ВОЗМОЖНЫЕ КОНТРАКЦИИ ГРУППЫ SU(2) х U(1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Коми научного центра УрО РАН Выпуск 1. Сыктывкар, 2010.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512.815

ВОЗМОЖНЫЕ КОНТРАКЦИИ ГРУППЫ SU(2) х U(1)

Н.А. ГРОМОВ

Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар

Рассмотрена группа SU(2) х U(1) над алгеброй Пименова D2 с нильпотентными коммутативными образующими. Найдены два типа согласованного распределения контракционных параметров в структуре группы и в пространстве фундаментального представления. Подробно изучены возможные контракции фундаментального представления группы, получающиеся при нильпотентных значениях контракционных параметров.

Ключевые слова: унитарная группа, фундаментальное представление, контракция

N. GROMOV. POSSIBLE CONTRACTIONS OF SU(2) х U(1) GROUP

The group SU (2) х U(1) over the Pimenov algebra D2 with the nilpotent commutative generators is discussed. Two sets of the contraction parameters which give nonisomorphic contracted groups and different fundamental representation spaces are considered. The fundamental representations of the contracted groups corresponding to the nilpotent values of the contraction parameters are regarded in detail.

Key words: unitary group, fundamental representation, contraction

Введение

Специальная унитарная группа SU(2) находит многочисленные применения как в математике, так и в теоретической физике. В частности, классические специальные функции математической физики — многочлены Лежандра и Якоби — выражаются через матричные элементы неприводимых унитарных представлений этой группы [1]. Понятие спина элементарных частиц, а также изотопического спина нуклона, объединяющего в один мультиплет протон и нейтрон, связано с группой SU(2) [2]. Современная электрослабая теория элементарных частиц основана на калибровочной группе ,ви(2) х и(1) [3]. Напомним, что группа ,ви(2) локально изоморфна группе вращений SO(3).

Широкое использование группы ,ви(2) предполагает детальное изучение не только ее свойств, но и свойств групп, которые получаются из нее предельными переходами или контракциями [4]. С точки зрения физических приложений контракция группы соответствует рассмотрению того или иного предельного случая физической системы, построенной с помощью данной группы или имеющей симметрию, описываемую группой. Если свойства самой группы ,ви(2) хорошо известны, этого нельзя сказать о свойствах ее контрактированных групп.

В теоретической физике чаще всего фундаментальные представления контрактированной специальной унитарной группы ,ви(2; 3) описываются треугольной матрицей

(а “)

det u = |а | =1

с комплексными элементами а,Ь е С. Однако имеется другой математически более изощренный подход [5], когда группы и алгебры Ли рассматриваются не над вещественным или комплексным полем, а над алгеброй с нильпотентными образующими. В простейшем случае при описании контрактирован-ных групп вместо комплексных матричных элементов появляется матрица с нильпотентными элементами

u(l)

det u(i) = |a| =1, a, в £ C,

где нильпотентная единица 1 = 0, но 12 = 0. Эти две возможности соответствуют несимметричному появлению контракционного параметра 3 в первом случае, когда только матричный элемент и12 умножается на 32 = 12 = 0, и симметричной расстановке параметра 3 во втором случае, когда матричные элементы и12 ,и21 умножаются на 3 = 1.

Группа ,ви(2;,]) х и(1;,]) над алгеброй Пименова

02 0)

Рассмотрим алгебру Пименова Б2(31,32) с элементами вида [6]

а = ао + з\а\ + ^2 + 3132аз,

где ак, к = 0,1,2,3 — комплексные коэффициенты, а параметры 3 принимают по два значения 31 =

u

Мь 32 = 1,12. Здесь п, п = 1,2 есть коммутативные нильпотентные образующие с алгебраическими свойствами: ¡?п = 0, но ь1ь2 = ь2ь1 = 0. Справедливы следующие эвристические правила: для вещественного или комплексного Ь выражения Ь/ьп определены только при Ь = 0, однако 1п/1п = 1. Подчеркнем, что сокращать можно только одинаковые нильпотентные единицы (с одинаковым индексом), выражения типа ь1/ь2 не определены, следовательно, не допускаются к рассмотрению.

Из наиболее общего двумерного векторного пространства над алгеброй Б20), j = (3ъ32) выделим пространство С20) с векторами специального вида

*(j) =

( xi + ij2X2 'N V jí(ví + У2У2) )

(1)

характеризующиеся распределением параметров 31 и 32 в своих компонентах. Под действием преобразований из группы ,ви(2; j) х и(1; j) эти вектора переходят в себя. Действительно, преобразования г'(0) =

и(2; 0>Ш, и(2; j) е SU(2; j), или

{ х[ + ij2x2 'N

V ji(y'i + ij2у2) )

ai + ij2«2 jl (Pi + ij202)

ji(-0i + ij2 02) ai - ij2a2 I \ jl (yi + ij2y2)

)(

xi + ij2X2

(2)

где групповые параметры подчиняются уравнению

2 , -2 2 , -2 / п2 | -2 п2\ /о\

ai + 32 a2 + Л (0i + 32 02) = 1, (3)

а также преобразования u(l; j) е U(1; j) вида

z(j) = ej2Vz(j) = (cos j2^ + i sin 32Ф) z(j) = u(1; j)z(j),

(4)

где ф е [0,2п) при j2 = 1 и ф е R при j2 = ¿2, не только сохраняют распределение параметров ji и j2, но и оставляют инвариантной величину

I (*\\2 2 , -2 2 - ■ 2(2. ■2 2\

|z(j)| = Xi + л X2 + л (у + 32 У2 J

inv.

(5)

Заметим, что двумерное комплексное пространство С2 эквивалентно четырехмерному вещественному пространству И4. Нам удобно рассматривать действие групп на вещественном пространстве. Комплексному пространству С20) (1) соответствует вещественное пространство Б,4у) с векторами вида (X)‘0) = (Х132Х2,31У1,3132У2У'. Инвариант (5) есть сфера произвольного радиуса в этом пространстве, а вещественные параметры (3) группы ,ви(2;0) лежат на сфере единичного радиуса. Из уравнений (2) получаем действие группы ,ви(2;у) в пространстве

К-Ш)

Х1 = «1Х1 - 32а2Х2 + 32(в 1У1 - 32Р2У2),

х2 = а2Х1 + а1Х2 + 32(в2У1 + 01У2),

У1 = -01Х1 - 32 02Х2 + а1У1 + 3<2а2У2,

у2 = 02Х1 - 01Х2 - а2У1 + а1У2, (6)

а из (4) действие группы U(1; j) в этом пространстве

xi = Xi cos32ф - X232 sin32ф,

' 1 ■ ^

X2 = Xi— sin32ф + X2 cos32ф,

j2

yi = yi cos32ф - У232 sin32ф,

y2 = yi —sin 32Ф + У2 cos 32Ф. (7)

j2

Рассмотрим однопараметрические подгруппы и алгебры Ли. Поскольку действие группы U(1;j) в комплексном пространстве C2(j) сводится к умножению на функцию, то генератор (инфинитезимальный оператор) представления пропорционален единичной матрице. Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; j) имеют вид

uiH; ji) = = ( cos jWi isinijiW0 ,

V i sin 2 3i^i cos 23i^i J

U2 (^2; 3i32) = e“*™ = ( Ün fe2"2,)

из(^з; 32) = e

.w3T3(j)

- sin 2 3i 32^2 cos 2 3i 32^2

e 2 0

/ e2o \

^ 0 e-2j2U3 )

торы задаются матри

Т1Ш=л2( 0 0) •™ = 3i32 2 ( 0 -0f)

0 e-

а отвечающие им генераторы задаются матрицами

(8)

зд=321( 0 _“)

с коммутационными соотношениями

[Ti (j),T2(j)] = -3 2T3(j), [Ts(j),Ti (j)] = -T2(j),

(9)

[T2(j),T3(j)] = -322Ti (j),

(10)

определяющими представление алгебры Ли ви(2;у), общий элемент которой имеет вид

3

Т0) = ^2 акТк СО =

k = i

i/ 32 аз j i (a i - ij2a2)

2 I j i (a i + ij2a2) - 32 аз

: -(ТСШ1.

(11)

Формулы этого раздела при 3 1 = 32 = 1 описывают прямое произведение классических групп

,ви(2) х и(1). Обратно из группы ,ви(2) х и(1) легко получить группу ,ви(2;У) х и(1;у заменой

а1 ^ а.1, а.2 ^ 32а2, 01 ^ 3101, 02 ^ 3132@2, ф ^ 32ф,

(12)

в том числе для однопараметрических подгрупп

^1 ^ 31^1, <¿2 ^ 3132^2, Ш3 ^ 31^3. (13)

Пространство И40) получается из И4 подстановкой декартовых координат

Х1 ^ Х1, Х2 ^ 32Х2, У1 ^ 31У1, У2 ^ 3132У2. (14)

Помимо замены (12) имеется еще одно преобразование параметров унитарной группы

а1 ^ а.1, а.2 ^ 3132а2, 01 ^ 31@1, 02 ^ 3202, ф ^ 3132ф,

(15)

)

которое вместе с преобразованием координат пространства ЩО)

Х1 ^ Х1, Х2 ^ 3132Х2, У1 ^ 31У1, У2 ^ 32У2 (16)

приводит к другому согласованному распределению контракционных параметров, а именно ¿'0) = и(2;0)^(0), и(2;0) е SU(2;0), или

х1 + 3132x2

31 у1 + г32 У 2

ai + ijij2a.2 jlßl + ij2ß2 \ í Xi + ijlj2X2

-jlßl + ij2ß2 ai - ijlj2a.2 ) I jlyl + ij2V2

(17)

где

2 i -2-2 2 i .2o2 - -2 r¡2 -i /hq\

ai + j 1J2 a2 + Jißi + J2ß2 = 1- (18)

Для группы U(1; j) преобразования имеют вид

á'(j) = exp (ijl j2^)f(j) =

= (cos j l j 2 Ф + i sin jlj2^)á(j) = u(1; j)z(j), (19)

а инвариантной относительно общих преобразований из группы SU(2; j) х U(1; j) остается величина

I л/*\|2 2 i -2-2 2 i -2 2 i -2 2 ¡г»»/ /оГ\\

|z(j)| = Xl + jl j2 X2 + jl yl + j2 У2 = inv- (20)

Полагая в уравнениях (6),(7) j = j2 = 1, а затем производя замену (15), находим действие группы SU(2; j) в пространстве R4(j)

I .2.2 I -2 а ■lo

Xl = alXl - jl j2 a2X2 + jl ßy - j2ß2y2,

x2 = a2Xl + al X2 + ß2yl + ßly2,

Уi = -ßl Xl - j2ß2X2 + alyl + j2a.2y2,

y2

ß2Xl - jIßl X2 - j2a2y i + al y2 (21)

и действие группы U(1; j) в том же пространстве

X i = X i cos j i 32ф - X2 j i 32 sin j i 32ф,

1

X2 = X i —sin j i 32Ф + X2 cos j i 32ф,

j j2

/ . . .2 1 • • •

У i = У i cos j i 32 ф - У232 — sin j i 32ф,

j j2

У2 = У2 cos ji 32 ф + y i j 2-^sin ji 32 ф. (22)

j j2

Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; j) только распределением параметров j i,j2 отличаются от подгрупп (8)

u l(“ l; j l) = e

^iTi (j)

cos 2j iw i i sin 2 jl шl

i sin 2 j iw i cos 2 j iw i

й2(ш2; j2) = e“2Í2^j) = ( cos 2j2“2 sin fj2“2

1 - sin 2j2“2 cos 2j2“2

из(шз; jl j2) = e‘

= ^(j) = [ ef j1j2“3 0

0 e- f j1j2“3

(23)

а отвечающие им генераторы задаются матрицами

Tl(j)= jl i(° 0) • T2® = j22( 0 “o )

Ts(j)=jlj2 5(j -1 )

(24)

с коммутационными соотношениями

[Tl(j),T2(j)] = -T3(j), ТзфДй)] = -j 2:f2(j),

[T^2(j),:T3(j)] = - j2 T (j),

определяющими представление алгебры Ли ви(2;0), общий элемент которой имеет вид

T(j) = ^2 ak Tk(j) =

fc=l

)■ =2(j

j1 j2 a3

jlal + ij2a2

j1 a1 - ij2 a2 - j1j2 a3

= -(T(j))l (26)

Разные распределения контракционных параметров в структуре группы проявляются при нильпо-тентных значениях параметров. Более подробно это различие будет прояснено в следующем разделе.

Контракции фундаментального представления

В традиционном подходе [4] контракции групп осуществляются с помощью предварительно внедряемого в структуру группы вещественного параметра е, который затем устремляется к нулю е ^ 0. В нашем подходе контракциям групп отвечают нильпо-тентные значения параметров 3к = 1к, которые в случае векторных пространств приводят их к расслоению. Следует отметить, что в обоих подходах получаются одинаковые контрактированные группы. Поэтому иногда удобнее использовать первый подход, больше отвечающий физической интуиции, а иногда второй подход, более математический. Несложный анализ показывает, что одномерные контракции приводят к двум разным группам при 31 = п, 32 = 1 и 31 = 1, 32 = 12 независимо от распределения контракционных параметров, а двумерные контракции (по двум параметрам) 31 = ь1, j2 = 12 дают разные группы для распределения (12) и распределения (15). Рассмотрим эти четыре случая по отдельности.

Евклидова контракция 31 = 11, 32 = 1

Хорошо известно, что группа SU(2) локально изоморфна группе вращений SO(3) [1], которая при указанной контракции переходит в евклидову группу Е(2). Этим объясняется название этой и других контракций данной секции. При 31 = 11, 32 = 1 согласно (3) имеем detи(л1) = |а|2 = 1, те. а = вгф, поэтому из (2) получаем матрицу контрактированой группы в виде

и(ч)

( e* ilß N

V -ilß e-* )

ß = ßl + iß2 e C- (27)

Функция нильпотентного аргумента определяется своим разложением в ряд Тейлора, в частности,

cos iX = 1, sin iX = iX, euíp = 1 + 1ф. Тогда однопараметрические подгруппы (8) принимают вид

ui(wi; il)

U2(“2; il)

1 il 2

ll 2 “l

из(шз; il) =

2Г) ■

í“2)

í efШ3 0 \

^ 0 e- fШ3 J ■

1

-il 2“2

(28)

а их генераторы — элементы алгебры ви(2; 11) — удовлетворяют коммутационным соотношениям

Т1(11),Т2(11)] = 0, Тз(11),Т1(11)] = -Т2(11),

[Т2(11 ),Т3(и)] = -Т1(ч). (29)

Представление алгебры ви(2; 11) в пространстве С2(11) задается матрицами (11) вида

T dl) = 2

( аз ila N

V ila -аз )

a e C-

(30)

Пространство фундаментального представления С2(г.1) согласно (1) состоит из векторов вида г(ь1) = (г1,11г2)г и представляет собой расслоенное полуевклидово пространство [7], [8] с одномерным комплексным слоем {г1} = {х1,х2} и одномерной комплексной базой {г2} = {у1,у2}. Матрица (27) из группы SU(2; 11) действует на С2(л1) по правилу

Zl = zle

Z2 = Z2e

-гф

- zlß■

а действие группы U(1; ii) в соответствии с (4) сводится к умножению координат zi и z2 на e1'^. При этом инвариант (5) распадается на два: один в базе |zi|2 = x1 + x2, инвариантный относительно общих преобразований из SU(2; ii) (6) и U(1; ii) (7) при произвольных у1,у2 = 0, и один в слое |z212 = у2 + у2, те. при z1 = 0 или X1 = X2 = 0.

Евклидова контракция — это единственная контракция унитарной группы, согласованная с комплексной структурой.

Для второго типа распределения контракцион-ных параметров из (18) получаем a2+02 = 1, a2, р1 е R, те. можно положить ai = cosф1, /32 = sinф1 и тогда преобразования (17) запишутся в виде

( x'i + iiíx2 N

V ily'l + iy2 )

cos ^i + iila2 ilßl + i sin ^l

-ilßl + i sin ^l cos ^l - iila2

)(

Xl + iliX2

ilyl + iy2

(31)

Согласно (16) Б,4(11) есть полуевклидово расслоенное пространство с двумерной базой {х1,у2} и двумерным слоем {х2 , у1}. Группа SU(2; 11) действует в нем по формулам (21)

Xl

y2

/

X2

/

yl

= Xl cos^l - y2 sin^l,

= Xl sin ^l + y2 cos ^l,

= a2Xl + ßly2 + X2 cos ^l + yl sin Ф1,

= -ßlXl + a2y2 - X2 sin^l + yl cos фь

Для группы U(1; il) умножений векторов á(il) в C2(il) на exp(ili^) = 1 + ili^, ф e R (19) преобразования в R4(il) следуют из (22)

Xl = Xl ■ y2

y2 ■

X2 = X2 + Xlф■ yl = yl - У2Ф-

Вместо одного инварианта (20) получаем два. Инвариантными относительно общих преобразований из группы SU(2; ii) х U(1; i{) остаются ж2 + у2 = invi в базе расслоения {x1,y2} пространстваR4(i1) иx2 +у2 = inv2 в слое {x2,y1}, те. при ж1 = у2 = 0.

Однопараметрические подгруппы фундаментального представления группы SU(2; i1) равны

üi(“i; ц) = ( J“ )

V il2“i 1 )

, , , f cos 2“2 l

U2(“2; il) = I s;n2l

из(“з; il) =

- sin 2 “2

f eLl f W3

0e

sin ö “2

21

cos 2 “2

0

-11 f W3

а отвечающие им генераторы задаются матрицами

T’l(tl) = ‘li(0 J) ■ T= (‘l» = i/ 0

0i -0i

Тз(ч>=il2(0 -01)

(33)

с коммутационными соотношениями

[fl(il),T2(il)] = -Тз(‘1) Тз^Т^ц)] = 0,

TMn); (il)] = —T^l (il)- (34)

Из(26)получаем матрицу

f(i )) i \ ia ilal ia2

( l)) 2 l ilal + ia2 -ia

(35)

определяющую фундаментальное представление контрактированной алгебры Ли su(2; i1).

Ньютонова контракция j1 = 1, j2 = i2

При указанных значениях контракционных параметров из (3) получаем a2 + в2 = 1, a2,p2 е R, те. можно положить a1 = cos ф1, р1 = sin ф1, тогда общий элемент группы SU(2; i2) дается матрицей

, , ( cos ф1 + i2ia2 sin ф1 + 12Ф2 ^ о _ -D

u( 12) = • -д • , a2,P2 е R.

у - sin ф1 + i2iP2 cos ф1 - i2ia2 )

(36)

Однопараметрические подгруппы легко находятся из (8)

, , ( cos h“l i sin k“l \

Ul(“l; i2) = . . 2l l

V i sin 2“l cos 2“l )

1

i2 2 “2

из(“з; i2 )

1

+ i2 2 “з 0

0 1 - i2-| “з

(37)

Алгебра Ли su(2; i2) задается генераторами с коммутационными соотношениями

[Tl( i2),T2( i2)] = -Тз( и), [Тз( i2 ) ■ Tl (i2)] = -T2( ü),

[T2 ( ‘2),Тз( 12 )] = 0-

(38)

При j2

i2 пространство C2(i2), состоя-

щее из векторов вида z(i2)f = (x1 + i2ix2,y1 + i2iy2)t, теряет комплексную структуру, а вещественное пространство R4(i2) состоит из векторов Xг(i2) = (x1,i2x2,y1,i2y2)1. Таким образом, это расслоенное полуевклидово пространство с двумерной базой {x1,у1} и двумерным слоем {x2,у2}. Группа SU(2; i2) действует как вращение в базе

/ 1 . /

Xi = Xi cos ф1 + У1 sin ф1, У1 = У1 cos ф1 - Xi sin ф1,

и линейное преобразование в слое

x2 = Xia2 + У1в2 + X2 cos ф1 + У2 sin ф1, у2 = X1^2 - yia2 + У2 cos ф1 - X2 sinф1, а группа U(1; i2) действует по правилу

ГГ. ! / .

Xi = Xi, X2 = X2 + фXl• У1 = У1, У2 = У2 + фУ1.

Относительно общих преобразований из группы SU(2; i2) х U(1; i2) в базе остается инвариантной величина ж2 + у2 = inv1, а в слое, те. при ж1 = у1 = 0,

2 2-

сохраняется второй инвариант ж2 + у2 = inv2.

Второй тип контракций при j1 = l,j2 = i2 неда-ет ничего нового и приводит в точности к описанным в этом подразделе результатам. Более того, группа SU(2; i2) х U(1; i2) изоморфна группе SU(2; i1) х U(l; i1) предыдущего раздела, отвечающей второму типу распределения контракционных параметров.

Галилеева контракция j1 = i1, j2 = i2

При контракции по двум параметрам имеет место два типа контракций группы SU(2), отличающиеся разным распределением контракционных параметров среди матричных элементов её фундаментального представления. В обоих случаях из (3) и (18) получаем |а1|2 = 1, т.е. а1 = ±1, что означает наличие двух связных компонент у контрактирован-ной группы. Для определенности выберем а1 = 1, тогда из (2) находим матрицу представления группы SU(2; 11; i2) = SU(2; i) для контракции первого типа в виде

i(i) =

1 + i2ia2 l1 ( — ß1 + i2iß2)

I1(ß1 + I2iß2) 1 — i2ia.2

— i1ß1e-i2 iß2/ßl e 12ia2

i1ß1e‘

e

llißl/ßl

a2 , ß1, ß2 £ R-(39)

Формулы (8) при j1 = i1, j2 = i2 дают однопараметрические подгруппы

«1(^1; i)

«2(^2; i) =

( 1 i12 ^1 А

V il§ Ш1 1 )

1

— ii1i212 ^2

i1i2 2 ^2 1

«3(^3; i)

1 + i2 2 ш3 0

0 1 — i2 2 Ш3

(40)

генераторы которых удовлетворяют коммутационным соотношениям

[71(0, Т2М] = 0, [Тз(1),Т1(1)] = -Т2(1),

[Т2(1),Тз(1)] = 0 (41)

и порождают алгебру Ли ви(2; 1) с общим элементом вида (11)

i2^3

i1(a1 — ii2a2)

2 \ i1 (a1 + ii2a2)

— i2a3

— (^(i))t-

(42)

Пространство представления Б.4(г.) включает вектора типа X(С)1 = (х1,12х2,ь1у1,ь1ь2у2)1, те. содержит две проекции: одна с расслоенной базой {х1 ,12х2} и такого же типа слоем {у1,12у2}, другая с базой {х 1,11у1} и слоем {х2,11у2}. Обе проекции пересекаются по одномерному подпространству {у2}, поэтому Б.4(г.) не может быть интерпретировано как полуевклидово пространство, поскольку последнее характеризуется последовательно вложенными проекциями. Согласно (6) группа SU(2; 1) действует в пространстве Б,4(1) по формуле

Х1 = Х1, х2 = Х2 + «2Х1, У1 = У1 - в1 Х1,

у2 = У2 - «2У1 + в2Х1 - в1Х2,

а группа U(1; i) в соответствии с (7) по формуле

/ 1.1 / .

ж1 = ж1, ж2 = ж2 + фж1, У1 = У1, У2 = У2 + ФУ1-

Относительно общих преобразований контрактиро-ванной группы SU(2; i) х U(1; i) имеются четыре инварианта: inv1 = ж2; inv2 = ж2 при ж1 = 0; inv3 = У2 при ж 1 = 0; inv4 = у2 при ж 1 = ж2 = У1 = 0, на которые распадается инвариант (5). Связь дважды контрак-тированной специальной унитарной группы SU(2; i) с группой движений плоскости Галилея подробно исследована в работе [9].

Для контракций второго типа (15) общий элемент группы SU(2; i) в соответствии с(17) дается матрицей

u(i)

1 + i1i2ia2 — i1ß1 + i2iß2

i1ß1 + i2iß2 1 — i1 i2ia.2

e11l2ia2 i1ß1 + i2iß2

— i1ß1 + i2iß2 e-11l2ia2

a2 , ß1, ß2 £ R-(43)

Генераторы однопараметрических подгрупп с коммутаторами

[T1(i),T2(i)] = —T3(i), [T3(i),T1 (i)] = 0, [T2(i),T3(i)] = 0

(44)

порождают алгебру Ли ви(2; 1), представляемую согласно (26) матрицами с нильпотентными элементами

i1i2 аз i1a1 + ii2 a2

i1ü1 — ii2 a2

— i1i2^3

— (T(i))

(45)

Пространство представления R4(i) включает векторы типа X(i) = (ж1 ,1112ж2,11у1,12у2)г. Оно не интерпретируется как пространство с полуевклидо-вой геометрией, поскольку содержит две проекции с общим подпространством {ж2}. Относительно общих преобразований из группы SU(2; i)

ж! = ж1, ж2 = ж2 + а2ж1 + ß2Уl + ßlУ2,

у1 = У1 — ßlXl, У2 = У2 + ß2Xl,

получаемых из (21), и общих преобразований из группы U(1; i)

/ / . / /

ж1 = ж1, ж2 = ж2 + фж1, У1 = У1, У2 = У2,

получаемых из (22), вместо одного инварианта (20)

22

имеются четыре инварианта: invl = ж2; inv2 = у2

при ж1 = 0; inv3 = У22 при ж1 = 0; inv4 = ж22 при

ж1 = У1 = У2 = 0.

Следует отметить, что обе дважды контрак-тированные группы (39), (43), а также пространства R4(i) и R4(i) изоморфны, те. с алгебраической точки зрения представляют собой одну и ту же группу, одно и то же пространство. Например, переобозначая в пространстве R4(i) координату ж2 как у2, а координату у2 какж2, получаем пространство R4(i). Однако это разные группы и пространства с точки зрения приложений, где каждый генератор, каждый групповой параметр, каждая координата получают определенную интерпретацию, что выражается в присвоении перечисленным конструкциям определенных фиксированных номеров, которые в дальнейшем не меняются.

)

(

t

Работа поддержана программой Президиума

Российской академии наук "Фундаментальные проблемы нелинейной динамики".

Литература

1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. 588 с.

2. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория унитарной симметрии. М.: Наука, 1970. 400 с.

3. Рубаков ВА. Классические калибровочные поля. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 336 с.

4. Inonu E., Wigner E.P. On the contraction of groups and their representations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953. V. 39. P. 510.

5. Громов НА. Контракции и аналитические продолжения представлений группы SU(2) // Квантовые группы, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар, 1994. С. 3-16. (Труды Коми научного центра УрО

РАН, N. 138).

6. Ефимов Д.Б. Инволюции алгебры Пименова и связанные с ними линейные группы. // Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения. Сыктывкар, 2003. С. 32-40. (Труды Коми научного центра УрО РАН, N. 174).

7. Пименов Р.И. Основы теории темпорального универсума. Сыктывкар: Коми НЦ УрО РАН, 1991. 196 с.

8. Gromov NA. The R.I. Pimenov unified gravitation and electromagnetism field theory as semi-Riemannian geometry. Ядерная физика, 2009. Т.72. N 5. С. 837-843; Physics of Atomic Nuclei, 2009. Vol. 72. No. 5. Pp. 794-800; arXiv:0810.0349v1 [gr-qc].

9. Ефимов Д.Б., Костяков И.В., Куратов B.B. О точных представлениях группы движений галилеевой плоскости. Вестник Сыктывкарского государственного университета, 2009. Сер.1. Вып. 10. С. 43-56.