CC BY
38
№ И 2006
622.233.6
ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕНАГРУЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В ОДНОРОДНОМ СТЕРЖНЕ ПРИ СОУДАРЕНИИ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ЖЕСТКОЙ ПРЕГРАДОЙ
Асп. А. А. БИТЮРИН, д-р техн. наук. В. К. МЛНЖОСОВ
Расам от рея а вол нов ая. м од ел ь пр од ол ьного уд ар a en i ержч / ев о н си с m ем ы о леве m кую прегр аду. Уст an овл е\ / ы п ар а м етры cm ержн ев о и с 1t cm ем ы, овес ne чивающие вознг tю i овен не нен агружен / / ого со cm оян ия одн ого из ее уч ас m ков.
The wave model of longitudinal impact by framework exposure to rigid obstruction is examined. The parameters of framework ensuring (he origin of no-load condition inside one of its bio Iks are set.
Эффективное применение ударных машин при обработке материалов и изделий в различных отраслях современной промышленности, снижение числа выхода из строя оборудования во время технологического процесса, сокращение численности брака обрабатываемых изделий требует учета многих факторов, выявление которых является широким направлением научно-исследовательской работы. Обрабатываемые материалы и изделия могут иметь различную твердость и крепость. Основными рабочими элементами любого ударного механизма являются ударная масса и рабочий инструмент, представляющие из себя в большинстве случаев системы однородных и неоднородных стержней определенной массы и размеров. Особый интерес представляет нанесение удара рабочим инструментом по абсолютно жесткой преграде, поскольку данная ситуация является аварийной. Следовательно, именно здесь в наибольшей степени встает вопрос правильного подбора рабочих элементов ударной машины с целью повышения ее надежности и предотвращения поломок.
Рассматривается модель продольного удара о жесткую преграду стержневой системы, состоящей из двухступенчатого и однородного стержней, (рис. 1). В сечении взаимодействия однородного стержня с жесткой преградой х=1. и в контактном сечении х — /, +/2 стержневой системы связи неудерживающие. Длина начального участка 1 двухступенчатого стержня равна /,, конечного участка 2 стержня равна /2, масса обоих участков — тх. Длина однородного стержня (участок 3) , масса — m Оба стержня движутся со скоростью V0 в сторону жесткой преграды. Общая длина стержневой системы равна /. Используется волновая модель продольного удара [1-—4]. Все стержни состоят из одного материала.
Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями вида
д 2i/,(x,/) 1 d2u{(xj)
дх1 а2 д!2
д2щ(х, 0 1 д2щ{х, t)
дх2 a2 dl2
д2щ(х, I) 1 д2щ(х,1)
дх~ а дГ
О, 0<*</,, (1)
= 0, /, <х</,+/2, (2)
О, /.+/, <х </, (3)
№ 11
2006
где и}(ху1) ,-м2(х,0, иъ(ху1) — продольные перемещения поперечных сечений соответственно участков /, 2 и 3, х — координата сечения, / — время, а — скорость распространения продольной волны деформации.
Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением: при
/ = /0 = о
д(
дх
д(
0>
сЬс
дг^(х,10) ди3(х,10)
д(
■=К,
дх
= 0.
(4)
Уо
'1 +/2
т1
Рис. I. Схема удара неоднородных стержней при неуде ржи ваю щи х связях
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х ~ I при взаимодействии участка 3 неоднородного стержня с жесткой преградой:"
дх
д(
= 0,
(5)
а также определяют равенство сил и условия сопряжения в ударных сечениях х = /, +/2
конечного участка 2 неоднородного двухступенчатого стержня и однородного стержня (участок 3) при непосредственном их взаимодействии
ЕЛ
Эм2(/, + /2>0
_Эх " Эх
ди2{1л+12,( ) _ди3(/,+/2,0
если —1—-— < 0,
если
дх
ди2(/,+/2,/ )
(6)
<0.
Э/ 5/ - Эх
либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:
(7)
Э/7,(/, +/,,/) А дщ{1 +/,,/) Л // ; /7 7 Л
241 2> - = 0, ———= 05 если 1/,(/, + 12,()>и2(1] + /2,/)
(8)
Эх Эх
где £ — модуль упругости первого рода, /Г2 — площадь поперечного сечения участка 2 неоднородного стержня, А, — площадь поперечного сечения однородного стержня.
В переходном сечении х = /, начального и конечного участков ступенчатого стержня краевые условия также определяют равенство сил и равенство скоростей сопряженных сечений
дх дх
2006
№ 11
дщ (/,,/) = д»2 (/.,/) dt dt '
где — площадь поперечного сечения начального участка / ступенчатого стержня. По методу Даламбера решение уравнений (1), (2) и (3) представляется в виде
w,(x,r) = f^cit-x) + <.p](at+ х), 0 <*</,, (11)
и2(x,t) - f2 (at - х) + (p2 (at + х), /,<х</,+/2, (12)
и3(х,/) = (at -х) + ф3(а! + х), /,+/2<х</, (13)
+ a[f;(at-x)+v\(a< + x)), (14)
ОХ О I
~/;'(а/-х) +Ф;^//+Х). = (15)
ox 9/
^M = -Д(а1-х) + = +ф; («/ + *)], (16)
ах ' ' а/
где /¡(а/-х), /2 (а/ -х), f:Xal-x) — функции, описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по участкам /, 2 и 3 в направлении оси х; ср,(я/ + х), Ф2(а/ + х), ср.(а/ + х) — функции, описывающие обратные волны, распространяющиеся по участкам 2 и 3 в противоположном направлении; /¡'(¿//- х), fl(cit-x), f'Xcii - х), (pj(а/ н- х), ф2 (at + х), фз(¿7/ + х) - производные функций.
Перейдем к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные вол-
- V _ F
ны: / '(я/ - х) = f\at - х) /— ; ф'(я / + х) = ф'(а/ + х) / —. Относительная продольная де-
а а —
формация в сечении и скорость этого сечения соответственно: s(x,/) = - j'(al ~х) +
ф'(at + х), v(x,/) = Х i^ill - /'(¿^ -х) + ф'(а/ + х). Рассмотрим удар о жесткую преграду
К
однородного и ступенчатого стержней с длинами участков: /, =0,2/, /2 =0,4/, /3 =0,4/. Соотношение площадей поперечных сечений каждого предыдущего участка к последу-
А А
ющему: X =—- = — = 0,33. Применим метод характеристик для построения поля состояний (рис. 2). 2 3
Области состояний I0 - IM, II() - II20, III0 - Ш!9 с соответствующими значениями
f\at-x ), ф' (at+x ), ё(х,0, v(x?/) определяют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную деформацию и скорость поперечных сечений. Длительность состояния для произвольного сечения определяется разностью ординат /, которые имеют точки наклонных линий для этого сечения.
№11
2006
0.2!
О,,4 /Аа
0.4!
П,
с-» ^ 0
0,61
0,81
III
111.
iTi =
- 1
0,iS//(i
с I = 0;
2; ... п,
.-"'"l, ; ' ё2 - г 1.50 П:
1.21/a i J, ' - 5! «2 =-0.75
III .
83 = -0.5
4 -- 2.25 I
III
• 1, " -i "
©
111
1 7 . •
'•,. = 0
еЧ = 0
/.6/ (7 , ' i?
II,
lib
- 0
f ur .
ь j •• HI,
II
/«[< £,=0 =() 1^ =0 •
2Mb \ ¡/J.--"'""II „ ;(i--" 1,1
njif> ...C3 =0
Ml,
= 0
III,
= 0
• 12
2.4l/a ! h _ Mt i1 iT, - 0
17. ■
III „
I=y- ijii;,- =0.28 . Yi'-j Hi =0
•7 H
/'A ■; e, = 2,400.80;.:<i-2 =0 ; ¿3 = 0
гж
20
III,
<1 .-
i:l=i) ■ I,,:!!^--^: -0.5 2 II II, - -0 23< «I. = -Ш'*,2 = -0.54, >:••; = 0 ^ = 0 < ^
1 ...... . 11 -r j iiu ~
III,.
- 0
III ,
= 0
3,2¡/a !
77- C) - 0.03 " .I n
=0
Л 6/ 'a ' 2H
t
rr-T = -1,06
25.
¡T^ 1,07
r3 - 0
29
.'26 in,.1
= 0 ; Jo
Рис. 2. Поле состояний при ударе однородного и ступенчатого стержней о жесткую преграду
при неудерживающих связях
В момент времени / = 0,4//а к сечению х=/, + /2 справа подходит обратная волна 4-х)=-0,5 (линия 1-1, рис. 2), слева падает начальная прямая вольт /0'(с//-х) = 0,5.
Эти волны формируют в сечении новые прямую волну /З'(я/ -0,6/) = 0 (линия У—рис. 2)
и обратную волну ф'(с// + 0,6/) = — 1 (линия 1—2, рис. 2).
В области первого состояния третьего участка III его поперечные сечения охвачены
2006
№ И
начальной прямой волной f¿{at-x) = 0,5 и отраженной от сечения х = / обратной волной
фз(^ + х) = -0,5 (линия / - рис. 2). Относительная продольная деформация в данной
области £з(х,0 = -1, относительная скорость v3(x,/) = 0 .
В области второго состояния третьего участка его поперечные сечения охвачены
новой прямой волной f[(aí - х) = 0 (линия 1—3, рис. 2) и обратной волной ф3 (ai + х) = - 0,5
(линия / - 7, рис. 2), Относительная продольная деформация в этой области "е3(х,/) = -0,5, относительная скорость v3 (х, /) = - 0,5.
В момент времени / = 0,8//а прямая волна f.'(aí-x)-0 достигнет сечения х-1 и
отразится в виде обратной волны q>\(at + /) = 0 (линия 3 - 7, рис. 2). При ¿ = 1,2//а данная
обратная волна подойдет к сечению х = /, +/2, связь в котором неудерживающая. В этот
же момент времени к сечению х = /, +/2 слева подойдет прямая волна /2(с//-х) = - 0,25 (линия 2-7, рис. 2), имеющая отрицательный знак. Вследствие неудерживающей связи, скорость сечения х=/, + /2 на участке 3 в момент времени / = 1,2На будет равна нулю, а
на участке 2 в этот же момент времени будет равна: v2(0,6/,/) = -0,5.
? v2(/1+/2,/J
а)
8(0
/ -1,4//<Í
í). 2/
а-//
V т
■ 2,38
ОМ
И. Л'/
- 0,5
v3=0
Рис. 3
Следовательно, на основании граничного условия (8) сечения х=/,+/2 второго и третьего участков окажутся свободными, и произойдет отрыв ступенчатого и однородного стержней (рис. 3, а). На рис. 2 отрыв показан жирным кружком. Однородный стержень (участок 3) будет охвачен нулевыми прямой и обратной волнами, которые распространяясь по его длине и отражаясь от сечений х = /, +/2 и х = /, не изменят своих величин. По этой причине скорости v и деформации 8 во всех сечениях однородного стержня будут также равны нулю, и стержень будет находиться в неиагруженном состоянии.
При отрыве ступенчатого стержня от однородного, вследствие распространения и преобразования прямых и обратных волн на участках У и 2, скорость сечения х=/, +/2 на втором участке будет отрицательной. Таким образом, повторные соударения стержней в сечении х = /, +/2 и возникновение новых состояний на однородном участке 3 не произойдут. Относительное расстояние 8(/) (рис. 3, а) между однородным и ступенчатым стержнями с течением времени будет увеличиваться. Соответствующие величины функций /'', ф;, г, V для каждой области состояний представлены в таблице. На рис.
№11 ' 2006
3, б представлена диаграмма-относительной скорости v поперечных сечений стержней в момент времени ¿ = 1,4//а.
Таблица
Величины функций прямых и обратных волн, деформаций и скоростей
Области состояния г ф' 8 V Области состояния ф' - г V
первый участок
\: 0,50 0,50 0,00 1,00 г, 0,50 -1/75 -2,25 -1,25
1, -1,75 _ -1,75 0,00 -3,50 h -1,75. -0,63 1,12 -2,38
-0,63 -0,63 0,00 -1,26 i *v -0,63 -0,63 0,00 -1,26
к -0,06 -0,06 0,00 -0,12 i, -0,06 -2,04 -1,98 -2,10
к -2,04 -2,04 0,00 -4,08 к -2,04 - 0,56 2,40 -1,68
1,„ 0,36 0,36 0,00 0,72 i,, 0,36 -1,26 -1,62 -0,90
i,, -1,26" -1,26 0,00 -2,52 -1,26 -1,23 0,03 -2,51
I,, -1,23 -1,23 0,00 -2,46 -
второй участок
»„ 0,50 0,50 0,00 1,00 ii, 0,50 -1,00 -1,50 -0,50
-0,25 -1,00 -0,75 -1,25 11, -0,25 -0,25 0,00 -0,50
-1,38 -1,00 0,38 -2,38 ii. -1,38 -0,25 1,13 -1,63-
ii, -0,44 -0,25 0,19 -0,69 ii, —1-38 -1,38 0,00 -2,76
ii, -0,44 -1,38 -0,94 -1,82 "„ -0,72 -1,38 -0,66 -2,10
ii, „ -0,44 -0,44 0,00 -0,88 ii, -0,72 -0,44 0,28 -1,16
ii,, -1,24 -0,44 0,80 -1,68 п„ -0,72 -0,72 - 0,00 -1,44
ii,, -1,24 -0,72 0,52 -1,96 и„ -0,18 -0,72 -0,54 -0,90
И, -1,24 -1,24 ~ 0,00 -2,48 п„ -0,18 -1,24 -1,06 -1,42
ii,« -1,25 -1,24 0,01 -2,49 -0,18 -0,18 0,00 -0,36
П,„ -1,25 -0,18 1,07 -1,43
трети и участок
1П„ 0,50 0,50 0,00 1,00 ш 0,50 -0,50 -1,00 0,00
III, 0,00 -0,50 -0,50 -0,50 ш, 0,00 0,00 0,00 0,00
^^ 0,00 0,00 0,00 0,00 in 0,00 0,00 0,00 0,00
И", 0,00 0,00 0,00 0,00 Hi, 0,00 0,00 0,00 0,00
1". 0,00 0,00 0,00 0,00 iii« 0,00 0,00 0,00 0,00
Hitn 0,00 0,00 0,00 0,00 iii,, 0,00 0,00 0,00 0,00
iii. 0,00 0,00 0,00 0,00 iii, 0,00 0,00 0,00 0,00
III,, 0,00 0,00 0,00 0,00 iii < 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 III.7 0,00 0,00 0,00 0,00
"«■к 0,00 0,00 0,00 0,00 IH1£) 0,00 0,00 0,00 0,00
Следует отметить, что ненагруженное состояние однородного стержня имеет место только при данных значениях /,, /2 и X. При других параметрах /,, /2 и X скорости и деформации в сечениях однородного стержня будут отличны от нуля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьяна.
— М.:-Наука, 1985. — 354 с.
2. Модель продольного ударггоднородного и неоднородного стержней о жесткую преграду при неудерживающих связях / А. А. Битюрин, В. К. Манжосов // Вестник УлГГУ. — 2006. — № 1. — С. 20—23.
3. М а л к о в О. Б. Динамика стержневых систем с внутренними граничными поверхностями. — Омск, 2000.
— 112с.
4. М а н ж о с о в В. К. Модели продольного удара. — Ульяновск, 2006. — 159 с.
