CC BY
31
В po6omi розглядаються питання ктьтсно1 оцтки впливу ефекту квантування коефiцieнтiв дискретного косинусного перетворення (ДКП) на ятсть стиснених JPEG зображень. Для оцтки якостi зображень вико-ристовуеться показник ткового видношення сигнал/ шум, PSNR. Запропонована методика, яка дозволяе, Грунтуючись на рiзних статистичних моделях ДКП коефiцiентiв, спрогнозувати величину результуючих спотворень JPEG зображення, спричинених компреЫею зображення iз заданим рiвнем якостi
Ключовi слова: JPEG зображення, ятсть, оцтка,
компреыя, ДКП коефщенти, ймовiрнiсний розподт □-□
В работе рассматриваются вопросы количественной оценки влияния эффекта квантования коэффициентов дискретного косинусного преобразования (ДКП) на качество сжатых JPEG изображений. Для оценки качества изображений используется показатель пикового отношения сигнал/шум, PSNR. Предложена методика, позволяющая, основываясь на различных статистических моделях ДКП коэффициентов, предсказывать величину результирующих искажений JPEG изображения, возникающих при компрессии изображения с заданным уровнем качества
Ключевые слова: JPEG изображение, качество, оценка, компрессия, ДКП коэффициенты, вероятностное распределение
УДК 621.391.837 : 51-74
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.55978|
ВРАХУВАННЯ СТРУКТУРНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЗОБРАЖЕННЯ ПРИ ОЦ1НЮВАНН1 ЯКОСТ1 СТИСНЕНИХ JPEG ЗОБРАЖЕНЬ
М . В. Род и ri н
Кафедра телекомушкацтних систем* E-mail: [email protected] О. В. Федоров
Старший викладач Кафедра мереж зв'язку* E-mail: [email protected] *Нацюнальний ушверситет радюелектронки пр. Ленина, 14, м. Хармв, УкраТна, 61116
1. Вступ
Використання цифрових технологш дозволяе лю-диш отримувати та швидко обробляти велик обсяги шформацп, компактно i надшно збертти ii, та швидко i легко отримувати доступ до неь На даний час, людина вже навчилася перетворювати основш види шформацп, що може сприймати людина, у цифровий вигляд та навпаки.
Звичайно, це призвело до стрiмкого зб^ьшення обсяпв мультимедшних даних. Одночасно, розвиток та розповсюдження широкосмугових мереж сприяли створенню великоi юлькост мультимедшних послуг. Найб^ьш популярними з цих послуг е послуги пере-дачi графiчних цифрових даних, осюльки 80 вщсотюв всiеi шформацп людина отримуе аудю^зуальним шляхом. Кшцева яюсть зображення або мультиме-дiйноi послуги, так звана яюсть враження (quality of experience, QoE) [1], впливае не пльки на юльюсть сприйнятоi людиною шформацп, але i на комерцшний успiх того чи шшого мультимедiйного сервiсу.
Основною проблемою, з якою стикаеться будь-який провайдер мультимедшних послуг, е необхщ-шсть передавати дуже великi об'еми шформацп. Для виршення цiеi проблеми застосовують стиснення iз втратами iнформацii. Методи стиснення iз втратами хоча i не забезпечують зберiгання iдеально точного зображення, але за допомогою вивчення психофiзич-ного сприйняття зображення людиною, були отримаш методи, що за рахунок незначного для сприйняття людини спотворення, дозволяють значно зб^ьшити
коефвдент стиснення в порiвняннi i3 методами стиснення без втрат.
Зазвичай методи стиснення i3 втратами працюють у npoCTopi деякого перетворення, що мае властивкть компактифiкувати енергiю перетворюваного сигналу [2]. Наприклад, для формату JPEG [3] таким перетво-ренням е дискретне косинусне перетворення (ДКП), а в формат JPEG 2000 використовуеться дискретне вей-влет перетворення. Варто зазначити, що запропоно-ваш нещодавно мультимедшш формати H.264, H.265, BPG, WebP також будуються навколо ДКП.
На даний час, одним з найпопуляршших формапв зображень е формат JPEG. Цей формат тдтримуеться майже в«ма операцiйними системами без необхщно-ст встановлення додаткового програмного забезпе-чення. Отже, без переб^ьшення, можна стверджувати, що формат JPEG е основним для збер^ання растрових зображень iз втратами.
Застосування методiв стиснення iз втратами ш-формацiï передбачае виникнення спотворень, тож актуальною е задача оцшювання рiвня цих спотворень. У випадку використання ДКП перетворення, основною задачею при оцшюванш якосп, е вибiр статистичноï моделi розподшу ДКП коефiцiентiв зображення, а також вибiр методiв оцiнювання параметрiв цiеï моделi.
2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми
Будуючи HOBi та аналiзуючи наявнi алгоритми компресп зображень, або стеганографiчнi алгоритми,
©
ми стикаемось з необхщшстю прогнозування якосп зображення, що зазнало 3mîh в просторi ортогонального перетворення, асоцшованого з певним форматом зображення. Можна поставити i обернену задачу: маю-чи тiльки стиснене зображення, ощнити його якiсть за тим чи шшим показником. В будь-якому раз^ точнiсть прогнозування (оцiнювання) безпосередньо залежить вщ точностi апроксимацiï емпiричного розподшу кое-фiцiентiв ортогонального перетворення. Отже задача прогнозування (ощнювання) якостi зображення при використанш стиснення на основi ДКП неодмiнно приводить до задачi вибору статистичноï моделi ДКП коефвденпв.
Якщо, вiдповiдно до алгоритму роботи JPEG, роз-бити зображення на блоки розмiром 8х8 пiкселiв, а поим застосувати до них двомiрне ДКП, для кожного блоку отримаемо його частотне представлення. По-будувавши пстограму розподiлу кожноï з частотних складових можна зауважити, що для бшьшосп на-туральних зображень емпiрична шдльшсть iмовiрно-стi AC ДКП коефвденив, тобто всiх коефiцiентiв за винятком постiйноï складовоï, симетрична вiдносно нуля. Враховуючи цю властивiсть, авторами раншх робiт [4, 5] пропонувалося застосовувати нормальний розпод^ та розподiл Кошi для статистичного опису ДКП коефвденпв, але такi моделi забезпечують не-високу точнiсть апроксимацiï у порiвняннi з iншими можливими варiантами. На практищ доволi часто ви-користовуеться апроксимащя за допомогою розподiлу Лапласа.
В робоп [6] зроблена чи не найперша спроба об-Грунтування зi статистичноï точки зору дощльносп вибору саме розподiлу Лапласа. Основна щея роботи [6] полягае у використанш подвiйноï стохастичноï моделi, зпдно з якою, вважаються випадковими не пльки ДКП коефiцiенти, але i дисперая цих коефь цiентiв. В найб^ьш типових випадках, коли розпод^ дисперсiï допускае апроксимацiю або експоненцшним, або однобiчним нормальним розподiлом, подвшна сто-хастична модель приводить до розподшу Лапласа для ДКП коефвденпв. Lam i Goodman наголошують, що у загальному випадку, i для досягнення бiльшоï точносп апроксимацiï варто використовувати узагальнений гауив розподiл. Зокрема, приклад використання уза-гальненого гауива розподiлу мiститься в роботi [7].
Подальший розвиток iдей, представлених в [6], можна знайти в робот [8]. Автори даноï роботи, джчи в рамках подвiйноï стохастичноï модел^ i виходячи iз справедливостi припущення про гамма розпод^ дис-персп ДКП коефiцiентiв, отримали спiввiдношення для щдльносп ймовiрностi розподiлу самих ДКП кое-фiцiентiв, виражене в термшах модифiкованих функ-цiй Бесселя. Зауважимо, що в внаслщок громiздкостi даноï формули, працювати з нею аналггичними методами вкрай незручно.
Альтернативний пiдхiд до статистичного моде-лювання поведiнки AC ДКП коеф^енив, мштить-ся в робой [9]. Зокрема в цш робой пропонуеться модель ДКП коеф^енпв у виглядi узагальненого розподiлу Кошi [9,10]. Варто зазначити, що споиб, у який параметризуеться узагальнений розпод^ Кошi при його використаннi в задачах обробки зображень, дещо вiдрiзняеться вщ прийнятого в математичнiй статистицi [11].
На даний час кнуе деюлька пiдходiв до визначення якостi зображень та вщео послiдовностей. Згiдно пер-шому пiдходу, виконуеться суб'ективне ощнювання групою залучених експертiв. Методологiя суб'ектив-ного тестування була стандартизована в специфжацп ITU [12]. Таким чином, суб'ективне тестування набуло рис вщновлюваност та перевiрюваностi. Альтернатив-ний тдхвд полягае у використаннi об'ективних метрик якосп зображень, найпоширенiшою з яких е PSNR, ткове вiдношення сигнал/шум. Дана метрика Грунту-еться на значенш середньоквадратичного вiдхилення перетвореного зображення вщ оригiнального.
Досить змiстовний аналiз рiзноманiтних метрик мiститься в [13, 15]. Варто зазначити, що незважаючи на широке використання PSNR, вщомо, що ця метрика не повшстю вщображае особливостi сприйняття зображень людиною, тобто особливост зоровоï сис-теми людини. Бiльш точною за цим критерiем е метрика структурноï подiбностi, SSIM, запропонована Bovik [14, 15].
Загальнi пiдходи до визначення шуму квантування натвтонових зображень розглядаються, наприклад, в робоп [16]. Класичний тдхвд до розв'язання задачi оцiнювання PSNR стисненого зображення метиться в роботi [17]. Автори згаданоï роботи, виходячи з припущення про справедлившть розподiлу Лапласа для ДКП коефвденпв, отримали стввщношення, що дозволяе розрахувати оцiнку PSNR маючи тшьки стиснене зображення, тобто ощнювання виконуеться без залучення оригшального зображення. При цьому невщоме значення параметру форми розпод^у Лапласа розраховують по вибiрковiй дисперсiï значень квантованного AC ДКП коеф^енту. 1нший пiдхiд до визначення параметру форми розпод^у Лапласа при слiпому ощнюванш PSNR стисненого зображення можна знайти у стати [18]. Параметр ощнюеться шляхом комбшованого застосування методiв макси-мальноï правдоподiбностi та лшшного передбачення, здiйснюваного на основi кореляцп мiж сусiднiми зна-ченнями ДКП коефвденпв.
Iнтуïтивно зрозумiло, i це шдтверджуеться екс-периментальними дослiдженнями, що форма емт-ричного розподiлу ДКП коеф^енив визначаеться структурними особливостями певного зображення. Наприклад, для зображень, що мштять у своему складi суттевi областi монотонностi, широко вживаний для статистичного моделювання ДКП кое-ф^енив розподiл Лапласа погано узгоджуеться з емшричними даними, отже забезпечуе неприйнятну точшсть прогнозування (оцiнювання) PSNR. Навпа-ки, для зображень з ярко вираженими текстурними ознаками, модель Лапласа добре спрацьовуе. Таким чином, для коректного врахування структурних властивостей зображення при ощнюванш якост стиснених JPEG зображень слщ використовувати альтернативш моделi розподiлу ДКП коеф^енив. Ефективне застосування таких моделей можливе лише за умови, що вони не будуть надто складними та матимуть економш з обчислювальшм точки зору методи ощнювання '¿х параметрiв. Отже, необхщ-шсть пошуку, задовольняючих означеним вище ви-могам, статистичних моделей та методiв оцiнювання '¿х параметрiв для покращення точноси оцiнювання якостi зображення при використанш стиснення на
ocHOBi ДКП, зумовлюе доцiльнiсть проведення до-cлiджень в цьому напрямку.
В данш роботу Bci дocлiдження будуть проводити-ся i3 зображеннями формату JPEG, але в наслвдок того, що бшьшшть сучасних фoрматiв збер^ання зображень та вiдеo пoбудoванi навколо ДКП, результати досль джень будуть дшсними i для них.
3. Цшь та задачi дослщження
Мета ^eï роботи - розробити ушверсальну методику oцiнювання величини спотворень, що виника-ють в наслщок JPEG кoмпреciï зображень будь-якого структурного складу, а саме: монотонних i текстурних. Ключовою особливктю методики повинно бути залу-чення статистичних метoдiв для розрахунку диcперciï шуму квантування ДКП коефвденпв, а при визна-ченнi якocтi зображень cлiд використовувати метрику PSNR.
Для досягнення пocтавленoï мети необхщно розв'я-зати таю задача
- сформулювати основш вимоги до вибору ста-тиcтичнoï мoделi ДКП кoефiцieнтiв та прoаналiзу-вати дoцiльнicть використання певнoï cтатиcтичнoï мoделi для апрoкcимацiï рoзпoдiлу ДКП коеф^ен-тiв зображення в залежноси вiд його структурних властивостей;
- фoрмалiзувати алгоритм, який, виходячи з припущення про статистичний розпод^ ДКП коефщь eнтiв початкового зображення, дозволятиме отрима-ти cпiввiднoшення для розрахунку PSNR стисненого JPEG зображення;
- Грунтуючись на моделях ДКП коефвденпв у виглядi двoбiчнoгo гама рoзпoдiлу та узагальнено роз-пoдiлу Кoшi отримати зручш вирази для обчислення дисперсп шуму квантування ДКП кoефiцieнтiв JPEG зображення.
4. Статистичш моделi ДКП коефщенив в задачi оцiнювання якостi стиснених JPEG зображень
4. 1. Компреия в JPEG
Розглянемо процеси, що вщбуваються при стиснен-нi JPEG зображень. Основш етапи, що виконуються при компресп зображення за алгоритмом JPEG, пред-cтавленi на рис. 1.
тизащя, тобто зменшення рoздiльнoï здатнocтi кoлiр-них cигналiв пoрiвнянo iз сигналом яcкравocтi, осюль-ки людське око бiльш чутливе до змши яcкравocтi, нiж до змши кольору. На наступному етат виконуеться двoмiрне ДКП, яке являе собою перетворення масиву пiкcелiв в масив частотних коефвденпв. Це перетворення зворотне з точшстю до помилок округлення.
У формам JPEG ДКП перетворення застосовуеться до блоюв 8x8 пiкcелiв. Формули прямого та зворотно-го перетворення мають вигляд:
S(u,v) = 4-1C(u)C(v) х
7 7
хУУ p(x,y)cos[(2x + 1)nu/16] cos[(2y + 1)nv/16] ;
P(x,y) = 4-1£XC(u)C(v)S(u,v) х
u=0 v=0
х cos[(2x + 1)nu /16] cos[(2y + 1)nv/16],
(1)
де S(u,v) - значення ДКП коефвденту з iндекcами (u,v), p(x,y) - значення пiкcелу блоку 8х8 з iндекcами
(x,y) i
[1/-\/2,якщо u = 1,
C(u) = 1/
[1, якщou > 1.
Зауважимо що ДКП перетворення мае власти-вicть кoмпактифiкувати енерпю перетворюваного сигналу [2].
Важливим етапом стиснення е квантування ДКП кoефiцieнтiв блoкiв 8х8 за правилом:
S0(u,v) = round[S(u,v)/Q(u,v)]-Q(u,v),
(2)
Рис. 1. Основы етапи роботи алгоритму JPEG
де Sq(u,v) - результат квантування, S(u,v) - вщпо-вiдний кoефiцieнт ДКП, Q(u,v) - вщповщний еле-мент таблицi квантування, round() - функцiя округлення до найближчого щлого.
При стисненш зображення обираеться таблиця квантування вщповщна до показника якocтi зображення, який звичайно лежить у межах вщ 0 до 100. Квантування застосовуеться незалежно до кожного з 64 елеменпв матрищ ДКП кoефiцieнтiв, причому ко-жен елемент цieï матрищ може квантуватися з рiзним кроком. Операщя квантування незворотна та призво-дить до виникнення спотворень зображення.
В результат квантування багато елеменпв ма-трицi округлюються до нуля. Це створюе умови для ефективного ентропшного кодуван-ня. Остання фаза процесу стиснення полягае в застосуванш алгоритму ен-трoпiйнoгo кодування.
4. 2. Методика ощнювання PSNR стисненого зображення
Для вимiрювання рiвня спотворень, що виникають в результат стиснення зображень, будемо традицшно використовувати PSNR, дБ:
Як видно з рис. 1, спочатку виконуеться ввдображен-ня кoлiрнoгo простору RGB у YCbCr, в якому компонента яскравосп Y, та кoлiрнi компоненти незалежнi. Далi, якщо зображення кольорове, виконуеться субдискре-
PSNR = 10 log10(2552 / о2),
де ос
= ^MR)-1 X Xi;=1(p(x,y) - p*(x,y))2
- середньоквадратичне в1дхилення оригшального зображення р в1д перетвореного р*; М, Я - розм1ри зображення.
В подальшому, будемо виходити 1з припущення, що ДКП коефщ1енти блок1в 8х8, шдекси яких ствп-адають, е незалежними однаково розпод1леними ви-падковими величинами. Розглянемо ситуащю, коли початков1 значення ДКП коефщ1ент1в квантуються згщно з правилом (2). Крок р1вном1рного квантування позначимо через q, а щдльшсть ймов1рност1 коефщ1ен-та, що квантуеться через ^х), f(x) = f(-х). Виходячи 1з р1вняння
/—/(х^х = К
для
=|ха+ч//> - хй)адх/р+ч>мх.
¿Хп—Ч/2 ^ ¿Хп—Ч/2
•1ха-ч/2
х0+ч/2,
и I
х0-ч/2
и* 1;
1/64, и * 1 i V * 1;
1/(128), и * 1 i V = 1 або и = 1 i V * 1;
6) розрахувати значення о;; за формулою
(4)
знайдемо ширину штервалу, в якому з 1мов1ршстю К лежить значення ДКП коефщ1ента. При досить великому К , штервал [-Д, А] можна вважати множиною вс1х можливих значень ДКП коефщ1енту, що квантуеться. Таким чином, в наслщок квантування кое-фщ1енту S(и^) ми отримаемо дискретну випадкову величину, яка приймае значення 1з множини:
О = £■ q | i = —п,...,—1,0,1,...,п}, п = |~А/ч1 .
Нехай в результат! квантування отримано значення ха еО, тод1 потужшсть шуму квантування вира-жаеться формулою:
= У оХ , оХ = [Хц+Ч/2(х — х0)^(х^. (5)
"^Оха еО х0 х0 •1х0 —Ч/2 0
Зауважимо, що в робот1 [18] дана баесова ощнка
(6)
Позначимо через о2^ дисперс1ю шуму квантування ДКП коефщ1енту з шдексами (u,v). Беручи до уваги попередш зауваження, сформулюемо методику розрахунку PSNR стисненого зображення:
1) вибрати значення К з д1апазону 0.9 < К < 1;
2) вир1шити р1вняння (4) вщносно А 1 визначити
о2 = У' о2 ; (9)
7) обчислити PSNR, скориставшись формулою (3).
4. 3. Статистичш моделi ДКП коефвден™
Маючи таблицю квантування ||02Л2^0 та обрав-ши статистичну модель ^х) ДКП коефщ1ент1в, мож-ливо ощнити значення PSNR стисненого зображення скориставшись методикою, що була викладена в попе-редньому пункть
При вибор1 модел1 ^х) для статистичного опи-сання ДКП коефщ1ент1в конкретного зображення, сл1д виходити з таких м1ркувань. Обрана модель ^х) повинна вщображати розпод1л ДКП коефщ1ент1в в щлому, а не в найменших деталях. Це стае зрозум1лим, якщо зауважити, що в наслщок властивост1 компакти-фжацп енергп, дисперсп шум1в квантування ДКП кое-фщ1ент1в, розраховаш за формулою (7), треба зменши-ти щонайменше в 64 рази аби визначити 1х фактичний вклад в загальну дисперс1ю спотворень о2 (формула (9)). 1ншими словами, наявшсть незначного браку точност при визначеш дисперсп (7), спричинена не-точшстю модел1 ^х) , значною м1рою буде компенсу-ватись подальшим множенням на 8З шшого боку, шдльшсть 1мов1рност1 f(x) сл1д обирати таким чином, щоб забезпечити вщносну економшсть обчислень, зо-крема, бажано щоб штеграли виду (4) та (5) мали легко обчислювальш компактш вирази, а у найкращому ви-падку, виражалися через елементарш функцп.
Безпосереднш анал1з пстограм ДКП коефщ1ент1в багатьох натуральних зображень вказуе на те, що ем-трична щдльшсть ймов1рност1 АС ДКП коефщ1ент1в, по-перше, симетрична вщносно нуля, а, по-друге, за формою нагадуе розпод1л Лапласа:
4(х) = (2Р)—1е—|х|/в, Р>0.
(10)
3) обчислити ох^ за формулою (5), для значень
де О+ = {! ^^ = 1, п};
4) розрахувати значення о12 за формулою:
о2 =охо=0 + 2^ х охи; (7)
0 х0«Ч+ 0
5) розрахувати значення о2V за формулою
о^ = 8 ^о?, u,v = 0/7, (8)
де 82v - коефщ1енти, як1 враховують властив1сть ком-пактифжацп енергп сигналу ДКП перетворенням [2]:
Розпод1л (10) задовольняе б1льш1сть 1з сформульо-ваних вище вимог до ^х) 1 залишаеться найчастше вживаною моделлю ДКП коефщ1ент1в, хоча 1 не завж-ди забезпечуе достатню точшсть апроксимацп емт-ричного розпод1лу.
Дал1, 1з загальних м1ркувань та анал1зу результат1в експеримент1в випливае, що аналиична модель f(x) в першу чергу повинна ввдображати особливост1 пове-д1нки ДКП коеф1ц1ент1в навколо нуля. Таку поведшку можна, наприклад, охарактеризувати за допомогою коеф1ц1енту ексцесу. Значення коефщ1енту ексцесу розпод1лу Лапласа у 2 = 6, в той час як для досить широкого класу зображень значення виб1ркових коефь щент1в ексцесу ДКП коефщ1ент1в у2 > 6. Це пояснюе, чому модель Лапласа спрацьовуе не завжди. 1ншими словами, для статистичного опису ДКП коефщ1ент1в бажано використовувати такий розподщ для якого значення ексцесу е функщею параметр1в самого розпо-д1лу. Традиц1йно, в якост1 такого розпод1лу прийнято використовувати узагальнений гаус1в розпод1л:
х0 е {0} и
fGG(x) = a [2 ßr(a )] e
Un-10-(|x|/ß)a
, a>0 ,
(11)
де r(z) = J tz 1e 'dt, Rez > 0 - стандартна гамма функ-щя. Кoефiцieнт ексцесу цього розподшу
Y2 = Г(5а-1)Г(а-1)Г-2(3а-1).
Однак, не дивлячись на гарне узгодження розпо-дшу fGG(x) з емпiричними даними, практичне його застосування ускладнюеться грoмiздкicтю кшцевих формул. В данiй рoбoтi цей розподш використовува-тись не буде, заметь нього пропонуеться використовувати двoбiчний гама рoзпoдiл
frr(x) = [2 Г(а) ß2]-1 ■ Ixlа-1 ■ e-1 x/ß, а > 0, ß > 0 ,
(12)
який в рядi випaдкiв забезпечуе пoрiвняну з fGG(x) точ-нicть апроксимацп, але працювати з ним дещо легше. Визначимо першi чотири моменти
ц. =J x'frr(x)dx , i = 1,4
розпод^у (12). Внacлiдoк симетрп frr(x) , ц1 = ц3, дaлi
Ц =
Ц =
1— fx
'.)■ R11 J
ß2
Г(а) ß
1— Ï л ■ R01 J
Г(а) ß
Г(а)
ia+3e-x/|idx - ß
Г(а+ 2) = а(а + 1)ß2 , (13)
Г(а)
Г(а + 4) =
-a(a + 1)(a + 2)(a + 3)ß4.
Тoдi кoефiцieнт ексцесу
= Ц4 = (а + 2)(а + 3) = 6 +1__
2 ц2 а(а + 1) а а + 1
(14)
(15)
При oцiнювaннi обох пaрaметрiв a i ß рoзпoдiлу frr (x) за методом нaйбiльшoï прaвдoпoдiбнocтi, дь стаемо систему нелiнiйних рiвнянь, для розв'язання якoï треба застосувати ггерацшш методи, наприклад, метод Ньютона. Використання иерацшних метoдiв неминуче призведе до зростання обчислювального навантаження, що було б виправданим за умови, що емпiричнi даш дiйcнo взятi з двoбiчнoгo гама розподь лу, останне майже школи на прaктицi не виконуеться. Отже, осюльки, метод нaйбiльшoï прaвдoпoдiбнocтi, застосований до вибiрки значень ДКП коефвдентв, не гарантуе отримання оптимальних ощнок пaрaметрiв a i ß , в робот пропонуеться використовувати комбь нований метод ощнювання, а саме: ощнку параметру а будемо знаходити за методом моментв, вирiшуючи рiвняння
6+1 =Y2 ^ а+14Î2+1+5-?2, (16)
а а + 1 2 ■( y2 -1)
в той час як ощнку параметру ß будемо знаходити за методом нaйбiльшoï прaвдoпoдiбнocтi, тобто
ß 4"jX|xi | ,
a n~j
де n - об'ем вибiрки (x1,x2,^,xn).
(17)
Такий пiдхiд е виправданим, осюльки в насль док властивост кoмпaктифiкaцiï енергп сигналу ДКП перетворенням, забезпечення мaкcимaльнoï тoчнocтi апроксимацп емпiричних даних моделлю frr(x) не е критичною вимогою.
1ншим рoзпoдiлoм зi змiнним ексцесом е узагальнений розпод^ Кoшi:
fGc(x) = V (1 + —)- Р, Р > 1,S > 0.
2s s
(18)
Зауважимо, що вaрiaнт параметризацп узагаль-неного розпод^у Кoшi, який застосовуеться в задачах обробки зображень, дещо вiдрiзняeтьcя вщ при-йнятого в математичнш cтaтиcтицi, тому cтaтиcтичнi властивост рoзпoдiлу (18) залишаються недостатньо вивченими.
Визначимо спочатку першi чотири моменти
m =J-„xifGc(x)dx, i = 1,4 розпод^у (18). Внacлiдoк cиметрiï fGC(x), ц1 = ц3, дaлi
ц2 = ^ ïx2(1 + -)-pdx = -2 s s
2s2
0 s (p-2)(p - 3)
m4 = ^ ïx4(1+-)- pdx =
s J0 s
=_24l_
= (p-2)(p-3)(p-4)(p-5), p>5. Отже коефвдент ексцесу
y = 6(p - 2)(p - 3) = 6 + 36 12
Y 2 = .. 2 = • -■ • -■ = 6 +
, p > 3; (19)
m2 (p - 4)(p - 5) p - 5 p - 4
(20)
, p > 5 . (21)
Таким чином, як i у випадку з двoбiчним гама роз-под^ом, значення ексцесу y2 визначаеться тiльки одним з пaрaметрiв рoзпoдiлу (18), а саме: параметром p .
Розглянемо тепер питання визначення ощнок p та s за методом нaйбiльшoï прaвдoпoдiбнocтi. Зпдно [10] рiвняння прaвдoпoдiбнocтi для рoзпoдiлу (18) мають вигляд:
fJiL=n i^Tind+LxJ)
ti|x,|+s p £ v s ' p -1'
(22)
де x = (x1,x2,^,xn) вибiркa об'ему n з рoзпoдiлу fGC(x).
Дал^ виражаючи p з першого рiвняння та тдстав-ляючи його в друге рiвняння, дicтaeмo
p=[П irW,
n7=1|xi |+s
1v |x.l !-1 ix
nl-rix i+s n
- [- f ln(1 + i±ü)]-1 -1.
(23)
(24)
Прoaнaлiзуeмo рiвняння (24). Легко бачити, що iз збiльшенням s перший та другий доданки лiвoï ча-стини рiвняння (24) монотонно зростають, причому перший доданок зростае швидше вiд другого. Дшсно,
Г Y lx.l у = ^ Iх, I
(i—ln[1 + Ы])' = -1—^1. (25)
n 1=1 s s 1=1 I Xj I +s
Неважко перевiрити, що
— IX, I < 1 — IX, I • (Ix,I+s)2 s-^IxJ+s
звiдки безпосередньо i випливае BipHicTb сказаного вище. Таким чином, рiвняння (24) не може мати бшьше одного кореня.
Далi, розкладаючи в ряд ln(1+ Ix, |/s) , отримуемо
1 /.. Ix, L , 1 ln(1 + J-l!) « 1 - +
s 1+ Ix, I/s
, Ix, I2 /s2 , _ Ix, I , Ix, I2 ,
2(1+ Ix, I/s)2
Ix, I+s 2(Ix, I+s)2
Таким чином, розв'язання р1вняння (24) ггерацшни-ми методами, що Грунтуються на використанш першо1 пох1дно1, наприклад, методом Ньютона, неможливе. Отже, для визначення кореня р1вняння (24), треба використовувати чисельш методи або нульового порядку, або так1, що залучають принаймш другу похвдну, наприклад метод парабол. Для цього необхвдно перефор-мулювати задачу розв'язання р1вняння (24) та предста-вити 11 у вигляд1 задач1 оптим1зацп. Дшсно, позначаючи
1
g(s) = [- •
1
x I+s
1 - [- — ln(1 + i±ü)]-1,
ми можемо записати (24) так g(s) = 1. Щлком зрозумь ло, що задача розв'язання р1вняння (24) екв1валентна наступнш задач1 оптим1зацп:
s* = а^тт^) —1|, (26)
s
де s* - коршь р1вняння (24).
Для оптим1зацп функцп |g(s) —1| можна використовувати, наприклад, метод золотого перер1зу [19] або метод парабол [20]. Зауважимо, що на штервалах (0^*) та (s*,функщя змшюе кривизну: на першому штервал1 функщя випукла, а на другому - вв1гнута, тому ггераци в метод1 парабол треба виконувати за дещо змшеною схемою:
Ф'(^)
Ф(s) =Ig(s) - 1I
h
Ф^, +h)-Ф(s,-h)
2(i + 1)m 10(s, +h)-2Ф(s,) + Ф(s, -h)I
m>0(28)
парабол. Якщо m = 0 ми отримуемо ньютошвський гтерацшний процес (27), де замiсть похщних вико-ристовуються ïx кiнцево-рiзницевими апроксимацп. При практичних розрахунках дощльно обирати m > 1.
Збiжнiсть гтерацшного процесу (28) очевидна, але в наслщок того, що в точщ мiнiмуму функцiя Ф(s) змiнюе кривизну, число иерацш, здiйснюваниx за формулою (28) , буде порiвняним з числом иерацш в методi золотого перерiзу, в той час як останнш вима-гае обчислення пльки одного значення за iтерацiю на противагу методу парабол (28) , який передбачае об-числення трьох значень функцп Ф^) за одну иеращю.
Зауважимо на останок, що комбшоване ощнюван-ня параметрiв p та s розподiлу (18) не е дощльним. Оскiльки, тсля обчислення параметру p за формулою (21) на пiдставi вибiркового значення ексцесу у2, нам необхщно буде використовувати iтерацiйнi методи для визначення параметру s шляхом розв'язання одного з нелшшних рiвнянь (22).
4. 4. Дисперия шуму квантування ДКП коефвд-
EHTÏB
Розглянемо особливост практичного застосуван-ня викладеноï в п. 4. 2. методики ощнювання PSNR стисненого JPEG зображення. Ключовим моментом методики е залучення статистичних методiв для роз-рахунку дисперсп шуму квантування ДКП коефщь енпв. Грунтуючись на моделях ДКП коефвденпв у виглядi розподiлу Лапласа та двобiчного гамма розпо-д^у, дiстаемо зручнi для обчислення вирази для дисперсп (7). Безпосередне застосування запропонованоï методики можливе i по вщношенню до узагальненого розпод^у Кош^ хоча компактних спiввiдношень у цьому випадку отримати не вдаеться.
Спочатку будемо вважати, що справедливе припу-щення про розподiл Лапласа, тобто f(x) = fL(x). Тод^ за формулою (5) дiстаемо:
xq+q/2
= J (x - xQ)\(x)dx =
xq -q/2
ß2[2 -r(3,2ß )],
якщо xQ =0,
ß2e-IxQI/ß[r(3,-2ß)-r(3,2ß)], якщо xa *0.
(29)
(27)
,+1 , ^''(s,)I
Оскiльки вирази для Ф'(s) i Ф''^) громiздкi та ви-магають визначення знаку функцп Ф(s) для розкрит-тя модулю, значно вигвдшше замiнити '¿х кшцево^з-ницевими апроксимащями. Крiм того, iз збiльшенням номеру гтерацп доцiльно додатково зменшувати ширину шага, який здшснюеться в напрямку точки мжму-му, що приводить до формули
Через r(a,x) позначена неповна гама функцiя r(a,x) = i" e-'ta-1dx.
Jx
Далi, обравши значення K < 1 ми можемо скори-статися формулою (7), тдсумовуючи доданки ©x . Зауважимо, що формулi (28), а вщтак i формулi (7) можна придати бiльш компактну форму. Дшсно [21], для неповноï гама функцп вiрне наступне:
де h - шаг з яким обчислюються кiнцево-рiзницевi апроксимацiï поxiдниx, зазвичай h = 0,001; m - параметр, що додатково регулюе ширину шагу в методi
r(a,x) = Г(а)[1 -P(a,x)],
P(a,x) = r-1(a)JV4a-1dt.
В свою чергу, при a eZ + виконуеться [21]
a-1 xm
P(a,x) = 1 - e-x — — i Г(а +1) = a!.
(30)
та
Таким чином,
r(3,x)- 2e-x[1 + x + x2 /2].
Отже, за формулою (7) дicтaeмo
o2 -ß2[2-r(3,2ß)] +
+f ß2e-iq/ß[r(3, -Г(3,-;—■)] -i-1 2ß 2ß
- ß2[2-Г(3Д)] + ß2[r(3, ---
(32)
2ß
q e-nq/ß-1 -Г(3Д)Г 1
2ß
2p 1 - e
q/ß '
(33)
Пiдcтaвляючи тепер (32) в (33) i вважаючи K -1, що вщповщае n , дштаемо cпiввiднoшення для дисперсп шуму квантування вибiрки iз розпод^у Лапласа, що мicтитьcя в класичнш рoбoтi [17]:
q 2
-
2ß 2ß
^ [1 - — + --t] - e[1 + -q + --Н)—} -L 2ß 8ß L 2ß 8ß ß '
JL _3_
2ßqe2ß
G2 -2ß2{1 -e 2ß[1 + ^++
- 2ß2 + - 2ß2 - ^M^-2ß2-ßqcsch^--), (34)
eß-1
1 - e
2ß
де csch(z) - sinh-1(z) - гiпербoлiчний косеканс.
Розглянемо тепер питання визначення потужност шуму квантування за умови, що ДКП коефвденти до-пускають aпрoкcимaцiю двoбiчним гама розподшом. Тoдi за формулою (5) будемо мати:
q/2
г2 0 - 2 i x2frr(x)dx - —--1- i xa+1e-x/|idx -
xo-0 J rrW Г(а) ßa J0
:-|^[Г(2 + a)-Г(2 + )]. Г(а) 2ß
q/2
Враховуючи (30) i той факт, що P(a + 1,x) - P(a, x) - xae-x / Г(а +1) пicля нескладних перетворень знаходимо:
gxo-0 - a(a + 1)ß2P(2 + a,—).
(35)
(36)
У загальному випадку, коли xq >q/2, вiдпoвiднo до формули (5):
xo+q/2
- J (x-xo)2frr(x)dx-
xo-q/2
1 1
xo+q/2
2Г(а) ß' xq -q/2
J (x - xQ)2xaVßdx -
1 1 2Г(а) ßa
[I1 +12 -13],
(37)
де
xo+q/2
11 - J xa+1e-ßdx -ßa+2r(a + 2) х
xo-q/2
xQ + q/2 xQ - q/2
х[P(a + 2, 0 ß4/ )-P(a + 2, 0 ß4/ )];
xo+q/2 -x
12 - xQ J xa-1e-ßdx - xQ ßar(a) х
xo-q/2
m/ x0 + q/24 г./ x0 -q/2M хР(а,—^-ß-) - P(a, -^-ß-)] ;
xq+q/2 -x
13 -2xQ J xae-ßdx -2xQ ßa+1r(a + 1) х
xo-q/2
xQ + q/2 xQ - q/2
хр(а +1, 0 ) - P(а +1, 0 )].
ß
ß
Тепер, зaфiкcувaвши значення K < 1, на пiдcтaвi формул (36) i (37) ми можемо розрахувати g42 за формулою (7).
Коефвдент ексцесу двoбiчнoгo гама розпод^у е функцieю пaрaметрiв a i ß. Отже, рoзпoдiл frr(x) дoцiльнo використовувати в тих випадках, коли вибiр-ковий коефвдент ексцесу емпiричнoгo рoзпoдiлу ДКП коефвдентв мае значення у2 » 6, що е типовим для монотонних зображень. Для таких зображень, майже ва АС ДКП коефвденти концентруються у вщносно невеликому iнтервaлi з центром в точщ нуль. З цьо-го випливае, що вже при невеликих значеннях кро-ку квантування б^ьшкть ДКП коефвдентв будуть квантуватися до нуля. Тобто, у випадку монотонних зображень, Gj2, розраховане за формулою (7), майже не буде вiдрiзнятиcь вщ значення, розрахованого за формулою (6) при xq - 0, але у цьому випадку формула (6) набувае значно компактшшого виду пoрiвнянo з формулами (36) i (37). Дшсно
q/2
P(xq - 0) - J frr (x)dx -
-q/2
1 1
q/2
J xa-1e-2dx - P(aA). Г(а) ßaJ V 2ß7
(38)
Тoдi, пiдcтавляючи (36) i (38) у формулу (6) , дь стаемо баесову ощнку дисперсп шуму квантування до нуля:
G2q-0 -GÎQ-0/P(XQ -0) -
-a(a + 1)ß2P(2 + a,2ß )P-1(a,2ß ). (39)
Перейдемо тепер до питання визначення дисперсп шуму квантування вибiрки з узагальненого розпод^у Кoшi (18).
Диcперciя шуму квантування до нуля:
q/2
i- J x%c(x)dx-
-q/2
(1 + -q)k+1-p -1 2s_
k +1 - p
- s2(p -1) f (-1)k
l kJ
(40)
x
В свою чергу, коли > q/2, вiдповiдно до форму-ли (5) дштаемо:
Xq+q/2
°Xa = J (X - XQ)2fGC(x)dx =
Xq-q/2
, *a+q/2
= P-1 J (x - xq)2(1 + X)-Pd(1 + X) =
2 ^ ^
xa-q/2
P - 1v, 42L12-P - Ll-P
=-[(xQ + s) —-1--
2 LV Q 7 l - p
-2s(xQ + s)
T 2-P _ T 2-P T 3-P - T 3-P L2_+s2 т_
2 - P
3 - p
(41)
де Li = 1+(xQ - q/2)/, L2 = 1 + (xQ + q/2)/s.
Як i в попередшх випадках, зафiксувавши значення K < l, на n^cTaBi формул (40) i (41) стае можливим роз-рахувати значення о2 за формулою (7) .
5. Результати практичного застосування методики ощнювання PSNR стиснених зображень
В п. 4. 2 була представлена розроблена методика розрахунку PSNR стисненого зображення на оcновi значень таблиц квантування. Методика передбачае обчислення ощнок дисперсш шумiв квантування ДКП коефвденпв зображення. Тому, для практичного застосування зaпропоновaноï методики, необхвдно задатися ввдповвдною статистичною моделлю ДКП коефiцiентiв. В пп. 4. 3 i 4. 4, наведено рiзнi статистичш моделi ДКП коефвденпв, описано методи оцiнювaння ïx параме-трiв, та конкретизовано ствввдношення для розрахунку оцiнки PSNR. Проведемо тепер експериментальну перевiрку отриманих теоретичних ствввдношень.
В подальшому, будемо використовувати поняття монотонних та текстурних зображень. Шд монотон-ними будемо розумии тaкi зображення, до структурного складу яких входять значш обласп монотон-ноcтi, тобто област рiвномiрноï яcкрaвоcтi, якi не мктять cуттевоï кiлькоcтi дрiбниx деталей. В свою чергу, зображення, що в бшьшосп cвоïй складаються
з областей багатих на дрiбнi детaлi, будемо називати текстурними.
Для проведення експериментальних дослщжень iз набору стандартних нaпiвтоновиx тестових зображень
[22] було ввдбрано два набори по 15 зображень, розмь рами 256х256 пiкcелiв. Першу групу склали текстурш зображення, в той час як в другу групу було вдабрано монотонш зображення. Приклади текстурних та монотонних зображень наведен на рис. 2 та 3 вщповщно. Для кожного зображення з обох груп були отримаш його стиснеш копи з показниками якоси iз дiaпaзону вiд 5 до 100 взятими з кроком 5.
Дал^ на мовi С++ з використанням бiблiотеки libjpeg
[23] було створено програмний зааб, що дозволяе роз-раховувати оцiнку PSNR на пiдcтaвi розроблених в п. 4 методiв. Крiм того, в прогрaмi розраховуються реaльнi значення PSNR стиснених зображень, що дозволяе порiв-нювати фактичне i прогнозне значення метрики PSNR. Осюльки JPEG формат зберiгaе лише вщомосп про квaнтовaнi ДКП коефщенти, необxiднi для подaльшоï роботи значення ДКП коефщенпв зчитуються безпо-
середньо з ввдповвдних JPEG фaйлiв. Зазначимо, що DC ДКП коефщенти зображення, тобто постшна складова, мають шший розподiл, aнiж тi, що були розглянуп в п. 4. 3. Таким чином, описаш вище методи застосовують-ся тiльки до АС ДКП коефщенпв, тому для виключення впливу невiрноï оцiнки диcперciï шуму квантування по-cтiйноï cклaдовоï на результати експерименту, значення ^eï величини розраховувалось безпосередньо.
Рис. 2. Приклад текстурного зображення з першо'| групи
Рис. 3. Приклад монотонного зображення з друго'| групи
У першому експеримент^ для кожного стисненого зображення обох груп розраховувалася як ощнка PSNR (вщповщно до методики п. 4. 2), так i його фактичне значення. При цьому величина дисперсп о42 обчислювалась або за формулою (34), що вщпо-вщае припущенню про Лаплаив розпод^ ДКП ко-ефiцieнтiв, або за формулою (39), що, в свою чергу, вщповщае припущенню про двобiчний гама розподш для ДКП коефвденив початкового JPEG зображення. Дaлi, на пiдcтaвi розрахованих значень, визначалась помилка прогнозування (ощнювання) PSNR, як абсолютна величина рiзницi мiж ощненим i фактичним значеннями, APSNR, яка поим усереднювалась за вама показниками якост в межах одного зображення. Результати представлен у виглядi графтв на рис. 4 для зображень з першоï групи, тобто текстурних, i на рис. 5 для зображень з другоï групи, тобто монотонних. Тут i дал^ на графжах символом (+) позначено результати, що вщповщають моделi Лапласу (10) , а символом (*) - результати отримаш при використанш моделi у виглядi двобiчного гамма розподшу (12).
Рис. 4. Середня помилка оцшювання PSNR за зображенням для набору текстурних зображень
Як видно з рис. 4, для зображень з першо'! групи модель Лапласу у бшьшосл випадюв дае кращш результат пор1вняно з моделлю у вигляд1 двоб1чного гама розподшу. В свою чергу, з анал1зу графтв на рис. 5 можна бачити, що для 11 з 15 зображень друго'1 групи, модель на основ1 двоб1чного гамма розподшу, навпаки, дозволяе отримати меншу за модель Лапласа абсолют-ну помилку ощнювання PSNR.
Рис. 5. Середня помилка оцшювання PSNR за зображенням для набору монотонних зображень
Дал1, для отримання бшьш наглядного результату, як i в першому експеримент1, будемо розраховувати реальне значення, та ощнку PSNR, для кожного 1з стиснених зображень, але усереднювати значення абсолютно'! помилки, будемо не за зображенням, а за значенням показнику якость Дшчи таким чином, та використовуючи наб1р зображень з першо'! групи, отримаемо графжи, показан на рис. 6. Аналопчш графжи, але для зображень з друго'1 групи, показан на рис. 7.
Анал1зуючи дан рис. 6, легко бачити, що для зображень текстурного типу, модель Лапласу при стисненн з високими та середшми показниками якост1 (тобто з низькою та середньою компрес1ею) забезпечуе бшьшу точшсть пор1вняно з використанням двоб1чного гама розподшу. З шшого боку, для зображень, як були отримаш в наслщок компресп з високими показниками стиснення (тобто з низькою якютю), замють модел1 Лапласа, бшьшу точшсть вже забезпечуе модель у ви-гляд1 двоб1чного гама розподшу.
Звернемо тепер увагу на графжи з рис. 7. Як i очь кувалось, для зображень друго'1 групи при стисненш з низькими, середшми, та частково високими показниками якост1, модель у вигляд1 двоб1чного гамма розподшу забезпечуе меншу помилку оцшювання по-р1вняно з моделлю Лапласа.
+ * Ж
Рис. 6. Середня помилка за показником якост для набору текстурних зображень
* -
Рис. 7. Середня помилка за показником якостi для набору монотонних зображень
Нарешт1, проанал1зуемо дощльшсть використання узагальненого розподшу Кош1 для ощнювання PSNR стиснених зображень. Скористаемось критер1ем Колмогорова з метою з'ясувати узгоджешсть гшоте-тичного розподшу у вигляд1 узагальненого розподшу Кош1 з емшричними даними, у цьому випадку - ДКП коеф1щентами 1з шдексами (u, v). В табл. 1 та 2 зведеш даш про значення статистики критерш Колмогорова VnDn [24], визначеш для ДКП коеф1щент1в зображень наведених на рис. 2 та 3 вщповщно. Об'ем виб1рки n -1024. Нагадаемо, що для нульово"! гшотези повинна справджуватись нер1вшсть vnDn < Ха; для р1вня значу-щост1 а-0,05 маемо Ха -1,3581, в той час як а-0,01 вщповщае Ха -1,6276.
Даш табл. 1, 2 вказують на те, що узагальнений роз-подш Кош1 краще узгоджуеться з ДКП коеф1щентами текстурних зображень, ашж з ДКП коеф1щентами мо-нотонних зображень. У випадку текстурних зображень досить непогано спрацьовуе модель Лапласу, якш вщ-повщае класична формула (34) для розрахунку дисперсп шуму квантування виб1рки з розподшу Лапласу. Основною перевагою формули (34) e ïï компактшсть та обчислювальна економшсть, на вщмшу вщ формул (40) i (41). Кр1м того, використання узагальненого роз-подшу Кош1 вимагае розв'язання нелшшних р1внянь (23) i (24) з метою визначення параметр1в розподшу fGc(x). В свою чергу, для монотонних зображень, в робот було запропоновано використовувати двоб1чний гама розподш, для якого юнуе компактшша формула (39) i дещо прост1ша процедура ощнювання параме-тр1в розподшу frr (x), див. формули (16) i (17) . Отже, зважаючи на вищесказане, дютаемо висновку, що узагальнений розподш Кош1 можливо, але не дощльно
використовувати для ощнювання (прогнозування) PSNR стиснених JPEG зображень.
Таблиця 1
Значення статистики критер^ Колмогорова VnDn, визначеш для ДКП коефщieнтiв зображення, показаного на рис. 2
0 1 2 3 4 5 6 7
0 - 0,981 1,239 0,808 1,101 1,086 1,134 2,470
1 0,718 1,236 1,250 0,789 0,784 1,230 2,300 2,090
2 1,500 0,597 0,639 1,462 0,455 1,325 2,005 1,986
3 1,181 0,534 1,131 1,319 0,430 1,416 1,930 1,963
4 0,762 1,159 0,901 1,539 0,986 1,325 1,160 1,706
5 0,629 0,789 1,764 1,068 1,241 1,830 1,800 2,446
6 1,544 0,829 1,057 1,465 1,567 1,237 1,696 3,017
7 0,706 2,040 1,162 1,623 1,444 2,412 2,944 3,472
Таблиця 2
Значення статистики критер^ Колмогорова -v/nDn, визначеш для ДКП коефщieнтiв зображення, показаного на рис. 3
0 1 2 3 4 5 6 7
0 - 1,469 1,492 2,551 2,656 3,048 2,733 2,991
1 1,048 1,230 2,063 1,813 1,696 2,797 2,590 3,563
2 1,727 1,172 2,394 2,869 1,871 2,688 3,210 4,250
3 1,915 1,751 1,813 2,482 3,109 2,412 3,188 3,750
4 3,801 2,004 2,630 2,596 3,398 3,207 3,452 5,604
5 1,880 2,549 2,594 2,377 3,021 3,688 3,827 3,844
6 3,367 2,438 2,567 3,031 3,094 4,563 4,938 4,094
7 2,277 3,250 3,688 6,293 4,375 5,031 4,969 6,438
6. Обговорення результаив практичного застосування методики ощнювання PSNR стиснених зображень
1нтуиивно зрозумшо, i це тдтверджуеться про-веденими експериментальними дослщженнями, що ДКП коефщенти, в залежностi ввд структурного складу зображення, мають принципово pi3Hi ймовiрнiснi розподiли. Отже, ощнюючи статистичними методами яюсть стисненого зображення, слiд враховувати його структурш властивостi. Наприклад, класична модель Лапласу (10), застосована до ДКП коефщен-пв монотонних зображень, демонструе значно гiршу узгодженiсть з емтричними даними порiвняно з тiею узгоджешстю яку ми спостерiгаемо для ДКП коефщь ентiв текстурних зображень. Так, аналiзуючи графiки на рис. 7, бачимо, що похибка в ощнюванш значення PSNR монотонних стиснених зображень е бшьшою для моделi Лапласа, ашж для моделi у виглядi двобiчного гама розподiлу (12). Зауважимо, що при використанш двобiчного гама розподшу ми враховували тiльки дис-персiю шуму квантування до нуля, визначаючи ïï за формулою (39). Це робить зрозумшою появу менших значень абсолютноï похибки APSNR, як спостер^а-ються на рис. 7 для моделi Лапласу при стисненш з високими показниками якость
Ключовою особливiстю ДКП перетворення е на-явнiсть у нього властивост компактифiкацiï енергiï перетворюваного сигналу. На практищ це означае, що визначеш за формулами (34) або (39) значення дисперсш шумiв квантування треба зменшувати принайм-
нi у 64 рази аби визначити фактичний вплив ефекту квантування. Таким чином, досить велик вщхилення ощнених дисперсш вщ справжнiх, спричиненi неадек-ватшстю статистичноï моделi ДКП коефiцieнтiв, бу-дуть значною мiрою компенсуватись наявшстю ефекту компактифiкацiï енергп. Останне пояснюе той факт, що, порiвнюючи отримаш в ходi експериментальних дослiджень графжи, ми дiстаемо висновку, що класична модель Лапласу в щлому забезпечуе досить непога-ну точшсть оцiнювання PSNR.
Звертаючи увагу на рис. 5, можна зауважити, що для зображення з номером 14 обидвi моделi дають майже одну i ту саму помилку ощнювання PSNR i ця помилка е значною. Така ситуащя виникла тому, що початкове зображення бшьше як на 90 % складаеться з монотонних областей (чистого неба та незбуреноï води), а ввд так майже уа ДКП коефщенти оригшального зображення мають нульовi значення (за замовченням формат JPEG передбачае округлення до найближчого щлого дшсних значень ДКП коефщенпв). Таким чином, не-вiдомi параметри розподшу Лапласу та двобiчного гама розподшу, оцiненi за переважно нульовими ДКП коефь цiентами дiстають суттевого змщення, що в свою чергу призводить до змщення ощнки PSNR.
Дал^ беручи до уваги результати експерименпв, та враховуючи теоретичнi мiркування, викладеш в п. 4. 3, можна запропонувати единий методолопчний пiдхiд до вибору моделi ДКП коефiцiентiв певного зображення. Дшсно, середньо та високочастотш ДКП коефiцiенти монотонних зображень мають розподши, коефiцiенти ексцесу яких бiльшi за вiдповiднi коефiцiенти ексцесу, але визначеш для текстурних зображень. Отже, якщо значення вибiркового коефiцiенту ексцесу певного ДКП коефщенту у2 « 6, то дощльно використовувати розпо-дiл Лапласу, а при у2 » 6 варто застосовувати двобiч-ний гама розподiл. Такий шдхщ дозволить отримувати високу точнiсть ощнювання для вах типiв зображень.
7. Висновки
В робот розглянутi питання кiлькiсноï оцiнки впливу ефекту квантування коефвденпв дискретного косинусного перетворення на яюсть стиснених JPEG зображень. Розроблена ушверсальна методика ощню-вання величини спотворень, що виникають в наслщок JPEG компресп зображень будь-якого структурного складу. Для визначення якоси зображення використо-вувалась метрика PSNR.
В результат проведених дослвджень отримано такi висновки:
1. При виборi моделi f(x) ДКП коефщенпв зображення, слiд виходити з таких мiркувань. В наслiдок вла-стивостi компактифiкацiï енергп ДКП перетворенням, обрана модель f(x) повинна ввдображати розподiл ДКП коефiцiентiв в щлому, а не в найменших деталях. Кон-кретний вибiр щiльностi iмовiрностi f(x) мае забезпечу-вати ввдносну економнiсть обчислень, зокрема, бажано аби штеграли виду (4) та (5) мали легко обчислювальш компактнi вирази, а коефщент ексцесу розподiлу f(x) був би функцiею параметрiв самого розподшу.
2. Ключова особливiсть запропонованоï в п. 4. 2 методики полягае у залученш рiзних статистичних моделей для розрахунку дисперсп шуму квантування ДКП
коефвденпв. Зокрема, для моделей ДКП коефщенпв у виглядi двoбiчнoгo гама розподшу та узагальненого рoзпoдiлу Кoшi були отримаш зручш при oбчиcленнi вирази для дисперсп шуму квантування ДКП коефщь енпв JPEG зображення. Використання двoбiчнoгo гама рoзпoдiлу для виршення зaзнaченoï вище зaдaчi за-пропоновано вперше. Крiм того, дocлiдженo практичш ocoбливocтi oцiнювaння пaрaметрiв узагальненого роз-пoдiлу Кoшi за методом нaйбiльшoï прaвдoпoдiбнocтi.
3. Класична модель Лапласа забезпечуе ввдносно точну oцiнку PSNR лише для тих зображень, що в бшьшосп свош складаються з областей багатих на дрiбнi деталь В той час, як для зображень, до складу
яких входять cуттeвi обласп рiвнoмiрнoï яcкрaвocтi, модель у виглядi двoбiчнoгo гама розподшу дозволяе отримати значно крaщiй результат.
Дocтoвiрнicть отриманих теоретичних вирaзiв тд-тверджуеться результатами екcпериментiв з натвто-новими зображеннями формату JPEG.
Вдячностi
Автори глибоко вдячнi Кирко Д. М. та Удалову Д. В., змштовт бесщи з якими значно сприяли написанню ^eï статть
^ÎTepaTypa
1. Laghari, K. U. R. Toward total quality of experience: A QoE model in a communication ecosystem [Text] / K. U. R. Laghari, K. Connelly // Communications Magazine, IEEE. - 2012. - Vol. 50, Issue 4. - P. 58-65. doi: 10.1109/mcom.2012.6178834
2. Lim, J. S. Two-Dimensional signal and image processing [Text] / J. S. Lim. - New Jersey: Prentice-Hall, 1990. - 694 p.
3. ISO/IEC 10918-1: 1993(E). CCIT. Terminal equipment and protocols for telematic services. Recommendation. T. 81 [Text]. -Available at: http://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf.
4. Pratt, W. K. Digital Image Processing [Text] / W. K. Pratt. - 3rd edition. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. - 739 p. doi: 10.1002/0471221325
5. Simoncelli, E. Statistical modeling of photographic images [Text] / E. P. Simoncelli // Handbook of image and video processing. -New York : Academic Press, 2005. - P. 431-441. doi: 10.1016/b978-012119792-6/50089-9
6. Lam, E. Y. A mathematical analysis of the DCT coefficient distributions for images [Text] / E. Y. Lam, J. W. Goodman // IEEE Transactions on Image Processing. - 2000. - Vol. 9, Issue 10. - P. 1661-1666. doi: 10.1109/83.869177
7. Narayanan, G. A statistical model for quantized AC block DCT coefficients in JPEG compression and its application to detecting potential compression history in bitmap images [Text] / G. Narayanan, Y.-Q. Shi // International Workshop on Digital Watermarking. Vol. 6526 : of Lecture Notes in Computer Science. - Berlin : Springer, 2010. - P. 75-89. doi: 10.1007/978-3-642-18405-5_7
8. Thai, T. H. Statistical model of quantized DCT coefficients: Application in the steganalysis of jsteg algorithm [Text] / T. H. Thai, R. Cogranne, F. Retraint // IEEE Transactions on Image Processing. - 2014. - Vol. 23, Issue 5. - P. 1980-1993. doi: 10.1109/tip.2014.2310126
9. Sallee, P. Model-based steganography [Text] / P. Sallee // Digital Watermarking. - Berlin : Springer, 2004. - Vol. 2939 : Lecture Notes in Computer Science. - P. 154-167. doi: 10.1007/978-3-540-24624-4_12
10. Fridrich, J. Steganography in digital media [Text] / J. Fridrich. - New York : Cambridge University Press, 2009. - 438 p. doi: 10.1017/cbo9781139192903
11. Carrillo, R. E. A generalized cauchy distribution framework for problems requiring robust behavior [Text] / R. E. Carrillo, T. C. Aysal, K. E. Barner // EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. - 2010. - Vol. 2010, Issue 11. - P. 11:1-11:19. doi: 10.1155/2010/312989
12. ITU-R Rec. BT 500-10 : Methodology for the subjective assessment of the quality of television pictures [Text]. - 2000.
13. Pappas, T. Perceptual criteria for image quality evaluation [Text] / T. N. Pappas, R. J. Safranek, J. Chen // Handbook of image and video processing. - New York : Academic Press, 2005. - P. 939-959.doi: 10.1016/b978-012119792-6/50118-2
14. Wang, Z. Structural approaches to image quality assessment [Text] / Z. Wang, A. C. Bovik, E. P. Simoncelli // Handbook of image and video processing. - New York : Academic Press, 2005. - P. 961-974. doi: 10.1016/b978-012119792-6/50119-4
15. Sheikh, H. Information theoretic approaches to image quality assessment [Text] / H. R. Sheikh, A. C. Bovik // Handbook of image and video processing. - New York : Academic Press, 2005. - P. 975-989. doi: 10.1016/b978-012119792-6/50120-0
16. Wong, P. W. Image quantization, halftoning, and printing [Text] / P. W. Wong // Handbook of image and video processing. - New York : Academic Press, 2005. - P. 925-937. doi: 10.1016/b978-012119792-6/50117-0
17. Turaga, D. S. No reference PSNR estimation for compressed pictures [Text] / D. S. Turaga, Y. Chen, J. E. Caviedes // Signal Processing: Image Communication. -2004. - Vol. 19, Issue 2. - P. 173-184. doi: 10.1016/j.image.2003.09.001
18. Brandäo, T. Estimation of DCT coefficient statistics from their quantized values: application to image quality evaluation [Text] / T. Brandäo, M. P. Queluz // ConfTele 2007 : 6th International Conference on Telecommunications. - Peniche, Portugal, 2007. -P. 461-464.
19. Press, W. H. Numerical recipes: the art of scientific computing [Text] / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery; 3rd edition. - New York : Cambridge University Press, 2007. - Vol. 994. - 1235 p.
20. Lange, K. Optimization [Text] / K. Lange. - 2nd edition. - New York : Springer, 2013. - Vol. 95: Springer Texts in Statistics. -546 p. doi: 10.1007/978-1-4614-5838-8
21. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [Text] / M. Abramowitz, I. A. Stegun. - 9th Dover printing, 10th GPO printing edition. - New York: Dover, 1964. - 1049 p.
22. USC-SIPI image database [Electronic resource]. - Available at: http://sipi.usc.edu/database/
23. Independent JPEG group: libJPEG library [Electronic resource]. - Available at: http://www.ijg.org/
24. Arnold, T. Nonparametric goodness-of-fit tests for discrete null distributions [Text] / T. B. Arnold, J. W. Emerson // The R Journal. -2011. - Vol. 3, Issue 2. - P. 34-39.
