CC BY
22
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Возможности самостоятельного численного исследования логистического отображения студентами младших курсов Шавруков Ю.М.
Шавруков Юрий Михайлович /Shavrukov Juri Mikhailovich - кандидат технических наук, старший научный
сотрудник, доцент, кафедра физики Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, г. Москва
Аннотация: рассматривается возможность проведения студентами младших курсов самостоятельных вычислительных экспериментов с целью знакомства с особенностями поведения логистического отображения. Приводятся конкретные примеры.
Abstract: the possibility of undergraduates independent computational experiments to explore the specific behavior of the logistic map. Specific examples.
Ключевые слова: студент, самостоятельная работа, вычислительный эксперимент, логистическое отображение, окна стабильности.
Keywords: student self-study, a computational experiment, logistic map, the window of stability.
Приблизиться к современному восприятию физической картины мира невозможно без минимальных представлений о роли и природе хаотических недетерминированных процессах различной природы [1].
К сожалению, в вузовских курсах общей физики эти проблемы, как правило, не рассматриваются. Исключением является, например, физтеховский курс общей физики [2].
На младших курсах технических вузов знакомство с элементами хаотической динамики возможно в рамках факультативных занятий или при работе над рефератами.
В этом случае студенту предоставляется возможность проявить самостоятельность, исследовать объект и выявить новые стороны многих физических явлений с помощью численного эксперимента.
Одномерное логистическое отображение является одним из наиболее простых математических объектов, демонстрирующих, в зависимости от значения параметра a, как детерминированное, так и хаотическое поведение [3]:
xn+l = a xn (l — xn) (l)
Здесь xn - значение переменной на n шаге итерации, xn= 0...1, a - параметр отображения, a = 0...4. (Применяем давно известный итерационный метод Ньютона уточнения корней уравнений типа x = F(x)). Логистическим отображением описывается динамика многих популяционных систем, например, сообщества хищников и жертв при ограниченных ресурсах (модель Ферхюльста-Пирла), поведение объектов в ряде физических явлений (шарик, подпрыгивающий на колеблющейся мембране и др.). Применяется дискретное логистическое уравнение при анализе вкладов и выплат в банковском деле (вероятно, отсюда звание -логистическое). По имени первооткрывателя неординарных свойств логистического отображения его называют также отображением Фейгенбаума Другой вариант записи логистического уравнения можно получить, произведя замену переменных: zn = a(xn-1/2), X = (a - 2a)/4 Тогда имеем
Эта форма записи логистического отображения удобна при работе над полем комплексных чисел.
В дальнейшем нас будут интересовать свойства логистического уравнения над полем действительных чисел, и мы будем использовать форму записи (1). Итерационный процесс логистического уравнения детерминированный и однозначный в интервале значений параметра а=0...3. При дальнейшем увеличении параметра наблюдается каскад бифуркаций. Нас будет интересовать параметр а в пределах от 3,6785 до 4,0. Эта область обычно называется областью хаотического поведения логистического отображения. При значениях параметра а>4.0 итерационный процесс расходится.
Zn+i = X - zl (2)
Xn
3.5
3 6
3.7
3.8
3.9
Рис. 1
На рис. 1 для каждого значения параметра а (начальное значение х0=0,33) представлены результаты итераций. Для наглядности результаты первых ста отброшены. Для каждого значения параметра а выполнено 300 итераций. Сразу видно, что помимо областей хаотического поведения существуют и окна стабильности -области, в которых итерации происходят регулярным образом. Четко наблюдаются окна стабильности с периодами к = 3 и 5. На рисунке угадываются еще четыре окна стабильности, но сказать что-либо определенное о порядке периодичности к не удается. Хотелось бы иметь простой и понятный даже на младших курсах рецепт нахождения окон стабильности высоких порядков. Такой рецепт приведен в [3], своеобразной энциклопедии хаотической динамики.
Итерационную функцию к-го порядка мы можем определить формулой Еф, х) = /(/(.../(а,х) ...)),
где /(а, х) - правая часть соотношения (1). Для младших итераций получаем:
Е1(а, х) = ах (1 - х), (3)
Е2(а, х) = а2х(1-х)(1-ах(1-х))
Е3(а, х) = а3х(1-х)(1-ах(1 -х)) (1 -а2 х(1 -х) (1 -ах(1 -х)))
F4(a, х) = а 4х(1-х) ) (1-ах(1-х))(1 -а2х(1 -х) (1-ах(1-х)))(1 - а3х(1-х)(1-ах(1 -х)) (1-а2 х(1 -х) (1 -ах(1-х)))) 7-Дк(а, х)=0 и ^к(а, х) =0.
ох оа
Конечно, эти правдоподобные рассуждения не могут являться доказательством, но вполне понятны не только первокурсникам, но и участникам школьного физико-математического кружка. Равенству нулю
производной по х легко удовлетворить, учитывая симметрию функции Рк(а, х). Достаточно положить х= У и найти экстремум функции Ек(а, 0.5). Функция ¥3(а, х) в интересующем нас диапазоне а =3,6785 ... 4,0 имеет один экстремум. Функция Е4(а, х) - два экстремума, один из которых совпадает с предыдущим.
Для итерационной функции порядка к положение части экстремумов совпадает со всеми экстремумами порядка к-1. Окна стабильности, соответствующие этим экстремумам, имеют порядок функции итерации, при котором они впервые появились. Вновь появившимся экстремумам будут соответствовать окна стабильности порядка к. На рис. 2 представлен фрагмент зависимости итерационных функций порядка к =9 и к=10 (зеленая линия). Несовпадающие экстремумы соответствуют окнам стабильности порядка к=10.
Рк(ах)
Рис. 2
а
В таблице 1 представлены результаты поиска окон стабильности для периодов от к =3 до к =10.
Таблица 1
Распределение периодов стабильности
а
нач
лкон
N
ако
8
N
3.687195 3 7016 3.71709 3 7382 3.755875 3.76124 3 77454 3.78577 3 794063 3 80074 3.808493 3 8283 3.865263 3 87053 3 874922 3.879412 3 83409995
3.8 3 892256 3 8959466 3.899462 3 90557 3.912042 3.9150056 3 9177948 3.920533 3.922186 3 9233138 3.9262773 3.92848212 3 930471 3 93246113 3.9347 3 937515 3 9403700 3 94243416 3.944212 3.9459364 3 947735 3 9495994 3.951028 3 9525041 3 9544836 3.9566132
3.687375 3.7028 3.71731 3.7448 3.755895 3.76137 3.77487 3.785845 3.794037 3.30103 3.808539 3.357 3.8652755 3.370612 3.3749272 3.879428 3.3841093 3.38613
3.392268 3.3959505 3.899522 3.90673 3.912085 3.9150077 3.917801 3.9205554 3.922254 3.923816 3.9262818 3.92848324 3.930436 3.93246233 3.9347052 3.9377 3.9403746 3.9424351 3.944224 3.9459372 3.947738 3.9496004 3.951072 3.9525052 3.9544374 3.9566148
0.000180
0 0012 0.00022 О 0066 0.000020 0.00013 О 00033 0.000075 О 000024 О 00029 0.000046 О 0287 0.0000125 О 000082 О 52 10 5 0.000016 О 935 10 О 00015 0.000010 О 000012 О 39 10 "5 0.000060 О 00121 0.000043 0.21 10 1 О 62 10 0.0000224 0.000068 О 22 10 "5 0.45 10 1 0.112 10 1 О 000015 0 115 10 5 0.52 10 1 О 000185 0 46 10 5 О 94 10 * 0.000012 0.8 10 0 3 10 О 10 10 "5 0.000044 0 11 10 О 33 10 "5 0.16 10
4 10
9 10
7 10
9 10
8 10
9 10
6 10
9 10
8 10
9 10
7 10
9 10
8 10
9
9
7
3.96008 3.9643706 3.9661925 3.96776002 3.968974 3.9701335 3.9714137 3.97260693 3.9737238 3.97481337 3.97591947 3.977134 3.97776 3.9784175 3.9795429 3.98050859 3.9814086 3.98227925 3.9831398 3.98398536 3.9847466 3.985493815 3.9862735 3.98702338 3.9877453 3.988457388 3.98918728 3.990256 3.99132364 3.994538
3.9616 3.9643716 3.96619481 3.9677606 3.968998 3.97013394 3.971415 3.97260725 3.9737282 3.97481368 3.9759206 3.977134 3.977815 3.978418 3.97954385 3.9805088 3.9814115 3.98227945 3.9831405 3.98398552 3.9847557 3.985493965 3.9862741 3.9870235 3.9877472 3.988457508 3.98918782 3.990344 3.99132404 3.994541
0.00152 0.10 10 "5 0.231 10 "5 0.58 10 "6 0.000024 0.44 10 в 0.13 10 "5 0.32 10 "6 0.44 10 "5 0.31 10 "6 0.113 10 0.
0.000055 0.5 10 6 0.95 10 ' 0.21 10 ' 0.29 10 5 0.20 10 в 0.7 10 "6 0.16 10 "6 0.91 10 5 0.150 10 е 0.6 10 6 0.12 10 в 0.19 10 5 0.120 10 "6 0.54 10 "6 0.000088 0.40 10 ' 0.3 10 5
В более наглядной форме эти же результаты представлены на рис. 3.
Рис. 3
В таблице 2 приведены некоторые характеристики окна стабильности периода к=3 и значения параметра а=3,8283... 3,8600, Да - цена деления по оси параметра а, 0 на оси соответствует начальному значению параметра анач. Рис. 2а таблицы 2 отображает окно стабильности и примыкающие к нему участки хаотического поведения логистического отображения. На этих границах переходы к хаотическому поведению имеют различный характер. При увеличении параметра а возникает каскад бифуркаций, аналогичный каскаду бифуркаций в диапазоне а=3.0...3.58. При уменьшении параметра переход к хаотическому поведению реализуется по сценарию «перемежаемости» ^ШегтШепсу). В этом случае строгая периодичность итераций случайным образом нарушается, и появляются участки нерегулярной последовательности итераций (рис. 4). Оба сценария перехода к хаосу встречаются в многочисленных экспериментах и физических явлениях.
Строгая последовательность итераций для значения параметра а1=3,831 приведена на рис.2б. Итерационная диаграмма на рис. 2в отображает процесс итерации. На диаграмме парабола соответствует
8
к
к
а
правой части логистического отображения (1), прямая линия - левой. Периодичность итераций соответствует числу пересечений с прямой линией.
На последнем рисунке в этой таблице (рис. 2г) представлен график функции ¥3(а, х). Число точек касания графика функции и прямой соответствуют значениям итерации. Этот график позволяет наблюдать зарождение каскада бифуркаций.
Таблица 2
Рис. 2в Рис. 2г
Поскольку в режиме перемежаемости участки регулярных итераций фрагментарно сохраняются, то на диаграмме Фейгенбаума (рис. 1) удается достаточно точно проследить итерационые функции малых порядков.
Сравнение итерационных диаграмм для к от 3 до 6 приведено в работе [4].
ерчод
Рис. 5
Итерационные диаграммы старших периодов сохраняют структуры предыдущих периодов (к=5 и к=6) и появляются диаграммы новой структуры. Завершающая диаграмма имеет одинаковую структуру для всех периодов. Для демонстрации возможностей проведения студентами самостоятельного вычислительного эксперимента и выбора направления исследований приведем характеристики окон стабильности порядка к=7.
Таблица 3
N анач акон д Таблица №
1 3,7015 3,7030 0,0012 4
2 3,7740 3,7750 0,00033 5
3 3,8860 3.8862 000015 6
4 3,92216 3,92224 0,000068 7
5 3,951028 3,951072 0,000044 8
6 3,96895 3,96905 0,000024 9
7 3,98474 3,984754 0,9 10-5 10
8 3,99453 3,99455 0,3 10-5 11
9 3,9993970 3,9993974 0,4 10-6 12
Для примера приведем характеристики четырех окон стабильности из таблицы 3 п.п. 1, 4, 7, 9. На последнем рисунке в каждой таблице черным маркером отмечены точки касания прямой и графика функции ¥7(а, х). Поскольку при а>4,0 процесс итерации логистического уравнения расходится, то по мере приближения к граничному значению параметра для получения результата необходимо увеличивать мантиссу и число отброшенных итераций.
Таблица 4
а = 3,7015 ... 3,7030, Да =0,00004
а = 3,7020
Рис. 4а
Рис. 4б
Рис. 4в
Рис. 4г
Таблица 5
а = 3,92216 -3,92224; Д а =0,000005
а,=3,92221
О 0,00002 0,00004 0,00006 0,0000В 0,0001 о, ОС
2 4 В В 10 12 14 16
Рис. 5а
Рис. 5б
Рис. 5в
а=3,98474 - 3,984754; Д а =0,000001
Таблица 6
Рис.5г а1=3,984754
Рис. 6в
Рис. 6г
В последней таблице (таблица 7) представлены результаты расчета последнего окна стабильности а=3,9993970 - 3,9993974. Приведены полные графики и их фрагменты.
Таблица 7-1
а=3,9993970 - 3,9993974;Ьа = 0,2- 1(Т7
Рис. 7-1а
а,=3,99939716
Рис. 7-16
Рис. 7-1 в
Рис. 7-2г
Приведенный выше пример демонстрирует широкие возможности проведения самостоятельного численного эксперимента студентами младших курсов при проведении исследований нелинейных физических явлений.
Литература:
1. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой Саратов: Изд-во Гос. учебно-науч. центра «Колледж», 2000. 197с.
2. Кингсеп А.С., Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Курс общей физики: Учеб. В 2-х т. М: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
3. Peitgen H.-O., H. Jürgens, D. Saupe Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. New York: SpringerVerlag, 1992. 995p.
4. Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В. Введение в физику нелинейных отображений Саратов: изд-во «Научная книга», 2010. 134с.
