Возникновение конвекции влажного воздуха приземного слоя атмосферы в двумерной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ ВЛАЖНОГО ВОЗДУХА ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ В ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ

М. А. Симахина, И. Н. Ларченко, А. А. Крупкин

THE ORIGINATION OF ATMOSPHERE SURFACE LAYER HUMID AIR CONVECTION IN A TWO-DIMENSIONAL MODEL

Simakhina M. A., Larchenko I. N., Krupkin A. A.

In the frames of a two-dimensional model of convection analytical solutions of thermal convection equations and the conditions of humid air conviction origination determining the influence of the parameters of the atmosphere surface layer upon its development have been obtained.

Key words: convection, atmosphere, Boussi-nesq approximation, supersaturation function, mass concentration gradient of water steam, BSrunt-Vaisala frequency, wave number.

В рамках двумерной модели конвекции получены аналитические решения уравнений тепловой конвекции и условия возникновения конвекции влажного воздуха, определяющие влияние параметров приземного слоя атмосферы на ее развитие.

Ключевые слова: конвекция, атмосфера, приближение Буссинеска, функция пересыщения, градиент массовой доли водяного пара, частота Брента - Вяйсяля, волновое число.

УДК 551.513

Рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера в инерци-альной системе отсчета, без учета вращения Земли в плоскости х-ъ в проекциях на оси координат: [1]

1

ды ды ды

-----+ ы-----+ w—

dt дх dz

Pi 2 P i

ґдр'

дх

V

/

ґдрЛ

dz

дн дн дн

----+ и--------+ Н—

дґ дх ді г 1 ч у

где и - проекция скорости на ось х проекция скорости на ось ъ.

В состоянии равновесия (статики):

(1)

w -

v = 0, — = 0,

дх Pe

dp

dz

- g = 0. (3)

Уравнение (3) это есть уравнение статики атмосферы. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние.

Сделаем следующее приближение: изменением давления в горизонтальной плоскости в уравнении состояния воздуха пренебрегаем, т. е. допускаем, что рі = ре. Отсюда для влажного воздуха с учетом ^ << 1 следует, что

Pi @Pe T [l _b(^i

(4)

где р ° -1 = МЛ/МУ -1 = 0,608 [3].

Другими словами, мы допускаем, что во влажном воздухе плотность зависит от температуры и массовой доли водяного пара и не зависит от давления. То есть, добавляем

s

e

к приближению Буссинеска зависимость плотности влажного воздуха от массовой доли водяного пара. Считаем, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону:

Те (р ) = Тео -ТР, (5)

где Т - градиент температуры окружающего воздуха; Те0 - температура окружающего воздуха у земли. То есть влиянием водяного пара во влажном воздухе на изменение температуры с высотой пренебрегаем.

Также считаем, что подъем воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону:

Т1 (р )= Т;0 “Та Р , (6)

где Тг0 - температура поднимающейся воздушной частицы у земли; Та - сухоадиабатический градиент температуры. Представим

Т (р ) = Т* (р )+АТ (р ), (7)

где АТ (р ) - функция перегрева.

В условиях атмосферы для влажного воздуха можно воспользоваться следующим приближением:

(

Рг @ Ре

АТ V

1 - — [ - 0,60ф,- - )] = Ре (1 - «АТ - рА?), (8)

где а = 1/Т0 ; Т0 = 273 К; А? = 5; - 5е - функция пересыщения. Для атмосферы аАТ << 1.

С учетом формул (6) и (7) функция перегрева запишется в виде:

АТ (р ) = А0Т -Ау • р , (9)

где А0Т - значение функции перегрева у земли; Ау = уа - у.

Для адиабатически поднимающейся воздушной частицы массовая доля водяного пара остается постоянной (р )= 510. Здесь 5;о - массовая доля водяного пара у земли.

Пусть в окружающей атмосфере массовая доля водяного пара убывает по линейному закону

5е (р)= 5е0 - ЬР . (10)

Функцию пересыщения получаем в виде

А?(р) = А?0 + Ьр , (11)

где А?0 = 510 - 5е0 - пересыщение у земли.

Тогда формула для плотности воздушной частицы запишется в виде

р1 = Ре [1 -(аА 0Т + рА?0 )+(аАу-рЬ)р ]. (12)

Отсюда найдем уровень выравнивания плотностей воздуха в воздушной частице и окружающей атмосфере

аА 0Т + ВА?0

Рр=---0-----£—!. (13)

р аАу-рь

Из формулы (13) видно, что уровень выравнивания плотностей воздуха для влажной частицы будет выше, чем уровень выравнивания температур поднимающегося сухого воздуха.

Рассматриваем установившийся случай, когда Эи/Эt = 0 и Эн/Эt = 0 .Тогда уравнения (1) и (2) влажного воздуха запишем в виде

Эи Эи 1 Эр

и--+ Н— =----------—,

Эх Эр ре Эх

и — + н — = g (аАТ + рА?).

Эх Эр У '

Уравнение неразрывности в декартовой системе координат записываем в следующем виде

Эр1 + Э(р1и) + Э(р1 н) = 0. (14) Эt Эх Эр

В приближении Буссинеска изменением плотности в выражении (14) можно пренебречь. Это допущение верно в условиях неглубокой конвекции. В этом случае уравнение неразрывности сведется к выражению &У V = 0. В плоском случае отсутствие дивергенции запишется в виде

^и+^Н = 0. (15)

Эх Эр

Из (15) следует, что векторные линии скорости движения воздушной частицы имеют замкнутый вид.

Таким образом, системы уравнений конвекции в стационарном состоянии для влажного воздуха представляется в виде:

Эи Эи 1 Эр

и-----+ Н— =---------— ,

Эх Эр ре Эх

и — + н — = g(аА0Т + РА?0 -{аАу-рь)• р), (16)

Эх Эр

Эи Эн — + — = 0.

Эх Эр

Из последних уравнений системы (16) следует, что для условия неглубокой конвекции можно ввести функцию тока у [1]:

Эу Эу „ ^

и =-------—, н = —. (17)

Эр Эх

Подставляя выражения (17) в первое и второе уравнения представленной выше системы, получаем

Эу Э2у ЭуЭ 2у = 1 Эр

Эр ЭхЭр Эх Эр 2 р е Эх

2,,, :ъ.г з2,,г

g (аАУ-рь)(рр- р ),

Эу Э 2у Эу Э 2у V ^.+^—г_ = g (аАу-ьь)|рр- р

Эр Эх2 Эх ЭрЭх р

где уровень выравнивания плотностей поднимающейся воздушной частицы и окружающего воздуха равен Рр = [аА 0Т + РА?0 ^{аА^-Р Ь) (*).

Из формулы (*) следует, что, если градиент массовой доли водяного пара будет приближаться к критическому значению, равному

ьсг = (аА^/р,

а уровень выравнивания плотностей будет стремиться к бесконечности, то произойдет так называемое «взрывное» усиление конвекции.

Так как Ау = Та - Т, допуская, что Т = 0, получаем

Ь )тах = (аАг)/Р = 10-7[273^ 0,608] = 10-10-5 м-1.

После преобразований для функции тока получаем выражение:

у =

^РЬ_)^р(2Рр- р)С08 кх. (18)

На рисунках 1 - 4 приведены графики этой функции при следующих параметрах: а = 1/Т0 , Т0 = 273К, Ь = 0,608, у = 6,5 10-3, уа = 9,8 10-3, и0 = 1 м/с, при стремлении градиента массовой доли водяного пара к критическому значению Ьсг = 2 10 5. Из рисунков видно, что чем

ближе градиент массовой доли водяного пара принимает значение к критическому, тем выше становится размер возникновения конвекции (см. рис. 1-4).

к, км

Рис. 1. Размер возникновения конвекции при

Ь = 1,80 -10-5

Рис. 2. Размер возникновения конвекции при

Ь = 1,85 -10-5

X, КМ

Рис. 3. Размер возникновения конвекции при

Ь = 1,88 10-5

Рис. 4. Размер возникновения конвекции при

ь = 1,9 10-5

Отсюда из определений для проекций вертикальной и горизонтальной составляющих скорости находим уравнения:

w = ZX ' = -V g (aAy-b b) ^ z (2 z p- z) sin kx, (19)

u = -zX = -^g(aAg-b,) , z ,cos kx, (20)

где NBV — V § (aDg P^) - частота Брента - Вяйсяля (Brunt - Vaisala) колебаний влажного воздуха.

Из условия w — 0 для уровня конвекции получаем известный из одномерной адиабатической модели конвекции влажного воздуха результат:

2 2( zw — 2 zr — 2-

aA 0T + PAs0

p (aAg-bb)

По определению виртуальная температура равна:

Т* = Т [1 + Р51 ], Тте = Те [1 + Р5е ].

Принимая во внимание граничные условия: при р = 0 скорость н = 0, а виртуальный перегрев АТу = А 0Ту , решение системы уравнений

ё2н ( ёАТ

dt2

:g

a-------+ В

dt dt

= -g(aAg-pb)- w = -NBvw:

d2ATv / A ni,dw

d/2 —T (aAg-pb)— = -^BvArv, di di

находим в виде: w = w0 • sin(i~BVí) и ATv = A0Tv • cos(i~BVí).

Если плотности воздуха внутри частицы и в окружающей среде равны (zp = 0), то условием развития конвекции во влажной атмосфере является условие b > bcr. При этом выражение для скорости восходящих потоков будет иметь вид

w = Vbg (b - bcr)z sin kx, т. е. скорость восходящих потоков будет расти с высотой по линейному закону и уровень конвекции не будет достигнут. Атмосфера в этом случае, говорят, влажнонеустойчива.

Волновое число к, можно оценить из выражения:

к = NBv/U0 (21)

Так как, с другой стороны, по определению к = 2n¡ 1, где 1 - длина волны, то

1 = (2PU0)/ Nbv (22)

Тогда с учетом формулы (22) горизонтальный размер области возникновения конвекции D = 1/ 2 равен

D = (p«0 )Д/g («A/ - pb) (23)

С учетом формул (21) - (23) и по данным радиозондирования можно определять размер конвективной ячейки.

Вывод. Таким образом, нами получено новое решение уравнений свободной конвекции влажного воздуха в стационарном состоянии.

и

2.

3.

ЛИТЕРАТУРА

Алексеев В. В., Гусев А. М. Свободная конвекция в геофизических процессах // Успехи физических наук. — 1983. — Т. 141. Вып. 2. — С. 311-342.

Мазин И. П., Шметер С. М. Облака: строение и физика образования. — Л.: Гидроме-теоиздат, 1983. — 280 с.

Матвеев Л. Т. Физика атмосферы. — СПб.: Гидрометеоиздат, 2000. — 779 с.

Об авторах

Симахина Марина Александровна, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», аспирантка кафедры теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы, метеорология. vol.mar1na@ma1l.ru

Ларченко Инна Николаевна, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», аспирантка кафедры теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы. 1агсИепко007@ ma1l.ru

Крупкин Александр Александрович, ГОУ

ВПО «Ставропольский государственный университет», аспирант кафедры теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы. Screamstv@ ma11.ru