CC BY
48
www.sjbac.info
СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»
ВОЗВРАЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОВОРОТ ВРЕМЕНИ
Королев Владимир Степанович
канд. физ.-мат. наук, доц., Санкт-Петербургский государственный университет,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: vokorol@bk.ru
RESTITUTION OF SPACE AND TIME TURNING
Vladimir Korolev
candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor,
Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются основные свойства фундаментальных понятий: время, пространство, движение, взаимодействие, энергия, кватернионы Гамильтона и возможное их применение в задачах аналитической и небесной механики или теории относительности.
ABSTRACT
The comparison are given of the basic properties of fundamental concepts: time, space, movement, interaction, energy, Hamilton's quaternions and their possible application in problems of analytical and celestial mechanics or relativity theory.
Ключевые слова: преобразование пространства и времени; кватернионы; аналитическая и небесная механика.
Keywords: transformations of space and time; quaternions; analytical and celestial mechanics.
Введение
Эйнштейн, наверное, шутил, когда утверждал: «Воображение важнее, чем знания. Знания ограничены, тогда как воображение охватывает целый мир, стимулируя прогресс, порождая эволюцию» Математические истины выводятся из небольшого числа очевидных предположений или аксиом, определений и утверждений при помощи цепи логических рассуждений.
Физические науки основаны на наблюдениях, открытиях, экспериментах, методе индукции, когда ожидают повторения явлений при воспроизведении условий или обстоятельств, при которых они произошли в прошлый раз. Это может быть вероятно, но не всегда достоверно. Отсюда появление понятия вероятность и создание новых направлений в науке под названием квантовая и релятивистская механика после попыток обобщения классических результатов и теорий. Размышление о свойствах фундаментальных понятий и современных открытиях может стимулировать новые идеи для решения задач, методы исследования, свойства и ограничения, условия и утверждения, гипотезы, которые со временем превращаются в теории.
Многообразие и единство окружающего мира проявляется в разнообразных взаимодействиях таких понятий как материя и энергия, пространство и время, движение и покой, событие и состояние, информация и структура, случайное и закономерное. Математическое моделирование мироздания может менять наше представление о Солнечной системе или Вселенной. Воображение позволяет формировать, а компьютер может изображать на экране даже то, чего нет и не может быть.
Гипотезы о строении окружающего мира создавали еще в давние времена Платона и Птолемея: видимое движение звезд пытались представить вращением вокруг Земли хрустальной сферы, на которой они так красиво размещены. После работ Коперника [7] и Ньютона [15] центром стали считать Солнце. Пространство приобретало структуру и свойства геометрии Евклида, систему координат Декарта, особые возможности представления аффинного или векторного пространства Гамильтона, конструкцию «пространство-время» и специальные методы или алгоритмы для описания динамических процессов в рамках общей теории относительности Эйнштейна.
Пространство и свойства кватернионов.
В основах математики лежит понятие числа, которое позволяет описывать отношения изучаемых объектов к некоторому эталону. Первое обобщение понятия действительного числа получилось введением комплексных чисел с помощью мнимой единицы и правил алгебраических действий для упорядоченной пары разнородных
www.sibac.info
элементов. Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, которые состоят из двух связанных, но не взаимозаменяемых частей, а кватернионы - из четырех.
Они оказались удобным математическим средством, позволяющим решать многие проблемы. Дальнейшие обобщения привели к появлению гиперкомплексной системы чисел и кватернионов [1-3; 8; 9; 13; 17; 22]. Оказалось, что из точек ц = (а, Ь, c, d) четырехмерного пространства R4 можно построить числовую систему. Важная особенность кватернионов состоит в том, что их подмножеством можно считать вещественные числа (г, 0, 0, 0), комплексные числа (г, s, 0, 0) или векторы в трехмерном пространстве (0, х, у, z). Открытие кватернионов показало плодотворность абстрактных обобщений понятия число. Это привело к появлению новых понятий в геометрии, физике и механике, в том числе к использованию четырехмерного векторного пространства Гамильтона Q4.
В 1843 году ирландский математик У.Р. Гамильтон сделал доклад на заседании Академии наук, где в качестве обобщения комплексных чисел дал определение кватерниона в следующем виде [23]
ц = а0 + + а2 . + а3к. (1)
Здесь а, а, а, а - вещественные числа, 1, . к - символы
для особых мнимых единиц, свойства которых определяются следующими равенствами
12 = 11 = -1, .2 = Л = -1, к2 = кк = -1, (2)
и = -. = к, .к = -к.= 1, к1 = -1к= . . = -1. (3)
Сначала Гамильтон придумал слово «вектор», которым мы стали активно пользоваться. Так он назвал кватернионы, у которых первая компонента равна нулю. Сейчас такие кватернионы принято называть чисто мнимыми. Так как чисто мнимые кватернионы образуют пространство размерности три, то Гамильтон решил, что его теория включает в себя всю механику. Скорости, силы и многие другие физические величины описывали тройками чисел.
Над кватернионами можно выполнять арифметические действия сложения и умножения на число, что позволяет объединять их в линейное арифметическое пространство R4 или векторное специальное пространство Q4. Базис этого пространства определяют набором
вещественной и мнимых единиц 1, 1, ^ к, которые называют базисными кватернионами. Таблица умножения [2; 3] позволяет выполнять алгебраические операции. Для суммы двух кватернионов
41 = «о + а{1 + а2] + а3к , = Ь0 + Ъ{1 + Ъ2] + Ь3к, (4)
получают новый элемент пространства путем сложения компонент
41 + 42 = («0 + Ъо) + («1 + Ъ1)1 + («2 + Ъ2)\ + («3 + Ъз)к = 4з (5)
Произведение кватернионов (4) с учетом (2) и (3) можно вычислять по формуле
41 42 = («оЪо) - («А + «2Ъ2 + «зЪз) + («2Ъз - «зЪ2)1 +
(6)
+ («зЪ1 - «А)] + («1Ъ2 - «2Ъ1)к
При этом вещественная часть произведения кватернионов обладает свойством коммутативности (перестановки), хотя мнимые части подобным свойством не обладают. Вещественную единицу базиса в векторной записи не используют.
Определяя умножение кватернионов, Гамильтон ввел две новые операции, каждая из которых в будущем оказалась очень полезной: векторное и скалярное умножения. Геометрическая интерпретация кватернионов привела к созданию векторной алгебры и анализа. Если «0 = Ъ0 = 0, то сумма чисто мнимых кватернионов равносильна сумме векторов линейного пространства, где для элементов определены сложение и умножение на число. Вещественная часть для их произведения равна скалярному произведению со знаком минус, а мнимая эквивалентна векторному произведению.
Следует различать для кватернионов 4 = «0 + «1 + «2] + «к
операцию нормирования (вычисление нормы)
4 || = N(4) = «0«0 + «1«1 + «2«2 + «з«з, (7)
и определение модуля (или длины) кватерниона
14 | = Х(4) = у/«0«0 + «1«1 + «2«2 + «з«з . (8)
www.sibac.info
Иногда используют запись для кватернионов в виде суммы скалярной и векторной части q = t +г или рассматривают бивектор (а г). При умножении чисто мнимых кватернионов используют запись гу = -(г, у) + [г, у]. Здесь скобки определяют скалярное и векторное умножение соответственно.
Необходимо различать множества точек аффинного или физического пространства и векторов, которые составлены из координат этих точек в виде тройки чисел (а, Ь, о), а также радиус-векторов г = а 1 + Ь . + с к . Это элементы разных пространств, которые
предполагаются ассоциированными и могут передавать некоторые свойства. Кватернионы можно считать элементами арифметического пространства ц = (а, Ь, c, d) е R4, для которого может быть определено скалярное произведение (8), чтобы получить евклидово пространство, или в стандартном виде (1) образовывать из них специальное пространство Q4, которое при умножении элементов сочетает свойства скалярного и векторного произведения.
Понятие «пространство» получило много очевидных и дополнительных свойств. Геометрическое пространство математиками считается
• непрерывным, то есть все точки можно разделить другими,
• бесконечным, то есть не имеет видимых границ,
• однородным, то есть все точки тождественны,
• трехмерным, то есть имеет три возможных измерения,
• изотропным, то есть все направления равноправны.
Визуальное пространство проявляется с помощью органов зрения,
обладает только двумя измерениями, которые неоднородны и ограничены, а непрерывность можно считать нашей иллюзией. Наши личные опыты восприятия мира относятся не к пространству, а к реальным телам, положение и движение которых мы можем отслеживать относительно других тел или объектов.
Размерность пространства,- это число параметров, составляющих систему координат и необходимых для локализации точки или объекта в некоторой ограниченной области. Координаты и время определяют главное: где происходили события и когда это случилось. Всякое реальное физическое событие происходит в точке трехмерного пространства с координатами х, у, z и в некоторый момент времени t. Множество точек составляет четырехмерное пространство событий. Пространство Эйнштейна представляет собой трехмерную поверхность в четырехмерном пространстве Эвклида или пространстве Римана с постоянной положительной кривизной. Поскольку ось времени
не ограничена, то мир Эйнштейна можно трактовать как цилиндрический четырехмерный мир в пятимерном пространстве, хотя возможны другие варианты.
В теории относительности [4; 5; 18; 20] используется новое обобщенное понятие «пространство-время», которое можно считать расширенным четырехмерным пространством Я4 векторов ц = (/, х, у, ¿) или соответствующих элементов пространства кватернионов О4. Вещественная часть в этом случае соответствует времени /, а мнимая часть определяет радиус-векторы г точек в физическом трехмерном пространстве. В космологических теориях также объединяют пространство и время в одну абстрактную Вселенную, которая является многообразием, состоящим из «событий», описанных новой системой координат.
В классической механике событиям отвечает одинаковый промежуток времени и остается одинаковым расстояние между точками во всех системах отсчета. При этом предполагается, что имеется мгновенная информация о положении начала и конца вектора перемещения от начального положения до конечного. Законы выполняются в соответствии с принципом относительности Галилея одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, все системы отсчёта механически эквивалентны. Среди выделенной совокупности тел принципиально невозможно определить какие из них находятся «в движении», а какие «покоятся». Говорить о движении можно лишь относительно какой-либо системы отсчета.
В классической механике использование пространства Евклида, не зависящего от одномерного времени, вместо «пространства-времени» уместно, так как время рассматривается как всеобщее и непрерывное, будучи независимым от состояния движения наблюдателя. Ньютон [15] вводил понятие абсолютных пространства и времени. «Абсолютное пространство по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается одинаковым и неподвижным». «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». В астрономии или небесной механике такое время называют «эфемеридным».
На самом деле, мы не видим время, хотя научились отмечать промежутки или длительности с помощью различных явлений, процессов или приборов. Говорят, что время идет или даже летит вперед. Но время только уходит назад, в прошлое, а будущего пока нет. Движется весь мир, все материальное во Вселенной оставляет следы во времени в виде событий, которые состоялись или продолжаются.
www.sibac.info
Впереди пока ничего нет, но может реализоваться при подходящих обстоятельствах. Как поется в известной песне: «Есть только миг между прошлым и будущим. Именно он называется жизнь.» Только в этот момент происходит превращение: «мнимое» время становится «действительным».
Радиус-векторы в четырехмерном пространстве можно записать [1] в виде
г = х ^ + у 1 2 + г 13 + ге1 1 4 . (9)
Здесь базисные элементы равноправны, координаты х, у, 2 являются вещественными параметрами, которые определяют и возвращают действительное физическое пространство, с - скорость света, I - «мнимая единица», а момент времени t можно считать соответствующим мнимой воображаемой величине. Параметр ге1 для выражения (9) имеет правильную размерность, но при вычислении модуля или длины кватерниона
|= = д/а0а0 + а1а1 + а2а2 + а3а3 , (10)
мы получим слагаемые разного знака. Это выделяет в физическом пространстве ограниченную область, которая доступна для реальных преобразований.
Современные попытки построения новых моделей рождения и развития Вселенной лишь иллюстрирует процесс всеобщего внимания к изучению мира, рассматриваемого как единое целое. Единая субстанция проявляется в разных обстоятельствах в различных формах и свойствах материи-энергии. Все объекты Вселенной имеют общие корни по происхождению в соответствии с теорией Большого Взрыва [6; 10; 24]. Если необходимо учитывать не только текущее положение для материальных точек и тел, но и состояние движения, то следует добавить составляющие вектора количества движения и переменный параметр энергии для получения новых уравнений и дальнейшего использования.
Список литературы:
1. Алешков Ю.З. Замечательные работы по прикладной математике. - СПб: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2006. - 311 с.
2. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. - М.: изд. МЦНМО, 2002. - 40 с.
3. Арнольд В.И. Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов. // Успехи математических наук. 1995, т. 50, вып. 1 (301). - С. 3-68.
4. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. - М: Наука, 1972.
5. Буфеев В.А. Кто и как создал теорию относительности. История создания и развития. - М., 2015. - 234 с.
6. Габсер С. Маленькая книга о большой теории струн. В поисках принципов устройства Вселенной. - СПб: Питер, 2015.
7. Коперник Н. О вращении небесных сфер. - М: Наука, 1964.
8. Голубев Ю.Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого тела // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 39. - 23 с.
9. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. - М.: Наука, 1973. - 144 с.
10. Королев В.С. Структура окружающего мира при образовании и развитии Вселенной // Актуальные направления научных исследований: от теории к практике. - Чебоксары: «Интерактив-плюс», 2014. - С. 188-192.
11. Королев В.С. Аксиомы и теории о бесконечности, вечности и непрерывности. // Наука, образование и инновации. Уфа, 2015. - С. 8-14.
12. Королев В.С. Размышления о колебаниях и волнах гравитации и деформации пространства - времени // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. № 41. - С. 176-189.
13. Королев В.С., Новоселов В.С. Пространство, время и кватернионы. // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016, № 2-1 (24). - С. 28-41.
14. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ, 2005. - 298 с.
15. Ньютон И. Математические начала натуральной философии // Собр. трудов академика А.Н. Крылова / Перевод и комментарии А.Н. Крылова. - М. Наука. 1989. - 687 с.
16. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1990. - 736 с.
17. Радыно Н.Я. Гиперкомплексные числа в задачах геометрии и алгебры. -Минск: БГУ, 2010. - 94 с.
18. Фридман А.А. Мир как пространство и время. - М: Наука, 1965.
19. Хокинг С. Краткая история времени. От большого взрыва до черных дыр. -СПб: Амфора, 2007.
20. Эйнштейн А. Собрание сочинений в 4-х томах. - М.: Наука, 1967.
21. Юрьев А.Г. Четырехмерный мир без фактора времени // Успехи современного естествознания. - 2011, № 2. - С. 115-118.
22. Altmann S.L. Rotations, Quaternions, and Double Groups. - Oxford: Clarendon Press, 1986. - 317 p.
23. Hamilton W.R. On quaternions; or a new system of imaginaries in algebra. Phil. Mag., 25, 1844, P. 489-495.
www.sibac.info
24. Korolev V.S. Thinking about the structure of the construction and the possible development of the Universe // Variety of Interaction Forms of Material Objects through a Prism of the Latest Analytical Concepts. - London, IASHE. P. 25-27.
25. Riesz M. Clifford Numbers and Spinors. Lecture Series, № 38, The Institute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics, Maryland, 1958.
СОГЛАСОВАНИЕ БАЛАНСА ПРИ СМЕШЕНИИ БЕНЗИНОВ
Кувыкин Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, начальник Планово-экономического отдела ООО «ЛУКОЙЛ-Нижегороднефтеоргсинтез»,
РФ, г. Кстово, E-mail: vkuvykin@yandex.ru
GASOLINE BLENDING BALANCE RECONCILIATION
Viacheslav Kuvykin
dr. Sc. (Phys.-Math.), Head of economic department OOO "L UKOIL-Nizhegorodnefteorgsintez",
Russia, Kstovo
АННОТАЦИЯ
Построена математическая модель согласования баланса по количеству и качеству смеси и ее компонентов при смешении бензинов. Баланс по качеству, предложенный в работе, открывает новые возможности по управлению смешением по сравнению с традиционным материальным балансом. Согласование данных и диагностика ошибок измерения качества компонентов позволяет повысить эффективность работы систем смешения бензинов. Система уравнений баланса обеспечивает интеграцию автоматизированных систем линейного программирования и согласования данных на основе общих моделей потоков и качества. Совместная работа систем планирования и баланса дает возможность улучшить бизнес-процессы управления производством.
ABSTRACT
Mathematical model of quantity and quality balance reconciliation is designed. Quality balance opens new perspectives for blending control
