НАУЧНЫЕ СТАТЬИ
Гидрометеорология и экология №4 2015
УДК 551.515.532.5.18
Канд. техн. наук И.Г. Гуршев *
ВОЗМОЖНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ АТМОСФЕРЫ
УРАВНЕНИЯ, ПЕСЧАНАЯ БУРЯ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОТОКА ПО ВЕРТИКАЛИ
Рассматривается возможность решения уравнений турбулентного пограничного слоя атмосферы без использования предположений о связи составляющих осреднённых скоростей потока и их пульсаций. Получено распределение скорости потока по вертикали во время песчаной бури при нейтральной термической стратификации в виде линейно-логарифмической функции.
Важность изучения турбулентных течений среды обусловлена их широким распространением в природе и технике. Для описания турбулентности в воздушной среде предполагается, что значения метеорологических величин, например, скорость ветра, могут быть представлены в виде суммы осреднённых во времени величин и их пульсационных значений или пульсаций.
Однако введение в систему уравнений для составляющих скоростей потока пульсационных значений приводит к появлению новых неизвестных слагаемых и к проблеме незамкнутости системы уравнений [3]. В свою очередь поиски решения проблемы замыкания приводят к поискам связей между осреднёнными величинами и их пульсациями.
В связи с существованием проблемы замыкания системы уравнений, по-видимому, возможен отказ от идеи существования связи между осреднёнными и пульсационными движениями среды. Для рассмотрения такой возможности воспользуемся прямоугольной системой координат и системой уравнений из работы Вагера и Надёжиной [3].
Необходимо отметить, что нижеследующие рассуждения проводятся в предположении отсутствия притоков тепла и притоков влаги, и поэтому входящие в систему уравнений [3] соотношения для притока теп-
* г. Санкт-Петербург
ла и притока влаги, в данном случае не рассматриваются. Дополнительно отметим, что далее рассматриваем стационарное турбулентное течение потока, как течение несжимаемой жидкости.
Таким образом, принимаем следующую систему уравнений [3]
du du du 1 dp г d ( du —п)
u--+ u--+ w— =----— + ju +--1 v--+ u u 1 +
dx dy dz p dx dxV dx J
+
d
f
du —;—,
A
dy I dy
+ uu
J
d ( du —f—,
+--1 v--+ w u
dz I dz
(1)
du du dw — + — + — = 0, dx dy dz
где u, u, w - компоненты скорости потока по осям OX, OY, OZ ; давление p = const; p - плотность; f - параметр Кориолиса; v - коэффициент кинематической вязкости воздуха; u' , u', w' - пульсации скоростей.
В системе уравнений (1) черта сверху над произведением обозначает среднее значение. Дальнейшие построения проводятся для составляющих скоростей ветра в вертикальной плоскости XOZ . В этом случае полагаем u = 0, u' = 0 . Таким образом получаем такую систему уравнений:
du du 1 dp d ( du —i--.) d u--+ w— =-----1--1 v--+ u u 1 +
dx dz p dx dx V dx
du
dy v dy j
d ( du
1 dp
fu =---it,
p dy
du dw — + — = 0 . dx dz
+ —I v— + w' u' I, (2)
dz V dz J
(3)
(4)
Умножив обе части уравнения неразрывности (4) на и, и сложив с уравнением (2), получим такую систему уравнений
du duw 1 dp d ( du —:) d - +-=----— + —I v— + u u I +
dx dz p dx dx V dx
f
du
\
dy V dy
1 dp
fu =---if".
p dy
d ( du
+ —I v— + w'u' I. (5)
dz V dz J
(6)
Воспользуемся предположением из работы [3] об однородности
метеорологических величин по оси ОУ, т.е., предполагаем — = 0 .
ду
v
В результате получим уравнения
du2 duw 1 dp д ( du —¡—, Л д ( du
dx dz p dx dx \ dx ) dz v dz
+-=----— + —I v— + иU ' 1 + —I v— + w'u' I. (7)
fu = (8)
P дУ
Из условия — = 0 следует, что u(y) = u0 = const.
ду
В этом случае из уравнения (8) получаем равенство
dp г
-~Г = uo-P-f .
ду
Последний результат означает, что изменение давления в перпендикулярном к потоку направлении является постоянной величиной.
Преобразуем уравнение (7), объединяя слагаемые, и получим такое равенство
.2
du —f—, Л д ( du ——Л 1 dp
u -v--uu I+--
dx ) dz
uw - v--w'u' I =----— . (9)
dz ) p dx
д_ дх
Используем равенство (9) для нахождения зависимости и = и(г). В этом случае, в силу независимости координат х и г друг от друга, первое слагаемое в левой части равенства (9) обращается в ноль. Таким образом, имеем уравнение
д ( ди ——Л 1 др ....
uw — V--м и 1 =----— . (10)
дг ) р дх
ди
dz
В уравнении (10) сумма величин им — V--м'и' характеризует
дг
перенос вещества за счет действия осреднённого, турбулентного и молекулярного механизмов перемешивания. Такой совместный механизм перемешивания вещества в турбулентной среде за счёт действия трёх факторов предлагается называть объединенным переносом вещества. Введем в рассмотрение соотношение
ди —¡—, .ди „ ч
им — V--м и = с0Л—, (11)
дг дг
где с0 - безразмерная постоянная; Л - некоторая функция, являющаяся, в общем случае, функцией координат и времени.
Предполагаем, что Л является непрерывной функцией. Так как рассматриваются стационарные процессы, то полагаем независимость функции Л от времени.
Размерность функции Л можно установить с помощью равенства
(11), левая часть которого имеет размерность L2 • T( L , T -соответственно символы размерностей длины и времени). Из равенства
(11) следует, что Л имеет размерность L2 • T-1, так как размерность правой части равенства (11) также должна быть равной L2 • T~2 . По-видимому, параметр Л можно считать коэффициентом объединённого переноса вещества. Допустим, что функция Л зависит от координаты г, т.е. Л = Л(г). Используя равенство (11), получаем такое уравнение
д( СоЛ^и V1 •Ф. (12)
дг у дг) р дх
В отношении функции р в уравнении (12) предполагаем, что величина р - функция координаты х, т.е. р = р(х). Таким образом, левая часть равенства (12) является функцией переменной г, а правая, по предположению, есть функция от х . При независимости координат х и г друг от друга соотношение (12) может быть в случае постоянства левой и правой частей
1 др
равенства (12). Таким образом, имеем равенство---= А . Размерность
р дх
постоянной А равна L • Т~2, что можно установить, проводя операции над размерностями входящими в дробь величин. С другой стороны размерность левой части равенства (12) также равна L • Т~2. Значит, имеем равенство
СЛ—1 = А. (13)
ёг у ёг )
Уравнение (13) интегрируется и получается следующий результат
с0Л~ = Аг + В, (14)
ёг
где В - постоянная интегрирования. Размерность постоянной В равна П2 • Т~2. Последнее можно установить, рассматривая соотношение между размерностями членов равенства (14). Представим функцию Л в таком виде
Л(г) = с • г, (15)
где С1 - постоянная величина.
Необходимо отметить, что размерность величины с1 совпадает с размерностью скорости, так как правая и левая части равенства (15) должны иметь одинаковую размерность L~2 ■ T-1
Использование приведенных предположений позволяет получить такое дифференциальное уравнение
* = + (16)
dz С0С c0ClZ
Интегрируя уравнение (16) находим выражение для функции и(г), т.е.
и{1) = — + — 1п z + F, (17)
C0C1 C0C1
где F - постоянная интегрирования.
Обычно для скорости u принимается условие прилипания воздушного потока (u = 0) на уровне шероховатости (z = z0), т.е. граничное
условие такое: z = z0, u = 0 . Отметим, что параметр шероховатости г0
определяется из опытных данных.
Однако во время песчаных бурь возникает перенос песчаных частиц и поэтому граничное условие необходимо сформулировать с учётом появления переноса песка. В свою очередь перенос песчаных частиц возникает по достижении потоком величины критической скорости uk для частиц песка определённого размера [5]. В этом случае граничное условие может быть таким: z = z0, u = uk
Используя зависимость (17) и граничное условие z = z0, u = 0 , находим выражение
u(z ) = + 1^. (18)
C0C1 C0C1 z0
Размерность слагаемых в формуле (18) можно установить по известным размерностям величин А, Б, с1 Множитель - имеет размерность обратную
С0С1
времени, т.е. первое слагаемое в формуле (18) имеет размерность скорости.
Рассмотрим частный случай. Если— = 0, т.е. А = 0, то из уравне-
dx
ния (17) получаем такое равенство
в
п(г) =-1п г + ¥.
С0С1
(19)
Использование граничного условия г = 70 , и = 0 даёт ¥ = 0 , ив этом случае имеем такую зависимость
В 7.
(20)
и(г ) = 1п— .
С0С1 70
Дополнительно рассмотрим следующее: в равенствах (18)...(20) дробь
в
и1 = — является постоянной величинои и имеет размерность скорости. с1
Предположим, что постоянная и1 является величиной динамической скорости и* потока. Допустим, что безразмерная постоянная с0 равна постоянной Кармана, т.е. с0 = к = 0,4. В этом случае формула (20) совпадает с известной логарифмической зависимостью
(21)
и* л 7
и = —1п—.
к 7п
Формула (20) при вышесказанных допущениях и граничном условии 7 = 70, и = ик принимает следующий вид
и* л 7
и - и, = —1п—.
(22)
(23)
Введём в рассмотрение следующее ёр _ Ар ёх I
где Ар - падение давления по направлению движения потока на произвольно выбранном участке длиной I.
В этом случае формула (18) становится такой
и =
Ур р1кс1
( \ и* 7
(7 - 70Кт^-.
к
(24)
Уравнение (24) может быть преобразовано в следующую зависимость
и*Ур( \ и*, 7 и*
и =-(7 - 70)+--1п-=-
и* р1кс к 70 к
ур(7 - 70) + 1п 7 ри*с11 70
(25)
г
0
Дробь- является безразмерным соотношением, т.е. сумма слагаемых
рис
в квадратных скобках в формуле (25) - безразмерная величина. Если V», и*, с1 остаются постоянными во время песчаной бури, то вышеупомянутое соотношение - постоянная величина и формула (25) имеет такой вид
и = — к
^. 2 2 - 2^ 1п--+ сот1- 0
2 I
V о 1 у
(26)
В работах [1, 2, 4...6] показано, что в случае термически нейтрально стратифицированного двухфазного потока, распределение скорости может быть описано следующей зависимостью
( \ и* и(2 ] = ~кк
Г 2 2^
1п— + Ь—
V 20 Ld У
(27)
где Ь - постоянная, Ьа - масштаб длины по Баренблатту-Голицину [1,2, 6].
Полученная зависимость (26) качественно совпадает с приведенной формулой (27).
В работах [4, 5] даётся описание песчаных бурь и измерений скорости потока в условиях безразличной стратификации пограничного слоя. Полученные в полевых условиях результаты измерений по распределению скорости потока в вертикальной плоскости удовлетворительно описываются функцией вида (27).
В заключение отметим, что зависимость (26) переходит в известное логарифмическое распределение скорости потока при V» = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. // Прикладная математика и механика. - 1953. - Т. 17. - Вып. 3.-С. 261-274.
2. Баренблатт Г.И., Голицын Г.С. Локальная структура развитых пыльных бурь. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 44 с.
3. Вагнер Б.Г., Надёжина Е.Д. Пограничный слой атмосферы в условиях горизонтальной неоднородности. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 136 с.
4. Семёнов О.Е. Об ускорении потока во время сильных песчаных и пылевых бурь // Гидрометеорология и экология. - 2000. - №3-4. - С. 23-48.
5. Семёнов О.Е. Введение в экспериментальную метеорологию и климатологию песчаных бурь. - Алматы: ИП Волкова Н.А., 2011. - 580 с.
6. Barenblatt G.I., Golitsyn G.S. Local structure of Matyre Dust Storms // At-mos. Sci. - 1974. - Vol. 31, №7. - P. 1917-1933.
Поступила 20.10.2015
Техн. гылымд. канд. И.Г. Гуршев
АТМОСФЕРАНЬЩ ШЕКАРАЛЬЩ ЦАБАТЫНЫЦ ТЕНД1Г1Н ШЕШУДЕГ1 MYMKIH АМАЛДАР
ТЕЦД1К, Ц¥МДЫ ДАУЫЛ, Т1К АFЫННЫЦ ТАРАЛУ ЖЫЛДАМДЬ^Ы
Атмосфераныц турбуленттж шекара цабатынъщ тецдгггн шешу мYмкiншiлiгi агыннъщ орташаланган жъглдамдыгын жэне олардъщ пульсациясын цурайтын байланысты ескермеген жагдайда царастырылады. К^мды дауыглдагы агынныц тiгiнен таралу жыглдамдыгы бейтарап термиялыц стратификациядагы сызыцтыц-логарифмдiк функциясы тYрiнде аныцталды.