CC BY
17
УДК 622.233.6
А. А. БИТЮРИН, В. К. МАНЖОСОВ
ИЗМЕНЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ НА УЧАСТКАХ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПОСЛЕ ПОВТОРНОГО УДАРА В КОНТАКТНОМ СЕЧЕНИИ
Осуществлено математическое моделирование продольного удара ступенчатого и однородного стержней о жёсткую преграду при неудерживающих связях в контактном сечении. Выявлено существенное изменение относительной продольной деформации на участках стероюневой системы после повторного удара в контактном сечении.
Ключевые слова: стержневая система, повторный удар, деформация.
При ударе о жёсткую преграду ступенчатого и однородного стержней, взаимодействующих в контактном сечении и представляющих из себя единую стержневую систему, в некоторых случаях после повторных ударов наблюдается существенное изменение продольной деформации на участках этой системы. Учёт изменения деформации имеет важное значение при моделировании ударных процессов.
Ступенчатый стержень имеет массу т\. Длины первого и второго однородных его участков равны, соответственно 1\ и . Однородный стержень (участок 3) имеет массу т2 и длину /3 . Общая длина всей стержневой системы равна I. Схема удара представлена на рис. 1. Все стержни состоят из одного материала. Используется волновая модель продольного удара [1-2].
2 ----^ 3 С
"" .V
2
/ т2
НМ
0 /1 /] + /2 /
Рис. 1. Схема удара ступенчатого и однородного стержней о жёсткую преграду Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями
_±8\(х,') = р_ 0йх5;]> (1)
дх2 а2 д{2
а2^_0_ 1 э2«2(у]в0) ц<х<1х+12, (2)
ах2 а дГ
а.2ц3_(£>0 _д~и1 (Х:А = 0> /]+/2<^</, (3)
дх2 а2 дГ
где и\(х,т), Ы2(х,(), «з(х,0 - продольные перемещения поперечных сечений соответственно участков 1, 2 и 3; х - координата сечения; г - время; а - скорость распространения продольной волны
деформации.
Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением: при t = tQ = 0
ди1(*.*о)_|/ Зи1(*,*о)_л ди2(х,1о)_1/_ ди2(*»*о)__а
“ — *0> ~и5 -V. К0’
д1 дх 5/ дх
А. А. Битюрин, В. К. Манжосов, 2007
дифао) а«з^о)=0
дt ’ дх
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х = / при взаимодействии однородного стержня (участок 3) с жёсткой преградой:
ММ . о, . о, если < 0, (5)
дх д1 дх '
а также определяют равенство сил и скоростей в контактных сечениях х = /1 +12 участка 2 ступенчатого стержня и однородного стержня при непосредственном их взаимодействии
ЕАг , ЕАъ *'3»11/2,0; если а,2(/1 +/2.0 <0;
йх дх йх
ац2(/1+/2>0_ац3(/1-н/2,о еслп ди2(1]+12,0
а/ а/ а* ’ '
либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:
ои2(1] +12,П =0> = 0, если и2(/1+/2,0-«з(/1+/2,0 <0, (8)
от дх
где Е - модуль упругости первого рода, А2 - площадь поперечного сечения участка 2 ступенчатого стержня; Ат, - площадь поперечного сечения однородного стержня (участок 3).
ф
В переходном сечении х = /] участков 1 и 2 ступенчатого стержня краевые условия таюке определяют равенство сил и скоростей
Ел . ЕА2 Ч, (9)
дх дх
ац](/ь/) _ ди2{1\,1)
а/ а/ 1 '
где А\ - площадь поперечного сечения начального участка 1 ступенчатого стержня.
По методу Даламбера решение уравнений (1), (2) и (3) представим в виде
М](л:,г) = /|(а/-х)+<р1(а/ + ;с), 0<х</] , (11)
U2(x,t) = f2(at-x) + ц>2(at + x\ 1\<х<1\+12, (12)
мз(х,/) = /з(й?-х)+фз(а? + х), 1\+12<х<1, (13)
ди\(х,0 = = а^'^-х)+ф{(а/+х)], (14)
Эл: 3/
ди2(х,0 _ д 142(^0 = о[/2(я/-х)+ф2(а/+х)], (15)
<Эх * а/
- ~/з (в/-х) ч-фз (а/ + х), = а[/з (а/~х) +Фз (^ + *)3, (16)
ах а?
где /\{аг~х), /2{ш-х), /3(а/-х) - функции, описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по участкам 1, 2 и 3 в направлении оси х; ф^яг + х), ф2(а/ + х), фз(я/ + х) - функции,
описывающие обратные волны, распространяющиеся по участкам 1, 2 и 3 в противоположном направлении; Д(а1 - х), /2(дг-х), /3' (а/ - х), ф|(а/ + х), ф2(я/ + х), фз(а/ + х) производные функций. Перейдём к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны
~ у у
/"(м-х) = /'(а1-х)/—;у\ш + х)=у'(ш + х)/—; деформацию в сечении и его скорость
а а
*Г(х,/) = - /\at-x) + ф' (а1 +х), \Г(х,0 =—^—^ = /\at-x) +ф'(д/ + х) .
У0
Рассмотрим удар о жёсткую преграду ступенчатого и однородного стержней при /1=0,6/,
Ал
/2 =/3 =0,2/, X =-!- = —= 0,33 . С применением метода характеристик строим поле состояний (рис. 2).
А2 А3
Области состояний 10 - 1бь По - П37, Ш0 - Ш38 с соответствующими значениями /'(д/-х ), Ф' (м + х ), е(х,г), <^(х,0 определяют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную
деформацию и скорость поперечных сечений. Значения функций /', ф' , е,\Г для областей волновых состояний поперечных сечений стержней приведены в таблице 1.
I
0,41/а
0,81/а
1,21/а
1,61/а
2,01/а
2,41/а
2,81/а
3,21/а
3,61/а
Рис. 2. Поле состояний при ударе о жёсткую преграду ступенчатого и однородного стержней в случае
неудерживающих связей
Значения функций /', ср' прямых и обратных волн, величин деформаций г и скорости \Г для областей волновых состояний поперечных сечений стержней при /] =0,6/, /2 =0,2/, /3 =0,2/, А. = 0,33
Области состояния /' ~/ Ф є V Области состояния Г '*'-7 Ф є V
ПЕРВЫЙ УЧАСТОК
и 0,50 0,50 0,00 1,00 I, 0,50 -1,75 -2,25 -1,25
І2 -1,75 -1,75 0,00 -3,50 1з 0,50 -0,63 -1,13 -0,13
и -1,75 -0,63 1,12 -2,38 и 0,50 -0,06 -0,56 0,44
и -0,63 -0,63 0,00 -1,26 І7 -1,75 -0,06 1,69 -1,81
и -0,63 -0,06 0,57 -0,69 І9 -1,75 1,34 3,09 -0,41
І10 -0,06 -0,06 0,00 -0,12 I„ -0,63 1,34 1,97 0,71
І12 -1,75 0,64 2,39 -1,11 1,3 -0,06 1,34 1,40 1,28
и 4 -0,63 0,64 1,27 0,01 1,5 1,34 1,34 0,00 2,68
Ьб -0,06 0,64 0,70 0,58 1,7 -0,63 -0,77 -0,14 -1,40
І18 1,34 0,64 -0,70 1,98 1,9 -0,06 -0,77 -0,71 -0,83
І20 -0,63 -1,13 0,50 -1,76 І2, 0,64 0,64 0,00 1,28
І22 * 1,34 -0,77 -2,01 0,57 І23 -0,06 -1,13 -1,07 -1,19
І24 0,64 -0,77 -1,41 -0,13 І25 1,34 -1,13 -2,47 0,21
І26 -0,06 -0,99 -0,93 -1,05 І27 -0,77 -0,77 0,00 -1,54
І28 0,64 -1,13 -1,77 -0,49 І29 1,34 -0,99 -2,33 0,35
І30 -0,06 -1,17 -1,11 -1,23 Із, -0,77 -1,13 -0,36 -1,90
І32 0,64 -0,99 -1,63 -0,35 ІЗЗ 1,34 -1,17 -2,51 0,17
4 -1,13 -1,13 0,00 -2,26 І35 -0,77 -0,99 -0,22 -1,76
Ьб 0,64 -1,17 -1,81 -0,53 І37 1,34 -1,23 -2,57 0,11
І38 -1,13 -0,99 0,14 -2,12 І39 -0,77 -1,17 -0,40 -1,94
Ьо 0,64 -1,23 -1,87 -0,59 І41 -0,99 -0,99 0,00 -1,98
І42 -1,13 -1,17 -0,04 -2,30 І43 -0,77 -1,23 -0,46 -2,00
І44 0,64 -0,97 -1,61 -0,33 І45 -0,99 -1,17 -0,18 -2,16
I46 -1,13 -1,23 -0,10 -2,36 І47 -0,77 -0,97 -0,20 -1,74
І48 -1,17 -1,17 0,00 -2,34 І49 -0,99 -1,23 -0,24 -2,22
Ьо -1,13 -0,97 0,16 -2,10 І5, -0,77 1,12 1,89 0,35
1*2 -1,17 -1,23 -0,06 -2,40 І53 -0,99 -0,97 0,02 -1,96
І54 -1,13 1,12 2,25 -0,01 І55 -1,23 -1,23 0,00 -2,46
І56 -Ы7 -0,97 0,20 -2,14 І57 -0,99 1,12 2,11 0,13
І58 -1,13 0,73 1,86 -0,40 І59 -1,23 -0,97 0,26 -2,20
І60 -1,17 1,12 2,29 -0,05 І61 -0,99 0,73 1,72 -0,26
ВТОРОЙ участок
По 0,50 0,50 0,00 1,00 II, 0,50 -1,00 -1,50 -0,50
ІІ2 -0,25 -1,00 -0,75 -1,25 Из -0,25 -0,25 0,00 -0,50
ІІ4 0,13 -0,25 -0,38 -0,12 ІІ5 0,13 0,13 0,00 0,26
п6 0,31 0,13 -0,18 0,44 ІІ7 0,31 0,31 0,00 0,62
ІІ8 -0,72 0,31 1,03 -0,41 II9 0,31 -0,16 -0,47 0,15
И,2 -0,72 -0,72 0,00 -1,44 П,з -0,96 -0,72 0,24 -1,68
II,4 -0,68 -0,72 -0,04 -1,40 П,5 -0,96 -0,96 -1,92 0,00
11,6 -0,68 -0,96 -0,28 -1,64 II 17 -0,80 -0,96 -0,16 -1,76
11,8 -0,68 -0,68 0,00 -1,36 II 19 -0,80 -0,68 0,12 -1,44
II20 -0,37 -0,68 -0,31 -1,05 II21 -0,80 -0,80 0,00 -1,60
II22 -0,37 -0,80 -0,43 -1,17 ІІ23 -0,43 -0,80 -0,37 -1,23
ІІ24 -0,37 -0,37 0,00 -0,74 ІІ25 -0,43 -0,37 0,06 -0,80
ІІ26 0,49 -0,37 -0,86 0,12 1І27 -0,43 -0,43 0,00 -0,86
II28 0,49 -0,43 -0,92 0,06 1І29 0,11 -0,43 -0,54 -0,32
Изо 0,49 0,49 0,00 0,98 Из, 0,11 0,49 0,38 0,60
II32 -0,14 0,49 0,63 0,35 Пзз 0,11 0,11 0,00 0,22
II34 -0,14 0,11 0,25 -0,03 И35 -0,51 0,11 0,62 -0,40
ІІ36 -0,14 -0,14 0,00 -0,28 ІІ37 -0,51 -0,14 0,37 -0,65
ТРЕТИИ УЧАСТОК
Шо 0,50 0,50 0,00 1,00 III, 0,50 -0,50 -1,00 0,00
Области состояния f ~/ Ф є 'S/ V Области состояния r Ф г V
ТРЕТИИ УЧАСТОК
ІІІ2 0,00 -0,50 -0,50 -0,50 ІІІЗ 0,00 0,00 0,00 0,00
ІІІ4 0,00 0,00 0,00 0,00 Ills 0,00 0,00 0,00 0,00
ш6 0,00 0,00 0,00 0,00 III7 0,00 0,00 0,00 0,00
1Щ 0,00 0,00 0,00 0,00 Під 0,00 0,00 0,00 0,00
IIIjo 0,00 0,00 0,00 0,00 Ши 0,16 0,00 -0,16 0,16
III,2 0,00 0,00 0,00 0,00 І1І13 0,00 0,00 0,00 0,00
m14 0,00 -0,16 -0,16 -0,16 III,S -0,16 -0,16 0,00 -0,32
шІ6 0,00 0,00 0,00 0,00. 111,7 -0,16 0,00 0,16 -0,16
iiiis 0,00 0,00 0,00 0,00 III,9 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
m20 0,00 -0,16 -0,16 -0,16 ІІІ2, -0,16 -0,16 0,00 -0,32
ПІ22 0,00 0,00 0,00 0,00 ІІІ23 -0,16 0,00 0,16 -0,16
m24 0,00 0,00 0,00 0,00 ІІІ25 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
m26 0,00 -0,16 -0,16 -0,16 ІІІ27 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
ІІІ28 0,00 0,00 0,00 0,00 HI29 -0,16 0,00 0,16 -0,16
III30 0,00 0,00 0,00 0,00 ІІІЗ, -0,16 -0,16 0,00 -0,32
III32 0,00 -0,16 -0,16 -0,16 III33 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
Ш34 0,00 0,00 0,00 0,00 III35 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
ІІІЗ6 0,00 0,00 0,00 0,00 III37 -0,16 -0,16 0,00 -0,32
ІІІ38 0,00 -0,16 -0,16 -0,16
При г = 0,4/ / а на переходное сечение ступенчатого стержня слева падает начальная прямая волна /о =0,5, справа падает обратная волна Ф2 =-1 (линия 1 - 2, рис. 2). Это приведёт к формированию в данном сечении новой прямой волны справа /2 =-0,25 (линия 2-4, рис. 2) и новой обратной волны слева ф{ =-1,75 (линия 2-7, рис. 2).
В области первого состояния первого участка II поперечные сечения этого участка будут охвачены прямой волной /()=0,5 и обратной волной ср| =-1,75. Относительная продольная деформация поперечных сечений на первом участке в данной области 81=-2,25, относительная скорость ^=-1,25. В области второго состояния второго участка Н2 поперечные сечения будут охвачены
прямой волной /2 =-0,25 и обратной волной ф2=-1. Относительная продольная деформация в данной области е2 =-0,75, относительная скорость у 2 =-1,25 . Анализируя данные таблицы 1, можно отметить что деформация на первом участке 8] =-2,25 в области I] будет наибольшей отрицательной деформацией в течение всего ударного процесса. Знак минус означает, что это деформация сжатия.
При / = 0,61/а произойдёт отрыв ступенчатого и однородного стержней в контактном сечении х-1] +12, а при г = 1,6//а произойдёт повторный удар стержней в этом же сечении из-за изменения относительных скоростей контактных сечений взаимодействующих участков. После повторного со-ударения, вправо от контактного сечения, будет распространяться прямая волна /3 =0,16 (линия 16 -17, рис. 2), влево будет распространяться обратная волна ф2=-0Д6 (линия 16 - 19, рис. 2). При / = 1,8IIа обратная волна ф2 =-0,16 подойдёт к переходному сечению х=1\, на которое в этот же мо-
мент времени слева будет падать прямая волна /{ = -1,75 (линия 7 - 14, рис. 2). В этом случае в се-
’"••А ^
чении х-1\ сформируются новые прямая волна справа /2 =-0,96 (линия 19-22, рис. 2) и обратная
волна слева ф{ =0,64 (линия 19- 2,41/а, рис. 2).
В области двенадцатого состояния первого участка 112 поперечные сечения этого участка охвачены прямой волной // = -1,75 и обратной волной ф{ =0,64. Относительная продольная деформация поперечных сечений в данной области *Г] =2,39 , относительная скорость =-1,11. Таким образом,
на первом участке после повторного удара в контактном сечении, в результате изменения параметров падающих волн произошло изменение величины относительной продольной деформации от
б] =-2,25 в области ^ до = 2,39 в области 112. Положительный знак деформации в области состояния
1]2 означает деформацию растяжения. Как видно из приведённых числовых данных, изменение относительной деформации в результате повторного удара составило около 5. Данный факт указывает на важность учёта повторных соударений в сечениях с неудерживающими связями при моделировании продольного удара стержневых систем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов,
B. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М. : Наука, 1985. - 354 с.
2. Битюрин, А. А. Влияние параметров однородных стержней при ударе о жёсткую преграду на максимальную деформацию в опасном сечении / А. А. Битюрин // Труды третьей всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 1. - Самара : СамГТУ, 2006. -
C. 36-38.
Битюрин Анатолий Александрович, старший преподаватель кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования продольного удара.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
