CC BY
29
-□ □-
Дослиджено вплив вибору моделi надiйностi програмних засобiв на оцт-ку показнитв надiйностi програмно-апаратних систем. Розглянуто модель надiйностi програмних засобiв з показ-ником гх складностi. Показано, що це дае змогу тдвищити достовiрнiсть оцтки функци готовностi програмно-апаратних систем
Ключовi слова: видмовостш^сть, функщя готовностi, програмно-апа-ратна система, модель надiйностi програмних засобiв
□-□
Исследовано влияние выбора модели надежности программных средств на оценку показателей надежности программно-аппаратных систем. Рассмотрена модель надежности программных средств с показателем их сложности. Показано, что это дает возможность повысить достоверность оценки функции готовности программно-аппаратных систем
Ключевые слова: отказоустойчивость, функция готовности, программно-аппаратная система, модель
надежности программных средств -□ □-
1. Вступ
Все бшьша частина сучасно! техшки i практично уа електронш та телекомушкацшш системи е про-грамно-апаратними системами (ПАС), процес функщ-онування яких полягае у взаемоди програмних (ПЗ) та апаратних засобiв (АЗ). Шдвищення вщповвдальност та складност сучасних ПАС накладае жорстю вимоги до ощнювання та забезпечення заданих показниюв надшность При цьому показник надшност стае добут-ком функцп готовност АЗ та ймовiрностi правильного функцiонування протягом заданого промiжку часу, що характеризуе дiездатнiсть системи. Якщо показники надiйностi АЗ (в т. ч. функщю готовностi) можна ощню-вати за допомогою традицшних методiв, якi базуються на паспортних значеннях штенсивностей вiдмов еле-ментно! бази електронiки, то оцiнювання ймовiрностi правильного функцiонування е значно складшшою задачею, оскiльки на цей показник впливають як апа-ратнi, так i програмнi засоби. Вiдмови ПАС можуть бути спричинеш випадковими вщмовами, збоями та дефектами апаратно! складово!, помилками ПЗ, а також ввдмовами ПЗ, спричиненими збоями апаратури внас-лiдок впливу температури, iонiзуючого випромшюван-ня чи iнших зовнiшнiх дестабШзуючих факторiв. Все це перетворюе комплексний аналiз надiйностi сучасних складних ПАС на вкрай складну та нетривiальну задачу. За останш два десятилггтя вартiсть розробки ПЗ та
УДК 004.942+621.396
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.4733б|
О. В. Муля к
Кандидат техшчних наук, ТОВ «Науково-виробнича фiрма «Промтехносервю УкраТна» вул. Червоноармiйська, 114, м. КиТв, УкраТна, 03150 E-mail: mulyak.oleksandr@gmail.com В. С. Яковина Кандидат фiзико-математичних наук, доцент Кафедра програмного забезпечення* E-mail: vitaliy.s.yakovyna@lpnu.ua Б. Ю. Вол оч i й Доктор техычних наук, професор Кафедра теоретичноТ радютехшки та радiовимiрювань*
E-mail: bvolochiy@ukr.net *Нацюнальний унiверситет "Львiвська пол^ехнка" вул. С. Бандери, 12, м. Львiв, УкраТна, 79013
варпсть вiдмови ПЗ стали займати все бшьшу частку вартосп усiеi ПАС. Вiдмови програмно! складово!, пiд управлiнням яко! працюе уся система, можуть спри-чиняти непередбачений стан чи поведшку системи, що може приводити до значних матерiальних збитюв i навiть шкоди для здоров'я i життя людей.
Таким чином, сучасний етап розвитку науки i техшки характеризуеться чико вираженим протирiччям мiж вщповщальшстю та складнiстю сучасних ПЗ, з одного боку, та методами i засобами ощнювання та прогнозування !х надшносп, з iншого. Вирiшення цього протирiччя вимагае поеднання пiдходiв мате-матично! статистики, iнженерii ПЗ та класично! теорп надiйностi з метою розроблення моделей i методiв ана-лiзу надiйностi ПЗ пiдвищеного ступеня адекватност на основi сучасних досягнень дослщжень в цiй галузi.
2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми
Для ощнки надiйностi ПАС сьогодш застосовують ряд пiдходiв та методик, яю з певною достовiрнiстю дозволяють визначити показники надiйностi.
У рядi праць [1, 2] ПЗ вважають безвiдмовними i розглядають пльки надiйнiсть АЗ, що суттево завищуе значення показникiв надiйностi ПАС. В монографп [3] стверджують, що надшшсть ПАС залежить як вiд надшносп ПЗ, так i вiд надшносп АЗ. Причому при-
ВПЛИВ МОДЕЛЕЙ НАД1ЙНОСТ1 ПРОГРАМНИХ ЗАСОБ1В НА ПОКАЗНИКИ НАД1ЙНОСТ1 ПРОГРАМНО-АПАРАТНИХ СИСТЕМ
■Г
©
йнято, що ввдмови АЗ не впливають на надiйнiсть ПЗ та навпаки. У статт [4] пiд час оцшювання надiйностi ПАС враховуються особливосп ПЗ на етапi експлуа-тацп. Для цього застосовано модель, яка використовуе припущення, що надiйнiсть ПЗ зростае стрибкоподiбно пiсля його оновлення. Це припущення Грунтуеться на тому, що тсля кожного оновлення юльюсть дефектiв зменшуеться. Однак навiть у випадку використання тако' моделi надшносп ПЗ ймовiрнiсть безвiдмовноi роботи ПАС буде заниженою, оскiльки не враховуеться поведшка системи у разi появи ввдмов i збоiв АЗ та ПЗ. У стати [5] модель поведшки ПАС будуеться на основi марковсько' моделi, з якоi визначаються стани, пов'я-занi з надшшстю ПЗ, i стани, якi ввд надiйностi ПЗ не залежать. Однак така модель поведшки ПАС не врахо-вуе уах рiзновидiв збоiв i вiдмов ПЗ, наслiдкiв, до яких вони призводять, та способiв подолання цих наслвдюв (вивантаження ПЗ, перезавантаження ПЗ, переуста-новлення ПЗ). В робоп [6] описано модель надiйнiсноi поведiнки ПАС у виглядi графа станiв та переходiв, яка враховуе появу ввдмов та збоiв ПЗ та АЗ, 1х наслвдки, що призводять до простою, а також способи ввдновлен-ня працездатность За рахунок досягнутого ступеня адекватност моделi [6] пiдвищено достовiрнiсть оцшки показникiв надiйностi ПАС.
Для визначення показниюв надiйностi ПЗ, i зокрема штенсивносп вiдмов, необхiдноi для визначення показниюв надшносл ПАС на основi моделi 11 функцю-нування, широко використовуються моделi на основi пiдрахунку вiдмов [7-10]. Цей клас моделей пов'язаний з юльюстю виявлених помилок на заданому iнтервалi тестування. При усуненш помилок з системи очжуеться, що виявлена кiлькiсть помилок (ввдмов) в одиницю часу спадатиме. З початку 1970-х, коли почались штенсивш дослвдження в галузi надшносп ПЗ, було запропонова-но багато моделей, що описують такi явища. В основу бiльшостi таких моделей покладено розподш Пуассона, параметри якого мають рiзний вигляд для рiзних моделей. Найбiльш поширеними моделями цього класу е моделi Гоеля-Окумото [11], S-подiбна модель зростання надшносп Ямади [12] тощо. Проте, основним недолжом вiдомих моделей на основi пуассонового процесу е те, що внаслвдок припущень i спрощень, вони не достатньо адекватно ввдображають процес тестування, а результата, отримаш при 1х застосуваннi, не завжди збкаються з отриманими на практищ [13]. Крiм того, бiльшiсть таких моделей не враховують величину та складшсть ПЗ, якi впливають на поведшку iнтенсивностi вiдмов ПЗ. Для тдвищення ступеня адекватностi реальним об'ектам мо-делювання у [14] побудовано нову математичну модель надшносп ПЗ з динамiчним показником складностi програмного продукту та показано, що форми кривих кумулятивно' юлькосп вiдмов та параметру потоку ввд-мов цiеi моделi бшьш точно вiдповiдають практичним результатам тестування ПЗ. Проведений ш^вняльний аналiз кнуючих та розроблено' моделей надiйностi ПЗ на реальних тестових прикладах показав переваги мо-делi з iндексом складностi над найбшьш поширеними S-подiбною моделлю та моделлю Гоеля-Окумото [15].
У [14, 15] було показано переваги моделi надшносп ПЗ з показником складносп над найб^ьш поширеними моделями на основi пуассонового процесу, при цьому прогноз загально' кiлькостi помилок в ПЗ цими моделями не вiдрiзнявся бшьш нiж на 5-10 %. Однак
питання впливу в1дм1нностеи повед1нки 1нтенсивност1 вщмов ПЗ, отримано'' р1зними моделями надшносп ПЗ, на результати оцшювання показниюв надшност ПАС залишаеться недослщженим.
3. Мета i задачi дослiдження
Метою роботи е дослiдження впливу моделi надш-ност ПЗ на оцiнку функцп та коефвденту готовностi ПАС з версшно-структурним резервуванням.
Для досягнення поставлено' мети були поставлен наступнi завдання:
- побудувати надшшсну модель ПАС з версш-но-структурним резервуванням;
- провести порiвняльний аналiз значень штенсив-ност вiдмов ПЗ, отриманих на основi рiзних моделей надiйностi ПЗ;
- встановити значення стащонарного коефiцiенту готовносп ПАС у випадку використання штенсив-ностей вiдмов ПЗ, отриманих з рiзних моделей надш-ностi ПЗ;
- дослвдити поведiнку функцii готовносп ПАС вiд часу у випадку використання штенсивностей вiдмов ПЗ, отриманих з рiзних моделей надiйностi ПЗ.
4. Структура та модель надшноси дослщжувано! програмно-апаратно! системи з версшно-структурним резервуванням
Для побудови надшшсно1 модел1 ПАС використано технолопю моделювання складних шформацшних систем на основ1 марковських процеав [16], в якш ПАС представляеться як дискретно-неперервна стохастич-на система, осюльки саме вона дозволяе виконати поставлен! завдання визначення та дослщження показниюв надшност ПАС. В якост моделеИ надшносп ПЗ, яю дають вхвдне значення штенсивност1 вщмов ПЗ для модел1 надшносп ПАС, обрано модель з показником складносп ПЗ [14] з одного боку, та модел1 Гоеля-Окумото [11] i S-под'бна модель [12] як наИб1льш поширеш «еталонш» модели з iншого.
Виходячи з того, що вщмовостшка ПАС повинна працювати з мiнiмальним простоем, та не допуска-еться втрата iнформацii тд час функцiонування, використано загальне гаряче резервування замщенням. Структурна схема надшноси такоi вiдмовостiИкоi ПАС показана на рис. 1.
До складу вiдмовостiйкоi ПАС входять: основна ПАС, якиИ складаеться з n - модулiв; резервна ПАС, яка складаеться з k - модулiв; для обох ПАС передба-чено стльне ковзне резервування модулiв, при цьому один (першиИ в черзi на використання) резервниИ модуль перебувае в гарячому резерв^ а решта - в холодному; пристрш контролю та дiагностування (DCS, Diagnostics Control System) визначае стан ПАС в апа-ратнш та програмнiИ частинах та подае команди для управлшня резервним ресурсом; пристрш комутацп виконуе функцп пiдключення (або вiдключення) резервного ПАЗ, а також вщключення несправних моду-лiв та тдключення модулiв ковзного резерву.
При формуванш надiИнiсноi моделi ПАС ii склад i окремi складовi необхiдно представити вiдповiдними
параметрами, а саме: п - кшьккть модул1в, що пере-бувають в склад1 основно! ПАС; к - кшьюсть модул1в, що перебувають в склад1 резервно'! ПАС; ть - кшьюсть модул1в гарячого резерву з завантаженим ПЗ; тс - кшь-юсть модул1в холодного резерву з не завантаженим ПЗ;
- штенсившсть в1дмов модуля, який перебувае в склад1 основно'! (резервно'!) ПАС та в гарячому резерву - штенсившсть в1дмов ПЗ початково'1 версп та п1сля першого оновлення; А^п-щ- - 1нтенсивн1сть збо'1в ПЗ; Тир1, Тир2 - середне значення тривалост1 першого та другого оновлень версп ПЗ; Trest - тривал1сть перезаван-таження ПЗ на модул1, що перебувае в непрацездатному сташ з ознакою збою/в1дмови ПЗ; Х^^ь - тривал1сть оновлення ПЗ; Тгер - тривал1сть ремонту АЗ в ПАЗ.
Рис. 1. Структурна схема надшност ПАС (1 — основна
ПАС, 2 - модулу що знаходяться в гарячому резерву 3 — модулу що знаходяться в холодному резерву 4 — резервна ПАС)
Розробка надшшсно! модел1 ПАС детально описана в робот1 [17]. На рис. 2 представлена модель ПАС у вигляд1 графа сташв та переход1в, на основ1 яко'1 проводиться дослщження значення функцп готовност1.
На основ1 отриманого графу-стан1в та переход1в (рис. 2), можна скомпонувати формули для надшшс-ного проектування [16]. Зокрема запропонований граф дозволяе обчислити: функцп готовност1 при зм1ш пара-метр1в дослщжувано! системи; середне значення три-валост1 до в1дмови; провести ощнку безпечност1 тощо.
Одним з показник1в над1йност1 в1дновлюваних ПАС е коефщ1ент готовност1. Коеф1ц1ент готовност1 ПАС розраховуеться як сума ймов1рностей перебу-вання у станах, де вщсутш критичш в1дмови. Таким чином, для розрахунку коефщ1ента готовност1 дослЬ джувано'1 ПАС необхщно вибрати стани, в яких система е працездатною. Виходячи з ще'1 умови коефщ1ент готовност1 ПАС з верс1йно-структурним резервуван-ням записуеться як:
5 26 31 36 41
Рис. 2. Граф сташв та переходiв дослщжуваноТ ПАС
^ = -2-V (Р2 (I ) + Р5 (I ))-
-2-1....... (Р (1) + Р (I))-2-1 -Р (I)-
-2 -1 swerror - Р9 (t) + - Р6 (^ + ^ - (Рз ^) + Рз (1));
^ = 2(1)-^-Р10 (1)-
и1 Trest
-2 (1) - 2 - А^ - Р10 (1) - 2 - ^бжпР^ (1);
¿Р3 (1) / ч 1 / Ч
"сЗт=2- ^)+т--Рз(1 )-
-2- (1)-2-1
-Р11 (1)-Т^-Рц (1)-2-1 sw1lPl5 (1);
Trest
кг =е Р;+Р9+Р1з+е р+е р+е р+е р+
1=1 1=17 ¡=30 1=33 ¡=40
82 91
+ Р45 + Р49 + Р53 + Р57 + Р61 + е Р+Р. + е Р+Рэ5 +
1=65 1=90
100
+Р Р+Р +Р +Р +Р +Р
(1)
На основ1 побудованого графу сташв та переход1в (рис. 2) сформуемо систему диференцшних р1внянь (2), розв'язок яко'1 дасть змогу оц1нити значення по-казник1в над1йност1 ПАС.
= -^ -Р.1 ) + 2-1 sW,rror•P81 (1) + ^ X
^ Хир2
хР„8 (1) - 2 - Х„,.Р120 (1) - 2 -- Р121 );
= 2-1 „„ (Р99(1) + Р119(1))--(Р99(+ Р119
Trest
= - Р90 (1) + 2 - ^ггог - Р90 (1) + 2 - ^Рш (1).
(2)
Система лшшних диференцшних рiвнянь (СЛДР) (2) розв'язуеться чисельним методом Рунге-Кутта. Не-вiдомими функцiями СЛДР е iмовiрностi перебування в кожному зi 121 стану. Розв'язання дано! системи рiв-нянь дае можливiсть провести оцшку показникiв на-дiйностi вiдмовостiйкоi ПАС, в тому чи^ визначити функщю та коефiцiент готовностi згiдно (1).
5. Дослщження залежност функци готовност ПАС при р1зних значеннях штенсивноси вщмов ПЗ
В якостi вхщних даних для отримання штенсив-носп вiдмов ПЗ згiдно рiзних моделей надшноси було взято результати тестування двох ПЗ з роботи [13]. Стосовно цих ПЗ в роботах [14, 15] було отримано результати прогнозування загально! кшькоси вщмов та опису криво! кумулятивно! кшькост вщмов моделями Гоеля-Окумото, S-подiбною та моделлю з показником складностi. Щ результати показали кращий опис про-цесу вiдмов моделлю з показником складносп, проте дослiджень поведiнки штенсивност вiдмов ПЗ не проводилось.
В табл. 1 наведено значення штенсивностей ввдмов двох програмних продуктiв [13], отриманих з рiзних моделей !х надшность Як видно з табл. 1, незважаючи на майже однаковий прогноз кумулятивно! юлькосп вiдмов [14, 15], значення штенсивносп вiдмов може вiдрiзнятись на три-шкть порядкiв (напр. для першо! версп 1,221х10-3 год-1 для моделi з показником складносп та 3,516х10-6 год-1 для моделi Гоеля-Окумото чи 1,744х10-9 год-1 для S-подiбноi моделi). Зрозумiло, що при правильному прогнозi загально! кiлькостi вщмов, такi вiдмiнностi в динамiцi процесу вщмов спричиня-тимуть суттевi ввдхилення в оцiнцi показникiв надш-носп ПАС.
Таким чином, необхiдно порiвняти значення функ-цiй готовностi в залежносп вiд значення iнтенсивностi вщмови ПЗ, яка визначалося за допомогою рiзних моделей надiйностi ПЗ. Для цього чисельно розв'язували систему рiвнянь (2) та знаходили iмовiрностi перебування в рiзних станах ПАС (рис. 2), тсля цього ком-бiнуючи iмовiрностi перебування у станах, де вщсутш критичнi ввдмови, згiдно рiвняння (1), отримували значення функцп та коефiцiенту готовностi ПАС.
Таблиця 1
1нтенсивносп вiдмов ПЗ, отримаш на основi рiзних моделей
падку використання моделi з шдексом складностi, та Кг=0,981 для двох шших моделей надiйностi ПЗ.
1нтенсившсть вщмов ПЗ, год -1 Модель Гоеля-Оку-мото 8-под1бна модель Модель з показником складносп
1-ша верая, 3,516х10-6 1,744х10-9 1,221х10-3
2-га верая, 2,143х10-9 3,64х10-14 7,286х10-8
На рис. 3 представлено залежност функцп готов-ностi при рiзних значеннях штенсивносп вiдмов ПЗ, якi представлено в табл. 1. Розрахунки проводили-ся при наступних параметрах ПАС: 1^=1х10-4 год-1; 1™еггог=1х10-2 год-1; Тге^=6 хв.; Т^сЬ, ТГер=200 год; Тир1=100 год; Тир2=200 год. Розрахунок стацiонарного коефiцiенту готовностi дае значення Кг=0,977 у ви-
0,996 0.992 0,988 0,984 0,98 0,976 0,972 0,968 0,964 0.96
1 2
\
\
3
1000
2000
3000
4000
Т, год
Рис. 3. Залежносп функцп готовносп КГ вщ часу Т при значеннях штенсивносп вiдмов ПЗ, отриманих на основi рiзних моделей (1 — модель Гоеля-Окумото, 2 — S-подiбна модель, 3 — модель з показником складносп)
Як видно з рис. 3 та табл. 1, значення штенсивносп ввдмов ПЗ, отримаш на основi моделi надiйностi ПЗ з показником складносп [14], е нижчими за значення штенсивносп вщмов, отримаш на основi найбшьш поширених моделей. Таким чином, використання тра-дицiйних моделей надшност ПЗ призводить до зави-щених оцiнок показникiв надiйностi ПАС, що не дае можливост достовiрно оцiнити ризики функщону-вання тако! системи, та може потенцiйно спричинити значш втрати внаслiдок вiдмов ПАС. Крiм того, як видно з рис. 3, поведшка функцii готовносп ПАС, розраховано! на основi вхщних даних, отриманих з моделi надшносп ПЗ з показником складностi [14] (крива 3, рис. 3), е принципово шшою, шж поведiнка функцп готовности отримано! з використанням значення штенсивносп вщмов ПЗ на основi традицiйних моделей (кривi 1, 2 на рис. 3). Дшсно, крива 3 на рис. 3 демонструе немонотонну залежшсть з екстремальною точкою, причому в даному випадку ця точка е точкою мжмуму та розташована в област невеликих значень часу, що може суттевим чином вщобразитись на пове-дiнцi даного ПАС в сена надшносп, та повинно бути враховано тд час експлуатацii та регламентного тех-нiчного обслуговування таких систем.
6. Висновки
В робот наведено надшшсну модель ПАС з версш-но-структурним резервуванням. Для побудови тако! моделi використано технологiю моделювання склад-них iнформацiйних систем на основi марковських про-цесiв, в якш ПАС представляеться як дискретно-не-перервна стохастична система. Виходячи з того, що ПАС повинна працювати з мiнiмальним простоем, та не допускаеться втрата шформацп тд час функцiо-нування, використано загальне гаряче резервування замiщенням.
Дослщжено вплив вибору моделi надiйностi ПЗ на результати оцшювання показникiв надшност ПАС з версiйно-структурним резервуванням. Показано, що модель надшноси ПЗ з показником складносп, за рахунок пщвищеного ступеня адекватност порiвняно з найбшьш поширеними S-подiбною моделлю та моделлю Гоеля-Окумото, дае на 3-6 порядюв нижчi значення штенсивносп вщмов ПЗ, при незначнш рiзницi в прогнозi загально! кiлькостi вщмов. Таю вщмшносп в динамiцi процесу вщмов спричиняють суттевi вщхи-лення в оцшщ показникiв надiйностi ПАС.
Показано, що використання традицшних моделей надшносп ПЗ призводить до завищених оцiнок показ-
никiв надiйностi ПАС, i зокрема коефiцieнту готовности що не дае можливостi достовiрно оцiнити ризики функцiонування тако'! системи.
Поведшка функцп готовностi ПАС, розраховано'! на основi вхiдних даних, отриманих з моделi надш-ностi ПЗ з показником складносп, демонструе немо-нотонну залежшсть з екстремальною точкою, причому в даному випадку ця точка е точкою мжмуму та роз-ташована в областi невеликих значень часу, що може суттевим чином вщобразитись на поведшщ даного ПАС в сени надшносп, та повинно бути враховано пщ час експлуатацп та регламентного технiчного обслуго-вування таких систем.
Литература
1. Половко, А. М. Основы теории надежности [Текст] / А. М. Половко, С. В. Гуров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.
2. Черкесов, Г. Н. Надежность аппаратно-программных комплексов [Текст]: учеб. пособие / Г. Н. Черкесов. - СПб.: Питер, 2005. - 479 с.
3. Pham, H. Handbook of Reliability Engineering [Text] / H. Pham. - London: British Library Cataloguing in Publication Data, 2003. - 696 p. doi:10.1007/b97414
4. Волочш, Б. Ю. Методика визначення показнигав надшносп вщмовостшких програмно-апаратних радюелектронних систем [Текст] / Б. Ю. Волочш, Л. Д. Озiрковський, Т. I. Панський, О. В. Муляк // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радютехшка. Радю-апаратобудування. - 2013. - № 55. - С. 71-79.
5. Озiрковський, Л. Д. Модель поведшки програмно-апаратних електронних систем [Текст] / Л. Д. Озiрковський, Т. I. Панський // Вюник Нащонального ушверситету «Львiвська полпехшка». Електрошка. - 2013 - № 764 - С. 36-43.
6. Волочш, Б. Ю. Ощнка надшносп програмно-апаратних систем за допомогою моделi ¡х поведiнки [Текст] / Б. Ю. Волочiй, Л. Д. Озiрковський, Р. С. Чопей, А. В. Мащак, О. П. Шгалюк // Вюник Нащонального ушверситету «Львiвська полiтехнiка». Радюелектрошка та телекомушкацй. - 2014. - № 796. - С. 222-231.
7. Pham, H. Software Reliability Models for Critical Applications [Text]: EGG—2663 Technical Report / H. Pham, M. Pham. - Idaho National Engineering Laboratory, EG&G Idaho Inc., 1991. - 98 p. doi:10.2172/10105800
8. Pham, H. System software reliability [Text] / H. Pham. - London: Springer-Verlag London Limited, 2006. - 440 p. doi:10.1007/ 1-84628-295-0
9. Липаев, В. В. Надежность программных средств [Текст] / В. В. Липаев. - М.: СИНТЕГ, 1998. - 232 с.
10. Sheakh, T. H. A Study of Analytically Improving the Reliability of Software [Text] / T. H. Sheakh, S. M. K. Quadri, V. P. Singh // International Journal of Research and Reviews in Computer Science. - 2012. - Vol. 1, № 2. - P. 1404-1406.
11. Goel, A. L. Time-Dependent Error-Detection Rate Model for Software Reliability and Other Performance Measures [Text] / A. L. Goel, K. Okumoto // IEEE Transactions on Reliability. - 1979. - Vol. R-28, № 3. - P. 206-211. doi:10.1109/tr.1979.5220566
12. Yamada, S. S-Shaped Reliability Growth Modeling for Software Error Detection [Text] / S. Yamada, M. Ohba, S. Osaki // IEEE Transactions on Reliability. - 1983. - Vol. R-32, № 5. - P. 475-484. doi:10.1109/tr.1983.5221735
13. Cai, K.-Y. Does software reliability growth behavior follow a non-homogeneous Poisson process [Text] / K.-Y. Cai, D.-B. Hu, C.-G. Bai, H. Hu, T. Jing // Information and Software Technology. - 2008. - Vol. 50, № 12. - P. 1232-1247. doi:10.1016/ j.infsof.2007.12.001
14. Чабанюк, Я. М. Побудова i дослщження моделi надшност програмного забезпечення з шдексом величини проекту [Текст] / Я. М. Чабанюк, В. С. Яковина, Д. В. Федасюк, М. М. Сешв, У. Т. Хiмка // Iнженерiя програмного забезпечення. - 2010. -№ 1. - С. 24-29.
15. Яковина, В. С. Оцшювання та прогнозування надшносп програмного забезпечення на основi моделi з шдексом складносп проекту [Текст] / В. С. Яковина, Я. М. Чабанюк, М. М. Сешв, У. Т. Хiмка // Вюник Хмельницького нащонального ушверситету. Серiя: Техшчш науки. - 2011. - № 2 (174). - С. 149-157.
16. Волочш, Б. Ю. Технолопя моделювання алгоритмiв поведшки шформацшних систем [Текст] / Б. Ю. Волочш. - Львiв: Видавництво Львiвсько¡ полпехшки, 2004. - 220 с.
17. Volochiy, B. Automated Development of Markovian Chains for Fault-Tolerant Computer-Based Systems with Version-Structure Redundancy [Text] / B. Volochiy, O. Mulyak, V. Kharchenko // Proceedings of the 11th International Conference on ICT in Education, Research and Industrial Applications: Integration, Harmonization and Knowledge Transfer (ICTERI 2015). - Lviv, Ukraine, May 14-16, 2015. - P. 462-475.
