Возможности повышения амплитуды колебаний стержневых систем без использования концентраторов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

КУСТИКА

шашг

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2015, 5

А. Н. Неверов

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), г. Москва, 125164, Ленинградский пр, 64; e-mail: neverov_an@mail.ru

Возможности повышения амплитуды колебаний стержневых систем без использования концентраторов

Получена 20.04.2015, опубликована 25.05.2015

Показана теоретическая и практическая возможность существенного повышения амплитуды колебаний стержневых ультразвуковых колебательных систем подбором элемента связи между преобразователем и инструментом. В качестве элемента связи может использоваться шпилька или хвостовик, акустический контакт шпильки или хвостовика с преобразователем и инструментом осуществляется при этом только по ниткам резьбы, стыковый контакт между преобразователем и инструментом отсутствует.

Ключевые слова: колебательная система, продольные колебания, ультразвуковой преобразователь, инструмент, резьбовое соединение

ВВЕДЕНИЕ

Обычно для повышения амплитуд продольных колебаний ультразвуковых преобразователей используются акустические трансформаторы - стержни переменного сечения [1-5]. Повышение амплитуды в них достигается благодаря изменению волнового сопротивления вдоль оси стержня. Существует и другая возможность -разделение функций преобразования электрических колебаний в механические и излучения энергии упругих колебаний в обрабатываемый объект [6]. При соответствующем подборе элемента связи между преобразователем и инструментом сопротивление потерь из низкодобротного преобразователя не вносится в высокодобротный инструмент. Тогда добротность инструмента практически не снижается, а амплитуда колебаний инструмента повышается.

Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию возможности повышения амплитуды колебаний стержневых систем подбором элемента связи между преобразователем и инструментом. Этот элемент подберем так, чтобы потери, вносимые в высокодобротный инструмент из низкодобротного преобразователя, были минимальны.

1. ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ СХЕМА КОНСТРУКЦИИ

В предлагаемой конструкции преобразователь и инструмент связаны резьбовым соединением при помощи шпильки или хвостовика, причем акустический контакт шпильки с преобразователем и инструментом, как и акустический контакт хвостовика с преобразователем или инструментом осуществляется только по ниткам резьбы [6, 7]. На рис. 1 показано такое соединение при помощи шпильки

/

И

3

\

Рис. 1.

Схема соединения волновода 1 и преобразователя 3 по ниткам резьбы шпильки (соединительного элемента) 2

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫСОКОАМПЛИТУДНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим продольные колебания системы, состоящей из преобразователя 1 и инструмента 2, соединенных при помощи сосредоточенной податливости С (рис. 2). Преобразователь и инструмент аппроксимируются однородными линейными стержнями. Вычисления ведутся в приближении Уэбстера [8].

1. Преобразователь

С. Соединительный элемент

Г ± вх Г1

"вх VI

2. Инструмент

Г2 Г ± вых

"2 "вых

Рис. 2. Расчетная схема

Тогда соотношения между входными и выходными силами и скоростями для каждого из элементов системы имеют вид для преобразователя, соединительного элемента и инструмента соответственно:

(Р Л (Р Л (Р Л

вх ( лл\ 1 1 1 1

V

V вх у

=и

V ^ у

V ^ у

= (Лс

Р2

2 У

(Р, Л

V ^ У

= (Л2)

Ры

(1)

вых у

где Рвх - амплитуда возбуждающей силы, приведенная к входному сечению преобразователя, Р1, Р2 и Рвых - амплитуды сил на выходе преобразователя, на входе и выходе инструмента соответственно, vвх, v1, V2, vвых - амплитуды колебательной скорости на входе и выходе преобразователя, на входе и выходе инструмента, (А1), (Ас), и (А2) - матрицы передачи преобразователя, соединительного элемента и

инструмента соответственно,

(Л1,2) =

(

СОБ к^ 2/1

- вШ кЬ2/1,2

- т12 Бт к12/г

СОБ к1,2 А,2

I, (Лс)

( 1 0 ^ ч 1аС 1 у

Рассматривая преобразователь и инструмент как однородные стержни, пренебрегая потерями, при временном факторе exp(iаt), где ю - циклическая частота, t - время,

/ = л/-Г, можно получить матрицу передачи системы, связывающую амплитуды входных Рвх и vвх и выходных Рвых и vвых сил и скоростей системы:

(Л) = (Л1)(Лс)(Л2)

а11 а12 Vа21 а22 у

Ж

ап = СОБ к111 СОБ к2/2---эт к111 эт к2/2 - аСж1 эт к111 соб к212;

а

Ж2

12 = '(ж эгп к111 соб к212 + ж2 эт к212 соб к111 - аСж1ж2 эт к111 эт к212).

?

а21 = /(ж- эт к111 собк2/2 + ж- эт к2/2 собкх/х + аС собкх/х собк2/2).

?

а22 = собк1/1 собк2/2 -— Бтк1/1 бшк2/2 -аСи^ бшк212 собк1/1, ж

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

а

где к = — - волновое число, с - скорость звука в стержне, / - длина, ж = рс£ -с

характеристическое сопротивление, р и £ - плотность и поперечное сечение стержней -преобразователя и инструмента, индексы 1 и 2 относятся к преобразователю и инструменту соответственно.

Переходное сопротивление системы (отношение комплексных амплитуд входной

• Р

силы и выходной скорости 2 = —— ) при отсутствии нагрузки равно компоненте а^ .

вых

Потери в элементах системы можно учесть в линейном приближении заменой

к> ^ к> I1 -У;ж ^ жI1 -^ У;С ^ С(1+) J = ^

(7)

где Qj - добротность] - го элемента.

Тогда комплексное переходное сопротивление системы 2 может быть представлено в виде:

Z = R + iX; Z = Z exp(ip); Z = V R2 + X2; p = arctg r ; (8)

X = Wj sin k1l1 cos k2l2 + w2 sin k2l2 cos k1l1 - <Cw1w2 sin k1l1 sin k212; (9)

R = "2 wQ-1 (cosk2l2 -<Cw2 sin k2l2)(( cosklll - sin klll ) +

+ 2 w2Q- (cos k1l1 -®Cw1sin k1l1 )(k2l2 cos k2l2 - sin k2l2)+ , (10)

+ k1l1W2Q2-1 + 2k2l2W1Q- + (CW1W2Q- j sin k1l1 sin k212

где Z и ф - модуль и фаза переходного сопротивления, R и X - его действительная и мнимая части соответственно.

Собственные частоты системы можно определить из условия равенства нулю мнимой части ее переходного сопротивления (9). Запишем это условие в виде

cos k2l2 - plm 1 sin k2l2 = -—ctg k2l2 sin k2l2, (11)

w1

í VI <

где Р = (<2Cw2) ; m = —.

(02

Переходное сопротивление тогда действительно и определяется выражением (10). Т.к. на практике, как правило, механическая добротность преобразователей существенно ниже добротности пассивных элементов, т.е.

Q >> й; Q >> 01, (12)

можно сказать, что переходное сопротивление системы и амплитуда выходной колебательной скорости системы в этом случае определяется первым слагаемым (10), т. е. потерями в низкодобротном преобразователе.

Будем считать далее, что в рассматриваемом диапазоне частот

Р- >> 1;Р- — >> 1;|sink2l2| << 1. (13)

W2

Тогда Z R 1

— = — = — Q1-1ctgk1l1 sin k2l2 (( cosk1l1 - sin klll) + W2 W2 2

1 ( W Л

+—Q-1 cos k1l1 - plm -1—Lsin klll (k2l2 cos k212 - sin k212) +

V W2 j

(14)

1

+ — 2

( w Л

VQ- + k2l2Qj-1 + 2—p^m-1Q- sin klll sin k2l2.

1 1 2 2 2 1 w 2 c 1 1 2 2

2 j

Считая, что размеры инструмента близки к резонансным, согласно (9) и (10), получим при k2l2 « т, sin k212 « -Р, cos k212 « -1 и, принимая во внимание (12), получаем

Z 1

— « 3Q-1 ctgklll (kj/j cosklll - sin klll ) -

2

-~Q- 1 cos kjlj-/—sin kjlj

2

wn

wj_ [ 1

W2 I 2'

(15)

/k2l2 Qj-1 + Q

Как и в случае 5 ~ 1, выигрыш в величине переходного сопротивления, а, следовательно, и амплитуды колебательной скорости, весьма проблематичен.

Рассмотрим теперь продольные колебания системы при ее возбуждении на частоте,

определяемой выражением

cos k2l2 - /3_1m-1 sin k2l2 = 0 или - sin k2l2 « tg k2l2 = / << 1

(16)

Частота, полученная решением уравнения (16), не является собственной частотой системы, т.к. мнимая часть переходного сопротивления на этой частоте равна не нулю, а, с учетом (15),

X

— = sin k212 cos k1l1 « -/m cos k1l1. w2

(17)

Действительная же часть переходного сопротивления теперь равна с учетом (10) и (17)

R 1

(

w2 2 v

Л

— = — Q2 1 cos kjlj-/ 1—-sin kjlj (k212 cos k2 l2-sin k212) +

w2

1

+ — 2

f

k1l1Q2 1 + k212Qj 1 + 2-Wl/ Q 1 sin kjlj sin k212. w2

У Л

(18)

Таким образом, первое слагаемое (10) при условии (17) обращается в нуль и действительная часть переходного сопротивления системы на частоте, определяемой (17), существенно меньше переходного сопротивления системы на собственной частоте, определяемой из условия равенства нулю мнимой части (9).

Для определенности будем считать, что волновая длина инструмента близка к л. Тогда, с учетом (16),

0 < k2l2 - ж << 1; sin k2l2 « -/; cos k2l2 « -1.

(19)

Подставляя (19) в (18), получаем выражение для действительной части переходного сопротивления:

(

-R «-—Q2 1 cos kjlj-/ 1 —-sin kjlj W2 2 I W2 У

л /

w

Л

kjljQ-1 + — Qj-1 + / -Q;1 sin kjlj, (20)

w

w

которое с учетом (10) принимает вид:

R -f Q:

w2 2

cos k1l1 + w1 / Q + ^ - / sin k1l1

w-,

Qi —Qc

(21)

2

1

Квадрат модуля переходного сопротивления согласно (10), (17) и (20) равен

с z >2

V W2 J

j cos k1l1 )2

С ж V С

ж

2Q

2J

cosk1l1 + W+ ^ -p- sink1l1

11 Q J 11

wn

(22)

а разность фаз между входной силой и выходной скоростью определится из условия (8):

X

р = arctg— « arctg-

2Q2P

ж

1 + ZLtg k1l1 p^ + -p-

Q2 , 2Q2

Q1 Q

(23)

JJ

Очевидно, что минимальным переходное сопротивление будет тогда, когда система возбуждается на собственной частоте преобразователя, т.е. при sin k1l1 = 0. Тогда (22)

принимает вид

с Z ^2 с

V w2 J

Р2 +

ж

2Q

(24)

2J

причем разность фаз не равна нулю, т.е. система не в резонансе.

Нормированное переходное сопротивление одиночного волновода - инструмента при резонансе равно

2 0

ж

2Q

а величина

Т-J1+С~

Zn V V ж .

(25)

(26)

Таким образом, при малом Q2P переходное сопротивление системы стремится к величине переходного сопротивления одиночного волновода - инструмента, т.е. добротность системы в этом случае определяется исключительно добротностью инструмента и практически не зависит от свойств низкодобротного волновода -преобразователя. Этим обстоятельством определяется возможность существенного повышения амплитуды колебательной скорости на выходе системы. Для этого необходимо, как следует из сказанного выше, выполнение следующих условий:

1) величина Q2P должна быть достаточно мала;

2) добротность инструмента Q2 должна быть много выше добротности преобразователя Q1;

3) нагрузка на выходной торец колебательной системы должна быть малой. Понятно, что для одновременного выполнения условий 2) и 3) необходимо, чтобы

выполнялись неравенства

Р<< Q21 « Q11,

(27)

причем второе неравенство (27) выполняется, как правило, автоматически.

2

2

2

На рис. 3 приведены распределения амплитуд смещения и колебательной силы вдоль оси колебательной системы. Рост амплитуды колебаний происходит в соединительном элементе, который на рисунке представлен как пружина малой жесткости (большой податливости).

а б в

Рис. 3 Распределение амплитуд смещения (б) и колебательной силы (в) вдоль оси

колебательной системы (а) 1 - преобразователь; 2 - инструмент; 3 - соединительный элемент

3. ВОЗМОЖНОСТИ практической реализации высокоамплитудных КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим теперь, в каких конструкциях стержневых колебательных систем возможно выполнить условия 1) - 3).

В работе [8] описывается система, состоявшая из преобразователя и очень массивного инструмента, соединенных тонким стержнем. Все три элемента имели резонансные размеры. Условиям 1) - 3) эта система, видимо, удовлетворяла, т.к. эквивалентная упругость соединительного элемента - тонкого резонансного стержня -21

равна 2Е^ , где 1С и 8С - длина и площадь поперечного сечения, Ес - модуль Юнга

материала соединительного элемента, и из-за малости 8С велика, велико и волновое сопротивление массивного инструмента. Однако данных, касающихся амплитуд колебаний или колебательных скоростей системы, ее переходных сопротивлений нам найти не удалось.

В работе [9] преобразователь и инструмент соединяются коротким тонким стержнем. Эквивалентная упругость такого соединительного элемента Л- весьма

ЕА

велика, а масса мала.

Рассмотрим с точки зрения выполнимости условий 1) - 3) предлагаемую конструкцию [7]. Оценим параметры соединения шпилькой (рис.1).

Будем считать податливости соединений шпильки с преобразователем и инструментом одинаковыми и равными Ср. Матрицу передачи соединения можно получить перемножением матриц передачи его элементов:

[ А ] =[ АР И А И АР ] , (28)

где [Ар] - матрица передачи соединений шпильки с преобразователем и инструментом, [Ан] - матрица участка передачи шпильки между ними, 1 0"

к ]

iaC„ 1

; к ]=

eos khlh iwh1 sin k,l

hlh

iWh Sin khlh e0S khlh

(29)

где Wh и /н - волновое сопротивление и длина рассматриваемого участка шпильки, кн -волновое число продольных колебаний в ней. Подставляя (29) в (28), получаем

м= ah11

_ah 21

ah11 = ah22

» = iWh

ah 21 iwh

a

h12

ah22.

=eoskhlh ~®Cpwhsin khlh;

hh

(30)

ah 2i = iwh (sin khK+2®cpwheos khlh+{®cpwh )2 sin khlh)

Если длина шпильки пренебрежимо мала, т. е. при кн/н<<1, в1пкн/н<< 1, coskh/h~1, (30) приводится к виду:

A ]

1

2iaCr

(31)

Таким образом, в этом случае соединительную шпильку можно рассматривать как сосредоточенную податливость 2СР. Для того чтобы математические выкладки, приведенные выше, были справедливы для такого соединения, необходимо положить в=2юС^2. Соотношения (22) - (26) можно использовать при выполнении неравенств

sin khlh << 1 «р \

Величина Cp имеет порядок H max H max S „ S

ES ф

ES,, S,

Sф

(32)

(33)

ф к ном ф

где - фактическая площадь акустического контакта, £ном - номинальная площадь акустического контакта, осуществляемого только по ниткам резьбы, £к - номинальная площадь акустического контакта при стыковом соединении преобразователя и инструмента. Тогда первая дробь в выражении (33) представляет собой податливость акустического контакта, площадь которого равна £к, вторая - отношение площади акустического контакта при стыковом соединении преобразователя и инструмента к номинальной площади ниток резьбы, а последняя - относительную площадь касания на нитках резьбы.

При обычном стыковом акустическом контакте величина в имеет порядок 0,1-1.

Контактом по ниткам резьбы в этом случае можно пренебречь. В рассматриваемом

£

случае площадь контакта уменьшается в —раз, а контактная податливость и,

£ ном

следовательно, в во столько же раз увеличиваются. Таким образом, неравенства (32)

£

могут быть удовлетворены одновременно при величинах —порядка 100-1000,

£ ном

которые, как правило, и применяются при креплении не слишком миниатюрных инструментов к преобразователю.

Приведем некоторые числовые оценки. На частотах, близких к 20 кГц, волновое число приблизительно равно 25 м-1. Если длина соединительной шпильки равна 1 см, то ее волновая длина приблизительно равна 0,25. Т.к. обычно Р << 1, последнее слагаемое в скобках (30) оказывается существенно больше любого другого и матрица передачи соединительного элемента принимает вид:

И=

акИ ак12

ак 21 ак22

ат = ак22«1 -оСрЩКЧ; ™ккк1к; ак 21« Щ1 {юСр™к Укк1к.

ак12 ® тк'ЧЧ

Таким образом, эффективная податливость соединения в этом случае равна WhюCp2khlh, т.е. она исключительно высока и прямо пропорциональна частоте колебаний.

Аналогичные соотношения можно получить для соединения при помощи хвостовика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты работы показывают, что подбором соединительного элемента между преобразователем и инструментом можно повысить добротность системы почти до добротности инструмента, т.е. примерно на порядок. Как известно, амплитуда колебаний при резонансе пропорциональна добротности, поэтому она должна вырасти также на порядок.

И если добротность системы в эксперименте действительно выросла более чем на порядок, то амплитуда в эксперименте увеличилась всего в 4,5 раза, а в установке для ультразвукового поверхностного пластического деформирования - немного более чем в 2,5 раза [6].

Видимо, это связано с узостью частотной полосы системы (обратная сторона высокой добротности) и связанной с этим сложностью настройки. Тогда можно надеяться, что положение изменится в лучшую сторону с появлением более совершенных систем автоподстройки частоты.

Необходимо отметить еще один аспект обсуждаемой проблемы. Ввиду малости поперечного размера соединительного элемента может произойти потеря

динамической устойчивости с возникновением в колебательной системе изгибных колебаний [1G]. При продольном возбуждении системы параметрические изгибные колебания могут быть особенно сильны, когда частота возбуждающей продольной силы близка к двойной резонансной частоте поперечных колебаний. Потеря динамической устойчивости характеризуется резким уменьшением амплитуды продольных колебаний и существенным повышением амплитуды изгибных колебаний. Чтобы этого избежать, следует повышать жесткость соединительного элемента и исключить возможность появления параметрического резонанса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Меркулов, Л. Г. Расчет ультразвуковых концентраторов [Текст] / Меркулов Л. Г // Акустический журнал. - 1957. - Т. III. - С. 23G-238.

2. Казанцев, В. Ф. Физические основы технологического применения ультразвука: учеб. пособие [Текст] / В. Ф. Казанцев. - М.: МАДИ (ГТУ), 2GG8. - 1G2 с.

3. Senda, T. Propagation of Longitudinal Plastic Waves Produced by Tensile Impact / T. Senda // Bull. Japan Soc. of Prec. Eng.. - 1979. - Vol. 13. - N 1. - P. 13-19.

4. Lesniewski, P. Discrete Component Equivalent Circuit for Webster's Horns / P. Lesniewski // Applied Acoustics. - 1995. - N 44. - P. 117-124.

5. Хмелев, В. H. Совершенствование конструкции резонансного концентрирующего звена с увеличенной поверхностью излучения [Электронный ресурс] / В. H. Хмелев, С. С. Хмелев, Р. В. Барсуков и др. // Электронный журнал «Техническая акустика». -2G12. - 7 - 12 с. Режим доступа: http:ejta.org.ru

6. Иверов, А. H. Экспериментальное исследование высокоамплитудных стержневых колебательных систем [Электронный ресурс] / А. H. Иверов // Электронный журнал «Техническая акустика». - 2G15.--7 с. Режим доступа: http:ejta.org.ru

7. Пат. № 2G97149 Российская Федерация, В G6 В 3/GG. Колебательная система [Текст] / Шверов А. H.; № 9511668G/28; заявл. 27.G9.95; опубл. 27.11.97, Бюл. № 33 - 3 с.

8. Balamuth L. 19б7. Energy storage in high frequency vibratory devices Pat. USA 3341935

9. Копова, А. М. Слабые связи в резонансных ультразвуковых колебательных системах [Текст] / А. М. Копова, Л. О. Макаров, М. А. Полковникова // Ультразвук в технологии машиностроения. Архангельск: 1991. - с. 2б8-271.

1G.Китайгородский, Ю. И. Инженерный расчет ультразвуковых колебательных систем. Учеб. пособие для слушателей заочных курсов повышения квалификации ИТР по применению ультразвука в машиностроении. [Текст] / Ю. И. Китайгородский, Д. Ф. Яхимович. - М.: Машиностроение, 1982. - 5б с.