РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ ПЕРЕНОСИМОГО ВЕТРОМ ПЕСКА ПО ВЫСОТЕ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ ВОЗДУХА Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ

Гидрометеорология и экология № 4 2010

УДК 551.515:532.5.18

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ ПЕРЕНОСИМОГО ВЕТРОМ ПЕСКА ПО ВЫСОТЕ В ПРИЗЕМНОМ

СЛОЕ ВОЗДУХА

Канд. техн. наук И.Г. Гуршев

Канд. физ.-мат. наук О.Е. Семёнов

Приводится решение уравнения турбулентной диффузии тяжелой примеси для определения вертикального профиля концентрации песка в ветропесчаном потоке. Полученная функция для его описания в пограничном слое ветропесчаного потока

C(z) = Azb exp(- az) переходит, при выполнении определенных условиях, в известный профиль для концентрации примеси в приземном слое атмосферы при пыльных бурях Баренблатта-Голицына

C(z ) = q(z/zi )~ß.

Для простоты решение поставленной задачи рассмотрим для стационарного плоского потока в двухмерной системе координат, в которой ось ОХ имеет положительное направление по направлению вектора скорости ветра и проходит по песчаной поверхности. Вертикальная ось О2 направлена вверх от поверхности частиц песка. Ось ОУ перпендикулярна осям ОХ и OZ. Начало системы координат находится на поверхности верхнего слоя частиц.

В работах [5, 6] экспериментально показано существование двух различных зависимостей для описания вертикального распределения массовой концентрации C(z ) частиц песка в пограничном слое ветропесчаного потока. В слое воздуха до некоторой высоты z1 вертикальное распределение концентрации песка описывается функцией

C(z ) = Azb exp(- az), причем A, b , a - определяются параметрами ветропесчаного потока, z -координата. Выше этого слоя концентрация песка аппроксимируется степенной функцией

C(z ) = Ci (zM )-ß ,

30

w

где С1 - концентрация песка на высоте г1, Ь -функция отношения -,

где wg - скорость гравитационного падения частиц песка, и* -динамическая скорость [1, 3, 5, 6].

Пульсации давления над песчаной поверхностью создают вертикальные потоки воздуха с начальной постоянной скоростью w0, не зависящей от координат х, г.

В дальнейшем предполагаем, что изменение вертикальной скорости таких потоков происходит по зависимости

г _

w = Wo - С2г = Wo - Сх — = Wo - С2Хо ~ , (1)

Хо

где С2 - постоянная с размерностью, обратной времени; х0 - средний геометрический размер частиц песка на поверхности [6], г - координата по оси О2; г - безразмерная координата.

Из зависимости (1) вытекает, что такое распределение скорости потока воздуха действует в слое определенной высоты. Высота слоя воздуха 21, в котором выполняется предложенное равенство (1),

~ w

определяется условием w = 0, из которого находим = —— . Это

С2 Х0

согласуется с экспериментально обнаруженным существованием слоев ветропесчаного потока с различными закономерностями распределения концентрации песка по вертикали [5, 6].

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением турбулентной диффузии, записанного для плоскости X О 2 [3]

ЭС ( \ЭС Э („ дС)

"аХ^-^Э^зС } (2)

где и, w - компоненты скорости ветра вдоль координатных осей ОХ, О2; wg - скорость гравитационного падения частиц песка; С - массовая концентрация тяжелой примеси; Кс - коэффициент турбулентности для примеси; 2 - координата.

Так как скорость wg зависит от размера частиц песка [6], а не от

координат, то слагаемые в левой части уравнения (2) можно представить следующим образом

31

и

ЭС ЭиС „Эн

и-=--С — , (3)

Эх Эх Эх

( )ЭС Э ( ) Э(м - ^) Э( ) гЭм

м - )-= — М - ^ )С - С-— = — м - ) С - С —. (4)

У Эг Эг Эг Эг Эг

Таким образом, уравнение (2) имеет вид

ЭнС + -СГЭи + 3^ = _Э_(к ЭС) (5)

Эх Эг ^ Эх Эг) Эг ^ с Эг

.Для дальнейших рассуждений используем уравнение неразрывности среды. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид Эн Эу Э^ „ ЭУ _ _

--I---I--= 0 , которое при — = 0, преобразуется в равенство

Эх Эу Эг Эу

Эи Э^

--I--= 0 . Таким образом, мы получаем в уравнении (5) в третьем

Эх Эг

слагаемом один из множителей равным 0, т.е. все третье слагаемое в левой части равенства (5) равно 0.

Как следует из уравнения (2) величина С является функцией координат х и г .В проекции уравнения (5) на ось О2 произведение и(х,2)С(х,е) в уравнении (5), ввиду того, что измерения проводятся в начале системы координат (х=0) и вдоль оси О2, становится таким: иС=и(0,2)С(0,2). Следовательно произведение является функцией координаты г.

„ Эн С _

Тогда-= 0 в силу независимости координат х и г .

Эх

В итоге получаем следующее равенство

Н (" ' ) С = ± (к. НС 1. (6)

После интегрирования уравнения (6) имеем такие равенства

(м - ^ )С=кс*С+Сз,

НС (м - м ) С

— -^С + С = 0, (7)

ёг Кс К с

где С3 - постоянная интегрирования.

Уравнение (7) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение известно [2]. В нашем случае будем искать

32

частное решение уравнения (7), которое можно определить, если принять С3 = 0, т.е. будем решать следующее уравнение

(С (ж — ж )

— — ±-—С = 0, (8)

dzKc

при выполнении граничных условий: z = 0 , С = 0 .

В соответствии с работой [6] вводим безразмерные координаты

~ = z/x0 , С = С/Ст , при этом Ст наибольшая концентрация частиц песка на некоторой высоте z. Необходимо также иметь в виду, что величина Ст принимается постоянной. Однако необходимо отметить, что Ст может зависеть от многих других переменных, а не только от координат.

Использование безразмерных координат позволяет преобразовать уравнение (8) и получить такие выражения

С dC (ж — ж ) ~

----Р-Ст ' С = 0,

х( Кс

dC № — ж )• С

— К - = 0. (9)

х0(~ Кс При выводе уравнения (9) было учтено, что Ст Ф 0 .

Относительно коэффициента турбулентной диффузии для примеси Кс считаем, что эта величина пропорциональна коэффициенту турбулентной диффузии для количества движения К воздушного потока, т.е. Кс = ЬК (Ь - безразмерная постоянная). Известно, что в приземном слое воздуха величина К является линейной функцией координаты z .

К = к • и* • z = к • и* • х0 • ~,

где к = 0,4 - постоянная Кармана, и* - динамическая скорость. Используя предположение (1) находим равенства

ж — — № С2

Кс Ьки* х^ Ьки* '

(10)

С С

^ ж — ж С х ^

0 ^2Л0

Ь ки„ ~ Ь ки,

(Е. (11)

Из имеющихся постоянных можно составить постоянную величину, имеющую размерность, обратную времени, т.е. величину

33

w

я/х0 . Допустим, что постоянная С2 пропорциональна т.е.

С2 = Л1- (Л1 - безразмерная постоянная). Введем обозначения для

х

групп постоянных, т.е.

В =

м0 - Wg Ьки„

Б

С7х, Лlwgxo

Ькн* Ьх0кн*

Е^, е = А,

и* Ьк

так как считаем величину динамической скорости н* постоянной для данных метеорологических условий.

wg (м0/wg )-1

Величину В можно представить так: В = N—— , N =--—--.

н* Ьк

Отметим, что постоянные В и Б являются так же безразмерными. Значит уравнение (11) преобразуется к такому виду

НС = (В - Ем? 1

С I ~ н

Нг .

Интегрирование уравнения (12) дает зависимость

1п С = В 1п~

+ С4,

(12)

(13)

где С4 постоянная интегрирования.

Выбираем её в виде С4 = 1п С5 и получаем такие соотношения

, С . ~в ЕМ? ~ 1п— = 1пг---г ,

С

н

С = С5гВ ехр

( 1

С = С С

^ т

( г 1

V х0)

V

В ( ехр -

V

г

Л

н* х,

с = С С

^ т

( г 1 н*

V х0)

ехр

0 ) 1

н х.

0 )

(14)

Полученная зависимость (14) удовлетворяет вышеупомянутым граничным условиям. Найденная формула (14) по структуре выражения совпадает с экспериментально обнаруженными распределениями

н

*

н

*

34

концентрации песка по вертикали в пограничном слое ветропесчаного потока в аэродинамической трубе и в полевых условиях [5, 6].

Рассмотрим следствие, вытекающее из зависимости (14). При полном отсутствии вертикальных воздушных потоков в условиях нейтральной стратификации атмосферы имеем ж = 0, подавлении вертикальных воздушных потоков в приповерхностном слое воздуха имеем ж = 0, ж0 = 0, А1 = 0. Применение этих условий к формуле (14) дает ж

В =--, Е = 0 . В этом случае зависимость (14) становится такой

Ьки„

С = С С

^ т

^ Z ^

Ьки,

. (15)

Для высоты z1 зависимость (15) будет иметь следующий вид

V х0

( z Л С = С С -

V х0

Поделив равенство (15) на равенство (16), получим

Ьки*

С_

С

( „X —

z

V ^ )

Ьки*

(16)

(17)

где С1 - концентрация песка на высоте z1.

Таким образом, зависимость (14) переходит в степенную функцию (17). В заключение отметим, что зависимость (17) имеет достаточное теоретическое обоснование [1, 4, 7]. Следовательно, в приземном слое атмосферы во время песчаной бури могут существовать два слоя воздушнопесчаного потока с различными вертикальными распределениями концентрации песка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баренблатт Г.И., Голицын Г.С. Локальная структура развитых пыльных бурь. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 44 с.

2. Бронштейн И.М., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1981. 720 с.

3. Гидрометеорологические проблемы Приаралья / Под ред. Г.Н. Чичасо-ва. - Л. Гидрометеоиздат, 1990. - 277 с.

35

4. Прандтль Л. Гидроаэродинамика. -2-е изд. Пер. с нем. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. - 575 с.

5. Семенов О.Е. О массовой концентрации частиц песка в пограничном слое ветропесчаного потока // Гидрометеорология и экология. - 2009. - №2. - С. 7-27.

6. Семенов О.Е. О физическом содержании параметров профилей массовой концентрации частиц в пограничном слое ветропесчаного потока // Гидрометеорология и экология. - 2010. - №1. - С. 11-21.

7. ВагепЫай G.I., Golitsyn G.S. Ьоса1 structure of Маtyгe Dust Storms // J. of the Atmospheric Sciences.- 1974 - Vol. 31, № 7. - Р. 1917 - 1933.

КазНИИЭК, г. Алматы

ЖЕР БЕТ1НДЕГ1 АУА ЦАБАТЫ БИШГШДЕ ЖЕЛМЕН АУЫСАТЫН Ц¥М КОНЦЕНТРАЦИЯСЫН БвЛШЕКТЕУ МАЦСАТЫН ШЕШУ

Физ.-мат. гылымд. канд. И.Г. Гуршев Физ.-мат. гылымд. канд. О.Е. Семенов

К$мдыжел агынындагы щум концентрациясыныц тгк профилт аныщтауга арналган ауыр щоспалардыц турбулентт1 диффузиясы тецдеутщ шешгмг келтгрыген. К^мдыжел агыныныц шекаралыщ щабатындагы оны сипаттау ушгн алынган функциясы

C(z) = Azb exp(- az) белгт 6ip жагдайды орындаганда Баренблатта-Голицынныц шацды дауыыындагы жер бетi ауа щабатындагы щоспалар концентрасиясыныц белгт профилте

ауысады C(z) = C1 (z/zj )-b.

36