Модель продольного удара однородного и неоднородного стержней о жёсткую преграду при неудерживающих связях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А. А. БИТЮРИН, В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА ОДНОРОДНОГО И НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЕЙ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ

Рассмотрена задача продольного удара однородного и неоднородного стержней при неудерживающих связях в сечении их взаимодействия и в сечении, взаимодействующим с абсолютно жесткой преградой. Построено поле волновых состояний, области волновых состояний.

Ключевые слова: продольный удар, неудерживающие связи, ступенчатый стержень.

Рассмотрена модель продольного удара однородного стержня массой т, и длиной /, и неоднородного двухступенчатого стержня о жёсткую преграду. Длина начального участка двухступенчатого стержня равна /2, конечного участка

/3, масса обоих участков т2. Оба стержня движутся со скоростью У0 в сторону жёсткой пре-

ремещение поперечного сечения соответственно однородного стержня 1, начального 2 и конечного 3 участков неоднородного стержня; д: - координата сечения; г - время; а - скорость распространения продольной волны деформации.

Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением: при / = г0 =0

I

0

1

т

о

т

А +/•>

Рис. 1. Схема удара неоднородных стержней при неудерживающих связях

грады и соприкасаются в переходном сечении х=1х. Общая длина обоих стержней равна /. Все

стержни состоят из одного материала. Используется волновая модель продольного удара [1]. Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями вида

д2иу(х^) 1 д2их (х,0

дх

а2 дг1

= 0, 0<х</,, (1)

д2и2(х,і) ] д2и2(х, /)

а*

а

а/

-0, /] <х</| +/2, (2)

д2и3(х, 0 1 д2и3(х,і)

дх

а2 д(2

— 0, +/2 <*</, (3)

где М, (х, /) , и2 (х, 0 , и3 (X, /) - продольное ПЄ-

А. А. Битюрин, В. К. Манжосов, 2006

ди\ (X, /о ) г/ ^1 (*’ 'о ) _ П ди2 (х. * 0 ) _ „

0 5 = 0 ’ = ’

ди2(х,( о)

= 0 ,

5м3(х,/0)

= V,

5м3(дс,/0)

= 0 (4)

дх ' <3/ дх

Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х ~ 0 и равенство нулю скорости сечения х = I при взаимодействии участка 3 неоднородного стержня с жёсткой преградой:

ди1ф,1)=0 ) 0

(5)

дх ' 9/

а также определяют равенство сил и условия сопряжения в ударных сечениях х = Ц однородного

стержня 1 и начального участка 2 ступенчатого стержня при непосредственном их взаимодействии

ЕА

і

Вщ (/, ,0 . ЕАі

Л

ох

дх

ох

5мІ(/]>' ) а«2 (/,,/) &<,(/,,/ )

" 1 —, если ----------------<0, (7)

/\а1 -х)~ ('(а1 - х)/— ; (р\а1 + х) = <р\а( + х)/

а а

Относительная продольная деформация в сечении и скорость этого сечения соответственно:

V,

о

а/

д(

дх

либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:

^М = о

дх ’ дх

Щ (/і,0-«2 01.0^0.

если

(8)

где Е - модуль упругости первого рода, А1 -

площадь поперечного сечения однородного стержня 1, А2 - площадь поперечного сечения начального участка 2 ступенчатого стержня.

В переходном сечении х = /,+/2 начального и конечного участков ступенчатого стержня краевые условия также определяют и условия сопряжение участков

ЕЛ

(А 5^30\

дх

дх

, (9)

Зи2(/,+/2,0 Эм3(/,+/2,/)

а/

(10)

где Л3 - площадь поперечного сечения конечного участка 3 ступенчатого стержня.

По методу Даламбера решение уравнений (1), (2) и (3) представим в виде

мДх,/) =/, (а/- х) + ^>, (я/+ дг), 0<х<1\ , м2(х,/) = /2(я/-х) + р2(а/ + х), /, <х<1{ +/2,

(П)

иъ (х, /) = /3 (д/ - х) + (ръ (а( + х), /] + /2 < х < /,

где /,(Ш-х\ /2 («/-*), /3(а/ - х) - функции,

описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по участкам 1, 2 и 3 в направлении оси х; ^(я/ч-х), (р2(м + х),

(ръ(ш + х) - функции, описывающие обратные

волны, распространяющиеся по участкам 1, 2 и 3 в противоположном направлении;

/,'(а/-х), /2(я/-х) , /3(я/-*), р((а/ + х),

<р2(я/ + х), ^>з(аг + х) - производные функций.

Введём относительные величины, характеризующие прямые и обратные волны:

£(х,0 = - /\at-x) + (рХш + х),

К*. О

у(х,1) =

= /'(Ш - *) + (р\Ш + X) .

о

Осуществлено моделирование продольного удара однородного и ступенчатого стержней с длинами участков: /,=0,2/,

/2 =0,2/, /3 =0,6/. Соотношение площадей поперечных сечений каждого предыдущего

~ А,

участка к последующему: А -

= 0,5.

А“) А з

На основе метода характеристик построено поле волновых состояний (рис. 2).

Области состояний 10 - Ьу, Н0 - Н16. Н10 -III] 5 с соответствующими значениями

7\at-Xj), ф’(ш + х(), е(х,0, у(х,0 опреде-

ляют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную деформацию и скорость поперечных сечений. Длительность состояния для произвольного сечения определяется разностью ординат /, которые имеют точки наклонных линий для этого сечения.

Из рис. 2 видно, что отрыв однородного стержня 1 от начального участка 2 ступенчатого стержня произойдёт в момент времени

/ = 1,2 — , отрыв ступенчатого стержня от жё-а

сткой преграды произойдёт в момент времени / = 1,6—. На рис. 2 моменты и положения

а

отрывов показаны жирными кружками. Соответствующие параметры ф', е, и для

каждой области состояний представлены в таблице 1.

При моделировании удара для различных параметров А, /]5 /2, /3 выявлена связь между количеством повторных соударений стержней в сечениях с неудерживающими связями и характером первоначального удара с жёсткой преградой, соотношением длин и площадей сечений однородных участков стержней.

О 0,21 0,41 0,61 0,81 1

Рис. 2. Поле состояний при ударе однородного и ступенчатого стержней

о жёсткую преграду при неудерживающих связях

Таблица 1

Значения функций /', <р'прямых и обратных волн, величин деформации е и скорости у

Области состояния /' <Р' є V Области состояния 7' <Р є V

ПЕРВЫЙ УЧАСТОК

1о 0,50 0,50 0,00 1,00 її 0,50 -1,28 -1,78 -0,78

І2 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 ь -1,28 -1,28 0,00 -2,56

І4 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 I. -1,28 -1,28 0,00 -2,56

І6 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 І7 -1,28 -1,28 0,00 -2,56

І8 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 и -1,28 -1,28 0,00 -2,56

1.0 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 I). -1,28 -1,28 0,00 -2,56

1]2 і -1,28 -1,28 0,00 -2,56 113

ВТОРОЙ УЧАСТОК

По 0,50 0,50 0,00 1,00 И. 0,50 -0,83 -1,33 -0.33 •

ІІ2 0.06 / -0,83 -0,89 -0,77 Из 0,06 -0,69 -0,75 -0,63

ІІ4 -0.69 -0,69 0,00 -1,38 И5 -0,69 -0,44 0,25 -1,13

Нб « О V 4^ -0,44 0,00 -0,88 И? -0,44 -0,08 0,36 -0,52

ІІ8 -0,08 -0,08 0,00 -0,16 И9 -0,08 -0,15 -0,07 -0,23

Ию -0,15 -0,15 0,00 -0,30 Ні, -0,15 -0,78 -0,63 -0,93

И12 -0,78 -0,78 0,00 -1,56 Н,з -0,78 < О ю о 0,58 -0,98

ТРЕТИЙ УЧАСТОК

Шо 0,50 0,50 0,00 1,00 III, 0,50 -0,50 -1,00 0,00

ш2 0,17 -0,50 -0,67 -0,33 Шз -0,13 -0,50 -0,37 -0,63

ІІІ4 0,17 -0,17 -0,34 0,00 Шз -0,63 -0,50 0,13 -1,13

ІІІ6 -0,13 -0,17 -0,04 -0,30 Ш7 -0,63 -0,17 0,46 -0,80

ІЇІ8 -0,13 -0,13 0,00 -0,26 П19 -0,35 -0,17 0,18 -0,52

III,0 -0,63 -0,13 0,50 -0,76 ш„ -0,35 -0,13 0,22 -0,48

Ш12 -0.63 -0,63 0,00 -1,26 111,3 -0,10 -0,13 -0,03 -0,23

Ш14 -0,35 -0,63 -0,28 -0,98 ПІ ,5 -0,10 -0,63 -0,53 -0,73

III,6 -0,35 -0,35 0,00 -0,70 П117 -0,31 -0,63 -0,32 -0,94

ІІІ18 -0,10 -0,35 -0,25 -0,45 Ш,9 -0,31 -0,35 -0,04 -0,66

ІІІ20 -0,10 -0,10 0,00 -0,20 НІ2, -0,64 -0,35 0.29 -0,99

ІІІ22 -0,31 -0,10 0,21 -0,41

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Манжосов. В. К. Модель продольного удара неоднородного стержня о жёсткую преграду / В. К. Манжосов, А. А. Битюрин // Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. - Ульяновск, 2004. - С. 79-88.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная

механика» Ульяновского государственного

новского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах. Битюрин Анатолий Александрович, аспирант

Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации по моделированию продольного удара неоднородного стержня.