогда на расстоянии г от плоскости г=0 получим:
Т(|, п, г) = 2~ (аг )ехр(/пф)>
сехр
сехр
£ (г2+р2)
— ■—Гр СО8(0 — ф)
г
(14)
г d г d ф,
где р2=| , 6 = агс1я .
Заменяя интеграл по ф в (14) на функцию Бесселя п-го порядка, вместо (14) получим:
Т(р, 9, г) =
(—0п+1 к (—к
ехр I —р I ехр(—п9)
2г
I Jn(агУп I —)ехр 12~г2 I г dг
2г
(15)
Интеграл (15) можно вычислить [21], тогда вместо (15) получим:
Т(р, 9, г) = ехр Jn (ар)ехр(—п9). (16)
Из ур. (16) видно, что преобразование Френеля сохраняет исходный непараксиальный БП (с точностью до фазового множителя):
га
Т(р, 9, г) = ехр|— |Т о(р, 9).
(17)
1.5. Продольная интерференция двух БП
Для манипуляции микрочастицами иногда требуется формировать интерференционные картины. Например, вращая каким-нибудь способом интерференционную картину с заданной частотой, можно вращать с этой же частотой захваченные в минимумах (или максимумах) этой картины микрочастицы [22]. Интерференционная картина наклонных БП для манипуляции микрочастицами была использована в [23]. БП формировался с помощью пучка Га-усса-Лагерра, прошедшего через аксикон.
Наиболее удобно формировать интерференционные картины модовых пучков, в том числе БП, с помощью ДОЭ [24, 25].
При захвате микрочастицы БП на частицу будет действовать сила, направленная вдоль оптической оси пучка. Поэтому с помощью одного БП нельзя осуществить 3Б-захват микрочастицы. Однако при интерференции двух соосных БП, образованных коническими волнами с разными углами при вершине конусов, образуется продольная модуляция интенсивности. В любом локальном минимуме или максимуме (в зависимости от плотности частицы по сравнению с окружающей средой) может быть осу-
да
ществлен 3Б-захват частицы, т.к. на нее не будет действовать осевая сила светового давления.
Период продольной интерференции двух БП нетрудно определить из выражения для интенсивности
I(r, z) =
J,
(kar) exp (ikzV 1 -a2) -
+J,
(kpr )exp (ikzj 1 -p2)
(18)
= J02 (k ar) + J02 (kpr) + 2 J0 (k ar) J0 (kpr) >
ecos
kz(V1 -a2-y¡ 1 -p2 )
Из ур. (18) следует, что период Т продольной интерференции двух БП равен:
T =•
(19)
где а=5т6ь Р=8ш62, 01 и 62 - углы наклона конических волн к оптической оси.
1.6. Вектор Умова-Пойнтинга для непараксиального 2Б векторного БП
В двумерном случае получается наиболее простая связь между скалярным и векторным БП.
Вместо ур. (2) в двумерном случае разложение комплексной функции, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца по плоским волнам, имеет вид [20]:
Y(x,z) = Jy0(t)exp ik(xt + w 1 -12)
d t, (20)
где г - оптическая ось пучка (по оси у нет никаких
д
изменений — = 0).
ду
Если выбрать функцию в виде:
(-i)" exp
Y 0(t) = -
in arccos I —
a
2п
40T-
rect
t2
(21)
то, подставив (21) в (20), получим выражение для непараксиального двумерного пучка, который при г=0 совпадает с БП:
Y( x, z) =
(-i)n a 2п
exp
J
in arccos I —
a
exp
ik (xt + W1 -12)
si a2 -12 d t
(22)
Из ур. (22) при z=0 и после замены t=acosф, получим:
(-i)" п
-J exp (inm)x
2п J П ^ (23)
Y (x, z = 0) =-
x exp (ika cos ф) d ф = Jn (kax).
Чтобы получить компактную запись для БП при любом z, запишем ур. (20) виде:
п
Y(x, z) = J Y0 (8) exp [ik(x cos 6 + z sin 8)]d8 . (24)
Тогда при
Y0(8) = ^-Uxp(in8), (25)
2п
вместо уравнения (22) получим: Y( x, z) = (-1)" п
= -—— J exp(in8) exp [ik(x cos 8 + z sin 8)] d8 =, (26)
2П -п
= Jn (kr) exp(i^)
где x = r cos ф, y = r sin ф.
При z = 0 из ур. (26) получим: Y(x, z = 0) = Jn (kr)(i sgn x)n . (27)
Скалярный двумерный БП (26) можно рассматривать и как векторный пучок, считая, что Y(x,z) это проекция оси y вектора напряженности электрического поля Ey(x,z)=Y(x,z) для TE-поляризованной монохроматической электромагнитной волны. Такое поле описывается тремя величинами Ey, Hx, Hz, где Hx и Hz - проекции на оси x и z вектора напряженности магнитного поля волны. Проекции магнитного вектора можно найти через Ey:
1 dEv
Hx =-
ik dz
«. = i E..
k dx
(28)
С помощью уравнений (26) и (28) можно найти выражение для вектора Умова-Пойнтинга двумерного БП. Действительно, вектор Умова-Пойнтинга определяется для комплексных векторных полей в виде [26]:
S = — Re Ге x H* ]. 4п L
(29)
где с - скорость света.
В двумерном случае с учетом (26) вместо (28) получим:
sx =-
S =-
ic f E - E* ж,' = -C_ Im f E Ж* ^
4nk y dx y dx 4п k y dx
V У V У
ic f E E. - E* = -C- Im f E <
4nk y dz y Sz 4п k y Sz
(30)
(31)
Подставив выражения (26) в уравнения (30) и (31), получим проекции вектора Умова-Пойнтинга для двумерного БП ТЕ-поляризации:
Sx (x, z) =
4п k r
■Jl(kr).
sz(x,z >=J> >•
(32)
(33)
Из уравнений (32) и (33) следует, что при z=0
Sx(x,z=0)=0 и
Sz (x, z = 0) =-C^J2(kr), 4п kx
(34)
2
cnz
а при x=0 Sz(x=0,z)=0 и
Sx (x = 0, z) =
4n kz
Jl(kz).
(35)
На рис. 2 стрелками показано направление вектора Умова-Пойнтинга, которое следует из уравнений (32)-(35).
Рис. 2. Стрелками показано направление вектора Умова-Пойнтинга при r=const для 2D БП n-го порядка
1.7. Вектор Умова-Пойнтинга для параксиального 3D векторного БП Пусть монохроматический пучок Бесселя линейно-поляризован вдоль оси x:
E = exU(x,y, z) = exJn(ar)exp [i ((z + n<p)] , (36)
где a=ksin6, p=kcos6, 6 - угол наклона конической волны к оптической оси z, (r, <) - полярные координаты.
Из уравнения Максвелла: frot E = ikH,
\ (37)
[ rot H = -ik sE.
найдем остальные проекции электрического и магнитного векторов:
Ex = U,
E = 1 d2U y k2s dydx'
Ez =J_ dU,
z k2s dzdx
Hx = 0,
H = ±8U y ik dz '
Hz = L dU.
k dy
(38)
а Ey и
Видно, что проекции Ну и Н порядка к Ег порядка к~2, т.е. малы по сравнению с Ех.
Вектор Умова-Пойнтинга, определенный урав нением (29) с учетом (38), принимает вид:
т. дП
S = -— Im
z 4nk
Sv =-Im
y 4nk
U
U
dz ,
* dU_ dy
Sr = -
4nsk
Im
d2U dU d U dU
(39)
(40)
(41)
дудх ду дгддх ду
Подставив выражение для П из (36) в уравнения (39)-(41), получим проекции вектора Умова-Пойнтинга параксиального векторного 3Б БП:
Sz = i|J-<ar >•
(42)
CftX 2
Sy =——T Jn (ar), x = r cos <, 4nkr
* = 4=сЦ( -fe + ] J2„(ar) -.2
4nk s H k
ay 2ax£ y axy2 } т ^ ч dJn (t) + —fr- IJn(ar) n +
k r k r
k2 r5
dt
a2 y3 k2 r4
2 2 a x y
dJn (t)
k2 r4 д dt
, a2x2y r ( ) d2 Jn (t)
+ -2 - Jn (ar)
(44)
k2 r4
dt2
Заметим, что уравнения (42) и (43) аналогичны и почти совпадают с уравнениями (33) и (32), соответственно.
Если в уравнении (44) оставить только слагаемые пропорциональные к4, а слагаемыми с кТ2 и к~3 пренебречь, то вместо (44) получим более простое выражение:
Sx =
Р2 y
-Cn ь j 2
4nks I k2 r2 n
J2( ar) +
a2 y3 a2 x2 y Y dJn (t)л2
k2 r4
k2r4 ){ dt a2 x2 yT/ d2 Jn (t)
+ Jn (ar ^
Из ур. (42)-(44) видно, что при x=0:
'Sy = 0
(45)
Sx = -
4nk s
P2 y ,2, 4|a2 y3 (Jn (t)
k2 r
-J„(ar) +
k2 r4
dt
(46)
Знак Хх определяется произведением пу, при п>0 и при г=сош1 проекция Хх направлена как на рис. 3 (ось г направлена к наблюдателю).
При у=0:
X = 0,
- е спх 2,4 (47)
Знак определяется произведением пх,Ю и при п>0 проекция Хх показана на рис. 3.
Л
/ f N \ 1
0 \ \ ч. 1 / .„У У
Рис. 3. Стрелками показано направление вектора Умова-Пойнтинга в сечении (х,у) 3Б параксиального БП при r=const. Свет линейно-поляризован вдоль оси х
1.8. Орбитальный угловой момент для БП
Орбитальный угловой момент (ОУМ) электромагнитного поля определяется соотношением [27]:
M = [r х S] =
r x<¡ Re [E х H]
(48)
Проекция на оптическую ось ОУМ для линейно-поляризованного электромагнитного поля, рассчитанная в параксиальном приближении [28] имеет вид:
M. =■
1
yImI EI-хImI E
dx ) i dy
8пкс
Для линейно-поляризованного БП
Ех = Jn (аг) ехр(шф) ехрО^), а2 + р2 = к2 проекция на ось г ОУМ будет иметь вид:
м = ).
2 8пкс
(49)
(50)
(51)
Выражение (51) с точностью до постоянной совпадает с первым слагаемым в ур. (19), полученном в [6].
2. Синтез ДОЭ
Дифракционные оптические элементы позволяют формировать пучки Бесселя, сохраняющие модовый характер на большом расстоянии вдоль оси распространения. Исходя из геометрических соображений расстояние, на котором сохраняется модовый характер одномодового Бесселевого светового поля Jn(аг)exp(inф), оценивается следующей формулой [29]:
= R
-1
аХ
1/2
(52)
где Я - радиус ДОЭ, а - параметр функции Бесселя.
В работе [2] показано, что при формировании Бесселевых пучков голографическими оптическими элементами максимальное расстояние сохранения их модового характера увеличивается примерно в два раза по сравнению со способом формирования Бесселевых пучков с помощью узкой щели [1]. Однако необходимо некоторое расстояние от плоскости голографического оптического элемента, чтобы
пучок сформировался. Таким образом, отрезок оптической оси, на котором БП, формируемый конечным фазовым ДОЭ, сохраняет свой модовый характер, начинается с некоторого zmln, необходимого для формирования пучка и заканчивается на 2тах, определяемого радиусом ДОЭ Я и параметром БП а.
В [30] предложено формировать многомодовые пучки Бесселя с помощью ДОЭ, функция пропускания которого является функцией:
т(г, ф) = sgn (Jn (ar)) exp (шф).
(53)
Винтовой ДОЭ с пропусканием (53) эффективно формирует световое поле, амплитуда которого пропорциональна функции Бесселя Jn(aг)exp(inф), вблизи оптической оси на отрезке 0<2<Як/а [30].
При расчете фазы ДОЭ для формирования БП 5-го порядка выбирались следующие параметры: Я=3 мм, Х=633 нм, а=44,5 мм-1. На рис. 4a показан шаблон (600x600 отсчетов), по которому на технологической базе Университета Йоенсуу (Финляндия) был изготовлен 16-градационный ДОЭ (шаг дискретизации 10 мкм). На рис. 4Ь показана центральная часть микрорельефа ДОЭ при увеличении в 50 раз (вид сверху), а на рис. 4c - при увеличении в 200 раз (вид под наклоном). Картины микрорельефа получены с помощью интерферометра NEWVIEW 5000 американской фирмы Zygo.
Результаты сравнения экспериментального формирования БП 5-го порядка и численного моделирования на основе интегрального преобразования Френеля приведены на рис. 5. Изготовленный фазовый ДОЭ освещался коллимированным пучком Не-№ лазера. Полученное распределение интенсивно -сти на разных расстояниях после ДОЭ регистрировалось с помощью ПЗС-камеры. На рис. 5а-д (в верхней строке) приведены экспериментально за фиксированные распределения интенсивности на следующих расстояниях от плоскости ДОЭ: 300 мм (5а), 400 мм (5б), 500 мм (5в), 600 мм (5г). На рис. 5д-з (в нижней строке) приведены соответствующие картины численного моделирования.
Из сравнения соответствующих картин на рис. 5 видно хорошее согласие теории с экспериментом.
Рис. 4. Фазовый ДОЭ, формирующий БП пятого порядка: шаблон фазы (а) и вид центральной части микрорельефа при увеличении в 50раз (б) и 200 раз (в)
Рис. 5. Экспериментально зафиксированные распределения интенсивности в поперечном сечении на следующих расстояниях от плоскости ДОЭ: 300 мм (5а), 400 мм (5б), 500 мм (5в), 600 мм (5г) и соответствующие результаты численного моделирования (5д-з)
Рис. 6. Оптичская схема экспериментальной установки: Ь - аргоновый лазер, К - коллиматор, Б - ДОЭ, Ь} - корректирующая линза, М1 - полупрозрачное зеркало микроскопа, М2 - поворотное зеркало, Ь2 - микрообъектив, Р - кювета с микрочастицами, Ь3 - окуляр микроскопа, СБ - красный светофильтр, ТУ - телекамера, Ь4 - объектив телекамеры, Ь5 - конденсор осветителя, I - лампа осветителя
3. Экспериментальное исследование движения микрочастиц в БП
Для проведения экспериментов по манипулированию микрочастицами использовалась оптическая схема, приведенная на рис. 6. Луч лазера после коллиматора К попадал на ДОЭ Б, который формировал БП пятого порядка. Затем, с помощью оптической системы микроскопа (линз Ьь Ь2), сформированный пучок изображался с уменьшением в кювете с водной взвесью микрочастиц. Фоновое освещение осуществлялось лампой I при помощи линзы Ь5. Линза Ь2 (микрообъектив 16*, 20*, 90*) использова-
лась как фокусирующая, так и формирующая изображения в области кюветы.
Для совмещения рабочей плоскости микробъек-тива Ь2 с плоскостью фокусировки использовалась линза Ь2. В качестве частиц были выбраны клетки дрожжей. На рис. 7 изображены разные стадии движения клетки дрожжей захваченной первым световым кольцом БП. Светофильтр СБ в эксперименте был подобран так, чтобы было видно частицу, но не видно пучка. Всего частица совершила восемь оборотов, после чего прилипла ко дну. Параметры данного эксперимента приведены в таблице 1.
Таблица 1. Параметры эксперимента с клеткой дрожжей
Также использовались полистироловые шарики диаметром 5 мкм. Они реже прилипают ко дну, что позволило провести с ними ряд экспериментов. В следующем эксперименте (параметры приведены в таблице 2) БП был сфокусирован так, что размер первого кольца составил 3 мкм, это меньше размера микрошарика. Таким пучком удалось осуществить захват микрочастицы и передвижение ее на 30 мкм в сторону. Перемещение частицы осуществлялось с помощью смещения пучка поворотом зеркала на 10. Стадии движения частицы представлены на рис. 8 (захваченная частица выделена контуром).
Таблица 2. Параметры эксперимента с поступательным движением полистиролового шарика
Интересно было провести эксперимент с комбинированным движением микрочастицы. То есть, перемещая пучок, добиться, чтобы микрочастица еще и вращалась. Такой эксперимент был проделан. Фазы движения пары слипшихся микрошариков представлены на рис. 9. Параметры этого эксперимента представлены в таблице 3. В ходе перемещения на 50 мкм частицы совершили 4 оборота, вращаясь, как единое целое.
Таблица 3. Параметры эксперимента с поступательно-вращательным движением пары слипшихся шариков
4. Экспериментальное исследование движения микрочастиц в световых пучках в угловыми гармониками СФП для оптической манипуляции ранее уже использовалась в [31]. При этом СФП может формировать только один пучок с фазовой сингулярностью определенного порядка. Пучки с разным порядком фазовой сингулярности обладают разным орбитальным угловым моментом и поэтому по-разному взаимодействуют с мирочастицами.
В данной работе были изготовлены и применены для оптического захвата ДОЭ, которые работают, как набор из нескольких СФП с разными порядками сингулярности. Функция пропускания таких ДОЭ пропорциональна линейной комбинации нескольких угловых гармоник (3). Причем амплитудные коэффициенты этих гармоник и их порядки подобраны таким образом, чтобы функция пропускания ДОЭ была бинарной.
Первоначально в экспериментах использовался ДОЭ, формирующий восемь порядков, в каждом из которых образовывался световой пучок с угловой гармоникой от-4-го до +4-го порядков (рис. 10).
Параметры эксперимента по захвату микросфер таким световым пучком указаны в таблице 4.
Таблица 4. Параметры эксперимента захвата микросфер световым пучком с восемью угловыми гармониками
Параметр Значение
Частица (размер мкм) Полистироловая микросфера, (5)
Мощность излучения (мВт) >200
Объектив 16*
Тип пучка Восемь угловых гармоник от -4-го до 4-го порядков
Источник излучения Аргоновый лазер (0,5145мкм)
Размер области захвата (мкм) 5 (диаметр кольца угловой гармоники 1-го порядка)
Среда Вода
При механических перемещениях фокусирующей системы в экспериментальной установке водная суспензия с микросферами в кювете подвергалась существенным внешним воздействиям, которые выражались в сильном дрожании и расфокусировке изображения рабочей области. Для нейтрализации этих эффектов использовался другой подход для захвата группы микросфер. В эксперименте был искусственно создан поток микросфер за счет наклона кюветы с водной суспензией. Средняя скорость движения микросфер в потоке составляла 3-4 мкм/с. Это позволило провести эксперимент без механических подвижек в оптической системе.
На рис. 11 показаны стадии захвата микросфер из потока в данном световом пучке. Места, в которых были захвачены микросферы, обведены окружностями. Как видно из рис. 11, в ходе эксперимента было захвачено четыре микросферы в 0, 1, 4 и -2 порядках, соответственно. При этом в 0 порядке угловой гармоники нет, там наблюдается некое симметричное распределение интенсивности, которое работает как лазерный «пинцет».
Параметр Значение
Частица (размер мкм) Шарик из полистирола, (5)
Мощность излучения (мВт) 200-250
Объектив * 20*
Тип пучка БП пятого порядка (0,7 мм от фокальной плоскости)
Источник излучения Аргоновый лазер (0,5145мкм)
Размер траектории (мкм) 17 (диаметр), 50 (длина)
Среда Вода
Период вращения (с) 2
Время движения (с) 9
Параметр Значение
Частица (размер мкм) Клетка дрожжей, (4,5*7)
Мощность излучения (мВт) 150-200
Объектив 16*
Тип пучка БП пятого порядка (0,8 мм от фокальной плоскости)
Источник излучения Аргоновый лазер (0,5145мкм)
Размер траектории (мкм) 17 (диаметр первого светового кольца БП)
Среда Вода
Период вращения (с) 1,25
Параметр Значение
Частица (размер мкм) Шарик из полистирола , (5)
Мощность излучения (мВт) 180-220
Объектив * 90*
Тип пучка БП пятого порядка (0,1 мм от фокальной плоскости)
Источник излучения Аргоновый лазер (0,5145мкм)
Размер траектории (мкм) 30 (длина)
Среда Вода
Время движения (с) 10
а) 0 с б) 0,5 с в) 1 с
Рис. 7. Клетка дрожжей захватывается световым БП и совершает 8 оборотов по кольцу диаметром 17мкм (первое кольцо БП), а, б, в - стадии движения через 0,5 сек. траектория показана контуром
а) 0 с б) 2 с в) 4 с
Рис. 8. Шарик из полистирола захватывается БП (диаметр первого светового кольца 3 мкм) и перемещается на 30 мкм в сторону, а, б, в - стадии движения через 2 секунды
а) б) в)
Рис. 9. Шарики из полистирола захватываются БП и линейно перемещаются на 50 мкм, одновременно вращаясь вокруг центра пучка (4 оборота), а-с - стадии движения через 1 секунду
а) б)
Рис. 10. Фаза ДОЭ, формирующего восемь световых пучков с угловыми гармониками в различных порядках дифракции (а),
распределение интенсивности после дифракции на ДОЭ
К сожалению, относительно небольшая мощность светового пучка («200 мВт) и довольно большое количество рабочих порядков (восемь без 0-го) не позволили в этом эксперименте получить вращательное движение. К тому же в эксперименте использовалась оптическая схема, представленная на рис. 6, которая подразумевает фокусировку светового пучка сверху, что приводит к возникновению силы, прижимающей микросферу ко дну кюветы.
Для преодоления этих трудностей было предложено изменить оптическую схему установки так, чтобы фокусировка осуществлялась дополнительным микрообъективом снизу (рис. 12). Одновременно в оптической схеме заменили лазер на более мощный (до 5000 мВт), и использовали ДОЭ, формирующий меньшее количество порядков.
На рис. 13 показаны: (а) фаза четырехпорядково-го ДОЭ, который формирут световой пучок с фазовыми сингулярностими ±3-го и ±7-го порядков; (б) центральная часть микрорельфа; (в) экспериментальная картина распределения интенсивности в фокальной плоскости.
Параметры эксперимента по захвату микросфер этим световым пучком указаны в таблице 5.
Таблица 5. Параметры эксперимента захвата микросфер световым пучком с четырьмя угловыми гармониками
Было проведено несколько экспериментов по микроманипуляции с этим световым пучком, который состоит из двух угловых гармоник 3-го порядка (малые кольца) и двух угловых гармоник 7-го порядка (большие кольца)
На рис. 14 показаны стадии движения полистироловых микросфер захваченных в световом пучке с угловой гармоникой 7-го порядка. Ясно видно, что микросфера движется вдоль светового кольца с постоянной скоростью.
К сожалению, в этом эксперименте, а также в нескольких других, проведенных при схожих параметрах, удалось зафиксировать лишь движение по части окружности. Возможно, сделать полный оборот помешали микротечения в кювете, а также то, что пучок света, выходящий из лазера Д-20, пришлось сильно расширить (увеличить оптический путь от лазера до ДОЭ) для ослабления некогерентной составляющей излучения. В результате усилился нулевой порядок, и, соответственно, меньше энергии попало в пучки с угловыми гармониками.
Чтобы избежать этого, в оптическую схему был добавлен светофильтр, имеющий окно прозрачности от 0,5 мкм до 0,55 мкм, что позволило отсечь некогерентную составляющую и придвинуть лазер ближе к ДОЭ. Также была увеличена мощность пучка, проходящего через ДОЭ до 1500 мВт. В результате этих усовершенствований удалось добиться движения микросферы по окружности в световом пучке с угловой гармоникой 7-го порядка. Стадии движения микросферы с интервалом в 1 секунду представлены на рис. 15.
Угловые гармоники меньших порядков с меньшей эффективностью передают вращательное движение микросферам, так на рис. 16 представлены стадии захвата группы микросфер в световом пучке с угловой гармоникой 3-го порядка. Как видно из рис. 16, все четыре микросферы выстроились на световом кольце, но при этом движение по окружности отсутствует.
Заключение
В работе получены следующие результаты:
1) показано, что изображение нерасходящегося БП с помощью сферической линзы приводит к формированию расходящегося БП (ур. 12); показано также, что расходящийся БП можно просто сформировать с помощью узкой кольцевой щели в непрозрачном экране (ур. 8);
2) получены выражения для проекций вектора Умова-Пойнтинга для двумерного ТЕ-поляризованного БП (ур. 32-35), которые пропорциональны произведению номера функции Бесселя на ее квадрат;
3) получены также выражения для проекций вектора Умова-Пойнтинга для трехмерного параксиального линейно-поляризованного БП (ур. 42-44);
4) по технологии электронной литографии изготовлен фазовый 16-уровневый ДОЭ (диаметр 6 мм, шаг дискретизации 10 мкм) с функцией пропускания в виде «винтового аксикона» ехр(-/аг+/пф) (а=44,5 мм-1 для Х=633 нм, п=5), который использовался для формирования БП пятого порядка;
5) с помощью линейно-поляризованного БП 5-го порядка экспериментально осуществлено вращение и перемещение клетки дрожжей размером 7х4,5 мкм и полистироловых шариков диаметром 5 мкм;
6) с помощью линейно-поляризованного восьми-порядкового пучка с угловыми гармониками получен одновременный захват четырех полистироловых микросфер диаметром 5 мкм;
7) с помощью линейно-поляризованного четырех-порякового пучка с угловыми гармониками получены захват и вращение микросферы в порядке с угловой гармоникой седьмого порядка;
8) получен одновременный захват четырех микросфер в световом пучке с угловой гармоникой третьего порядка.
Параметр Значение
Частица (размер мкм) Полистироловая микросфера, (5)
Мощность излучения «600
(мВт)
Объектив 20х
Тип пучка Четыре угловых гармоники -3-го, -7-го порядков и 3-го, 7-го порядков
Источник излучения Аргоновый лазер (0,5145мкм)
Размер области захва- 12 (диаметр кольца угловой гар-
та (мкм) моники 3-го порядка)
Среда Вода
Рис. 12. Оптическая схема экспериментальной установки: Ь - аргоновый лазер, К - коллиматор, Б - ДОЭ, Ь1 - корректирующая линза, М1 - полупрозрачное зеркало микроскопа, М2, М3 - поворотные зеркала, Ь2 - микрообъектив, Р - кювета с микрочастицами, Ь3 - окуляр микроскопа, СЕ - красный светофильтр, ТУ - телекамера, Ь4 - объектив телекамеры, Ь5 - конденсор осветителя, I - лампа осветителя, Ь6 - дополнительный микробъектив
а) б) в)
Рис. 13. Четырехпорядковый ДОЭ, формирующий световой пучок с фазовыми сингулярностями ± 3-го и ±7-го порядков (а), центральная часть микрорельефа (б), распределение интенсивности в рабочей области
а) б) в)
Рис. 14. Движение микросферы в световом пучке с угловой гармоникой 7-го порядка (а) - 0 с., (б) - 4 с, (в) - 8 с
а) б) в)
Рис. 15. Движение микросферы в световом пучке с угловой гармоникой 7-го порядка (а) - 0 с., (б) - 1 с., (в) - 2 с
а) б) в) г)
Рис. 16. Захват группы микросфер в световом пучке с угловой гармоникой 3-го порядка
Благодарности Авторы выражают благодарность группе профессора Я. Турунена (Университет Йоенсуу, Финляндия) за помощь в изготовлении ДОЭ. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, правительства Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), а также при поддержке грантов Президента РФ МД-209.2003.01 и НШ-1007.2003 (гос. контракт № 02.445.11.7174), а также грантов РФФИ 05-01-96505, 05-08-50298.
Литература
1. Durnin J., Miceli J.J., Jr & Eberly, J. H. Diffraction-free beams // Phys. Rev. Lett. 58, 1499-1501 (1987).
2. Turunen J., Vasara A., Friberg A.T. Holographic generation of diffraction-free beams // Applied Optics, 27, 39593962 (1988).
3. MacDonald, R.P., Boothroyd, S.A., Okamato T., Chrostowski J., Syrett B.A. Interboard optical data distribution by Bessel beam shadowing // Opt. Commun. 122, 169-177 (1996).
4. McQueen C.A., Arlt, J. & Dholakia K. An experiment to study a "nondiffracting" light beam // Am. J. Phys. 67, 912-915 (1999).
5. Soroko L.M. What does the term "light beam" mean? // Preprint of JINR, E13-99-226, Dubna, 1999, 19 p.
6. Volke-Sepulveda K., Garces-Chavez V., Chavez-Cerda S., Arlt J., Dholakia K. Orbital angular momentum of a highorder Bessel light beam // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 4, S82-S89 (2002).
7. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Pa-akkonen P., Simonen J., Turunen J. An analysis of the
9.
10
angular momentum of a light field in terms of angular harmonics // Journal of Modern optics, 48(10), 15431557 (2001)
Kotlyar V.V., Khonina S.N., Soifer V.A. An algorithm for the generation of laser beams with longitudinal periodicity: rotating images // Journal of Modern Optics, 44, 14091416 (1997).
Paakkonen P., Lautanen J., Honkanen M., Kuittinen M., Turunen J., Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Friberg A.T. Rotating optical fields: experimental demonstration with diffractive optics // Journal of Modern Optics, 45 (11), 2355-2369 (1998)
Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Lautanen J., Honkanen M., Turunen J. Generating a couple of rotating nondiffarcting beams using a binary-phase DOE // Optik, 110 (3), 137-144 (1999).
11. McLeod J.H. The axicon: a new type optical element // J. Opt. Soc. Am. 44(8), 592-597 (1954).
12. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Shink-aryev M.V., Uspleniev G.V., Trochoson // Optics Communications, 91 (3-4), 1992. P. 158-162. Arlt J., Hitomi T., Dholakia K. Atom guiding along Laguerre-Gaussian and Bessel light beams // Appl. Phys. B 71, 2000. P. 549-554.
Arlt J. and Dholakia K. Generation of high-order Bessel beams by use of an axicon // Opt. Commun. 177, 2000. P. 297-301.
Arlt J., Dholakia K., Soneson J., Wright E.M. Optical dipole traps and atomic waveguides based on Bessel light beams // Physical Review A 63, 063602 (2001).
16. MacDonald M.P., Paterson L., Volke-Sepulveda K., Arlt J., Sibbett W., Dholakia K. Creation and manipulation of three-dimensional optically trapped structures // Science 296, 1101-1103 (2002).
17. Arlt J., Garces-Chavez V., Sibbett W., Dholakia K. Optical micromanipulation using a Bessel light beams // Opt. Comm. 197, 239-245 (2001).
13
14
15
18. Garces-Chavez V., McGloin D., Melville H., Sibbett W., Dholakia K. Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a self-reconstructing light beam // Nature 419, 145-147 (2002).
19. Garces-Chavez V., Volke-Sepulveda K., Garces-Chavez S., Sibbett W., Dholakia K. Transfer of orbital angular momentum to an optically trapped low-index particle // Phys. Rev. A 66, 063402 (2002).
20. Miller W. Symmetry and separation of variables // Addi-son-Wesley Pub. Comp., MA, 1977.
21. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции // Москва, Наука., 1983, 750 с.
22. Paterson L., MacDonald M.P., Arlt J., Sibbett W., Bryant P.E., Dholakia K. Controlled rotation of optically trapped microscopic particles // Science 292, May, 2001. P. 912-914.
23. McGloin D., Garcés-Chávez V., Dholakia K. Interfering Bessel beams for optical micromanipulation // Optics Letters 28(8), 657-659 (2003)
24. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Soifer V.A. Algorithm for the generation of non-diffracting Bessel modes // Journal of Modern Optics, 42(6), 1231-1239 (1995)
25. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Soifer V.A. Calculation of phase formers of non-diffracting images and a set of concentric rings // Optik, 102(2), 45-50 (1996)
26. Born M., Wolf E. Principles of Optics // Pergamon Press, London, 1968.
27. Allen L., Beijersbergen M.W., Speeuw R.J.C., Woerd-man J.P. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes // Phys. Rev. A 45, 8185-8189(1992)
28. Котляр В.В., Хонина С.Н., Сойфер В.А., Ванг Я. Измерение орбитального углового момента светового поля с помощью дифракционного оптического элемента // Автометрия, 2002. 38(3). C. 33-44.
29. Durnin J. Exact solution for nondiffracting beams // I. The scalar theory. J. Opt. Soc. Am., 1987. V. 4. P. 651-654.
30. Paterson C., Smith R. Higher-order Bessel waves produced by axicon-type computer-generated holograms // Optics Comm., 1996. V. 124. Р. 123-130.
31. Cheong W.G., Lee W.M., Yuan X.-C., Zhang L.-S., Dholakia K., Wang H. Direct electron-beam writing of continuous spiral phase plates in negative resist with high power efficiency for optical manipulation // Appl. Phys. Lett., 2004. V. 85. № 23. Р. 5784-5786.
